Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 13. august 2008
1
STX Matematik B
13. august 2008
STX082-MAB
Delprøven uden hjælpemidler .......................................................................................................................... 2
Delprøven med hjælpemidler ........................................................................................................................... 6
Studiekompasset.dk Matematik B-niveau den 13. august 2008 STX082-MAB
Opgave nr. 1 (uden hjælpemidler)
(a + 2b)
2
− a(a + 4b) =
formel 7
a
2
+ 4b
2
+ 4ab − (a
2
+ 4ab) =
a
2
+ 4b
2
+ 4ab − a
2
− 4ab =
4 · b
2
Opgave nr. 2 (uden hjælpemidler)
Bestemmelse af tallet a
Til beregning af a anvendes formel 67, som man bare er nødt til at kunne huske:
a =
ln
y
2
y
1
ln
x
2
x
1
=
ln
16
2
ln
4
2
=
ln (8)
ln (2)
=
formel 46
z }| {
ln
2
3
ln (2)
=
3 ln (2)
ln (2)
= 3
Bestemmelse af tallet b
Her indsættes den ene oplysning (punkt) i modellen for ligningen sammen med den fundne
værdi for a
f(x) = b · x
a
et kendt punkt og a indsættes
2 = b · 2
3
m
2 = b · 8
m
b =
1
4
Værdierne for a og b er således bestemt til a = 3 og b =
1
4
2
Studiekompasset.dk Matematik B-niveau den 13. august 2008 STX082-MAB
Den pågældende funktion er en potensfunktion, hvor en procentvis tilvækst på x-aksen
medfører en procentvis tilvækst på y-aksen.
Dette forhold kan beskrives som: 1 + r
y
= (1 + r
x
)
a
r
x
og r
y
er vækstraten for henholdsvis x og y (jf. formel 4 )
Opgave nr. 3 (uden hjælpemidler)
Først bestemmes f
0
f
0
(x) =
x
4
+ 5x
0
formel 72
=
x
4
0
+ (5x)
0
formel 78
= 4x
3
+ 5
Dernæst bestemmes to nødvendige værdier: f(1) og f
0
(1)
f(1) = 1
4
+ 5 · 1 = 6
f
0
(1) = 4 · 1
3
+ 5 = 9
Tilsidst bestemmes tangentens ligning med:
y = f
0
(x
0
)(x − x
0
) + f(x
0
)
formel 70
x
0
= 1
værdierne indsættes
y = 9(x − 1) + 6
m
y = 9x − 3
Ligningen for tangenten til grafen for f med røringspunkt i (1, f (1)): y = 9x − 3
Opgave nr. 4 (uden hjælpemidler)
Ligningssystemet skal løses som to ligninger med to ubekendte.
Til dette findes flere metoder, men den mest intuitive er nok indsættelsesmetoden, hvor
3
Studiekompasset.dk Matematik B-niveau den 13. august 2008 STX082-MAB
den ene variabel isoleres i den ene ligning. Det fundne udtryk for den pågældende variabel
indsættes herefter i den anden ligning og der løses for den tilbageblevne variabel.
(
4x + 5y = 13
x − y = 1
m
(
4x + 5y = 13
x = y + 1
m
(
4(y + 1) + 5y = 13
x = y + 1
m
(
4y + 4 + 5y = 13
x = y + 1
m
(
9y = 9
x = y + 1
m
(
y = 1
x = 1 + 1
m
(
x = 2
y = 1
Løsningen til ligningssystemet er således (x, y) = (2, 1)
Opgave nr. 5 (uden hjælpemidler)
Bemærk, at skitsen er påført tre punkter P
1
, P
2
og P
3
i skæringspunkterne
mellem grafen B og x-aksen. Disse punkter er med andre ord B
0
s rødder.
Som de stiplede linjer tydeliggør, så har grafen for A vandret tangent (antydet ved en
kort rød streg) ved netop de x-værdier, hvor grafen for B har skæring med x-aksen.
Altså hvor B = 0
Bemærk at B er negativ mellem −∞ og P
1
. I dette interval er A faldende.
Bemærk at B er positiv mellem P
1
og P
2
. I dette interval er A stigende.
Bemærk at B er negativ mellem P
2
og P
3
. I dette interval er A faldende.
Bemærk at B er positiv mellem P
3
og ∞. I dette interval er A stigende.
4
Studiekompasset.dk Matematik B-niveau den 13. august 2008 STX082-MAB
Når f
0
(x) = 0 betyder det, at f(x) har vandret tangent.
Når f
0
(x) < 0 betyder det, at f(x) er faldende (aftagende).
Når f
0
(x) > 0 betyder det, at f(x) er voksende.
På baggrund af overstående iagttagelser kan det konkluderes, at grafen A er
grafen for f(x) og grafen B derfor er grafen for den afledede funktion f
0
(x).
5
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 13. august 2008
6
Delprøven med hjælpemidler
Alle løsninger er foretaget med CAS-værktøjet WordMat, med mindre andet er angivet.
Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat som første
linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 6
a)
Modellen kan beskrives med en eksponentiel funktion, vi bestemmer derfor tallene P
0
og a med eksponentiel
regression.
Vi opstiller tabel med data og foretager regression.
År
1999
2000
2001
2001
2003
2004
2005
2006
År efter
år 1999
0
1
2
3
4
5
6
7
Solenergi
(MW)
7
11,7
15,6
22,6
32,8
49,4
68,9
116,4
Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,
Tallet P
0
er bestemt til 7,26 (afrundet til 2 decimaler), og tallet a er bestemt til 1,47 (afrundet til 2 decimaler).
b)
Vi definerer forskriften for P
0
.
Vi bestemmer mængden af udvundet solenergi i Spanien i år 2008 ved at bestemme P() = P(9).
Ifølge modellen er mængden af udvundet solenergi i Spanien i år 2008 bestemt til 233,0 MW (afrundet til 1
decimal).
Vi bestemmer årstallet, hvor det forventes at udvundet solenergi i Spanien overstiger 400 MW ved at løse
uligheden P(t) > 400 for t. Da WordMat har problemer med at løse uligheder, der indeholder en eksponent,
løser vi i stedet P(t) = 400 for t.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 13. august 2008
7
𝑃
(
𝑡
)
= 400
⇕ Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
𝑡 = 10,402198
Ifølge modellen overstiger mængden af udvundet solenergi i Spanien 400 MW ca. 10,4 år (afrundet til 1
decimal) efter år 1999 dvs. i år 2009.
𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:
Opgave 7
a)
Modellen kan beskrives vha. en lineær funktion, vi bestemmer derfor tallene a og b med lineær regression.
Vi opstiller tabel med data og foretager regression.
x
y
3
155
10
791
Lineær regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R2 = 1
𝑦 = 90,857143𝑥 − 117,57143
Vi opskriver (og definerer til senere brug) en forskrift for L som funktion af s.
𝐿
(
𝑠
)
≔ 90,857143𝑠 − 117,57143
Vi bestemmer længden af øresten hos en gedde, som er 500 mm lang, ved at løse for s i L(x) = 500.
𝐿
(
𝑠
)
= 500
⇕ Ligningen løses for s vha. CAS-værktøjet WordMat.
𝑠 = 6,7971698
Ifølge modellen er længden af øresten hos en 500 mm lang gedde bestemt til 6,80 mm (afrundet til 2
decimaler).
𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:
Opgave 8
a)
Vi betegner fodpunktet i højden P for Q. Vi bestemmer afstanden mellem skibene |AB| som differensen
mellem linjestykkerne |BQ| og |AQ| dvs.:
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 13. august 2008
8
Afstanden mellem skibene dvs. afstanden fra A til B er bestemt til 129,14 m (afrundet til 2 decimaler).
Opgave 9
a)
Vi definerer en forskrift for f(t) samt definitionsmængden for t.
Vi bestemmer fordoblingstiden for f(t).
Fordoblingstiden er bestemt til 10,55 år (afrundet til 2 decimaler), dvs. ifølge modellen fordobles antallet af
retspsykiatriske patienter under tilsyn for hver 10,55 år i perioden
b)
Modellen er en eksponentiel funktion.
Tallet 297 betegner funktionsværdien i t = 0, dvs. at der i år 1980 var 297 retspsykiatriske patienter under
tilsyn.
Tallet 1,0679 betegner fremskrivningsfaktoren. Med fremskrivningsfaktoren kan vi bestemme vækstraten r.
Ifølge modellen vokser antallet af retspsykiatriske patienter med 6,79 % om året i perioden
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 13. august 2008
9
Opgave 10
a)
Vi aflæser kvartilsættene
Nedre kvartil: 120
Median: 220
Øvre kvartil: 350
Nedre kvartil: 50
Median: 90
Øvre kvartil: 110
Vi sammenligner de to elevers taletid ved at sammenligne kvartilsættene.
For elev A’s vedkommende ligger nedre kvartil lige omkring 120 sekunders taletid, hvilket betyder, at 75% af
elevens mobilsamtaler har en varighed på mere end 120 sekunder. Hvorimod elev B kun har 25% af sine
samtaler til at vare mere end ca. 110 sekunder (da øvre kvartil for elev B ligger lige omkring 110 sekunder).
samtale, idet den største værdi observeret for begge elever, er lige omkring 390 sekunder for B’s
vedkommende og 380 sekunder for A’s vedkommende.
Når der kigges på forskellen på nedre og øvre kvartil for hver af eleverne (længden af boksplottet), fremgår
det tydeligt, at elev A’s samtaler varierer mere i varighed end elev B’s samtaler.
25% af elev B’s samtaler er mindre end den korteste samtale, som elev A har haft. Dette ses ud fra nedre
kvartil for B (aflæst til 50 sek.) og den mindste samtaletid for A (aflæst til 60 sek.) i boksplottet.
Opgave 11
a)
Vi definerer en forskrift for H(t).
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 13. august 2008
10
Vi bestemmer teens temperatur 20 minutter teen er stillet til afkøling ved at bestemme H(20).
Ifølge modellen er teens temperatur, 20 minutter efter teen er blevet stillet til afkøling, bestemt til 43,84 °C
(afrundet til 2 decimaler).
Vi bestemmer, hvor lang tid der går, før at teens temperatur er 60 °C ved at løse for t i H(t) = 60.
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Ifølge modellen går der 10 minutter (afrundet til helt minut) efter teen er stillet til afkøling, før at teen 60 °C.
b)
Vi bestemmer hastigheden, hvormed teens temperatur aftager 2 minutter efter teen er stillet til afkøling,
ved at bestemme H’(2).
Ifølge modellen aftager teens temperatur 2 minutter efter teen er stillet til afkøling med 3,1 °C / min
(afrundet til 1 decimal).
Opgave 12
a)
Vi definerer forskriften for f(x).
Vi løser ligningen f(x) = 0 for x.
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Løsningerne til ligningen f(x) = 0, er bestemt til x = 0 og x = 4.
Vi bestemmer arealet af punktmængden M. Grænserne for punktmængden M svarer til skæringspunkterne
mellem grafen for f og x-aksen i 1.kvadrant.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 13. august 2008
11
Arealet af M er bestemt til 64.
Opgave 13
a)
Vi definerer forskriften for f samt definitionsmængden for x.
Vi bestemmer stamfunktionen F(x) til f(x) ved at integrere f(x).
Vi bestemmer den værdi for k, så grafen for stamfunktionen F(x) netop går igennem punktet P(1, 7), ved at
indsætte punktet P i udtrykket herover og derefter løse for k.
Ligningen løses for k vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi opskriver stamfunktionen, hvis graf netop går igennem punktet P.
Stamfunktionen, hvis graf netop går igennem punktet P, er bestemt til ovenstående udtryk.
Opgave 14
a)
Vi opstiller først et udtryk for b udtrykt ved a. Vi benytter, at omkredsen af området er lig 100.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 13. august 2008
12
Ligningen løses for b vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi har, at arealet af området er givet ved differensen mellem rektanglet med sidelængderne a og b og
rektanglet med sidelængderne 4 og 3.
Vi indsætter udtrykket for b udtrykt ved a i ovenstående udtryk for arealet af området, vi får derved en
forskrift for arealet af området som funktion af a.
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion, Udvid,
Forskriften for arealet af området som funktion af a er bestemt til ovenstående udtryk.
Opgave 15
a)
Vi definerer forskriften for O(x) og a(x).
Vi bestemmer forskrift for F(x). Vi har at F(x) er givet ved:
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion, Udvid,
En forskrift for f(x) er bestemt til ovenstående udtryk.
Vi definerer forskriften for F(x).
Vi bestemmer antallet af enheder, som virksomheden skal producere, ved at optimere F(x). Vi bestemmer
nulpunkter til den afledede funktion F’(x).
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 13. august 2008
13
Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunktet for den afledede funktion.
𝐹
′
(
60000
)
= 52
𝐹
′
(
65000
)
= −52
Vi kan konkludere, at x = 62500 er et maksimum.
Virksomheden skal producere 62500 enheder for at opnå den størst mulige fortjeneste.