Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 1. juni 2011
1
STX Matematik B
1. juni 2010
2stx101-Mat/B-
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne,
er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
STX 2.g
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Delprøven uden hjælpemidler .......................................................................................................................... 2
Delprøven med hjælpemidler ........................................................................................................................... 6
Studiekompasset.dk Matematik B den 1. juni 2010 2stx101-Mat/B-
Opgave nr. 1 (uden hjælpemidler).
(a) Løs ligningen
3(2x + 1) = 4x + 9
m
6x + 3 = 4x + 9
m
6x − 4x = 9 − 3
m
2x = 6
m
x = 3
Løsning til ligningen er således: x = 3
Opgave nr. 2 (uden hjælpemidler).
En funktion f har forskriften
f(x) = 7x + b
hvor b er et tal. Punktet P (3, 31) ligger på grafen for f.
(a) Bestem tallet b.
—— Besvarelse af opgaven ——
(a) Bestemmelse af b foretages ved at indsætte punktet P ’s koordinater i den givne for-
skrift for f og løse for b.
f(x) = 7x + b
b indsættes
31 = 7 · 3 + b
m
b = 10
Konstanten b er således bestemt til: b = 10
Opgave nr. 3 (uden hjælpemidler).
På figuren ses to ensvinklede trekanter ABC og DEF .
Nogle af sidelængderne er angivet på figuren.
2
Studiekompasset.dk Matematik B den 1. juni 2010 2stx101-Mat/B-
(a) Bestem |DE|
—— Besvarelse af opgaven ——
(a) For ensvinklede (ligedannede) trekanter gælder, at hvis man opstiller et forhold mel-
lem to sider fx i den ene trekant, så vil det samme forhold være gældende mellem de
ensliggende sider i den anden trekant (jf. formel 19).
Der opstilles derfor følgende forhold:
|DE|
|DF |
=
|AB|
|AC|
m
|DE| =
|AB|·|DF |
|AC|
m kendte værdier indsættes
|DE| =
3 · 20
5
m
|DE| =
60
5
m
|DE| = 12
Længden af siden DE i trekant DEF er således bestemt til: |DE| = 12
Opgave nr. 4 (uden hjælpemidler).
Prisen på vareudbringning med et transportfirma er givet ved
f(x) = 15x + 75
hvor f(x) er prisen (angivet i kr.) for at transportere varer x km.
3
Studiekompasset.dk Matematik B den 1. juni 2010 2stx101-Mat/B-
(a) Bestem prisen for at transportere varer 10 km. Beskriv, hvad konstanterne 15 og 75
fortæller om prisen på vareudbringningen.
—— Besvarelse af opgaven ——
(a) Prisen, for at få varer transporteret 10 km af det pågældende transportfirma, beregnes
ved at indsætte x = 10 i forskriften for f .
f(x) = 15x + 75
x = 10 indsættes
f(10) = 15 · 10 + 75
m
f(10) = 225
Prisen for at få varer transporteret 10 km er således beregnet til 225 kr.
Konstanten 75 betyder, at transportfirmaet opkræver et startgebyr på 75 kr.
Startgebyret er uafhængig af transportafstanden.
Konstanten 15 (vækstfaktoren) er en enhedspris på 15 kr. pr. kørt kilometer.
Opgave nr. 5 (uden hjælpemidler).
På figuren ses en skitse af grafen for en eksponentielt
voksende funktion f (x) = b · a
x
Grafen går gennem punkterne P (1, 6) og Q(3, 24).
(a) Bestem tallene a og b.
—— Besvarelse af opgaven ——
(a) Fremskrivningsfaktoren a skal bestemmes med en af de formler, man bare skal kunne
huske til den skriftlige eksamens første del uden hjælpemidler:
a =
(x
2
−x
1
)
r
y
2
y
1
formel 57
P og Q indsættes
a =
(3−1)
r
24
6
m
a =
2
√
4
m
a = 2
4
Studiekompasset.dk Matematik B den 1. juni 2010 2stx101-Mat/B-
b bestemmes ved at indsætte a samt det ene punkt (fx P ) i ligningen og løse for b.
f(x) = b · a
x
a og P indsættes
6 = b · 2
1
m
b = 3
Det er ikke en del af opgaven, men forskriften kan eventuelt opstilles som:
f(x) = 3 · 2
x
5
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 1. juni 2011
6
Delprøven med hjælpemidler
Alle løsninger er foretaget med CAS-værktøjet WordMat, med mindre andet er angivet.
Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat som første
linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 7
a)
Vi definerer forskriften for f og g.
Vi bestemmer f(8).
Funktionsværdien f(8) er bestemt til 24.
b)
Vi bestemmer parablens toppunkt vha. formlen herunder.
Og.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 1. juni 2011
7
Koordinatsættet til parablens toppunkt er bestemt til T(7/2, 15/4).
c)
Vi løser ligningen f(x) = g(x) for x.
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Ligningen f(x) = g(x) har løsningerne x = 3 og x = 5.
Opgave 8
a)
Modellen kan beskrives med en eksponentiel funktion, vi bestemmer derfor tallene a og b med eksponentiel
regression.
Vi opstiller tabel med data og foretager regression.
Løbedistance (km)
5
10
15
20
Løberens tid på
distancen
(sekunder)
1024
2136
3282
4453
Potens regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,
Tallet a er bestemt til 1,060 (afrundet til 3 decimaler), og tallet b er bestemt til 185,90 (afrundet til 2
decimaler).
b)
Vi definerer en forskrift for f(x).
Vi bestemmer kondiløberens tid på en maraton dvs. 42,195 km ved at bestemme f(42,195).
Ifølge modellen er kondiløberens tid på en maraton 9826,9 s (afrundet til 1 decimaler).
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 1. juni 2011
8
Opgave 9
a)
Vi bestemmer vinkel A med WordMats trekantsløser. Vi bestemmer vinkel A i den retvinklede trekant som
A og B udgør sammen med højden h
b
.
WordMats trekantsløser anvendes med input: C = 90°, hj = 5, c = 7
A = 45,584691°
B = 44,415309°
C = 90°
hj = 5
b = 4,8989795
c = 7
Vinkel A findes vha. sinus
Vinkel A er bestemt til 45,58° (afrundet til 2 decimaler).
b)
Vi bestemmer siden |AC| med en sinusrelation. Vi løser for siden |AC| i nedenstående ligning.
Ligningen løses for AC vha. CAS-værktøjet WordMat.
A
B
H
hj
b
h
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 1. juni 2011
9
AC = -10 er ikke en løsning til opgaven, da vi ikke arbejder med negative længder.
Siden AC er bestemt til 10.
c)
Inden vi bestemmer omkredsen af trekant ABC, bestemmer vi længden af siden |BC| vha. en cosinusrelation.
Ligningen løses for BC vha. CAS-værktøjet WordMat.
BC = -7,1428572 er ikke en løsning til opgave, da vi ikke arbejde med negative længder.
Omkredsen af trekanten ABC er givet ved:
Omkredsen af trekant ABC er bestemt til 24,14 (afrundet til 2 decimaler).
Opgave 10
a)
Vi tegner et boksplot med WordMats skabelon for boksplot, resultatet kopieres ind i besvarelsen.
Boksplot:
100 110
Længde (cm)
Fordeling: Længden af ål
Plot 1
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 1. juni 2011
10
Opgave 11
a)
Vi definerer forskriften for f(x).
Vi bestemmer arealet af punktmængden M ved:
Arealet af punktmængden M er bestemt til 16/3.
Opgave 12
a)
Vi definerer forskriften for N(t).
Vi tegner grafen for N(t) i intervallet .
Vi bestemmer antallet af influenzaramte 5 døgn efter epidemiens udbrud ved at bestemme N(5).
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 1. juni 2011
11
Ifølge modellen er antallet af inlfuenzaramte 5 døgn efter epidemiens udbrud bestemt til 88 (afrundet op til
hel person).
b)
Vi bestemmer N’(11).
Tallet N’(12) = 63 (afrundet helt tal) betyder, at til tiden 12 døgn efter epidemiens udbrud vokser antallet af
influenzaramte med 63.
Opgave 13
a)
Vi har, at kassens overfladeareal (uden indmad) er givet ved:
Et udtryk for kassens overfladeareal udtrykt ved h og x er bestemt til ovenstående udtryk.
b)
Vi benytter, at kassens volumen er 10. Vi har, at kassens volumen er givet ved:
Ligningen løses for h vha. CAS-værktøjet WordMat.
Et udtryk for h udtrykt ved x er bestemt til ovenstående udtryk, hvor .
Vi indsætter udtrykket for h udtrykt ved x i udtrykket for kassens overfladeareal, vi får derved et udtryk for
kassens overfaldeareal som funktion af x. Vi definerer udtrykket til senere brug.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 1. juni 2011
12
Vi bestemmer værdien for x, hvor , der giver det mindste overfladeareal, ved at optimere O
A
(x).
Vi bestemmer nulpunkter til den afledede funktion O
A
’(x).
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunktet for den afledede funktion.
Vi kan konkludere, at nulpunktet er et minimum.
Værdien for x, der giver det mindste overfladeareal, er bestemt til 2,37 (afrundet til 2 decimaler).