Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2015
1
STX Matematik B
7. december 2015
Delprøven med hjælpemidler
stx153-MAT/B-
Løsning med WordMat ...................................................................................................................................... 2
Løsning med Maple ......................................................................................................................................... 12
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2015
2
Løsning med WordMat
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 7
a)
Data indtastes i WordMats regneark til grupperede observationer, hvorefter frekvenser og kumulerede
frekvenser beregnes:
Fra
Til
Hyp.
Frekvens
Kumuleret
155
160
2
5%
5%
160
165
6
14%
19%
165
170
8
19%
38%
170
175
9
21%
60%
175
180
11
26%
86%
180
185
6
14%
100%
b)
Vi tegner nu en sumkurve vha. WordMat, som samtidig beregner kvartilsættet:
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2015
3
Kvartilsæt
Mindste
155
Nedre
166,6
Median
172,8
Øvre
178
Største
185
Vi kan således konkludere, at kvartilsættet er .
0%
25%
50%
75%
100%
Observationer
Sumkurve
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2015
4
Opgave 8
a)
Da der er tale om en eksponentiel model, anvendes eksponentiel regression i WordMat. Data opskrives i en
tabel:
Antal år efter 2010
0
1
2
3
4
Mobil datatrafik (TB)
6533
11344
19415
30871
50727
Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,9988355
Konstanterne aflæses og defineres:
b)
Funktionen defineres:
I år 2016 er . Vi får nu:
Mængden af mobil datatrafik i Danmark i år 2016 vil ifølge modellen være ca. 143409 TB.
Tallet fortæller os noget om vækstraten . Der gælder, at:
Det vil sige, at mængden af mobil datatrafik I Danmark efter år 2010 vokser med ca. 66,5% om året.
c)
Fordoblingstiden for en eksponentiel funktion af denne type er givet ved:
Det vil sige, at fordoblingstiden for mængden af mobil datatrafik i Danmark er ca. 1,36 år.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2015
5
Opgave 9
a)
WordMats trekantsløser anvendes med input: A = 47°, B = 58°, AB = 73
A = 47°
C = 75°
B = 58°
CB = 55,27217
AB = 73
AC = 64,09137
Vinkel C findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
Længden af siderne CB og AC findes vha. sinusrelationerne
Afstanden fra brønd til brønd er altså ca. 64 meter.
b)
En skitse tegnes automatisk i WordMat ved indtastning af de givne oplysninger.
A
C
B
CB
AB
AC
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2015
6
WordMats trekantsløser anvendes med input: DB = 150, AB = 73, AD = 80
A = 157,2461°
DB = 150
AB = 73
AD = 80
Vinkel A bestemmes vha. cosinusrelationen:
Vinkel er altså cirka .
A
D
B
DB
AB
AD
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2015
7
Opgave 10
a)
Funktionen defineres og grafen tegnes i WordMat i et passende interval.
I år 2009 vil . Vi finder nu:
Det samlede antal smittede i år 2009 er altså ca. 661 ifølge modellen.
b)
Vi løser nu:
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2015
8
Det samlede antal smittede vil altså nå 700, når der er gået 4,95 år siden år 2007. Det vil sige i slutningen af
år 2011.
c)
Tallet beregnes i WordMat:
Vi har således cirka, at
. Det vil sige, at antallet af smittede vokser med pr. år til tidspunktet
(altså i starten af år 2010).
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2015
9
Opgave 11
a)
Vi definerer funktionen:
Vi definerer punktets første koordinat:
En ligning for tangenten til grafen for en funktion i et punkt
er givet ved:
Tangenten til grafen for i punktet kan således beskrives ved ligningen:
b)
For at undersøge monotoniforholdene for f bestemmes først nulpunkter for . Dette gøres ved at løse
ligningen:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi udregner nu fortegnet for f’ på begge sider af nulpunkterne:
0,264
1
+
0
-
0
+
↗
↘
↗
f er voksende intervallerne og
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2015
10
f er aftagende i intervallet
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2015
11
Opgave 12
a)
Funktionen defineres:
Funktionens nulpunkter søges:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Af ovenstående resultat samt tegningen i opgaven ses det, at punktmængden må være afgrænset af
førsteaksen og grafen for i intervallet . Vi definerer og bestemmer arealet:
Arealet af er således 3,8, når
b)
Vi gendefinerer funktionen:
Vi sætter nu
og løser ligningen mht. :
Ligningen løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.
Arealet af er således 40, når:
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2015
12
Løsning med Maple
Alle opgaver er regnet med Maple, da vores erfaring viser, at det er et stærkt værktøj at anvende. Husk at
skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af Maple som første linje til
besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra Maples Gym-pakken egen
formelsamling. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!
(1.1.1)(1.1.1)
Alle beregninger er udført med Maple som CAS-værktøj . Maple bruger "." som decimaladskiller.
Opgave 7
a)
De grupperede observationer defineres, hvorefter frekvenser og kumulerede frekvenser
beregnes:
"frekvenstabel02"
Observation
2
3
4
155 .. 160
2
4.762
4.760
160 .. 165
6
14.290
19.000
165 .. 170
8
19.050
38.100
170 .. 175
9
21.430
59.500
175 .. 180
11
26.190
85.700
180 .. 185
6
14.290
100.000
b)
Vi tegner nu en sumkurve, som samtidig beregner kvartilsættet:
(1.1.1)(1.1.1)
Alle beregninger er udført med Maple som CAS-værktøj . Maple bruger "." som decimaladskiller.
Opgave 7
a)
De grupperede observationer defineres, hvorefter frekvenser og kumulerede frekvenser
beregnes:
"frekvenstabel02"
Observation
2
3
4
155 .. 160
2
4.762
4.760
160 .. 165
6
14.290
19.000
165 .. 170
8
19.050
38.100
170 .. 175
9
21.430
59.500
175 .. 180
11
26.190
85.700
180 .. 185
6
14.290
100.000
b)
Vi tegner nu en sumkurve, som samtidig beregner kvartilsættet:
Vi kan således konkludere, at kvartilsættet er (166,6;172,8;178).
(2.1.4)(2.1.4)
(2.1.3)(2.1.3)
(2.1.1)(2.1.1)
(2.1.2)(2.1.2)
Opgave 8
a)
Tabellens data defineres:
Da der er tale om en eksponentiel model, anvendes eksponentiel regression på dataet:
Konstanterne aflæses og defineres:
1462594
0766366
(2.3.1)(2.3.1)
(2.2.4)(2.2.4)
(2.2.3)(2.2.3)
(2.3.2)(2.3.2)
(2.2.1)(2.2.1)
(2.2.2)(2.2.2)
b)
Funktionen defineres:
I år 2016 er . Vi får nu:
Mængden af mobil datatrafik i Danmark i år 2016 vil ifølge modellen være ca. 143409 TB.
Tallet fortæller os noget om vækstraten . Der gælder, at:
Det vil sige, at mængden af mobil datatrafik I Danmark efter år 2010 vokser med ca. 66,5%
om året.
c)
Fordoblingstiden for en eksponentiel funktion af denne type er givet ved:
Det vil sige, at fordoblingstiden for mængden af mobil datatrafik i Danmark er ca. 1,36 år.
(3.1.1)(3.1.1)
(3.2.1)(3.2.1)
Opgave 9
a)
Vi benytter gympakkens trekantsberegner:
Afstanden fra brønd A til brønd C er altså ca. 64 meter.
b)
En skitse tegnes automatisk i gympakkens trekantsberegnerapp ved indtastning af de givne
oplysninger.
Vinkel A bestemmes:
Vinkel A er altså cirka 157°.
(4.1.1)(4.1.1)
(4.1.2)(4.1.2)
(4.2.1)(4.2.1)
Opgave 10
a)
Funktionen defineres og grafen tegnes i et passende interval.
I år 2009 vil =2. Vi finder nu:
48
Det samlede antal smittede i år 2009 er altså ca. 661 ifølge modellen.
b)
Vi løser nu:
25
(4.3.1)(4.3.1)
Det samlede antal smittede vil altså nå 700, når der er gået 4,95 år siden år 2007. Det vil sige i
slutningen af år 2011.
c)
35
Vi har således cirka, at
tidspunktet t=3 (altså i starten af år 2010).
(5.1.1)(5.1.1)
(5.1.4)(5.1.4)
(5.1.3)(5.1.3)
(5.2.2)(5.2.2)
(5.1.2)(5.1.2)
(5.2.1)(5.2.1)
Opgave 11
a)
Vi definerer funktionen:
Vi definerer punktets første koordinat:
2
En ligning for tangenten til grafen for en funktion i et punkt er givet ved:
Tangenten til grafen for i punktet P kan således beskrives ved ligningen:
b)
For at undersøge monotoniforholdene for bestemmes først nulpunkter for . Dette gøres ved
at løse ligningen:
Vi foretager en funktionsanalyse:
Vi kan dermed konkludere:
(6.2.3)(6.2.3)
(6.1.2)(6.1.2)
(6.2.2)(6.2.2)
(6.1.5)(6.1.5)
(6.1.1)(6.1.1)
(6.1.4)(6.1.4)
(6.2.1)(6.2.1)
(6.1.3)(6.1.3)
Opgave 12
a)
defineres:
Funktionens nulpunkter søges:
Vi ser bort fra løsninger med komplekse tal. Af resultatet samt tegningen i opgaven ses det, at
punktmængden må være afgrænset af førsteaksen og grafen for i intervallet [0,1]. Vi
definerer og bestemmer arealet:
2
Punktmængdens areal er således A=3,8
b)
Vi gendefinerer funktionen:
Vi sætter nu =40 og løser ligningen mht. :
Arealet af er således 40, når