Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 30. maj 2007
1
STX Matematik B
30. maj 2007
Delprøven med hjælpemidler
STX071-MAB
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
STX 2.g
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 6
a)
Funktionen er givet ved:
er det samlede antal biler sendt til ophugning i x år efter år 1987.
x er antal år efter år 1987.
Funktionen beskriver antallet af biler sendt til ophugning efter år 1987. For hvert år efter år 1987, er der
blevet sendt 87880 biler til ophugning. I året 1987 blev der sendt til 69550 biler til ophugning.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 30. maj 2007
2
Opgave 7
a)
En model af trekant og længden af siden bestemmes med WordMats trekantsløser:
WordMats trekantsløser anvendes med input: A = 72°, b = 4,1, c = 3,8
A = 72°
B = 56,99199°
C = 51,00801°
a = 4,649842
b = 4,1
c = 3,8
Længden af siden a findes vha. en cosinusrelation
Siden aflæses til 4,6 (afrundet til 1 decimal).
b)
Længden af højden på siden , kan bestemmes, som den modstående katete, i forhold vinkel , i en
retvinklet trekant, hvor siden betegner hypotenusen:
Længden af højden på siden er fundet til 3,6 (afrundet til 1 decimal).
A
B
C
a
b
c
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 30. maj 2007
3
Opgave 8
a)
En forskrift for , bestemmes ved at løse følgende ligningssystem:
Ligningssystemet løses for b,a vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,
En forskrift for er fundet til
.
b)
Aborrens længde bestemmes ved at løse:
Ligningen løses for L vha. CAS-værktøjet WordMat.
Ifølge modellen vil aborrens længde, når den vejer 100g, være 16,8 cm (afrundet til 1 decimal).
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 30. maj 2007
4
Opgave 9
a)
Udviklingen kan beskrives ved en eksponentiel funktion. En forskrift for bestemmes derfor ved
eksponentiel regression.
Tabellen opstilles, og der foretages eksponentiel regression:
Årstal efter år
2002
0
1
2
3
4
DHN (mia. kr.)
6,697
7,160
8,137
8,408
10,538
Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,9335589
En forskrift for
er fundet til
.
b)
DHN for 2007 bestemmes ved:
Ifølge modellen vil DHN i år 2007 have størrelsen 11,1 mia. kr. (afrundet til 1 decimal).
Fordoblingskonstanten bestemmes ved:
Ifølge modellen vil DHN fordobles i løbet af en periode på 6,5 år (afrundet til 1 decimal).
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 30. maj 2007
5
Opgave 10
a)
Funktionen defineres:
Grænsen for punktmængden i første kvadrant bestemmes ved at løse:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Arealet af punktmængden bestemmes ved at løse det bestemte integral for i intervallet
:
Arealet af punktmængden er fundet til .
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 30. maj 2007
6
Opgave 11
a)
Funktionerne defineres og intervallet defineres:
En forskrift for bestemmes ved:
Funktionen
defineres:
Størrelsen af den produktion pr. uge, der giver størst fortjeneste bestemmes ved optimering. Først
bestemmes evt. ekstrema:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
For at være sikker på, at der rent faktisk er tale om en maksimum tjekkes differentialkvotienten på begge
sider af ekstremum:
Det kan konkluderes, at rent faktisk er et maksimum. Størrelsen af den produktion pr. uge,
der giver den største fortjeneste, er 7745 (afrundet til helt antal varer).
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 30. maj 2007
7
Opgave 12
a)
Funktionen defineres:
Væskens temperatur efter en time bestemmes ved:
Ifølge modellen vil væskens temperatur efter en time være ca. 41,32°C (afrundet til 2 decimaler).
Konstanten 21 er uafhængig af dvs. eftersom temperaturen falder som funktion af tiden, som det også
udgår af konstanten , vil væskens temperatur nærme sig en konstant værdi på 21°C, når tiden går
mod uendelig.
b)
Tiden, hvor væskens temperatur er 30°C, bestemmes ved:
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Ifølge modellen går der ca. 1,76 timer (afrundet til 2 decimaler) før at væskens temperatur er 30°C.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 30. maj 2007
8
Opgave 13
a)
Funktionen defineres:
Først bestemmes evt. ekstrema:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Differentialkvotienten tjekkes på begge sider af ekstrema:
Monotoniforholdene opskrives:
er voksende i intervallet
er aftagende i intervallet
Det kan konkluderes på baggrund af funktionsundersøgelsen, at
er et maksimum.
Maksimummet bestemmes ved at løse:
Værdien for maksimummet er fundet til -2,1 (afrundet til 1 decimal).
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 30. maj 2007
9
Opgave 14
a)
Først bestemmes et udtryk for udtrykt ved :
Ligningen løses for h vha. CAS-værktøjet WordMat.
Udtrykket for h, hvor er den eneste variabel, substitueres ind i udtrykket for :
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion,
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 30. maj 2007
10
Opgave 15
a)
Undersøgelsen er kun blevet foretaget på patienter med tarmkræft. Kan man på baggrund af en
undersøgelse, der kun er foretaget på patienter med tarmkraft, konkludere noget generelt om alle
kræftpatienter, som det gøres i avisen?
Undersøgelsen er foretaget på 770 patienter. Det oplyses ikke, hvor mange af patienterne, der befinder sig
i kategorien enlig pga. skilsmisse eller dødsfald. Det er derfor ikke muligt at vurdere om de 40%, som
undersøgelsen har fundet frem til, er udtryk for en statistisk usikkerhed?
Tager undersøgelsen højde for aldersfordeling? Ældre patienter har generelt større chance for at være enlig
grundet dødsfald end yngre patienter.
Tager undersøgelsen højde for andre nære relationer end ægteskabet? Det påstås i avisen, at det er
ægteskab og kun ægteskab, som forøger chancen for at overleve kræftsygdommen.