Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 5. december 2014
1
STX Matematik B
5. december 2014
Delprøven med hjælpemidler
stx143-MAT/B-
Løsning med WordMat ...................................................................................................................................... 2
Løsning med Maple ......................................................................................................................................... 14
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 5. december 2014
2
Løsning med WordMat
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 7
a)
Da der er tale om en eksponentiel model, anvendes eksponentiel regression. Data opskrives først i en tabel.
Antal år
efter 2007
0
1
2
3
4
5
Ølforbrug
(mio. liter)
462
440
406
383
380
357
Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,462
Konstanterne aflæses og defineres:
b)
Konstanten er fremskrivningsfaktoren, og ud fra den kan vækstraten nu beregnes vha. WordMat:
Ligningen løses for r vha. CAS-værktøjet WordMat.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 5. december 2014
3
Det vil sige, at ølforbruget i Danmark i perioden efter 2007 er faldet med 5% om året.
c)
Halveringstiden beregnes vha. WordMat som:
Der går altså ca. 13,5 år før ølforbruget i Danmark er halveret.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 5. december 2014
4
Opgave 8
a)
Funktionen defineres:
Nulpunkter findes ved at løse:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Der er således 3 nulpunkter for funktionen, hvori -værdierne er:
b)
Punktets førstekoordinat defineres:
En ligning for tangenten til grafen for i punktet
er givet ved:
Ligningen for tangenten til grafen for i punktet
er således:
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 5. december 2014
5
Opgave 9
a)
Funktionen defineres og grafen tegnes i WordMat:
Når der ikke tilføres gødning, er , så fortjenesten uden gødning findes som vha. WordMat.
Fortjenesten er således på 12.000 kr., hvis der ikke tilføres kunstgødning.
b)
Når tangenten er vandret, vil tangentældningen og dermed være lig med 0. -værdien i
røringspunktet kan således findes ved at løse:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Nu bestemmes funktionsværdien i røringspunktet vha. WordMat:
Koordinatsættet til røringspunktet er således:
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 5. december 2014
6
Når tangenten er vandret er der enten tale om et ekstremumspunkt eller en vandret vendetangent. Af
grafen for funktionen fremgår det tydeligt, at der et tale om et maksimumspunkt. Punktets koordinatsæt
angiver således den maksimalt mulige fortjeneste, som er ca. 25.000 kr. pr. hektar samt den mængde
gødning, der skal tilføres for at opnå den maksimale fortjeneste: 2,35 tons gødning pr. hektar.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 5. december 2014
7
Opgave 10
a)
Nulhypotese: Stikprøven er repræsentativ med hensyn til alder
De forventede værdier findes i excel vha. følgende formel:
Stikprøvestørrelsen udregnes som sum af alle observationer:
Alder
Forv.
Frek.
Antal
obs.
Forv. obs
20-30
0,15
90
71,85
30-40
0,16
85
76,64
40-50
0,19
80
91,01
50-60
0,17
78
81,43
60-70
0,17
79
81,43
70-100
0,16
67
76,64
Det giver selvfølgelig ikke mening at forvente observationer med decimaltal, da der er tale om et antal
individer. Alligevel afrundes decimalerne ikke, fordi det ville sænke præcisionen i den efterfølgende
statistiske test.
b)
Da der er tale om en sammenligning af forventede værdier fra en model og rigtige observationer fra en
stikprøve, anvendes en GOF-test i WordMat. Alle de nødvendige data er i en tabel, som genanvendes i
GOF-testen. Konklusionen bliver:
Nul-hypotese:
Den observerede
stikprøve stammer fra
den forventede fordeling
Signifikans
niveau:
5%
P-værdi:
14%
Konklusion:
Nul-hypotese kan ikke forkastes
Goodness of fit bygger på χ²-fordeling
Frihedsgrader:
5
χ²-værdi:
8,258
Xmaks:
16
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 5. december 2014
8
Da , kan nulhypotesen ikke forkastes på et 5% signifikansniveau. Det kan altså ikke afvises,
at stikprøven er repræsentativ med hensyn til alder.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 5. december 2014
9
Opgave 11
a)
Funktionerne defineres og ligningen løses vha. WordMat:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Løsning nr. 2 er utroligt tæt på 0, og den rigtige løsning er da også 0, hvilket ses ved at tage:
Fejlen skyldes sandsynligvis, at CAS-værktøjets måde at løse ligninger på ikke er 100% matematisk
stringent.
b)
Følgende formel kan anvendes til at beregne det areal, som afgrænses af to funktioner i intervallet ,
hvis
i hele åbne interval
Af graferne (og vha. kendskab til alle skæringspunkter) ses, at
i hele det åbne interval .
Arealet af M kan nu udregnes vha. WordMat:
Arealet af M er således (afrundet til 4 decimaler).
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 5. december 2014
10
Opgave 12
a)
Alle resterende sider og vinkler i trekant ABC beregnes vha. WordMats trekantsberegner:
WordMat's trekantsløser anvendes med input: C = 90° , BC = 4 , AB = 6
A = 41,6°
B = 48,4°
C = 90°
BC = 4
AC = 4,5
AB = 6
Længden af siden AC findes vha. pythagoras
Vinkel A findes vha.sinus
Vinkel B findes vha.vinkelsum = 180° i en trekant
Siden AC (afstanden) er således ca. 4,4721 meter og vinklen B i trekant ABC er ca. 48,190
b)
Det ses af tegningen, at vinkel A i trekant ABD og vinkel A i trekant ABC tilsammen udgør 180 grader.
Vinkel A i trekant ABD er således givet ved:
A
B
C
BC
AC
AB
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 5. december 2014
11
Alle de resterende sider og vinkler i trekant ABD beregnes nu vha. WordMats trekantsberegner.
WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 138,19° , BA = 6 , DA = 3
D = 28,5°
B = 13,5°
A = 138,19°
BA = 6
DA = 3
DB = 8,27
Længden af siden DB findes vha. en cosinusrelation
Vinkel B findes vha. en cosinusrelation
Vinkel D findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
Nu skal der foretages beregninger på trekant ADE for at finde længden af siden AE
Det ses af tegningen, at
Nu har vi nok informationer til at anvende WordMats trekantsberegner på trekant ADE:
WordMat's trekantsløser anvendes med input: D = 28,16° , DA = 3 , DE = 2,48
D
B
A
BA
DA
DB
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 5. december 2014
12
D = 28,16°
EA = 1,94
DA = 3
DE = 2,48
Længden af siden EA findes vha. en cosinusrelation
Siden AE (afstanden) er således ca. 1,425 meter og vinklen B i trekant ABD er ca. 13,649
D
E
A
EA
DA
DE
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 5. december 2014
13
Opgave 13
Ligning for volumen opskrives, i det , hvorefter isoleres vha. WordMats ’løs ligning’-funktion:
Ligningen løses for l vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi har nu som funktion af :
Dette udtryk for substitueres nu ind i udtrykket for overfladearealet:
Nu har vi alene udtrykt ved .
O(x) defineres:
For at finde eventuelle ekstrema for bestemmes først nulpunkter for . Dette gøres ved at løse
ligningen:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi udregner nu fortegnet for O’ på begge sider af nulpunktet:
Vi kan se, at funktionen skifter fra at være aftagende til at være voksende i , hvorfor
der må være tale om et lokalt minimum. Da der ikke er flere ekstremumspunkter, må punktet også være et
globalt minimum.
Den værdi af , som giver det mindste overfladeareal er således ca.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 5. december 2014
14
Løsning med Maple
Alle opgaver er regnet med Maple, da vores erfaring viser, at det er et stærkt værktøj at anvende. Husk at
skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af Maple som første linje til
besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra Maples Gym-pakken egen
formelsamling. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!
(1.1.1)(1.1.1)
Alle beregninger er udført med Maple som CAS-værktøj. Maple bruger "." som deicmaladskiller.
Opgave 7
a)
Vi definerer dataserien:
Vi foretager en eksponentiel regression:
Værdierne for og er følgende:
(1.2.1)(1.2.1)
(1.1.4)(1.1.4)
(1.2.2)(1.2.2)
(1.1.2)(1.1.2)
(1.3.1)(1.3.1)
(1.1.3)(1.1.3)
(1.3.2)(1.3.2)
Konstanterne aflæses og defineres:
9362079
b)
Konstanten er fremskrivningsfaktoren og fortæller noget om funktionens vækstrate idet:
Det vil sige, at ølforbruget i perioden efter år falder med 4,978 om året ifølge modellen.
Afrundet til 3 decimaler.
c)
Halveringstid bestemmes ved:
Der går altså ca. 13,6 år før ølforbruget i Danmark er halveret. Afrundet til 1 decimal.
(2.2.1)(2.2.1)
(2.1.1)(2.1.1)
(2.1.2)(2.1.2)
(2.2.2)(2.2.2)
Opgave 8
a)
Funktionen defineres:
Nulpunkterne findes:
Der er således 3 nulpunkter for funktoinen, hvori -værdierne er .
b)
Punktes førstekoordinat defineres:
2
En ligning for tangtenten til grafen for i punktet er givet ved:
Ligningen for tangenten til til grafen i punktet er .
(3.1.2)(3.1.2)
(3.1.1)(3.1.1)
Opgave 9
a)
Funktionen defineres og grafen tegnes:
Grafen for tegnes i intervallet:
Når der ikke tilføres gødning, er . Fortjenesten findes ved :
12000
Fortjenesten, når der ikke tilføres gødning, er .
(3.2.1)(3.2.1)
(3.2.2)(3.2.2)
(3.2.3)(3.2.3)
b)
Når tangenten er vandret vil være lig 0, og -værdien i røringspunktet kan findes ved:
Punktet, der ligger indenfor definitionsmængden er .
Funktionsværdien i røringspunktet bestemmes ved:
06
Det samlede koordinatsæt til røringspunktet er P[ , 24997.0]
Når tangenten er vandret er der enten tale om et ekstremumspunkt eller en vandret vendetangent.
Af grafen for funktionen fremgår det tydeligt, at der et tale om et maksimumspunkt.
Punktets koordinatsæt angiver således den maksimalt mulige fortjeneste, som er ca. 25000 kr. pr
hektar (afrundet) samt den mængde gødning,
der skal tilføres for at opnå den maksimale fortjeneste: 2,35 tons gødning pr. hektar.
(4.1.2)(4.1.2)
(4.1.3)(4.1.3)
(4.1.1)(4.1.1)
Opgave 10
a)
Nulhypotese: Stikprøven er repræsentativ med hensyn til alder
De forventede værdier findes ved en liste med stikprøvestørrelsen med de forventede frekvenser:
Listerne ganges sammen og listen betegner de forventede værdier, i den korrekte rækkefølge
opgivet i opgaven:
b)
De observerede værdier defineres:
Listen med de observerede værdier definers:
(4.2.1)(4.2.1)
Da der er tale om en sammenlignign af forventede værdier fra en model og rigtige observationer
fra en
stikprøve, anvedens en GOF-test. Testen foretages på et signifikansniveau:
Den procentmæssige værdi aflæses til P = 14,26 % (afrudnet til 2 decimaler), hvilket er mindre
end signifikansnivauet på .
Det kan altså ikke afvises, at stikprvøen er repræsentativ med hensyn til alder.
(5.1.2)(5.1.2)
(5.1.1)(5.1.1)
(5.1.3)(5.1.3)
(4.2.1)(4.2.1)
(5.2.1)(5.2.1)
Opgave 11
a)
Funktionerne defineres og ligningen løses:
Løsningen anses for at være lig 0.
b)
Af graferne (og vha. kendskab til alle skæringspunkter) ses, at i hele det åbne
interval .
Arealet af M udregnes:
Arealet af M er således A = 0,6719. Afrundet til 4 decimaler.
(6.2.2)(6.2.2)
(4.2.1)(4.2.1)
(6.2.1)(6.2.1)
(6.1.1)(6.1.1)
Opgave 12
a)
Alle resterende sider og vinkler i trekant beregnes med trekantsløser:
Længden af siden (afstanden) er ca. 4,472 m og vinkel i trekant er ca 48,19°. Afrundet
til 3 og 2 decimaler.
Skitse af trekant. Skitsen er ikke et krav til eksamen:
b)
Det ses af tegningen, at vinkel i trekant og vinkel i trekant tilsammen udgør .
Vinkel i trekant kan da beregnes til:
138.19
Alle resterende sider og vinkler i trekant beregnes med trekantsløser:
Vinklen svarer til vinklen i trekantsløseren.
Skitse af trekant. Skitsen er ikke et krav til eksamen:
(4.2.1)(4.2.1)
(6.2.3)(6.2.3)
Afstanden findes med trekansløser:
Længden svarer til afstanden .
Vinkel i trekant er 13,64° og siden i er 1,425 m. Afrundet til 2 og 3 decimaler.
Skitse af trekant. Skitsen er ikke et krav til eksamen:
(4.2.1)(4.2.1)
(7.1.3)(7.1.3)
(7.1.2)(7.1.2)
(4.2.1)(4.2.1)
(7.1.1)(7.1.1)
Opgave 13
a)
Når volumen af rammen er lig 10 dm, kan udtrykkes ved x med følgende:
Rendens overfaldeareal udtrykt kun ved x, findes ved at substitueres ind i udtrykket for
rendensoverfladeareal:
O er en beskyttet variabel i Maple, hvis denne skal bruges, skal den erklæres som en lokal
variabel:
For at bestemme den x-værdi, der giver rendens overfladeareal den mindste værdi, skal minima
for f(x) findes:
Første bestemmes evt. ekstrema
31
For at tjekke, at der rent faktisk er tale om et minima, foretages der en funktionsundersøgelse, i
intervallet omkring ekstrema:
(4.2.1)(4.2.1)
er faldende i intervallet
er voksende i intervallet
har minima i
Det kan konkluderes at den -værdi, der giver det mindste overfladeareal, er .