Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2015
1
STX Matematik B
7. december 2015
Delprøven uden hjælpemidler
Stx153-MAT/B-
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Opgave 1
Der er tale om en andengradsligning på den generelle form
.
Da gælder, at:
Det vil sige:
Og
Ligningen har altså løsningen
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2015
2
Opgave 2
En lineær funktion kan beskrives ved den generelle forskrift:
er hældningskoefficienten og kan beregnes vha. koordinatsættene for 2 punkter på grafen som:
Vi bruger nu punkterne og :
Funktionsforskriften bliver nu:
Vi finder nu ved at anvende koordinatsættet for punkt . Vi ser heraf, at
, så:
Den endelige forskrift for bliver da:
.
Opgave 3
a)
Da den samlede vægt stiger med en fast andel for hver klods, man lægger i kassen, kan vi beskrive
sammenhængen med en lineær model på formen:
angiver den samlede vægt i gram af kasse med klodser i
angiver antallet af klodser i kassen
angiver . Det vil sige vægten af kassen uden klodser i
er hældningskoefficienten. Denne kan tolkes som -tilvæksten, når vokser med 1. angiver således
vægten i gram af 1 klods.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2015
3
Vi kan nu skrive:
Opgave 4
Følgende regler gælder om konstanterne i den generelle forskrift for en parabel :
Hvis , vender benene opad
Hvis , vender benene nedad
angiver hældningskoefficienten af tangenten til grafen i skæringspunktet med -aksen. Dvs. i punktet
angiver -værdien i skæringspunktet ml. grafen og -aksen. Dvs.
er defineret som
Hvis har grafen ingen skæringspunkter med -aksen
Hvis har grafen 1 skæringspunkt med -aksen
Hvis har grafen to skæringspunkter med -aksen
Først gennemgås parablen
Da parablen vender benene opad, må der gælde, at
Da tangenten til parablen i punktet er vandret, må der gælde, at
Da
, må der gælde, at
Da parablen ikke skærer med -aksen, må der gælde, at
Nu gennemgås parablen
Da parablen vender benene nedad, må der gælde, at
Da hældningen for tangenten til parablen i punktet er positiv, må der gælde, at
Da
, må der gælde, at
Da parablen har to skæringspunkter med -aksen, må der gælde, at
:
Hvis man ikke kan/ønsker at huske ovenstående regler, kan de også udledes matematisk. Det tager lidt
længere tid, men når man har udledt dem én gang, bliver reglerne nemmere at huske.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2015
4
For alle parabler gælder, at
Reglen om :
For parabler er grænseværdierne ens for og :
sættes udenfor parentes
Heraf ses, at
Hvis
(glad parabel: mundvige opad)
Hvis
(sur parabel: mundvige nedad)
Reglen om :
Reglen om :
Reglen om : Den generelle løsningsmodel finder -værdierne i evt. skæringspunkter med -aksen ( .
Formlen skal huskes udenad:
Hvis
(Ingen reelle løsninger). Altså ingen skæringspunkter med -aksen.
Hvis
. Altså et skæringspunkt (røringspunkt).
Hvis
og
. Altså to skæringspunkter.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2015
5
Opgave 5
Funktionen integreres, hvorved vi får en forskrift for samtlige stamfunktioner til
Koordinatsættet for punktet fortæller os, at
. Dvs.:
Den endelige funktionsforskrift kan nu opskrives:
:
Ubestemt integral
hvor F(x) er stamfunktion til f(x)
Sætte konstant udenfor
Sum/differens kan splittes i to integraler
Funktion Stamfunktion
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2015
6
Opgave 6
Situationen skitseres, og vi inddeler figuren i to mindre stykker:
For at beregne omkredsen mangler vi længden af siden CD
Af tegningen kan vi se, at den kan bestemmes vha. Pythagoras som:
Vi ser nu, at:
Og
Vi får nu:
Omkredsen kan nu beregnes som:
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2015
7
Indhegningens omkreds er .
Arealet kan bestemmes som arealet af trekant CDE plus arealet af rektanglet med hjørnepunkter ABCE.
Indhegningens areal er 56.