Studiekompasset.dkKlasse: STX 3.g · Fag: Matematik B
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 11. maj 2009
1
STX Matematik B
11. maj 2009
STX091-MAB
Delprøven uden hjælpemidler .......................................................................................................................... 2
Delprøven med hjælpemidler ........................................................................................................................... 6
Studiekompasset.dk Eksamensopgave 2009 Matematik B - STX
Opgave 1
Vi differentierer:
f
0
(x) =
2x
3
+ 4x
2
0
formel 78
= (2x
3
)
0
+ (4x
2
)
0
formel 72
= 6x
2
+ 8x
Vi finder altså at:
f
0
(x) = 6x
2
+ 8x
Opgave 2
Vi søger linjens ligning, og denne er, jvf. formel 32, givet ved:
y = a(x − x
1
) + y
1
Da vi ved at linjen går igennem de to punkter (3,1) og (7,9) kan hældningen jvf. 30
bestemmes til
a =
9 − 1
7 − 3
=
8
4
= 2
Når vi kender hældningen og et punkt på grafen kan vi, kan vi blot indsætte i ovenstående,
formel 32.
y = 2(x − 3) + 1
m
y = 2x − 5
2
Studiekompasset.dk Eksamensopgave 2009 Matematik B - STX
Opgave 3
Om stamfunktionen, F(x), til f(x) gælder jvf. formel 87:
F (x) =
Z
f(x)dx + k
⇓ Jvf formel 84 finder vi at:
=
Z
(6x
2
)dx + k
= 6
1
3
x
3
+ k
F (x) = 2x
3
+ k
Vi ved at F (1) = 10. Dette punkt indsættes i stamfunktionen, F (x), og k isoleres.
2 · 1
3
+ k = 10
m
2 + k = 10
m
k = 8
Vi får da at den bestemte stamfunktion, F (x), til f (x) der går igennem punktet (1, 10) er
givet ved:
F (x) = 2x
3
+ 8
Denne slags opgaver viser sig tit i eksamenssæt. Hvad man overordnet gør er at starte
med at integrere den givne funktion. Når man har fundet stamfunktionen til den
givne funktion, indsætter man det angivne punkt, for at kunne finde præcis den
stamfunktion der går igennem det punkt. Visuelt kan man forestille sig at man ved at
finde stamfunktionen finder grafens udformning, og ved at indsætte punktet, placerer
man grafen på det rigtige sted.
Opgave 4
Vi ser at der er tale om ensvinklede trekanter. Jvf. formel 19 ved vi at forholdet imellem
siderne er en konstant, og derfor gælder:
3
Studiekompasset.dk Eksamensopgave 2009 Matematik B - STX
|DF |
14
=
27
18
|DF |
14
=
3
2
m
|DF | =
42
2
= 21
Opgave 5
I denne type opgave, gælder det om at kunne huske hvad de forskellige faktorer rede-
gør for i den grafiske fremstilling af andengradspolynomiet.
Vi kan her skrive op hvad de tre forskellige faktorer redegør for, og under hver rede-
gørelse finder vi ud af hvordan fortegnet er for den pågældende faktor i hver af de to
parabler.
a
a redegør for hvilken vej grenene vender i parablen. Er a positiv vender grenene opad, og
er den negativ, vender grenene nedad.
Dette kan man let finde ud af ved, i hovedet, at lave sin egen miniparabel for hver af
funktionerne
f(x) = x
2
g(x) = −x
2
.
OBS! Dette er ikke noget bevis, for at det forholder sig sådan, men blot en måde
man kan huske om, opadvendende grene betyder negativ a eller positiv a.
Dermed gælder der at P, a > 0 og Q, a < 0
c
c angiver skæringen med y-aksen
Hvis man sætter x = 0 i en funktion af typen f (x) = ax
2
+ bx + c, får vi f (x) = c.
Dette fortæller os altså at c redegører for skæring med y-aksen (da skæringen med
y-aksen fremkommer ved x = 0).
Dermed gælder der at P, c > 0 og Q, c < 0
d
Vi kender størrelsen d, diskriminaten, fra vores løsning af andengradsligninger Diskrimi-
nanten, d, angiver for antallet af skæringer med x-aksen. Der gælder at:
4
Studiekompasset.dk Eksamensopgave 2009 Matematik B - STX
d > 0 ⇔ to skæringer med x-aksen
d = 0 ⇔ én skæring med x-aksen
d < 0 ⇔ ingen skæringer med x-aksen
Pilen vender begge veje, og det betyder at vi både kan konkludere fra grafen til
funktionen og fra funktionen til grafen. For at løse denne opgave, gør vi brug af at
pilen vender imod venstre.
Vi kan udefra denne redegørelse konkludere at følgende må gælde om de to parabler
P, d < 0 og Q, d > 0
5
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 11. maj 2009
6
Delprøven med hjælpemidler
Alle løsninger er foretaget med CAS-værktøjet WordMat, med mindre andet er angivet.
Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat som første
linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 6
a)
Modellen kan beskrives med en eksponentiel funktion, vi bestemmer derfor tallene a og b med eksponentiel
regression.
Vi opstiller tabel med data og foretager regression.
x
y
2
12
4
96
Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 1

Tallet a er bestemt til 2,828 (afrundet til 3 decimaler), og tallet b er bestemt til 1,5 (ikke afrundet).
Opgave 7
a)
Modellen kan beskrives med en eksponentiel funktion, da udviklingen sker med 7,1 % om året.
󰇛
󰇜
f(x) betegner antallet af diabetikere i Danmark til året x år efter år 1996.
x betegner antal år efter år 1996.
b betegner funktionsværdien i x = 0, dvs. b er lig 113570, da der i år 1996 var 113570 diabetikere i Danmark.
a betegner fremskrivningsfaktoren. Med vækstraten r kan vi beregne fremskrivningsfaktoren a.

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 11. maj 2009
7

Vi opskriver en forskrift for f(x).
󰇛
󰇜

En model for udviklingen i antal diabetikere i Danmark i perioden efter år 1996 er bestemt til ovenstående
udtryk.
b)
Vi bestemmer fordoblingstiden for antallet af diabetikere i Danmark.

󰇛
󰇜

󰇛
󰇜

󰇛
󰇜

󰇛

󰇜

Fordoblingstiden er bestemt til 10,11 år (afrundet til 2 decimaler), dvs. at antallet af diabetikere i Danmark
fordobles for hvert 10,11 år.
Opgave 8
a)
Udviklingen kan beskrives med en lineær funktion, vi bestemmer derfor tallene a og b med lineær regression.
Vi opstiller tabel med data og foretager regression.
År
1981
1984
1988
1999
2002
2007
År efter
år 1981
0
3
7
18
21
26
Tid
7698
7685
7610
7542
7538
7466
Lineær regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,9516268

Tallet a er bestemt til -8,818 (afrundet til 3 decimaler), og tallet b er bestemt til 7688,573 (afrundet til 3
decimaler).
b)
Tallet a betegner hældningskoefficienten til grafen for W(t), dvs. at for hvert år efter år 1981 falder tiden for
verdensrekorderne i maratonløb med 8,818 s (afrundet til 3 decimaler) om året.
Vi definerer en forskrift for W(t).
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 11. maj 2009
8
󰇛
󰇜
 
Vi bestemmer året, hvor det kan forventes at maratonløb løbes på under 7200 s, ved at løse uligheden W(t)
> 7200 for x.
󰇛
󰇜

Uligheden løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.

Ifølge modellen forventes det, at maratonløb kan løbes på under 7200 s ca. 59,7 år (afrundet til 1 decimal)
efter år 1981 dvs. i år 2040.

Opgave 9
a)
Vi bestemmer længden af siden |BC| og størrelsen af vinkel B med WordMats trekantsløser.
WordMats trekantsløser anvendes med input: A = 114°, AC = 7, AB = 5
A = 114°
B = 39,177339°
C = 26,822661°
BC = 10,122824
AC = 7
AB = 5
Længden af siden BC findes vha. en cosinusrelation



   
󰇛
󰇜
 
󰇛

󰇜

Vinkel B findes vha. en cosinusrelation


󰇧



 
󰇨


󰇧


󰇨

Længden af siden |BC| er bestemt til 10,12 (afrundet til 2 decimaler), og størrelsen af vinkel B er bestemt
til 39,18° (afrundet til 2 decimaler).
A
B
C
BC
AC
AB
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 11. maj 2009
9
b)
Vi bestemmer først vinkel A i den retvinklede trekant som hjørnerne A og B udgør med højden h
b
.


 

 

Højden h
b
bestemmes som modstående katete til vinkel A i den retvinklede trekant som hjørnerne A og B
udgør sammen med højden h
b
.

󰇛
󰇜


󰇛

󰇜

Højden h
b
er bestemt til 4,57 (afrundet til 2 decimaler).
Vi bestemmer arealet af trekanten ved:


Arealet af trekanten er bestemt til 16 (afrundet til helt tal).
Opgave 10
a)
Vi definerer forskriften for f(x), hvor x > 0.
󰇛
󰇜

 

Vi bestemmer tidspunktet, hvor befolkningstallet i Gedser var størst ved at optimere f(x). Vi bestemmer
nulpunkter til den afledede funktion f’(x).
󰆒
󰇛
󰇜
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunktet.
󰆒
󰇛

󰇜

󰆒
󰇛

󰇜

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 11. maj 2009
10
Vi kan konkludere, at x = 57,621951 er et maksimum.
Vi bestemmer befolkningstallet til x = 57,621951 ved at bestemme f(57,621951):
𝑓
(
57,621951
)
≈1254,5274
Da befolkningstallet i Gedser var størst, var befolkningstallet 1255 (afrundet op til hel person).
Vi bestemmer tidspunktet, hvor det forventes at befolkningstallet i Gedser bliver 200 ved at løse for x i f(x) =
200, hvor x > 0.
𝑓
(
𝑥
)
=200
⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
𝑥=137,80951
Ifølge modellen vil befolkningstallet i Gedser blive 200 ca. 137,81 (afrundet til 2 decimaler) år efter år 1900
dvs. i år 2037.
𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:
Opgave 11
a)
Vi bestemmer de kumulerede frekvenser og tegner sumkurven med WordMats skabelon for grupperede
observationer, resultatet kopieres ind i besvarelsen.
Kumulerede frekvenser:
Grupperede observationer
Interval
531
Fra
Til
Hyp.
Frekvens
Kumuleret
5
10
74
14%
14%
10
15
119
22%
36%
15
20
127
24%
60%
20
25
129
24%
85%
25
30
32
6%
91%
30
35
50
9%
100%
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 11. maj 2009
11
Sumkurve:
b)
Vi bestemmer kvartilsættet for tabellens data samt procentdelen, der ryger mere end 21 cigaretter om dagen,
med WordMats skabelon for grupperede observationer, resultatet kopieres ind i besvarelsen.
Kvartilsæt:
Deskriptorer
Kvartilsæt
Mindste
5
Nedre
12,47
Median
17,85
Øvre
23,03
Største
35
Antallet af personer der ryger under 21 cigaretter om dagen er bestemt til 65 %.
Observation Fraktil
21
65%
Dvs. andelen af personer, der ryger mindst 21 cigaretter om dagen er givet ved:
%21𝑐𝑖𝑔=100%−65%
=35%
Andelen af personer, der ryger mindst 21 cigaretter om dagen er bestemt til 35 %.
0%
25%
50%
75%
100%
5 30 35 40
Kum. Frek.
Antal cigaretter pr. dag
Sumkurve: Fordeling antal cigaretter pr. dag
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 11. maj 2009
12
Opgave 12
a)
Vi definerer en forskrift for M(t).
󰇛
󰇜
 
 

Vi bestemmer m’(18).
󰆒
󰇛

󰇜

Tallet M’(18) = 1920788,9 fortæller, at til tiden 18 timer vokser antallet af bakterier i den inficerede person
med 1920789 bakterier i timen (afrundet til hel bakterie).

Opgave 13
a)
Vi definerer den afledede funktion f’ som d(x), da WordMat ikke kan definere forskrifter med notationen fx
f’.
󰇛
󰇜


Vi bestemmer monotoniforhold for f. Først bestemmer vi nulpunkter til den afledede funktion f’ (dvs. d(x)).
󰇛
󰇜
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
 
Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunkterne for den afledede funktion.
󰇛

󰇜

󰇛

󰇜

󰇛
󰇜
f er voksende i intervallet ]-∞; -2] og [1; ∞[
f er aftagende i intervallet [-2; 1]

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 11. maj 2009
13
Til eksamen skal du kun udvælge én af de tre følgende opgaver, 14a og 14b. Her bringes alle løsninger, så
du kan bruge dem til at øve de forskellige opgavetyper.
Opgave 14a
a)
Vi skitserer for område for M, når k = 10.
󰇛
󰇜
󰇛

󰇜
Grafen tegnes i GnuPlot og området M markeres i Paint, resultatet kopieres derefter tilbage i besvarelsen.
Vi bestemmer grænser for arealet M, ved at bestemme skæringspunkterne mellem x-aksen og grafen for f i
1.kvadrant, når k = 10.
󰇛

󰇜
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
 
Vi bestemmer arealet af området M.
󰇛

󰇜



Arealet af området M, når k = 100 er bestemt til 500/3.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 11. maj 2009
14
b)
Vi bestemmer værdien for k, så arealet af M er lig 100, ved at benytte samme udtryk som i opg a), hvor k i
dette tilfælde betegner den øvre grænse for integralet, dvs. vi løser ligningen her under for k:


󰇛
󰇜

Ligningen løses for k vha. CAS-værktøjet WordMat.

Værdien for k, så arealet af M er lig 100, er bestemt til 8,43 (afrundet til 2 decimaler).
Opgave 14b
a)
Siden |AP| kan beskrives som hypotenusen i en retvinklet trekant, hvor den modstående katetete til punktet
A betegner x.


Siden |PB| kan også beskrives som hypotenusen i en retvinklet trekant, hvor den modstående katetete til
punktet B svarer til differensen mellem linjestykket på 46 km og x.

󰇛

󰇜

b)
Prisen for linjestykket |AP| er 50 mio. kr. pr. km, og prisen for stykket |PB| er 60 mio. kr. pr. km. Vi har at
det samlede stykke af vejen er summen af de to linjestykker |AP| og |PB|, dvs. at prisen for vejen udtrykt
ved x er givet ved:
󰇛
󰇜







󰇛

󰇜

Et udtryk for prisen af vejen udtrykt ved x er bestemt til ovenstående udtryk.
Vi bestemmer den værdi af x, der gør vejen billigst ved at optimere P(x).
Vi definerer P(x) og definitionsmængden for x.
󰇛
󰇜



󰇛

󰇜

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 11. maj 2009
15
𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 0≤𝑥≤46
Vi bestemmer nulpunkter til den afledede funktion P’.
𝑃
′
(
𝑥
)
=0
⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
𝑥=28,03025
Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunktet.
𝑃
′
(
20
)
≈−14,77165
𝑃
′
(
30
)
≈3,82359
Vi kan konkludere at nulpunktet er et minimum.
Den værdi af x, der gør vejen billigst mulig, er bestemt til 28,0 km (afrundet til 1 decimal).