Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 10. december 2010
1
STX Matematik A
10. december 2010
Delprøven med hjælpemidler
Stx103-MAT/B-
Delprøven uden hjælpemidler .......................................................................................................................... 2
Delprøven med hjælpemidler ........................................................................................................................... 6
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX B stx103-MAT/B-
Delprøven uden hjælpemidler Stx matematik B 10.
december 2010
Alle formelnumre i de nedenstående løsninger henviser til Matematisk formelsamling
stx/hf B, 2007 fra Matematiklærerforeningen.
Bemærk at formelsamlingen ikke må medbringes til selve prøven uden hjælpemid-
ler.
Vi medtager formelnumre i vores løsninger, så du i din opgaveregning præcis kan
se hvilken formel, vi har brugt til at løse opgaven.
Opgave 1 (Løs førstegradsligning)
7x + 2 = 5x + 10
m
7x − 5x = 10 − 2
m
2x = 8
m
x = 4
Opgave 2 (Evaluér andengradsfunktion i punkt)
Funktionsværdien bestemmes ved indsættelse af x = 3:
f(x) = x
2
+ 5x + 1
x = 3 indsættes
f(3) = 3
2
+ 5 · 3 + 1
= 9 + 15 + 1
= 25
Opgave 3 (Opstil lineær model)
En årlig stigning på 18,5 mia. kr. er kendetegnende for en lineær vækst, da tilvæksten pr.
tidsenhed er konstant.
Benævnes det offentlige forbrug i mia. kr. for O og antal år efter 2004 for t kan føl-
gende forskrift for udviklingen i forbruget opstilles, når forbruget i 2004 var på 388 mia.
kr.:
O(t) = 18, 5t + 388
2
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX B stx103-MAT/B-
Opgave 4 (Bestem sidelængder i ensvinklede trekanter)
Da trekant ABC er retvinklet kan vi bestemme længden af siden AB med Pythagoras’
sætning (jf. formel 21).
|AB|
2
= |AC|
2
+ |BC|
2
m Kun positiv løsning da |AB| > 0
|AB| =
p
4
2
+ 3
2
m
|AB| =
√
25
m
|AB| = 5
Da trekanterne er ensvinklede gælder der at forholdet mellem de på hinanden ligedanne
sider er konstant, k (jf. formel 19 i ord). Vi beregner konstanten ved at se på forholdet
mellem længden af linjestykkerne B
1
C
1
og BC.
k =
|B
1
C
1
|
|BC|
=
9
3
= 3
Vi kan nu beregne længden af linjestykket A
1
B
1
.
|A
1
B
1
| = k · |AB| = 3 · 5 = 15
Opgave 5 (Hvilken graf hører til hvilken funktion?)
Der er tale om tre eksponentielle funktioner (jf. formel 54), med grundtal hhv. a
f
= 1, 15,
a
g
= 0, 88 og a
h
= 1, 06.
Da a
f
> a
h
> 1 er begge funktioner voksende, og f vokser hurtigere end g. Derfor hører
grafen A til funktionen f, og grafen B til funktionen h. Da a
g
< 1 er g aftagende, og grafen
C hører dermed til funktionen g.
Opgave 6 (Bestem monotoniforholdene for f (tredjegradsfunktion))
For at kunne bestemme monotoniforholdene for f bestemmes den afledede funktion f
0
først:
f
0
(x) =
x
3
− 4x
2
+ 4x + 5
0
jf. formel 72 og 73
=
x
3
0
−
4x
2
0
+ (4x)
0
+ (5)
0
jf. formel 71 og 78
= 3x
(3−1)
− 2 · 4
(2−1)
+ 4x
(1−1)
+ 0
= 3x
2
− 8x + 4
3
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX B stx103-MAT/B-
Sættes f
0
(x) = 0 kan de x-værdier, hvor grafen for f har muligt ekstrema bestemmes: Vi
skal altså løse andengradsligningen
3x
2
− 8x + 4 = 0
Vi bestemmer først diskriminanten (jf. formel 39)
d = b
2
− 4ac = (−8)
2
− 4 · 3 · 4 = 64 − 48 = 16
Da d > 0 har ligningen to løsninger som er givet ved (jf. formel 39):
x =
−b ±
√
d
2a
m
x =
−(−8) ±
√
16
2 · 3
m
x =
8 ± 4
6
m
x =
12
6
∨ x =
4
6
m
x = 2 ∨
2
3
grafen for f har dermed mulige ekstrema ved x =
2
3
og ved x = 2.
Vi undersøger nu f
0
’s fortegn på hver side af disse x-værdier i følgende punkter
f
0
(0) = 3 · 0
2
− 8 · 0 + 4= 4
f
0
(1) = 3 · 1
2
− 8 · 1 + 4= −1
f
0
(3) = 3 · 3
2
− 8 · 3 + 4= 7
Vi laver en monotonilinje:
x −∞ < x ≤
2
3
x =
2
3
2
3
≤ x ≤ 2 x = 2 2 ≤ x < ∞
f
0
(x) + 0 − 0 +
f(x) % lokalt & lokalt %
maksimum minimum
4
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX B stx103-MAT/B-
Dermed har vi at:
f er voksende i intervallerne ] − ∞,
2
3
] og [2, ∞]
f er aftagende i intervallet [
2
3
, 2]
f har lokalt maksimum for x =
2
3
f har lokalt minimum for x = 2
5
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 10. december 2010
6
Delprøven med hjælpemidler
Alle løsninger er foretaget med CAS-værktøjet WordMat, med mindre andet er angivet.
Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat som første
linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 7
a)
Vi bestemmer siden |AB| med WordMats trekantsløser.
WordMats trekantsløser anvendes med input: A = 33°, C = 72°, AC = 20
A = 33°
B = 75°
C = 72°
BC = 11,277036
AC = 20
AB = 19,692123
Vinkel B findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant:
𝐵 = 180°−𝐴−𝐶
= 180°−33°−72°
= 75°
Længden af siden og AB findes vha. sinusrelation:
𝐵= 𝐶·
sin
(
𝐶
)
sin
(
𝐵
)
= 20·
sin
(
72°
)
sin
(
75°
)
= 19,692123
Siden |AB| er bestemt til 19,69 (afrundet til 2 decimaler).
A
B
C
BC
AC
AB
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 10. december 2010
7
b)
Vi benytter, at medianen fra B halverer siden |AC|, dvs. siden |AM| er lig 10. Vi bestemmer arealet af trekant
ABM med en sinusrelation.
Arealet af trekant ABM er bestemt til 53,63 (afrundet til 2 decimaler).
Opgave 8
a)
Modellen kan beskrives vha. en potens funktion, vi bestemmer derfor tallene a og b med potens regression.
Vi opstiller tabel med data og foretager regression.
Muslings
alder (år)
0,9
2,0
6,0
6,9
9,9
10,7
14,0
15,9
Skallens
længde
(cm)
1,1
2,0
4,1
4,5
5,5
5,9
6,7
7,3
Potens regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,
Tallet a er bestemt til 0,655 (afrundet til 3 decimaler), og tallet b er bestemt til 1,230 (afrundet til 3
decimaler).
b)
Vi opskriver og definerer modellen L(t).
Vi bestemmer længden af en musling, der er 24 år gammel, ved at bestemme L(24).
Ifølge modellen er længden af 24 år gammel musling 9,86 cm (afrundet til 2 decimaler).
c)
Vi bestemmer L’(24).
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 10. december 2010
8
L’(24) er bestemt til 0,270 cm/år (afrundet til 3 decimaler). Tallet fortæller, at når muslingen er 24 år gammel,
så vokser muslingen med 0,270 cm om året.
Opgave 9
a)
Modellen for Kinas andel af verdensøkonomien er givet ved en eksponentiel funktion.
Tallet 3,7 betegner Kinas andel af verdensøkonomien til tiden t = 0 dvs. i år 1999. Ifølge modellen var Kinas
andel af verdensøkonomien i år 1999 bestemt til 3,7 %.
Tallet 1,081 betegner fremskrivningsfaktoren a. Med fremskrivningsfaktoren kan vi beregne vækstraten r.
Ifølge modellen vokser Kinas andel af verdensøkonomien med 8,1 % om året efter år 1999.
b)
Vi bestemmer fordoblingskonstanten.
Fordoblingskonstanten er bestem til 8,90 (afrundet til 2 decimaler), dvs. ifølge modellen fordobles Kinas
andel af verdensøkonomien for hver 8,90 år efter år 1999.
Opgave 10
a)
Modellen kan beskrives vha. en lineær funktion, vi bestemmer derfor en forskrift for f ved lineær regression.
Vi opstiller tabel med data og foretager regression.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 10. december 2010
9
x
y
2,9
19
8,7
76
Lineær regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 1
𝑦 = 9,8275862𝑥− 9,5
Vi opskriver (og definerer til senere brug) forskriften for f.
𝑓
(
𝑥
)
≔ 9,8275862𝑥 − 9,5
En forskrift for f er bestemt til ovenstående udtryk.
b)
Vi bestemmer længden af den isfri periode ved at løse for x i f(x) = 40:
𝑓
(
𝑥
)
= 40
⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
𝑥 = 5,0368421
Ifølge modellen er længden af den isfri periode, når primærproduktionen er 40 gram kulstof pr. kvadratmeter
pr. år, bestemt til 5,04 måneder (afrundet til 2 decimaler).
𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:
Opgave 11
a)
Middelværdien bestemmes med WordMats skabelon for ugrupperede observationer, resultatet kopieres ind
i besvarelsen.
Middeltal
8,6
Middelværdien for antal æg købt af den enkelte kunde, er bestemt til 9 æg (afrundet op til helt æg).
Opgave 12
a)
Vi definerer forskriften for f.
𝑓
(
𝑥
)
≔ 4ln
(
𝑥
)
− 2𝑥 + 8
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 10. december 2010
10
Vi definerer førstekoordinaten til punktet P(1,f(1)).
Vi bestemmer en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P.
En ligning for tangenten til grafen for f i punktet P er bestemt til ovenstående udtryk.
Opgave 13
a)
Vi bestemmer y udtrykt ved x. Vi benytter, at hegnet omkring publikumsområdet skal være 300 m.
Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Et udtryk for y udtrykt ved x er bestemt til ovenstående.
Arealet af publikumsområdet beregnes som differensen mellem hele rektanglet og arealet af scenen.
Vi substituerer y udtrykt ved x ind i udtrykket for arealet af publikumsområdet.
Arealet af publikumsområdet udtrykt ved x er bestemt til ovenstående udtryk.
Opgave 14
a)
Vi definerer forskriften for f(x) og g(x).
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 10. december 2010
11
Vi tegner graferne for f(x) og g(x).
Vi bestemmer intervallet for arealet M i 1.kvadrant, som skæringspunktet mellem f og g i 1.kvadrant.
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Da x = -3 ikke ligger i 1.kvadrant, er arealet af M afgrænset i intervallet [0; 3].
Vi kontrollere, hvorvidt f < g eller omvendt i intervallet [0; 3].
Vi bestemmer arealet af M som differensen mellem arealet under grafen for g i intervallet [0; 3] og arealet
under for f i intervallet [0; 3].
Arealet af punktmængden M er bestemt til 6,75.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 10. december 2010
12
b)
Med grafen i opgave a) indser vi, at en vandret linje y = b der tangerer ekstrema til grafen for f, netop vil have
to skæringspunkter med grafen for f.
Vi bestemmer førstekoordinaten for ekstrema til grafen for f.
𝑓
′
(
𝑥
)
= 0
⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
𝑥 = −2 ∨ 𝑥 = 2
Vi bestemmer anden koordinaten for ekstrema.
𝑓
(
−2
)
=
34
3
𝑓
(
2
)
=
2
3
De to værdier af b, hvor den vandrette linje y = b har to skæringspunkter med grafen for f, er bestemt til b =
34/3 og b = 2/3.
𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: