Matematik B STX – Skriftlig eksamen – STX092-MABx
1
STX Matematik B
12. august 2009
STX092-MAB
Delprøven uden hjælpemidler .......................................................................................................................... 2
Delprøven med hjælpemidler ........................................................................................................................... 5
Studiekompasset.dk Eksamensopgave 2009 Matematik B - STX
Opgave 1
Vi reducerer
(a + b)(a − b) + b(a + b) − a
2
Formel 9
= (a
2
− b
2
+ b(a + b) − a
2
= a
2
− b
2
+ ab + b
2
− a
2
= ab
Opgave 2
Vi finder toppunktet vha. toppunktsformlen. Denne siger at toppunktet, T, for et anden-
gradspolynomium er givet ved:
T =
−b
2a
,
−d
4a
Vi indsætter og finder:
T =
−4
2 · 2
,
−
16 − 4 · 2 · 1
2 · 4
=
−4
4
,
−16 + 8
8
T = (−1, −1)
Vi har altså at toppunktet for f(x) er i punktet (-1,-1)
Bemærk at grafen ikke skal laves til en evt. eksamen. Den er kun medtaget for over-
skuelighedens skyld.
2
Studiekompasset.dk Eksamensopgave 2009 Matematik B - STX
Opgave 3
Vi integrerer jvf. formel 91
Z
2
1
3x
2
dx
Formel 84
=
1
3
3x
3
2
1
=
h
x
3
i
2
1
= 2
3
− 1
3
= 8 − 1
= 7
Det ønskede integrale
R
2
1
3x
2
dx er altså 7.
Opgave 4
Udviklingen er beskrevet ved den lineære sammenhæng
y = ax + b
, hvor a = −16 og b = 840
a = −16 beskriver udviklingen i antallet af dræbte i trafikken pr år. Da denne stør-
relse er negativ betyder det, at der hvert år efter 1977 dør 16 personer færre.
Tallet b = 840 angiver antallet af dræbte til tiden x = 0 (år 1977). Vi kan altså konkludere,
at der i år 1977 blev dræbt 840 i trafikken.
Nedenfor ses grafen for funktionen, hvorpå b er indtegnet.
3
Studiekompasset.dk Eksamensopgave 2009 Matematik B - STX
Bemærk at grafen ikke skal laves til en evt. eksamen. Den er kun medtaget for over-
skuelighedens skyld.
Opgave 5
Da ∆ABC er retvinklet, finder |AB| ved hjælp af den Pythagoræiske Læresætning (formel
21).
|AB|
2
= 8
2
+ 6
2
m
|AB| =
√
64 + 36
m
|AB| =
√
100 = 10
Da, der at der er tale om ensvinklede trekanter, får vi og i følge formel 19:
8
10
=
|P R|
15
m
|P R| =
120
10
= 12
Vi har altså fundet at |AB| = 10 og |P R| = 12
4
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – STX092-MABx
5
Delprøven med hjælpemidler
Alle løsninger er foretaget med CAS-værktøjet WordMat, med mindre andet er angivet.
Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat som første
linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 6
a)
Vi får ikke direkte at vide i avisartiklen, hvad populationen er, men da det er et amerikansk forskerhold
antager vi at populationen er alle indbyggere i USA, dvs. ca. 0 indbyggere.
Stikprøven er på 2000 mennesker. Vi ved ikke hvordan stikprøven er udvalgt, og vi kan derfor ikke være sikre
på at stikprøven er repræsentativ for populationen.
Det antydes i artiklen, at stikprøven er opdelt i to grupper: En gruppe, der har fået juice mere end tre gange
ugentligt og en gruppe, der har fået juice mindre end en gang om ugen.
Da det hverken fremgår hvordan stikprøven er udvalgt, og hvordan opdelingen i de to undergrupper er
foregået, kan der derfor være begået systematiske fejl i undersøgelsen.
Når man skal undersøge et lægemiddels effekt, testes effekten på en gruppe som får præparatet (i dette
tilfælde juice) op imod effekten på en anden gruppe (kontrolgruppen) som får et placebo (ofte kalkpiller). I
denne undersøgelse, er det dog ikke muligt at skjule for kontrolgruppen, at de ikke får juicen. I denne
undersøgelse kan der derfor være en skjult variabel i form af den såkaldte Hawthorne effekt: Vi har en
tendens til at stramme os an, hvis vi ved, at vi er under observation, og at det forventes af os, at vi skal blive
raske.
Alt i alt må det konkluderes, at påstanden ikke er sandsynliggjort på baggrund af denne avisartikel.
I denne type opgaver forventes det, at man kommenterer på population, stikprøve (størrelse og er den
repræsentativ?), eventuelle systematiske fejl, eventuelle skjulte variable og til slut en vurdering af påstanden.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – STX092-MABx
6
Opgave 7
a)
Modellen kan beskrives med en potens funktion, vi bestemmer derfor tallene a og b med potens regression.
Vi opstiller tabel med data og foretager regression.
I
3,1
4,9
7,8
9,5
M
25
86
340
600
Potens regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R2 = 0,9995502
Tallet a er bestemt til 2,849 (afrundet til 3 decimaler), og tallet b er bestemt til 0,971 (afrundet til 3
decimaler).
b)
Vi definerer en forskrift for M som funktion af l.
Vi bestemmer vægten af 6,3 mm langt bløddyr ved at bestemme M(6,3).
Vægten af et 6,3 mm langt bløddyr er bestemt til 183,86 mg (afrundet til 2 decimaler).
Opgave 8
a)
Udviklingen kan beskrives med en eksponentiel funktion, da populationen vokser med 12 % om året.
f(x) betegner antallet af dyr i populationen til tidspunktet x (målt i år).
x betegner tidspunktet (målt i år).
b betegner funktionsværdien i x = 0, dvs. b er lig 300, da der til at begynde med var 300 dyr i populationen.
a er fremskrivningsfaktoren. Vi kender vækstraten r, og vi kan derved beregne fremskrivningsfaktoren a.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – STX092-MABx
7
Dermed kan vi opskrive udviklingen på formen:
b)
Vi bestemmer fordoblingstiden for N.
Fordoblingstiden er bestemt til 14,21 år (afrundet til 2 decimaler), dvs. for hver 14,21 år fordobles antallet af
dyr i populationen.
Opgave 9
a)
Vi definerer en forskrift for l som funktion af t, hvor 0 ≤ t ≤ 20.
Vi bestemmer fiskens længde, når den er 1 år gammel ved at bestemme l(1).
Ifølge modellen er længden af en 1 år gammel fisk bestemt til 32,02 cm (afrundet til 2 decimaler).
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – STX092-MABx
8
b)
Vi skitserer grafen for l.
Vi bestemmer fisken alder, når fiskens længde er 90 cm, ved at løse for t i l(t) = 90.
𝑙
(
𝑡
)
=90
⇕ Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
𝑡=3,9536375
Ifølge modellen er fiskens alder 3,95 år gammel, når fisken er 90 cm lang.
𝑆𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:
Opgave 10
a)
Vi bestemmer længden af sigtelinjen BA samt vinkel A i trekant ABC med WordMats trekantsløser.
WordMats trekantsløser anvendes med input: C = 90°, BC = 50, AC = 500
A = 5,7105931°
B = 84,289407°
C = 90°
BC = 50
AC = 500
BA = 502,49378
A
B
C
BC
AC
BA
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – STX092-MABx
9
Længden af siden BA findes vha. Pythagoras.
Vinkel A findes vha. tangens.
Længden af sigtelinjen BA er bestemt til 502,49 m (afrundet til 2 decimaler), og størrelsen af vinkel A i trekant
ABC er bestemt til 5,71° (afrundet til 2 decimaler).
b)
Inden vi bestemmer højden AD, bestemmes vinkel A i trekant ABD.
Vi bestemmer højden AD med WordMats trekantsløser.
WordMats trekantsløser anvendes med input: A = 84,289407°, B = 17°, BA = 502,49378
A = 84,289407°
D = 78,710593°
B = 17°
BD = 509,86545
BA = 502,49378
AD = 149,81373
Vinkel D findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
Længden af siden AD findes vha. sinusrelation.
A
D
B
BD
BA
AD
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – STX092-MABx
10
Højden AD af højhuset er bestemt til 149,81 m (afrundet til 2 decimaler).
Opgave 11
a)
Vi definerer forskriften for f(x) samt førstekoordinaten til punktet P(3, f(3)).
Vi bestemmer en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P.
En ligning for tangenten til grafen for f i punktet P er bestemt til ovenstående udtryk.
b)
Vi bestemmer monotoniforhold for f. Først bestemmes nulpunkter til den afledede funktion f’.
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunkterne for den afledede funktion.
f er voksende i intervallet ]-∞; -1] og [11/3; ∞[
f er aftagende i intervallet [-1; 11/3]
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – STX092-MABx
11
Opgave 12
a)
Vi definerer forskriften for f(x).
Vi integrerer f(x) for at bestemme stamfunktionen F(x).
For at bestemme lige netop den stamfunktion, hvis graf går igennem punktet P(2, 6), indsættes punktet P i
udtrykket for stamfunktionen, og der løses for k.
Ligningen løses for k vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi opskriver stamfunktionen hvis graf går igennem punktet P.
Stamfunktionen, hvis graf der går igennem punktet P, er bestemt til ovenstående udtryk.
Til eksamen skal du kun udvælge én af de tre følgende opgaver, 13a og 13b. Her bringes alle løsninger, så
du kan bruge dem til at øve de forskellige opgavetyper.
Opgave 13a
a)
Vi bestemmer et udtryk for områdets areal udtrykt ved x og y. Arealet af trekant BCD beregnes vha. A = ½h
g.
Et udtrykt for områdets arealet udtrykt ved x og y er bestemt til ovenstående.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – STX092-MABx
12
Vi bestemmer et udtryk for områdets omkreds udtrykt ved x og y. Vi beregner siderne af trekant BCD vha.
Pythagoras, vi benytter desuden, at trekanten er ligebenet.
Et udtryk for områdets omkreds udtrykt ved x og y er bestemt til ovenstående.
b)
Vi bestemmer y udtrykt ved x ved at isolere x i udtrykket for arealet af området, når arealet er lig 12.
Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi substituerer udtrykket herover ind i udtrykket for omkredsen af området dvs. vi får.
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion, Udvid,
Et udtryk for omkredsen af området udtrykt ved x er bestemt til ovenstående.
Opgave 13b
a)
Vi definerer forskriften for f samt definitionsmængden for x.
Vi har, at arealet af en trekant generelt er givet ved A = 1/2h g dvs. at arealet af trekanten, hvor 0 < x < 4,
kan beskrives ved:
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – STX092-MABx
13
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion, Udvid,
Arealet af trekanten som funktion af x er bestemt til ovenstående udtryk.
Vi bestemmer arealet af trekanten, når x = 1.
Arealet af trekanten, når x = 1, er bestemt til 3/2.
b)
Vi definerer forskriften for arealet af trekanten.
Vi bestemmer værdien for x, der gør arealet af trekant OPQ størst mulig, ved at optimere A(x). Vi bestemmer
nulpunkter til den afledede funktion A’.
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunktet for den afledede funktion.
Vi kan konkludere, at x = 8/3 er et maksimum. Arealet af trekant OPQ er størst, når x = 8/3.