stx113-MAT/B-
1
Alle formlerne i de nedenstående besvarelser henviser til Matematisk formelsamling stx/hf B fra 2007.
Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig
tekst. Grunden til, at her medtages formelnumre i løsningerne, er så læseren præcist kan se hvilken
formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det
hurtigste værktøj at anvende.
Når vi bruger funktionen ”Beregn” erstatter vi dog med , da det i de tilfælde hvor resultatet
beregnes eksakt er forkert at bruge notationen.
Opgave 7
a)
For at bestemme forskriften for den lineære funktion
foretages der en lineær regression på
de to punkter:
x
3
8
y
12
27
Lineær regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 1
Forskriften for den lineære funktion er altså
b)
Tallet
bestemmes ved at indsætte i ovenstående forskrift
Ligningen
løses
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Der gælder altså at
og at ligningen
har løsningen
stx113-MAT/B-
2
Opgave 8
a)
Kvartilsættet for længdefordelingen i juni måned bestemmes ved at aflæse værdierne på førsteaksen for de
tre lodrette streger i boksen for juni.
Nedre kvartil: 171
Median: 199
Øvre kvartil: 211
Da venstre gren af boksplottet for september ligger til højre for boksplottet for juni, gælder der altså at den
mindste fisk i september er længere end fald 75 % af fiskene i juni. Det ses også at medianen af længderne i
september er større end den længste fisk i juni.
De to boksplot viser tydeligt at længderne varierer mindre i september, samt at længderne i september
generelt er betydeligt længere end i juni.
stx113-MAT/B-
3
Opgave 9
a)
Da der er tale om en potensmodel (formel 66) foretages der en potentiel regression på data:
t (min)
5
10
15
20
25
30
35
40
45
d (cm)
0,6
0,9
1,2
1,4
1,6
1,7
1,9
2,1
2,2
Potens regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,9977946
Vi kan dermed aflæse at og begge afrundet til tre decimaler.
Før der kan laves en potentiel regression ved hjælp af WordMat, skal data indtastes i en tabel. Husk at
dobbeltchekke, at du har indtastet rigtigt. Husk at markere hele tabellen inden du laver regressionen
med WordMat (da den regner fejl, hvis du kun markerer felter med tal i).
b)
Da skålen er 3 cm høj, vil vandet begynde at løbe ud over kanten når en vanddybde på 3 cm nås.
Tidspunktet bestemmes ved at løse ligningen
.
Vi definerer funktionen:
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vandet vil således løbe ud over kanten efter 74,45 minutter afrundet til to decimaler, altså efter knap en
time og et kvarter.
stx113-MAT/B-
4
Opgave 10
a)
WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 37° , AC = 14 , AB = 7
A = 37°
B = 116,3917°
C = 26,60825°
BC = 9,405713
AC = 14
AB = 7
Længden af siden BC findes vha. en cosinusrelation
Vinkel B findes vha. en cosinusrelation
Vinkel C findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
Dermed har vi at
afrundet til en decimal.
b)
Fra ovenstående har vi, at vinkel C = 26,6° afrundet til en decimal.
Da AD er vinkelhalveringslinje for vinkel A, ved vi at vinkel A i trekant ACD er
Da vinkelsummen i en trekant er 180 ° kan vi nu bestemme vinkel D, da vi kender de to øvrige vinkler i
trekanten ACD:
Ligningen løses for D vha. CAS-værktøjet WordMat.
37°
116°
26,6°
9,41
14
7
stx113-MAT/B-
5
Dermed er vinkel D = 134,9° afrundet til en decimal.
c)
WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 18,5° , D = 134,8918° , AC = 14
A = 18,5°
D = 134,8918°
C = 26,6082°
DC = 6,270481
AC = 14
AD = 8,851012
Vinkel C findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
Længden af siderne DC og AD findes vha. sinusrelationerne
Vi har dermed at
afrundet til en decimal.
18,5°
135°
26,6°
6,27
14
8,85
stx113-MAT/B-
6
Opgave 11
a)
En ligning for tangenten til grafen for f i punktet
er givet ved (formel 70):
Vi definerer nu f i WordMat
En ligning kan nu findes
En ligning for tangenten til grafen for f i P er dermed
Dette er et eksempel på en opgave, der løses lettere med TI-nspire ved kommandoen
tangetLine(f(x),x,1).
b)
For at bestemme monotoniforholdene for f bestemmer vi først evt. nulpunkter for f’:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi udregner nu fortegnet af f’ på begge sider af dette nulpunkt
Da f′ er negativ til venstre og positiv til højre for , er der tale om et minimum.
Monotoniforholdene for f er dermed:
f er aftagende i intervallet
f er voksende i intervallet .
stx113-MAT/B-
7
Opgave 12
a)
f defineres i WordMat
Arealet af punktmængden er (jf. formel 96) givet ved
Arealet af punktmængden M er beregnet til 72.
b)
For at bestemme integrationsgrænserne bestemmes først skæringerne mellem graferne for og .
Dette gøres ved at løse ligningen:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Arealet af punktmængden N er (jf. formel 97) givet ved:
Arealet af punktmængden er 9.
Husk at sætte parenteser omkring (f(x)-g(x))
stx113-MAT/B-
8
Opgave 13
a)
Overfladearealet fås ved at summere overfladen af burets fire sider.
Her bruges WordMat funktionen ”Omskriv”.
Rumfanget fås ved at multiplicere længde, højde og bredde.
b)
O defineres:
udtrykkes ved ved at løse ligningssystemet:
Følgende variable elimineres fra ligningssystemet: h vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Eliminer variabel' funktion,
Udtrykket reduceres vha. CAS-værktøjet WordMat.
WordMat tip: Eliminer variabel funktionen findes under «løs ligninger» menuen.
TI-nSpire tip:
Ligningssystemet kan løses lettere på TI-nSpire med kommandoen, hvor o er defineret.
solve(system(o=80,v=x*h*6*x),v,h)
Vi definerer V
For at bestemme hvornår rumfanget V er størst muligt findes nulpunkter for V’
stx113-MAT/B-
9
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Da forkastes løsningen
Vi undersøger nu om nulpunktet er et maksimum ved at beregne fortegnet for V’ på hver sider af
nulpunktet.
Da V’ er positiv til venstre for og negativ til højre for nulpunktet er der tale om et maksimum.
For en kasse med et overfladeareal på 80 m
2
er rumfanget V af kassen dermed størst muligt ved at kassens
dybde er x = 2,11 m.