2stx111-MAT/B-
1
Vejledende besvarelse
STX Matematik B – 24. maj 2011
Alle formlerne i de nedenstående besvarelser henviser til Matematisk formelsamling stx/hf B fra 2007.
Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig
tekst. Grunden til, at her medtages formelnumre i løsningerne, er så læseren præcist kan se hvilken
formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det
hurtigste værktøj at anvende.
Det ”pæne” gangetegn fås ved kommandoen \cdot. Alternativt kan man bruge *. Det virker fint med
WordMat, men ser ikke så pænt ud.
Opgave 7
a)
Kvartilsættet aflæses ud fra sumkurven (formel 100). Der indtegnes vandrette linjer for 25 %, 50 % og 75 %
på y-aksen og deres respektive skæringspunkter med sumkurven (rød) er projiceret vinkelret ned på x-
aksen og kvartilsættet aflæst.
Nedre kvartil aflæses til 57
Medianen aflæses til 66
Øvre kvartil aflæses til 80
2stx111-MAT/B-
2
Kvartilsættet for pointfordelingen er således aflæst til: (57; 66; 80)
b)
For at bestemme hvor mange procent af eleverne, der fik over 65 point indtegnes en lodret linje ved 65
point. Dennes skæringspunkt med sumkurven er projiceret vinkelret ind på y-aksen, og værdien aflæses til
45%.
Dvs. at 45 % fik færre eller lig med 65 point.
Dette betyder at
af eleverne fik flere end 65 point.
2stx111-MAT/B-
3
Opgave 8
a)
Da der er tale om en potensmodel, bestemmes a og b ved en potensregression:
x (mm)
75
125
200
250
300
350
400
y (kWh/år)
5186
3848
2487
2229
2093
1989
1923
Potens regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,9722733
Demed har vi afrundet til 4 decimaler og afrundet til en decimal.
b)
Vi indsætter y = 1700 i ovenstående forskrift og løser ligningen for x.
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Dermed er isolationstykkelsen, der bringer den årlige varmeafgivelse ned på 1700 kWh 430 mm, når der
afrundes til et helt tal.
2stx111-MAT/B-
4
Opgave 9
a)
Kaldes antallet af elever, der tog en studentereksamen på stx for y og kaldes x antallet af år efter 2004 kan
følgende lineære model beskrive udviklingen i antallet af elever, der tog en studentereksamen på stx i
perioden
Her beskriver den årlige tilvækst og startværdien, altså antallet af elever i 2004.
b)
2008 er år efter 2004. indsættes i ovenstående model og beregnes med WordMat:
Ifølge modellen var der altså i 9 elever, der tog en studentereksamen på stx.
c)
Årstallet for hvornår antallet af elever, der tager en studentereksamen på stx, er oppe på 25000 kan
bestemmes ved at indsætte i ovenstående ligning og løse denne for x:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Efter 10,3 år, hvilket rundes op til 11 år, da det kun giver mening at tale om hele år i denne model, altså i
2015 er antallet af elever, der tager en studentereksamen på stx oppe på 25000.
2stx111-MAT/B-
5
Opgave 10
a)
WordMat's trekantsløser anvendes med input: F = 90° , EC = 34 , FC = 12
F = 90°
E = 20,66732°
C = 69,33268°
EC = 34
FC = 12
FE = 31,81195
Dermed har vi at vinkel C er 69,3° afrundet til en decimal.
b)
Da trekant CEF og GDF er ensvinklede er vinkel D lig med vinkel E.
Fra opgave a) har vi beregnet vinkel E. Vi har nu information nok til at beregne regne de ukendte sider i
trekant GDF.
WordMat's trekantsløser anvendes med input: D = 20.66732° , F = 90° , DG = 26
D = 20,66732°
G = 69,33268°
F = 90°
GF = 9,176472
DF = 24,32678
DG = 26
Dermed er længden af FG beregnet til 9,2 afrundet til en decimal.
Længden af EG kan bestemmes som:
D
G
F
GF
DF
DG
F
E
C
EC
FC
FE
2stx111-MAT/B-
6
FG er beregnet i a) og vi har dermed:
Dermed er længden af EG beregnet til 22,6 afrundet til en decimal.
2stx111-MAT/B-
7
Opgave 11
a)
f defineres:
Ligningen løses:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Dvs. ligningen har to løsninger givet ved eller .
b)
En ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(1,f(1)) kan bestemmes ved følgende formel (formel 70)
Udtrykket reduceres vha. CAS-værktøjet WordMat.
c)
For at undersøge monotoniforholdene for f bestemmes først nulpunkter for f’. Dette gøres ved at løse
ligningen:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi udregner nu fortegnet af f’ på begge sider af alle nulpunkterved hjælp af WordMat.
Da f′ er negativ til venstre og positiv til højre for og , er der tale om lokale minima i disse
punkter.
Da f’ er positiv til venstre og negativ til højre for , er der tale om et lokalt maksimum i dette punkt.
Vi kan dermed konkludere:
2stx111-MAT/B-
8
f er voksende i intervallerne og
f er aftagende i intervallerne og 2]
f har lokalt minimum for og
f har lokalt maksimum for
2stx111-MAT/B-
9
Opgave 12
a)
For at bestemme facadens bredde beregnes grafens skæringer med x-aksen. Da f er en
andengradsfunktion, skal vi altså finde rødderne for polynomiet.
Funktionen defineres:
Vi løser ligningen:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Facadens bredde bestemmes som afstanden mellem rødderne:
Facadebredden er dermed 60 meter.
Facadens højde findes som den største værdi f antager.
Da f er et andengradspolynomium kan dette beregnes som y-koordinaten til parablens toppunkt.
y-koordinaten for en parabels toppunkt er givet ved (formel 37)
Facadens højde er dermed beregnet til 45 meter.
Alternativt løsningsforslag 1
Alternativt kunne man argumentere for at f(x) er symmetrisk omkring y-aksen, og at højden, derfor kan
aflæses som værdien af c-koefficienten.
Dette gøres ved at vise at f(x)=f(-x)
Alternativt løsningsforslag 2
Man kunne også lave en ekstremumsundersøgelse (f’(x)=0), have fundet den x-værdi hvor f antager sit
maksimum og så beregne f i dette punkt.
2stx111-MAT/B-
10
b)
Facadens areal kan bestemmes som arealet af den punktmængde, der afgrænses af x-aksen og grafen for f.
Arealet af denne punktmængde kan bestemmes som (formel 96)
Facadens areal er dermed
.
Tip: Husk enheden i angivelse af facit. Er der enheder i opgaveteksten, skal resultatet også have
enheder.