Skriftlig matematik STX B stx123-MAT/B-
1
Alle formlerne i nedenstående besvarelse henviser til Matematisk formelsamling stx/hf B fra 2007.
Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig
supplerende tekst. Begrundelsen for at medtage formelnumre i løsningerne, er at du præcist kan se
hvilken formel, der bruges til at løse opgaven.
Mange af opgaverne løses med WordMat. Hent den gratis tilføjelse til Word her. (Obs. Virker kun med
Windows-computere)
Tip: Genvej til at indsætte ligning (Alt + M). Se flere smarte genveje under ”Hjælp” -> Genveje i
WordMat
Opgave 7
a)
Først beregnes de kumulerede frekvenser i MS Excel:
Sumkurven tegnes nu med WordMat (Faneblad ”Graftegning” - Statistik - Sumkurve):
Wordmat udregner også kvartilsæt.
0,0%
25,0%
50,0%
75,0%
100,0%
60 70 80
Skriftlig matematik STX B stx123-MAT/B-
2
Sumkurve 1
Sumkurve 2
Sumkurve 3
Kvartilsæt
kurve 1
Kurve 2
Kurve 3
interval
endepunkt
Kum. Frek
interval
endepunkt
Kum. Frek
interval
endepunkt
Kum. Frek
vis?
x
20
0,0%
0%
0%
Nedre
34,086
0
0
30
13,6%
Median
43,36
0
0
40
41,5%
Øvre
53,094
0
0
50
66,8%
Fraktiler
60
93,3%
70
100,0%
Kvartilsættet er således bestemt til:
Resultaterne er afrundet til et helt tal.
Skriftlig matematik STX B stx123-MAT/B-
3
Opgave 8
a)
Den angivne model for udviklingen
er en eksponentiel sammenhæng.
Forskriften for udviklingen kan bestemmes i WordMat (Statistik/sands. - Regression - Eksponentiel)
som en regression over tabellens data:
År efter 2006
0
1
2
3
4
Gæld (i mia. kr.)
50,1
54,8
60,2
65,8
72,1
Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,9999451
På baggrund regressionens resultat kan tallene a og b aflæses af ovenstående funktionsudtryk:
Resultaterne er afrundet til tre decimaler.
b)
Fordoblingskonstanten
kan bestemmes med formlen (jf. formel 59) (beregnet med WordMat (CAS -
Beregn)):
Fordoblingstiden er således bestemt til:
Resultatet er afrundet til én decimal.
c)
Forskriften for udviklingen i gælden er (jf. 8a):
hvor er antal år efter 2006
og er gælden til tiden i mia. kr.
Årstallet, hvor gælden er 120 mia. kr., kan bestemmes ved at løse ligningen
mht.
(WordMat: CAS - Løs Ligning(er))
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Konklusionen er, at danskernes gæld til det offentlige ifølge modellen er vokset til 120 mia. kr. ca. 9,6 år
efter 2006, hvilket er godt halvejs gennem år 2015.
Skriftlig matematik STX B stx123-MAT/B-
4
Opgave 9
a)
Længden af bestemmes med WordMat's trekantsløser (Diverse - Trekant), som anvendes med input:
C = 25°, |BC| = 10 , |AC| = 12
A = 55,20321°
B = 99,79679°
C = 25°
BC = 10
AC = 12
AB = 5,146468
Længden på siden er således bestemt til:
Resultatet er afrundet til én decimal.
Arealet af trekant ABC med de givne mål kan bestemmes som (jf. formel 29):
De kendte værdier indsættes og beregnes (med WordMat):
Arealet er således bestemt til (afrundet til én decimal):
b)
Givet
, og
kan bestemmes ud fra følgende ligning (jf. formel 29):
De kendte værdier indsættes og ligningen løses for BC med WordMat (CAS - Løs Ligning(er)):
Ligningen løses for BC vha. CAS-værktøjet WordMat.
A
B
C
BC
AC
AB
Skriftlig matematik STX B stx123-MAT/B-
5
Med WordMat bestemmes længden af således til:
Resultatet er afrundet til én decimal.
TIP. Hvis man benævner linjestykket med |BC| og løser med WordMat, kommer der to løsninger, da
WordMat opfatter det som numerisk værdi af BC. Derfor skriver vi bare ”BC”.
Vinkel B kan nu bestemmes med WordMat's trekantsløser med input: C = 25° , BC = 5,915504 , AC = 12
A = 20,63527°
B = 134,3647°
C = 25°
BC = 5,915504
AC = 12
AB = 7,093854
Vinkel bestemmes med WordMat til:
resultatet er afrundet til én decimal.
A
B
C
BC
AC
AB
Skriftlig matematik STX B stx123-MAT/B-
6
Opgave 10
a)
Modellen for en potensfunktion er (jf. formel 66):
Forskriften for udviklingen kan bestemmes vha. en potensregression i WordMat (Statistik/sands. -
Regression - Potens)
x
1
2
y
5
15
Potens regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 1
Ligningen for sammenhængen mellem og (forskriften for potensfunktionen) er således bestemt til:
Værdien for ved bestemmes ved at indsætte i forskriften (beregnes med WordMat):
Når er det bestemt, at: (resultatet er afrundet til én decimal)
Skriftlig matematik STX B stx123-MAT/B-
7
Opgave 11
a)
Overfladearealet for en person, med vægten og højden , bestemmes ved at
indsætte de kendte værdier i den angivne model:
kendte værdier indsættes og arealet beregnes med WordMat (CAS - beregn):
Overfladearealet for den aktuelle person er således:
Resultatet er afrundet til to decimaler.
b)
Højden på en person, der vejer og har et overfladeareal på
bestemmes ved at indsætte
kendte værdier i den angivne model og løse ligningen for :
kendte værdier indsættes og højden bestemmes med WordMat (CAS - Løs Ligning(er)):
Ligningen løses for h vha. CAS-værktøjet WordMat.
Den pågældende person er således høj, når der afrundes til et helt tal.
Skriftlig matematik STX B stx123-MAT/B-
8
Opgave 12
a)
Volumen af træklodsen uden cylinderen kan bestemmes som:
Da klodsen er kvadratisk gælder der, at volumen kan bestemmes som:
Volumen (=rumfang) af cylinderen med diameter 6 (dvs. radius 3) er givet ved (side 22 i formelsamlingen)
Dette indsættes og udtrykket reduceres:
Skriftlig matematik STX B stx123-MAT/B-
9
Opgave 13
a)
Med WordMat (Graftegning - Vis Graf - GnuPlot) tegnes grafen for funktionen:
For at bestemme en ligning for tangenten til grafen for f i punktet bestemmes først den afledede funktion
med WordMat (CAS - Inifinites. - Differentier):
Udtrykket differentieres vha. CAS-værktøjet WordMat.
og bestemmes nu:
Ligningen for tangenten til grafen for i punktet bestemmes som (jf. formel 70):
Skriftlig matematik STX B stx123-MAT/B-
10
Ligningen for tangenten til i punktet er således:
b)
For at kunne bestemme monotoniforhold for løses først ligningen:
hvorved eventuelle ekstrema for kan bestemmes (WordMat: CAS - Løs Ligning(er)):
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
For at afgøre forløbet for grafen for foretages fortegnsundersøgelse for før, mellem og efter
de mulige ekstrema, - beregningerne er foretaget med WordMat (CAS - Beregn).
På baggrund af dette tegnes monotonilinje (WordMat: Diverse - Figurer)
er aftagende i intervallerne
og
idet
er voksende i intervallet
idet
f har lokalt minimum for
f har lokalt maksimum for
c)
Med WordMat (CAS - Beregn) bestemmes integralet
x
f’(x)
f(x)
-2,414
0,414
0
0
–
+
–
Skriftlig matematik STX B stx123-MAT/B-
11
Geometrisk set svarer tallet
til arealet af den punktmængde, der
afgrænses af grafen for , førsteaksen samt lodrette linjer gennem og .
På grafen i spørgsmål 13a svarer integralet til arealet af den punktmængde, der er beliggende
over -aksen afgrænset af grafen for samt -aksen.
Skriftlig matematik STX B stx123-MAT/B-
12
Opgave 14
a)
Summeres tabellens rækker og kolonner, fremkommer følgende tabel:
Boligkvarter A
Boligkvarter B
Sum
Generet af støj
62
71
133
Ikke generet af støj
140
99
239
Sum
202
170
372
Af denne tabel fremgår at:
202 personer i boligkvarter A har deltaget i undersøgelsen.
170 personer i boligkvarter B har deltaget i undersøgelsen.
I alt har 372 personer deltaget i undersøgelsen.
62 personer i boligkvarter A er generet af støj, - 140 personer er ikke.
71 personer i boligkvarter B er generet af støj, - 99 personer er ikke.
Tilsammen i de to boligkvarterer er 133 personer generet af støj.
Tilsammen i de to boligkvarterer er 239 personer ikke generet af støj.
Det kunne se ud som om, at der er flere personer i boligkvarter B end i A, der er generet af det udendørs
støjniveau, hvilket kan undersøges med en
-test for uafhængighed mellem svar og boligkvarter.
Dertil opstilles følgende nulhypotese:
: Lige mange personer er generet af støj uanset valg af boligkvarter.
Med WordMat (Statistik/sands. -
test) testes nulhypotesen med et signifikansniveau på 5 %.
χ²-test
Observationer
I alt
Forventede
I alt
62
71
133
72,22043
60,77957
133
140
99
239
129,7796
109,2204
239
I alt
202
170
372
202
170
372
P-værdi:
2,65%
Der er en sammenhæng
Signifikans
niveau:
5%
Frihedsgrader:
1
Q-værdi:
4,92626
1,4463662
1,7186234
0,8048816
0,9563888
Kritisk Q-værdi:
3,841459
Skriftlig matematik STX B stx123-MAT/B-
13
Da den fundne P-værdi er mindre end signifikansniveauet forkastes nulhypotesen
.
Konklusionen er derfor, at der er fundet en sammenhæng mellem valg af boligkvarter og svar vedrørende
gene af det udendørs støjniveau, der er statistisk signifikant på 5 % niveau.