Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX B stx123-MAT/B-
Opgaver uden hjælpemidler - den 7. december 2012
Alle formelnumre i de nedenstående løsninger henviser til Matematisk formelsamling
stx/hf B, 2007 fra Matematiklærerforeningen.
Formelsamlinger ikke må medbringes til selve prøven uden hjælpemidler.
Vi medtager formelnumre i vores løsninger, så du i din forberedelse præcist kan se
hvilken formel, der bruges til at løse opgaven.
Opgave 1
Da trekanterne ABC og DEF er ensvinklede gælder, at forholdet mellem ensbeliggende
sider i de to trekanter er den samme, hermed kan den ene trekant skaleres med faktor k
på alle sider, således at trekanterne bliver kongruente (jf. formlerne 19 og 20).
Skalafaktoren k bestemmes:
k =
|DF |
|AC|
=
30
6
= 5 (formel 19)
STX 3.g
Da er retvinklet kan længden af siden BC bestemmes vha. Pythagoras’
læresætning (jf. formel 21):
|BC| =
q
|AB|
2
− |AC|
2
=
p
10
2
− 6
2
=
√
64 = 8
STX 3.g
Længderne af siderne ED og EF bestemmes som produktet af skalafaktor k og længden
STX 3.g
|DE| = k ·|AB| = 5 ·10 = 50
|EF | = k · |BC| = 5 · 8 = 40
Opgave 2
Givet polynomiet: P (x) = 3x
2
− 6x + 7
kan koordinatsættet til toppunktets bestemmes som (jf. formel 37):
T
P
=
−b
2a
,
−d
4a
,hvor: d = b
2
− 4ac
Aktuelle værdier indsættes (a = 3 , b = −6 , c = 7):
T
P
=
−(−6)
2 · 3
,
−((−6)
2
− 4 · 3 · 7)
4 · 3
!
=
6
6
,
48
12
= (1, 4)
Grafen for P har således toppunkt i punktet: T
P
= (1, 4)
1
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX B stx123-MAT/B-
Opgave 3
En lineær model har formen: f (x) = ax + b (formel 35)
Tiden, efter vasen er blevet fyldt, kaldes t og måles i uger.
Hver uge fordamper 0,2 liter vand fra vasen, hvilket er en negativ tilvækst.
Koefficienten a sættes derfor til: a = −0, 2
Når vasen er fyldt, rummer den 1,5 liter vand, derfor sættes konstanten b = 1, 5
b er således en "startværdi", idet der til tiden t = 0 er 1,5 liter vand i vasen.
En lineær model, der beskriver mængden af vand i vasen, fra det tidspunkt,
hvor den blev fyldt, er:
f(t) = −0, 2 · t + 1, 5
hvor t er tiden, målt i uger og f (t) er mængden af vand i vasen målt i liter.
Opgave 4
Isolering af h:
p · h
4
= 4 · M
m multiplicerer begge sider med 4
p · h = 16 · M
m dividerer begge sider med p
h =
16 · M
p
h er således isoleret: h =
16·M
p
2
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX B stx123-MAT/B-
Opgave 5
På grafen for N indtegnes i (rørings)punktet (50, N (50)) en tangent til grafen.
Væksthastigheden for populationen til tiden t = 50 er lig med hældningskoefficienten a
t
for tangenten i punktet (50, N(50))
Hældningskoefficienten bestemmes ved at aflæse koordinatsættene til to punkter på denne
tangent (se tegning herunder).
De to punkter aflæses til: (x
1
, y
1
) = (20, 70) og (x
2
, y
2
) = (80, 110)
Tangentens hældningskoefficient bestemmes som:
a
t
=
y
2
− y
1
x
2
− x
1
(formel 30)
Koordinaterne indsættes:
a
t
= N
0
(50) =
110 − 70
80 − 20
=
4
6
Hvilket betyder, at væksthastigheden for populationen til tiden t = 50 er N
0
(50) =
4
6
Tilvæksten er således mindre end et dyr pr. døgn, når t = 50 døgn.
3
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX B stx123-MAT/B-
Opgave 6
f(x) er en stamfunktion til g(x), hvis f
0
(x) = g(x). Dette undersøges:
f
0
(x) =
2x
3,5
+ x
2
+ 10
0
=
2x
3,5
0
+
x
2
0
+ (10)
0
(formel 72)
= 3, 5 · 2x
(3,5−1)
+ 2 · x
(2−1)
+ 0 (formel 78)
= 7x
2,5
+ 2x
Da f
0
(x) = g(x) = 7x
2,5
+ 2x kan det konkluderes, at f er en stamfunktion til g
4