Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 29. Maj 2013
1
STX Matematik B
29. maj 2013
Delprøven med hjælpemidler
2stx131-MAT/B-
Løsning med WordMat ...................................................................................................................................... 2
Løsning med Maple ......................................................................................................................................... 13
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 29. Maj 2013
2
Løsning med WordMat
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Alle formlerne i nedenstående besvarelse
henviser til Matematisk formelsamling stx/hf B fra 2007. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 7
a)
Den angivne model er en lineær sammenhæng, - modellen herfor er:
Tallene og kan bestemmes vha. en lineær regression over tabellens data.
Hertil bruges WordMat (Statistik/sands. - Regression - Lineær).
Spurvepar
5
18
29
46
55
57
66
72
kuldstørrelse
3,8
3,6
3,5
3,4
3,2
3,3
3,2
3,1
Lineær regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,9650001
Af resultatet fremgår det at:
Resultaterne er afrundet til fem decimaler.
b)
Forskriften for sammenhængen defineres i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion) som:
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 29. Maj 2013
3
Antallet af ynglende par (pr. acre), når kuldstørrelsen er 3,0 kan bestemmes ved at løse ligningen:
WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - numerisk )
Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Resultatet betyder, at der er ynglende spurvepar pr. acre, når den gennemsnitlige kuldstørrelse er 3,0
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 29. Maj 2013
4
Opgave 8
a)
Siden danner lige store vinkler med siden og den stiplede linje, da den stiplede linje gennem er
parallel med siden . Topvinkler vil være lige store, når en ret linje skærer to parallelle rette linjer.
Dermed vil topvinklen til vinklen på således være og lig med vinkel i trekant .
Det konkluderes, at vinkel .
Afstanden fra til kan bestemmes med WordMat’s Trekantløser (Diverse - Trekant), når de kendte
værdier indtastes:
WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 58°, C = 43°, AC = 9,8
A = 58°
B = 79°
C = 43°
BC = 8,466423
AC = 9,8
AB = 6,808679
Af resultatet fremgår det, at:
resultatet er afrundet til én decimal.
b)
Arealet af trekant bestemmes med formlen: (jf. formel 29)
Med de aktuelle betegnelser fås:
De kendte værdier indsættes og arealet beregnes med WordMat (CAS - Beregn):
Arealet af det område , der er afspærret er altså:
Resultatet er afrundet til én decimal.
A
B
C
BC
AC
AB
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 29. Maj 2013
5
Opgave 9
a)
Udviklingen i den årlige affaldsproduktion er opgivet værende en eksponentiel udvikling.
Da det er en eksponentiel voksende udvikling (den årlige affaldsproduktion er vokset gennem årene),
er vækstraten , hvilket defineres i WordMat (CAS - Definitioner - Definer variabel):
Indsættes , og
i modellen for eksponentiel
udvikling:
, kan den gennemsnitlige årlige procentvise stigning bestemmes med
WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - numerisk): (jf. formel 54)
Ligningen løses numerisk for r vha. CAS-værktøjet WordMat.
Hvilket betyder, at den årlige procentvise stigning (ændring) i årene var:
b)
Den gennemsnitlige årlige vækstrate blev bestemt i a)
Indsættes vækstraten og affaldsproduktionen i 1994 i modellen for udviklingen:
fremkommer en model for udviklingen i den årlige affaldsproduktion:
Hvor er antal år efter 1994 og
er den årlige affaldsproduktion år efter 1994 (målt i tons)
c)
For at afgøre hvor lang tid der går, før affaldsproduktionen er fordoblet, skal fordoblingskonstanten
bestemmes, - hvilket gøres med formlen: (jf. formel 59)
Resultatet betyder, at affaldsproduktionen i Danmark fordobles over en periode på
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 29. Maj 2013
6
Opgave 10
a)
Betingelserne for defineres i WordMat (CAS - Definitioner - Definer variabel):
Forskriften for defineres i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion):
Grafen for tegnes med WordMat (Graftegning - Vis Graf - GNU plot):
Den tid, der går fra personen dør, til temperaturen er nede på , kan bestemmes som :
WordMat (CAS - Beregn)
Der går således fra døden indtræffer til kropstemperaturen er
Resultatet er afrundet til én decimal.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 29. Maj 2013
7
b)
Kropstemperaturen 2 timer efter døden er indtruffet, kan bestemmes ved at løse ligningen:
WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk)
Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Kropstemperaturen 2 timer efter, personen er død, er således bestemt til:
Resultatet er afrundet til én decimal.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 29. Maj 2013
8
Opgave 11
a)
Populationen er de .
Stikprøven er de i forbindelse med undersøgelsen.
Nulhypotesen
: Internetadgangen i danske husstande er uændret siden 2010.
b)
Det skal undersøges, hvor godt den nye fordeling (fra 2011) svarer til den gamle (fra 2010),
derfor skal der foretages en GOF-test (Goodness of fit).
Forudsat at nulhypotesen gælder, bestemmes en tabel over forventede svar.
De forventede antal beregnes vha. de procentvise andele fra 2010 og de 800 adspurgte husstande.
Beregningerne foretages med WordMat (CAS - Beregn).
Internetadgang
ADSL
Kabelmodem
Fiberoptik
Mobilt
bredbånd
Ved ikke
Forventet antal
husstande
Tabellen med den observerede fordeling (fra 2011) og tabellen med den forventede fordeling (herover)
indtastes i WordMat (Statistik/sands. - Test - Goodness of fit) og GOF-testen foretages med et
signifikansniveau på 5 %
Resultatet kan ses på næste side…
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 29. Maj 2013
9
KONKLUSION:
Af resultatet fremgår det, at -værdien er mindre end , hvorfor nulhypotesen må forkastes.
Internetadgangen i danske husstande har ændret sig signifikant fra 2010 til 2011.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 29. Maj 2013
10
Opgave 12
a)
For at kunne bestemme monotoniforhold for , skal den først defineres og den afledede funktion
bestemmes og defineres.
Begrænsningen for defineres i WordMat (CAS - Definitioner - Definer variabel):
defineres ligeledes i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktioner):
Derefter kan den afledede funktion
bestemmes med WordMat (CAS - Infinites. - Differentier)
Udtrykket differentieres vha. CAS-værktøjet WordMat.
Som også defineres i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktioner):
Ligningen
løses med WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk):
Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Det fremgår, at har en mulig ekstrema ved , hvilket undersøges med en fortegnsundersøgelse
for
med -værdier valgt på hver side af det mulige ekstrema.
Beregnes med WordMat (CAS - Beregn):
Monotonilinje (WordMat skabelon (Diverse - Figurer)):
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 29. Maj 2013
11
er aftagende i intervallet idet
er voksende i intervallet idet
b)
Forskriften for defineres i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktioner):
Førstekoordinaterne til skæringspunkterne mellem og bestemmes ved at løse ligningen:
WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk)
Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Førstekoordinaterne til skæringspunkterne mellem og er bestemt til: og
x
f’(x)
f(x)
0
4
0
-
+
id
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 29. Maj 2013
12
Graferne for og tegnes i WordMat (Graftegning - Vis Graf - GeoGebra)
c)
Af graferne fremgår det, at
i intervallet .
Arealet af punktmængden kan bestemmes som:
Arealet af punktmængden er således bestemt til:
Resultatet er afrundet til to decimaler.
Integralet er indtastet i Word, - indsæt Ligning.
Derefter er beregningen foretaget med WordMat (CAS - Beregn)
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 29. Maj 2013
13
Løsning med Maple
Alle opgaver er regnet med Maple, da vores erfaring viser, at det er et stærkt værktøj at anvende. Husk at
skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af Maple som første linje til
besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra Maples Gym-pakken egen
formelsamling. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!
(1.1.1)(1.1.1)
Alle beregninger er udført med Maple som CAS-værktøj . Maple bruger "." som decimaladskiller.
Opgave 7
a)
Vi definerer dataserien:
Der foretages en lineær regression:
(1.1.2)(1.1.2)
(1.2.2)(1.2.2)
(1.1.4)(1.1.4)
(1.2.1)(1.2.1)
(1.1.3)(1.1.3)
3430437
Af reslutatet aflæses a = -0,00972 og b = 3,8097. Afrundet til 4 decimaler.
b)
Forskriften defineres:
Antallet af ynglende par (pr. acre), når kuldstørrelsen er 3,0 kan bestemmes ved:
14
Resultatet betyder, at der er 83 ynglende spurvepar pr.acre, når den gennemsnitlige kuldstørrelse
er 3,0. Afrudnet til helt antal ynglende par.
(2.2.1)(2.2.1)
(1.1.2)(1.1.2)
(2.1.1)(2.1.1)
Opgave 8
a)
Siden danner lige store vinkler med siden og den stiplede linje, da den stiplede linje
gennem er parallel med siden .
Topvinkler vil være lige storem når en ret linje skærer to parallel rette linjer.
Dermed vil topvinklen til vinklen på således være og lig med vinkel i trekant .
Det konkluderes, at vinkel .
Afstanden fra B til C kan bestemmes med trekantløser:
Siden svarer til siden .
Af resultatet fremgår det, at siden BC = 8,5 km. Afrundet til 1 decimal.
Skitse af situation. Skitsen er ikke påkrævet til eksamen:
b)
Med de aktuelle betingelse fås trekant areal til:
Værdierne indsættes og arealet beregnes:
Arealet af det område der er afspærret, er altså 28,4 . Afrundet til 1 decimal.
(3.3.2)(3.3.2)
(3.2.1)(3.2.1)
(3.1.2)(3.1.2)
(3.3.1)(3.3.1)
(1.1.2)(1.1.2)
(3.1.1)(3.1.1)
(3.1.3)(3.1.3)
Opgave 9
a)
Indsættes , og i modellen for
eksponentiel
udvikling: , kan den gennemsnitlige årlige procentvie stigning bestemmes ved:
8810
Hvilket betyder, at den årlige procentvise stigning (ændring) i årene var:
. Afrundet til 3 decimaler.
b)
Den gennemsnitlige årlige vækstrate blev bestemt i opgave a.
Indsættes vækstraten og affaldsproduktionen i 1994 i modellen for udviklingen:
fremkommer en model for udviklingen i den årlige affaldsproduktion:
Hvor x er antal år efter 1994 og
er den årlige affaldsproduktion år efter 1994 (målt i tons)
c)
Fordoblingstiden bestemmes ved:
Resultatet betyder, at affaldsproduktionen i Danmark fordobles over en periode på .
Afrundet til helt antal år.
(4.1.1)(4.1.1)
(1.1.2)(1.1.2)
(4.1.2)(4.1.2)
Opgave 10
a)
Forskrifen for defineres:
Grafen tegnes:
Den tid, der går fra personen dør, til temperaturen er nede på , kan bestemems som :
7.170110
Der går således fra døden indtræffer til kropstemperaturen er på . Afrundet til 1
decimal.
b)
(1.1.2)(1.1.2)
(4.2.1)(4.2.1)
Kropstemperaturen 2 timer efter døden er indtruffet, kan bestemems ved at løse ligningen:
Kropstemperaturen 2 timer efter, personen er død, er således 97,2°F. Afrundet til 1 decimal.
(1.1.2)(1.1.2)
(5.2.2)(5.2.2)
(5.2.3)(5.2.3)
(5.2.1)(5.2.1)
Opgave 11
a)
Populationen er de .
Stikprøven er de i forbindelse med undersøgelsen.
: Internetdadgangen i danske hustande er uændret siden 2010.
b)
Det skal undersøges, hvor godt den nye fordeling (fra 2011) svarer til den gamle (fra 2010),
derfor skal der foretages en GOF-test .
Forudsat nulhypotesen er sand, bestemmes en tabel over forventede svar.
De forventede antal beregnes vha. de procentvise andele fra 2010 og de 800 adspurgte husstande:
Listerne ganges sammen og listen betegner de forventede værdier:
De observerede værdier defineres:
(1.1.2)(1.1.2)
(5.2.4)(5.2.4)
GOF-testen foretages på 5% signifikansniveau:
Konklusion:
Af resultatet fremgår det, at -værdien (P = 4,05) er mindre end , hvorfor nulhypotesen må
forkastes.
Internetadgangen i danske husstande har ændret sig signifikant fra 2010 til 2011.
(1.1.2)(1.1.2)
(6.1.1)(6.1.1)
(6.1.2)(6.1.2)
(5.2.4)(5.2.4)
Opgave 12
a)
Funktoinen defineres:
Først løses ligningen for at bestemme eventuelle ekstrema:
Monotoniforholdende undersøges omkring intervallet, hvor ekstrema blev fundet.
er aftagende i intervallet
er voksende i intervallet
(1.1.2)(1.1.2)
(6.2.1)(6.2.1)
(6.2.2)(6.2.2)
(5.2.4)(5.2.4)
har minimum i . Afrundet.
b)
Funktionen defineres:
Grafen for og tegnes:
Førstekoordinaten til hvert af de 2 skæringspunkter mellem de 2 grafer bestemmes ved at løse:
Førstekoordinaterne til skæringspunkterne mellem og er bestemt til og .
c)
(1.1.2)(1.1.2)
(6.3.2)(6.3.2)
(6.3.1)(6.3.1)
(5.2.4)(5.2.4)
Af graferne fremgår det at, i intervallet .
Arealet af punktmængden kan bestemmes som:
Arealet af punktmængden er således bestemt til 14,86. Afrundet til 2 decimaler.