Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX B stx143-MAT/B-
STX Mat B - Opgaver uden hjælpemidler - 5. december
2014
Alle formelnumre i de nedenstående løsninger henviser til
Matematisk formelsamling stx/hf B, 2007 fra Matematiklærerforeningen.
Vi medtager formelnumre i vores løsninger, så du i din forberedelse præcist kan se
hvilken formel, der bruges til at løse den pågældende opgave.
Formelsamlinger ikke må medbringes til selve prøven uden hjælpemidler.
Opgave 1
Da trekant ABC og trekant DEF er ensvinklede gælder der, at forholdet mellem enslig-
gende sider er konstant (jf. formel 19). Forholdet mellem den lille og den store trekant
beregnes:
k =
|DE|
|AB|
=
10
5
= 2
Længden af AC kan nu bestemmes ved følgende relation (jf. formel 20):
|DF | = k · |AC|
m
|AC| =
DF
k
Værdierne indsættes
|AC| =
6
2
= 3
Opgave 2
Ved at indsætte punktet (0, 4) i forskriften for f fås:
4 = b · a
0
= b · 1 = b
Husk at a
0
= 1, uanset hvilken værdi a har (jf. formel 15)
Ved at indsætte b = 4 og punktet (3, 32) i forskriften for f fås:
32 = 4 · a
3
m
a
3
=
32
4
= 8
m
a =
3
√
8 = 2
En forskrift for f er dermed:
f(x) = 4 · 2
x
1
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX B stx143-MAT/B-
Opgave 3
Udtrykket reduceres. (jf. formel 7)
(a + b)
2
+ 2(b
2
− ab) = a
2
+ b
2
+ 2ab + 2b
2
− 2ab
2ab og −2ab går ud med hinanden
= a
2
+ b
2
+ 2b
2
= a
2
+ 3b
2
Opgave 4
Da vægten øges med samme værdi for hver kasse, der bliver fragtet, er der tale om en
lineær model, som kan beskrives ved forskriften:
f(x) = ax + b
Hvis vi betegner x for antallet af kasser på traileren og f(x) trailerens samlede vægt,
angiver b startvægten, altså den tomme trailers vægt, og dermed er b = 600. a angiver
hvor meget vægten bliver øget pr. kasse, der sættes på traileren, og dermed har vi, at
a = 45. Modellen er dermed:
f(x) = 45x + 600
Opgave 5
For en parabel ved vi, at toppunktet er bestemt ved følgende formel, (jf. formel 34)
T (
−b
2a
,
−(b
2
− 4ac)
4a
)
Ud fra forskriften aflæser vi følgende a = 1, b = −6, c = 0. Vi bestemmer nu x-koordinaten
til toppunktet:
T
x
=
−b
2a
=
−(−6)
2 · 1
= 3
og derefter y-koordinaten:
T
y
=
−(b
2
− 4ac)
4a
=
−((−6)
2
− 4 · 1 · 0
4 · 1
=
−36
4
= −9
Toppunktet for parablen findes dermed i punktet:
T = (3, −9)
Tip 1: Husk altid, når du skal insætte værdier i formlerne, at sætte en parantes om-
kring eventuelle negative koefficienter. Så er det lettere at holde styr på fortegnene.
Tip 2: Hvis du til eksamen ikke kan huske formlen for parablens toppunkt, kan du
altid differentiere funktionen, løse ligningen f
0
(x) = 0 og dermed finde x-koordinaten
til toppunktet. y-koordinatet findes så vi at indsætte den fundne x-værdi i f’s for-
skrift. For den dygtige elev, vil dette også være en god kontrol for om man har regnet
rigtigt.
2
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX B stx143-MAT/B-
For at tegne grafen bestemmer vi parablens rødder ved at løse ligningen f(x) = 0. Da
der er tale om en andengradsligning, bestemmer vi først diskriminanten:
d = b
2
− 4ac = (−6)
2
− 4 · 1 · 0 = 36
Da d > 0 har ligningen to løsninger, som er givet ved (jf. formel 39)
x =
−b ±
√
d
2a
Vi beregner den første løsning
x
1
=
−(−6) +
√
36
2 · 1
=
12
2
= 6
Vi beregner den anden løsning
x
2
=
−(−6) −
√
36
2 · 1
=
0
2
= 0
Løsningerne til ligningen er dermed givet ved x = 6 ∨ x = 0.
Vi har dermed at parablen skærer x-aksen for x = 0 og x = 6. Vi bruger nu dette til at
tegne parablen ind i et koordinatsystem:
Opgave 6
For at løse denne opgave skal vi først bestemme hvilke grafer der hører til f og f
0
. Derefter
kan vi bestemme hvilken der hører til g ved hjælp af udelukkelsesmetoden.
Det ses at grafen A har to vendetangenter, mens B og C kun har en vendetangent. Hvor
A har vendetangenter, har både B og C nulpunkter, men hvor B og C har vendetangent
har A ikke et nulpunkt. Således må grafen for A høre til funktionen f og grafen for B eller
C høre til f
0
.
I intervallet mellem de to vendetangenter er f voksende, og derfor skal f
0
være posi-
tiv i intervallet. Kun grafen for C er positiv i dette interval, og dermed må grafen for C
høre til f
0
.
Ved hjælp af udelukkelsesmetoden må grafen for B dermed høre til g.
3