, 3.y SRP 2009
Studieretningsprojekt 3.g 2009
Svingninger og differentialligninger
STX 3.g
Klasse:
3.y
Fagkombination:
Fysik: A-niveau
Matematik: A-niveau
Vejledere:
Fysik: Niels Christian Jensen
Matematik: Preben Bundgaard
Uddannelsessted:
STX 3.g
STX 3.g
17. december 2009
, 3.y SRP 2009
Abstract
This study is a walkthrough of the mathematical proof of the
linear homogeneous second order differential equation with
constant coefficients. In the walkthrough the most important
theory of differential equations will be further analysed and
proofed.
These differential equations are fundamental tools, when
describing a physical system for instant an oscillating system,
which is one of the most important motions encountered in
nature. At first the study will discuss the simple harmonic
motion, which can be expressed by the differential equation
y’’+Ay=0. The result of this makes it possible to write a
complete solution for the equation y’’+ay’+by=0, and it shows
that a damped harmonic motion can be described as this type of
equation.
The damping can be provided by the frictional force of a body
moving in a fluid, and because of this the study will describe the
theory of a body moving in a fluid.
Furthermore two physical experiments will be made, to test and
illustrate that the deduced theory of differential equations
actually is true.
, 3.y SRP 2009
Indholdsfortegnelse
1 Introduktion 1
2 Den homogene 2. ordens differentialligning 2
2.1 Differentialligningen y’’+Ay = 0…………………………………………………….. 2
2.1.1 Analyse……………………………………………………………………….. 3
2.1.2 Eksistens af løsninger………………………………………………………… 5
2.1.3 Frie harmoniske svingninger…………………………………………………. 6
2.2 Differentialligningen y’’+ay’+by = 0 ……………………………………………….. 9
2.2.1 Analyse……………………………………………………………………….. 9
2.2.2 Eksistens af løsninger………………………………………………………… 10
2.2.3 Frie dæmpede harmoniske svingninger………………………………………. 11
3 Bevægelse i væske 14
3.1 Forsøg med bevægelse i væske……………………………………………………….. 16
3.1.1 Position som funktion af tiden………………………………………………… 19
3.1.2 Hastighed som funktion af tiden………………………………………………. 20
4 Svingninger i væske 21
4.1 Forsøg med dæmpede svingninger……………………………………………………. 21
5 Konklusion 24
6 Litteraturliste 25
, 3.y SRP 2009
(1) Introduktion:
Svingninger forekommer mange steder i naturen, og optræder derfor også i mange af de fysiske
discipliner. Man taler bl.a. om mekaniske, termiske og elektroniske svingninger.
Denne opgave vil udelukkende behandle de mekaniske svingninger, og opgaven er opbygget på
det grundlag, at matematik fungerer som redskab i behandlingen af disse fysiske systemer.
De svingende eller vibrerende bevægelser er i en naturlig sammenhæng meget vigtige, og det viser
sig, at disse naturlige svingninger meget præcist kan beskrives ved matematiske sammenhænge.
Den matematiske sammenhæng mellem et legemets position, hastighed og acceleration, alle som
funktion af tiden, gør det muligt, at omskrive de fysiske sammenhænge til kendte matematiske. Når
et legeme undersøges i praksis, kendes ofte kræfterne, som påvirker legemet, og man kan ofte sige
noget om legemets hastighed eller acceleration. Dog ønsker man ofte at bestemme den ukendte
funktion s(t), og dette kan gøres ved hjælp af matematik. Pga. sammenhængen mellem s(t), v(t) og
a(t), kan man nemlig opstille en 2. ordens differentialligning, og fra matematikken kender man den
fuldstændige løsning til en sådan.
Denne ligning kan se ud på mange måder, men i denne opgave vil det være den lineær homogene
2. ordens differentielligning med konstante koefficienter, dvs. af denne type:
0''' byayy
Hvor den fysiske sammenhæng er:
)(tsy
,
)(' tvy
og
)('' tay
Opgavens formål er således at kombinere disse sammenhænge, og vise hvordan matematikken
agerer redskab i fysikken.
Kendskabet til bl.a. ovenstående sammenhæng er fundamental, og forståelse af opgaven kræver
viden indenfor kernestoffet svarende til A-niveaus matematik og fysik.
Opgavens omfang er reelt af 18,5 normal side, ved 1300 tegn (uden mellemrum) pr. side.
, 3.y SRP 2009
(2) Den homogene 2. ordens differentialligning
En 2.ordens differentialligning defineres som en ligning, hvor variablen y’’ indgår. Variablerne x,
y og y’ kan dog ligeledes indgå, og man skriver:
0)'',',,( yyyxG
Hvor G er en given funktion, som højst består af disse fire variable. En løsning til en sådan ligning
må således være en funktion, som er differentieret to gange. Den fuldstændige løsning til ligningen
betyder derimod mængden af løsninger.
Vi skal udelukkende betragte lineære differentialligninger, som ligeledes er homogene, dvs.
ligninger af formen:
)('''
21
xgyfyfy
Hvor g(x) er nulfunktion, og hvor funktionerne
1
f
og
2
f
er konstanter, altså ender vi med en
ligning af formen: (2.0)
0''' byayy
Et begreb som ofte vil blive brugt er linearkombination, hvilke har en klar definition:
Ved en linearkombination
f
af funktionerne
1
f
og
2
f
forstås:
2211
fcfcf
Hvor der om konstanterne gælder:
Rcc
21
,
(2.1) Differentialligningen: y’’ + Ay = 0
I dette afsnit
1
skal vi undersøge differentialligningen: (2.1)
0'' Ayy
Den er på samme form som (2.0), men i dette tilfælde er
0a
. A er her en arbitrær konstant,
hvilket har betydning for den fuldstændige løsning til ligningen. Der er nemlig flere fuldstændige
løsninger, alt efter hvad A optræder som.
A kan optræde negativt, positivt eller som 0:
(2.2)
0''
2
yky
,
:0A
(2.3)
0''
2
yky
,
:0A
(2.4)
0'' y
,
:0A
Ud fra dette kan vi konkludere, at:
Ak
for
0A
.
Årsagen til at vi starter med differentialligningen
0'' Ayy
er, at denne danner baggrund for
teorien for løsningen af differentialligningen
0''' byayy
.
1
Afsnittet er baseret på: Carstensen, MAT 3A & Kristensen, differentialligninger.
, 3.y SRP 2009
(2.1.1) Analyse
Vi skal starte analysen, med at se på løsningernes afhængighed af hinanden. Derfor beskrives
løsningerne:
og
. Altså kan (2.1) skrives på følgende måde:
0''
A
og
0''
A
(2.5)
A''
og
A''
Ud fra begrebet linearkombination, må der kunne konkluderes, at hvis løsningernes (
og
)
linearkombination (
21
cc
) er løsning til (2.1), da må alle linearkombinationer være mulige
løsninger.
At dette faktisk gælder, vil vi nu bevise, ved en lille omskrivning.
Linearkombinationen kan differentieres og omskrives:
)('')('''))'()((
2121
xcxcxcxc
(2.5) indsættes nu i dette udtryk:
))()(())(())((
2121
xcxcAxAcxAc
Det ses, at indsættelsen af linearkombinationen
21
cc
som løsning til (2.5) faktisk er løsning,
altså må enhver linearkombination være løsning til (2.1).
Det bliver nu nødvendigt, at definere en relevant størrelse. Denne størrelse kaldes Wronski-
determinanten, og for funktionsparret
))(),(( xx
er den givet således:
(2.6)
)()(')(')(
)(')('
)()(
),( xxxx
xx
xx
W
Wronski-determinanten er derfor i princippet en ny funktion, og denne skal nu undersøges.
Der gælder nemlig flere vigtige sætning i henhold til Wronski-determinanten. Første fundamentale
sætning er:
Er
og
løsning til (2.1) så er Wronski-determinanten lig en konstant.
Dette vil vi nu eftervise, og starter derfor med at differentiere Wronski-determinanten
2
:
)()('')('')(
)(')(')()('')('')()(')('
))'()(')(')((),('
xxxx
xxxxxxxx
xxxxW
Udtrykkende fra (2.5) indsættes i ovenstående:
2
Der differentieres på det grundlag, at hvis
0),('
W
, da må
kW ),(
, hvilket var det søgte.
, 3.y SRP 2009
0)())(())()((),(' xxAxAxW
Altså er der vist, at når
og
er løsninger til (2.1), da må Wronski-determinanten være lig en
konstant, og man kan skrive: (2.7)
kW ),(
Vi ønsker nu at undersøge, hvorvidt en vilkårlig funktion
f
som er løsning til (2.1), kan skrives
som en linearkombination af vores to løsninger,
og
. I henhold til Wronski-determinanten,
gælder der således en sætning:
Hvis f er løsning til (2.1) og
og
er løsninger
3
til (2.1), så findes der to konstanter, så f kan
skrives som linearkombination af
og
.
(2.8)
)()()(
21
xcxcxf
Fra ovenstående (2.7) ved vi, at Wronski-determinanten er konstant, hvis
og
er løsninger til
(2.1). Vi opskriver situationen for den vilkårlige funktion:
(2.9)
111
)()(')(')(
)(')('
)()(
),( kxxfxxfk
xxf
xxf
kfW
(2.0.1)
222
)()(')(')(
)(')('
)()(
),( kxxfxxfk
xxf
xxf
kfW
Vi har nu to ligninger med to ubekendte (f og f’), og kan finde f ved anvendelse af de lige store
koefficienters metode, hvor (2.9) multipliceres med
og (2.0.1) multipliceres med
:
1
)()()(')(')()( kxxxfxxfx
2
)()()(')(')()( kxxxfxxfx
Derefter subtraheres den øverste ligning fra den nederste:
12
)()()()(')(')()()()(')(')()( kxkxxxfxxfxxxfxxfx
12
)()()(')()()(')()( kxkxxxfxxxfx
Og sætter f(x) uden for en parentes:
12
)()())(')()(())(')()(( kxkxxxxfxxxf
f(x) isoleres nu:
),(
)()(
)(')()(())(')(
)()(
)(
2112
W
kxkx
xxxfxx
kxkx
xf
Det ses nu, at nævnerne er konstant jf. (2.7), og ligeledes ikke må være 0, dvs.:
3
Hvor det gælder, at:
0),(
W
, 3.y SRP 2009
3
2
3
1
3
21
)()(
)(
k
k
k
k
k
kxkx
xf
Er nu en veldefineret
Nu kan konstanterne sættes til
3
2
1
k
k
c
og
3
2
2
k
k
c
, og vi kan indsætte i (2.8):
)()()(
)()()(
21
3
2
3
2
xcxcxf
x
k
k
x
k
k
xf
Vi kan nu konkludere, at hvis
og
er løsninger til
0'' Ayy
, og løsningernes Wronski-
determinant er forskellig fra nul, må den fuldstændige løsning være lig mængden af
linearkombinationer af
og
.
(2.1.2) Eksistens af løsninger
I dette afsnit skal den fuldstændige løsning til
0'' Ayy
undersøges, og denne deles op i de tre
tilfælde fra forrige afsnit: (2.2), (2.3) og (2.4).
I det første tilfælde (2.2), hvor
0A
, sættes
2
kA
. Løsningerne er således givet ved:
kx
ex )(
og
kx
ex
)(
Vi starter med at undersøge, om
kx
ex )(
og
kx
ex
)(
er løsninger:
)()'(')'()(''
22
xkekekex
kxkxkx
)()'(')'()(''
22
xkekekex
kxkxkx
Derudover, må der gælde, at
0),(
kxkx
eeW
, da funktionerne er løsninger.
02),(
kkkkeke
keke
ee
eeW
kxkxkxkx
kxkx
kxkx
kxkx
Og da
0A
må
0k
Den fuldstændige løsning til (2.2) må således være:
kxkx
ececy
21
, hvor
1
c
og
2
c
er arbitrære konstanter.
I andet tilfælde (2.3), hvor
0A
, sættes
2
kA
. Løsningerne er således givet ved:
kxx cos)(
og
kxx sin)(
Igen undersøgers om disse funktioner er løsninger:
, 3.y SRP 2009
)(cos)sin()'sin(')'(cos)(''
222
xkkxkkxkkxkkxx
)(sin)sin()'cos(')'(sin)(''
222
xkkxkkxkkxkkxx
Igen må der gælde, at
0)sin,(cos kxkxW
, da funktionerne er løsninger.
0)sin(cossincos
cossin
sincos
)sin,(cos
2222
kkxkxkkxkkxk
kxkkxk
kxkx
kxkxW
4
Og da
0A
må
0k
.
Den fuldstændige løsning til (2.3) må således være:
kxckxcy sincos
21
,
1
c
og
2
c
er arbitrære konstanter.
I det sidste tilfælde (2.4), hvor
0A
, er løsninger givet ved:
xx )(
og
1)( x
Det ses, at differentieres der to gange, vil begge funktioner blive nul, og der fortsættes til Wronski-
determinanten:
0110
01
1
)1,(
x
xW
Den fuldstændige løsning til (2.4) må således være:
21
cxcy
, hvor
1
c
og
2
c
er arbitrære konstanter.
Vi har nu vist følgende:
Differentialligningen: Har den fuldstændig løsning: For hvilke:
0'' Ayy
kxkx
ececy
21
:0A
0'' Ayy
kxckxcy sincos
21
:0A
0'' Ayy
21
cxcy
:0A
(2.1.3) Frie harmoniske svingninger
I dette afsnit
5
skal vi undersøge harmoniske svingninger, hvilket er et meget vidt begreb, som
både optræder i mekanisk, termisk og elektromagnetisk fysik. Opgaven vil udelukkende beskrive de
4
Der anvendes den trigonometriske grundrelation for at omskrive:
1)sin(cos
22
kkxkxk
, 3.y SRP 2009
mekaniske svingninger, som derudover i dette tilfælde er elastiske fjedersvingninger. I dette skal vi
se på de frie harmoniske svingninger, og på baggrund af Newtons 2. lov og Hookes lov prøve at
anvende så meget matematik, som muligt.
Vi betragter en ideel fjeder, som har fjederkonstanten k. Et legeme hænges nu op under fjederen,
således at fjederens naturlige ligevægtsstilling flyttes. I denne nye ligestilling må
fjeder
F
lige netop
ophæve
t
F
, og den resulterende kraft må være 0. Påvirkes legemet således at det begynder på
udsving fra ligevægtsstilling, betegnes den resulterende kraft:
kxF
res
Hvor x betegner udsvingets størrelse.
If. Newtons 2. lov gælder:
maF
res
Det ses derfor, at
kxma
Da den anden afledede af udsvinget x er lig a, fås:
0''
''
x
m
k
x
kxmx
Dette er en 2. ordens differentialligning, af typen fra forrige afsnit.
Da svingningens vinkelfrekvens i anden,
2
0
netop er lig
m
k
, kan vi omskrive:
(2.0.2)
0''
2
0
xx
Det skal bemærkes, at x (nogle gange y) beskriver udsvingets position, som funktion af tiden.
(2.0.2) er ens til (2.3), og har den fuldstændige løsning:
)sin()cos()(
0201
tctctx
Konstanterne
1
c
og
2
c
er bestemt ud fra svingningens begyndelsesbetingelser, og de kan bedst
beskrives, ved en illustration
6
.
A kaldes amplituden, og
angiver svingningens største
udsving.
5
Afsnittet er skrevet på baggrund af: Øhlenschlæger, Fysik for diplomingeniører s. 89-91.
6
Illustrationen (2.0.3) er taget fra http://personal.cityu.edu.hk/~bsapplec/harmonic.htm .
, 3.y SRP 2009
og kaldes fasen, og er givet ved:
)(
00
t
.
0
kaldes faseforskydningen, og angiver
svingningens forskydning ud af 1. aksen i forhold til en reference hvilke ofte er 0. Fasen kan også
skrives:
)()((
00000
tttt
, hvor det ses, at
0
0
0
t
.
Punktet
),(
12
ccP
består af de arbitrære konstanter, og ud fra ovenstående er det muligt, at lave en
lille matematisk omskrivning
7
af den fuldstændige løsning til (2.0.2). Dog forudsættes at P angiver
denne faseforskydning.
Ud fra
),(
12
ccP
bestemmes stedvektoren
OP
:
(2.0.4)
0
0
1
2
sin||
cos||
OP
OP
c
c
OP
AccOP
2
1
2
2
||
2
1
0
tan
c
c
Vi er nu klar til omskrivningen:
)sin()cos()(
0201
tctctx
Værdierne for
1
c
og
2
c
fra (2.0.4) indsættes:
tAtAtx
0000
sincoscossin)(
Additionsformelen anvendes:
)sincoscos(sin)(
0000
ttAtx
uvvuvu cossincossin)sin(
)sin()(
00
tAtx
(2.0.5)
)sin()(
00
tAtx
Vi har nu en fuldstændig løsning til (2.0.2) og et udtryk, som beskriver en svingnings udsving,
som funktion af tiden, men uden både sin og cos. Det skal tilføjes, at det er ligegyldigt, om det er
sin eller cos, der agerer ydre funktion i (2.0.5), da den eneste forskel vil være at en cos funktion vil
have en faseforskydning på
2/
.
7
Ideen med en vektoromskrivning er fra: Alonso, Fundamental University Physics s. 353
, 3.y SRP 2009
Det ses på illustration (2.0.4), at en hel svingning kræver, at fasen ændres en vinkel på
2
. Tiden
dette tager kaldes perioden T. Sammenhængen mellem vinkelfrekvensen og perioden er givet ved:
0
0
22
T
T
Funktionen (2.0.5) er som sagt udtryk for den frie harmoniske svingnings udsving som funktion af
tiden. Tegner man denne funktion, vil udsvinget fortsætte op og ned mellem A og –A, i det
uendelige. Dette kan tolkes som energibevarelse, da der ingen tabsgivende faktor er. Dette vil der
være i praksis, fx pga. gnidning med luften, eller via termisk energi i fjederen, som dog ofte er
relativt små størrelser
8
. Dog vil man i situationer opleve, at en svingnings dæmpning er af en
betydelig størrelse, og dette giver anledning til at tilføje (2.0.5) et dæmpningsled.
(2.2) Differentialligningen: y’’ + ay’ + by = 0
I dette afsnit
9
skal vi se på differentialligningen: (2.0.6)
0''' byayy
Hvor a og b er konstante koefficienter:
Rba ,
Som det ses, minder denne homogene 2. ordens differentialligning en del om (2.1), hvilket bliver
vigtigt i arbejdet for at finde løsningerne til den. Analysen af denne differentialligning vil ikke være
dybdegående på samme måde som i analysen af (2.1).
(2.2.1) Analyse
Vi tager udgangspunkt i teorien fra forrige afsnit, til at analysere (2.0.6), og vi ønsker altså at
reducere
0''' byayy
ned til den kendte form
0'' Azz
. For at være i stand til dette, indføres
en hjælpefunktion z givet ved: (2.0.7)
x
zey
Ved at differentiere (2.0.7) to gange, kan vi finde et udtryk for (2.0.6):
xxx
xx
x
zeezezy
ezezy
zey
2
'2''''
''
8
Den indre friktion i vand er:
sPa
vand
1005
hvor
sPa
luft
1,18
, begge ved 20
C. Der er en ca. 55
gange så stor friktion i vand som i luft.
9
Afsnittet er baseret på: Kristensen, differentialligninger.
, 3.y SRP 2009
Dermed kan det nye udtryk for (2.0.6) findes:
zbazaze
zebaezaez
bzeeazeazzeezez
zebezezazeezezbyayy
x
xxx
xxxxxx
xxxxxx
)(')2(''(
)(')2(''
''2''
)()'()'2''('''
2
2
2
2
Vi sætter snedigt
2
a
, og reducerer ovenstående til:
0)
4
''('''
2
2
b
a
zebyayy
x
a
b kan vi komme af med, ved at anvende diskriminanten til karakterligningen for (2.0.6):
bad 4
2
Vi får nu:
0)
4
''('''
2
z
d
zebyayy
x
a
Dette gælder kun for
x
a
zey
2
, som derfor også må være løsning til (2.0.6).
Derudover må der gælde, at
0
4
'' z
d
z
, da
0
2
x
a
e
. Dette kan begrundes ud fra (2.0.7), som ved
en omskrivning giver:
x
a
x
a
e
y
zzey
2
2
, altså kan
0
2
x
a
e
!
Vi kan nu konkludere, at den fuldstædige løsning til (2.0.6) må være alle funktioner, som kan
skrives på formen
x
a
zey
2
, hvor z er en arbitrær løsning til
0
4
'' z
d
z
.
Ud fra forrige afsnits teori og konklusioner, kan vi finde den fuldstændige løsning til
0
4
'' z
d
z
.
Denne fuldstændige løsning må dog være afhængig af størrelsen d.
(2.2.2) Eksistens af løsninger
For d>0, er den fuldstændige løsning til (2.0.6):
0
4
'' z
d
z
kan omskrives til
0''
2
zkz
, hvor
24
dd
k
, jf. forrige afsnit er den
fuldstændige løsning således givet ved:
x
d
x
d
ececz
2
2
2
1
, 3.y SRP 2009
Dette indsættes i (2.0.7):
x
a
x
d
x
d
eececy
22
2
2
1
)(
x
ad
x
ad
ececy
2
2
2
1
For d<0, er den fuldstændige løsning til (2.0.6):
0
4
'' z
d
z
kan omskrives til
0''
2
zkz
, hvor
24
dd
k
, jf. forrige afsnit er den
fuldstændige løsning således givet ved:
)
2
sin()
2
cos(
21
x
d
cx
d
cz
Dette indsættes igen i (2.0.7):
x
a
ex
d
cx
d
cy
2
21
))
2
sin()
2
cos((
For d = 0, er den fuldstændige løsning til (2.0.6):
0'' z
, hvor løsningen var:
21
cxcz
, altså bliver den fuldstændige løsning:
x
a
ecxcy
2
21
)(
x
a
x
a
ecxecy
2
2
2
1
(2.2.1) Frie dæmpede harmoniske svingninger
I dette afsnit
10
skal vi arbejde videre med de frie harmoniske svingninger. I afsnit (2.1.3)
konkluderede vi, at disse svingninger jf. (2.0.5) ikke var udsat dæmpning, hvilket i en matematisk
sammenhæng betød uendelig mange svingninger, og en ren sinus/cosinus svingning.
Som sagt er dette ikke realistisk, da ingen bevægelser er uendelige, og i dette afsnit vil vi derfor
indføre et dæmpningsled til
0''
2
0
xx
.
Vi starter igen med at se på de kræfter, som påvirker en dæmpet svingning. I afsnit (2.1.3)
udgjordes den resulterende kraft af fjederkraften og tyngdekraften, og jf. Hookes lov og Newtons 2.
lov fik vi derfor:
kxma
Der skal nu tilføjes et dæmpningsled (
cv
)
11
:
kxcvma
10
Afsnittet er baseret på: Øhlenschlæger, Fysik for diplomingeniører s. 94-97.
11
Denne gnidningskraft, som udgør dæmpning vil blive ydereligere beskrevet i næste afsnit (3) ”Bevægelse i væske”.
, 3.y SRP 2009
Ligesom i (2.1.3) omskrives dette:
kxcxmx '''
(2.0.8)
0''' x
m
k
x
m
c
x
I forhold til matematikken er konstanterne her:
m
c
a
og
m
k
b
, og disse vil altid være
positive, da massen m, som er en samlede masse der svinger ikke kan være negativ. For nemmere at
kunne overskue konstanterne sættes:
m
c
og som sagt er
2
0
m
k
, hvilket vil
sige (2.0.8) kan skrives:
0'''
2
0
xxx
Nu kan vi via vores viden fra for forrige afsnit (2.2.3) sige noget om den fuldstændige løsning til
(2.0.8). Dog må diskriminanten til karakterligningen for (2.0.8) først undersøges, og for at gøre
dette nemmere sættes
2
1
, så (2.0.8) omskrives igen:
0'2''
2
0
xxx
Diskriminanten kan nu skrives på formen:
)(4
2
0
2
d
Det ses, at diskriminantens størrelse bestemmes af forholdet mellem
og
2
0
, og vi kan opskrive
tre udtryk for situationerne: (2.0.9)
0
0
d
(2.1.0)
0
0
d
(2.1.1)
0
0
d
Vi skal nu gennemgå de tre tilfælde og se hvilken slags dæmpet svingning de resultere i.
For d<0: (karakterligningen har ingen løsninger)
Løsningen til (2.0.9) må fra forrige afsnit være givet ved:
(2.1.2)
x
a
ex
d
cx
d
cy
2
21
))
2
sin()
2
cos((
Hvilket minder om løsningen for en udæmpet harmonisk svingning, dog er leddet
2
a
e
tilført,
hvilket lige netop er ”dæmpningsleddet”. Den indre funktion for den udæmpede svingning kan med
fordel sammenlignes med den indre funktion for den dæmpede svingning, da begge angiver
vinkelfrekvensen:
Udæmpet svingning:
)cos(
0
t
, 3.y SRP 2009
Dæmpet svingning:
)cos(½ xd
, hvor t og x er samme variable nemlig tiden. Således at ledet (
d½
) angiver den dæmpede svingnings vinkelfrekvens
, som ikke er ens til den udæmpede
svingnings vinkelfrekvens
0
. Dog vil sammenhængen her ses:
2
2
0
2
0
2
2
0
2
(4½)(4½
Altså skal den dæmpede svingnings vinkelfrekvens findes ud fra den udæmpedes vinkelfrekvens.
(2.1.2) kan således omskrives:
x
excxcy
2
2
21
)sincos(
Vores tidligere omskrivning, for den udæmpede svingning, som endte i (2.0.5) kan nu igen
anvendes, og (2.1.2) omskrives til:
)sin(
0
xeAy
x
Hvilket kan skrives som funktion af tiden:
)sin()(
0
teAtx
t
Ovenstående er således den fuldstændige løsning til (2.0.8), når det gælder, at
, og denne
form for dæmpet svingning kaldes underdæmpning eller svag dæmpning.
For d>0: (karakterligningen har to løsninger)
Løsning til (2.1.0) må fra forrige afsnit være givet ved:
(2.1.3)
x
ad
x
ad
ececy
2
2
2
1
Tallene
2
ad
er her rødderne i karakterligningen til
0'2''
2
0
xxx
. Disse rødder kan
således omskrives til svingningens konstanter:
2
,
21
da
rr
Den første rod:
2
22
2
2
2
0
2
1
d
r
Den anden rod:
2
22
2
2
2
0
2
2
d
r
Og det ses, at
21
rr
!
Altså kan (2.1.3) omskrives til:
xrxr
ececy
21
21
Som funktion af tiden ser således ud:
trtr
ecectx
21
21
)(
, 3.y SRP 2009
Hvor
1
c
og
2
c
som sædvanligt angiver arbitrære konstanter. Ligningen er den fuldstændige løsning
til (2.0.8), når
0
, og denne form for dæmpet svingning kaldes overdæmpning.
For d = 0: (karakterligningen har én løsning)
Løsningen til (2.1.1) må fra forrige afsnit være givet ved:
(2.1.4)
x
a
x
a
ecxecy
2
2
2
1
Og løsningen til karakterligningen for (2.0.8) har kun en dobbeltrod:
2
20
r
Hvilket også ses i (2.1.4), som således kan skrives:
xx
ecxecy
21
)(
21
cxcey
x
Som funktion af tiden omskrives til:
)()(
21
ctcetx
t
Hvilket igen angiver den fuldstændige løsning til (2.0.8) når der gælder, at
0
, og denne form
for dæmpning kaldes en ”kritisk dæmpet” svingning.
Dog kan dæmpningen have flere navne alt efter hvilken bog man læser. Af disse er overdæmpet,
kritisk dæmpet, kraftig dæmpet og stærkt dæmpet, hvilket lægger op til den helt store forvirring.
Navnet er imidlertid ikke så vigtigt, men det vigtige er at skelne mellem selve ”dæmpning”, således
at svingninger hvor
0
giver mindre dæmpning og fortsætter længere, end når
0
.
(3) Bevægelse i væske
I dette afsnit
12
skal vi se på bevægelse med gnidning. Når to legemer er i kontakt med hinanden,
vil der nemlig altid være en modstand mellem dem, som nedsætter deres relative bevægelse. Når et
legeme bevæger sig gennem en væske, vil det altså være påvirket af en kraft (
gnid
F
), som er
modsatrettet legemets bevægelse.
Falder et legeme fx gennem en væske, afhænger dets terminalhastighed af dets form og væskens
dynamiske viskositet. Kender man disse variable, samt væskens densitet, kan man finde det
dimensionsløse Reynolds tal:
dv
R
e
, som siger noget om hvilken karakter strømningen
12
Afsnittet er baseret på: Alonso, Fundamental University Physics s. 168-171.
, 3.y SRP 2009
omkring legemet med hastigheden v har. Der gælder, at hvis
2
e
R
, så er strømningen omkring
legemet laminar, hvor strømningen er turbulent hvis
400
e
R
. Ligger værdien mellem er det lidt
svære at definere om strømningen er laminar eller turbulent
13
.
Den følgende sammenhæng, som er vigtig at bide mærke i er:
Hvis strømningen omkring legemet er laminar, så er:
vcF
gnid
Hvis strømningen omkring legemet er turbulent, så er:
2
vcF
gnid
Hvor c er en konstant, som jf. Reynolds tallet må afhænge af legemets form og væskens dynamiske
viskositet, og som er negativ idet
gnid
F
må være modsatrettet bevægelsen.
Altså kan –c også skrives på formen:
Kc
Hvor K beskriver legemets form
14
, og hvor
angiver væskens dynamiske viskositet
15
.
Ud fra ovenstående ses det, at
c
regnes i:
s
kg
sPamc
16
Nu hvor
gnid
F
og
g
F
er veldefinerede kræfter, kan vi endelig opstille bevægelsesligningen for et
legemets fald gennem en væske. Da
g
F
er den nedadrettede kraft, må den samlede kraft på
legemets være: (3.0)
vcFF
gres
2
vcFF
gres
17
''' y
m
c
gy
2
)'('' y
m
c
gy
Da m er konstant er
g
F
ligeledes konstant, og derfor vil accelerationen a øge legemets hastighed,
hvilket modsvarende vil øge gnidningskraften. Dette resultere i at
gnidg
FF
, og a vil være 0.
Legemets vil således bevæge sig med konstant hastighed, nemlig terminalhastighed.
Denne max hastighed kan derfor skrives:
vcmg
2
vcmg
(3.1)
c
mg
v
max
c
mg
v
max
Legemet er dog også påvirket af opdriften, som er givet ved:
gmF
fortrængtop
13
Disse værdier gælder for et strømlinet lod, hvilket anvendes i samtlige forsøg.
14
For en kugle gælder fx at:
RK
6
15
Den dynamiske viskositet måles i SI-enheden
sPa
16
Regnes der videre ses, at:
N
s
m
s
kg
, altså passer sammenhængen uden tvivl.
17
Denne bevægelsesligning bliver først rigtig relevant i næste afsnit.
, 3.y SRP 2009
Derfor skal (3.1) modificeres til:
c
gmm
v
fortrængt
)(
max
c
gmm
v
fortrængt
)(
max
Hele afsnittet er afhængig af at hastigheden v er relativ lav.
(3.1) Forsøg med bevægelse i væske
Al denne teori fra afsnit (3) bliver nu relevant i forhold til opgavens første forsøg. Formålet med
forsøget er til dels, at sammenligne nogle praktiske resultater med den givne teori, men også for at
bestemme dæmpningskonstanten for den anvendte væske. Teorien fra (3) skal dog modificere lidt,
da dette er en generel teori for et legemets fald gennem en væske, hvor legemet (i dette forsøg et
strømlinet lod) bliver trukket op gennem væsken.
For at skabe lidt overblik, er der først et billede af forsøgsopstillingen:
I højre side ses et 0,5L
måleglas fyldt med
shampoo, og lige over
måleglasset er der
placeret en
Smartpulley
18
. På trissen
er en tynd og let snor
spændt ud, med det
strømlinede lod i den ene
ende og et kontralod i
den anden. Til forsøget
anvendtes 5 kontralod, vis masse varierende med få gram i forhold til loddets masse i væsken,
således at det ville opnå terminalhastighed så hurtigt som muligt.
Nu var forsøget klar til at blive iværksat, og der blev lavet 3 målinger af loddets hastighed, til hver
af de anvendte kontralodder, for derefter at udvælge den bedste måling.
18
Smartpulley’en er forbundet med en LabQuest, som er forbundet til en pc, således at loddets hastighed kan registreres
og vises i programmet LoggerPro.
, 3.y SRP 2009
Der var nu mulighed for at lave en (
mv ,
max
)-graf med alle de 5 kontralodder, og lige netop
derfor var det vigtigt, at det var den rigtige terminalhastighed, som var målt. Denne er nemlig
afgørende for om sammenhængen mellem
gnid
F
og v bliver en potens- eller en lineær funktion, som
beskrevet i (3.1).
Dog er det, ud fra teorien fra afsnit (3) muligt, at vurdere hvordan denne sammenhæng er. I
forsøget, var viskositeten nemlig relativ høj
19
, og hastigheden var relativ lav, hvilket jf.
dv
R
e
betyder, at Reynolds tallet måtte blive relativ lavt. Og et relativ lavt Reynolds tal
lægger op til en laminar strømning omkring loddet, og en lineær sammenhæng mellem
gnid
F
og v.
(
mv ,
max
)-grafen udformede sig således:
Sammenhængen var denne:
smm
kg
sm
mv /0005,0
/
8,27)(
,
9968,0
2
r
Og ud fra denne hældning på 27,8
kg
sm /
er det så muligt at finde dæmpningskonstanten c, da der ved
terminalhastigheden gælder:
m
c
g
vcvmg
Altså må hældningen være lig:
c
g
19
Shampoos dynamiske viskositet er meget forskellig fra mærke til mærke, men ligger ca. mellem 2 og 0,2Pa*s, hvor
vands er 0,001Pa*s, begge ved 20
C. Kilde: http://neutral.dk/neutral+produkter/personlig+pleje/shampoo
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025
d(m) | kg
v | m/s
, 3.y SRP 2009
Dæmpningskonstanten kan således bestemmes til:
skg
kgsm
sm
c /353,0
/)/(8,27
/82,9
2
Data for ovenstående graf ses herunder:
Det ses, at den første måling er den eneste, hvor teorien ikke passer helt med det praktiske forsøg.
I (3.0) blev bevægelsesligningen for loddet givet ved:
''' y
m
c
gy
Dette var for at fald gennem væske, altså skal denne bevægelsesligning ændres lidt for dette forsøg:
Situationen må nu være, som det ses til højre:
Her er kræfterne tegnet ind, så de gælder, når loddet bliver trukket op
gennem væsken.
Bevægelsesligningen må derfor nu se således ud:
cvgmgm
21
Macvmg
cvmg 0
''' yMycmg
0'''
M
mg
y
M
c
y
Det ses, at alle konstanter er kendte:
skgc /353,0
og M = den samlede masse af lodderne
20
Der er kompenseret for opdriften, ved at trække massen af det fortrængte shampoo fra loddet. Dog er der en fejlkilde,
nemlig snorens opdrift, som dog er ganske lille.
21
Denne værdi er udregnet via formelen fra (3.1), som var:
cmgv /)(
max
, hvor massen i mit forsøg skal være
m
.
Masse, kontralod
g
Masse, lod i væske
20
g
m
kg
Målt
max
v
m/s
Teoretisk
max
v
21
m/s
Afvigelse
%
40
37,5
0,0025
0,080
0,069
15,9
45
37,5
0,0075
0,201
0,209
3,98
50
37,5
0,0135
0,370
0,376
1,62
55
37,5
0,0185
0,502
0,515
2,59
60
37,5
0,0225
0,641
0,626
2,39
, 3.y SRP 2009
Og alt efter hvilket kontralod der anvendes, kan
M
mg
og
M
c
bestemmes.
Denne 2. ordens differentialligning er ret interessant, da vi nu har mulighed for at bestemme både
loddets hastighed og position som funktion af tiden. Kontralod 3 anvendes, som eksempel, dvs.
2
2
/52,1
0375,0050,0
/82,90135,0
sm
kgkg
smkg
M
mg
.
1
04,4
0375,0050,0
/353,0
s
kgkg
skg
M
c
Dernæst er loddet i hvile ved
0t
, dvs.
0)0(' y
Og dets startposition er ligeledes 0m:
0)0( y
(3.1.1) Positionen som funktion af tiden
For nemhedens skyld, løses differentialligningen af 2. orden ved hjælp af et CAS-værktøj
22
:
052,1'04,4''( yydesolve
and
)0(y
and
),,0)0(' yty
0931,03762,00176,00931,0)( tty
t
Det eksponentielle led kan omskrives, da
ktt
ebab
, hvor
04,4)0176,0ln(ln ka
Altså har vi en funktion som hedder:
0931,03762,00931,0)(
04,4
tety
t
Det ses, at
t
t
e 00931,0
04,4
Dog skal t bare antage en værdi af 2, førend at leddets værdi er reduceret til 0,00003, da leddet er en
eksponentiel aftagende funktionen, med en vækstrate på
982,010176,0
.
Dette betyder også at hele funktionen således vil være asymptote til funktionen:
0931,03762,0)( tta
22
Der anvendes en Voyage 200.
, 3.y SRP 2009
Ret fysisk betyder dette, at loddet starter med at øger dets hastighed, givet ved funktionsleddet:
t
ey
04,4
0931,0
Men accelerationen går mod 0, og terminalhastighed opnås, givet ved funktionsleddet:
0931,03762,0 ty
Altså vil
max
v
og denne hastighed kan så sammenlignes med den målte.
(3.1.2) Hastigheden som funktion af tiden
Igen løses differentialligningen på CAS, dog må det denne gang være en 1. ordens
differentialligning:
052,104,4'( vvdesolve
and
),,0)0( vtv
t
etv
04,4
3762,03762,0)(
Situationen er den samme som før, dog er det eksponentielle led nu blevet negativt, dvs. at
funktionen nu vil være voksende, mod værdien 0,3762 dvs. funktionen er asymptote til
3762,0v
.
Det grafiske billede ser således ud:
Det ses, at hastigheden øges
logaritmisk, indtil
ggnid
FF
, og
0a
,
hvorved loddet opnår terminalhastighed.
Igen kan en teoretisk terminalhastighed
aflæses, som værende
smv /3762,0
max
. Denne metode gør
det nemt, at finde tiden det tager før
loddet har nået en vis procent-del af dets terminalhastighed.
Begge disse metoder er lidt tidskrævende, og derfor er de teoretiske og praktiske værdier
sammenlignet, som det ses i tabellen, altså hvor
max
v
findes ud fra formel (3.1).
Dog viser forsøget, hvordan matematikken virkelig kan anvendes som redskab i praktisk fysik. I
dette tilfælde til at anskueliggøre loddets position eller hastighed som funktion af tiden, uden
kendskab til andet end væskens dæmpningskonstant, de respektive masser og et kendt
udgangspunkt.
, 3.y SRP 2009
(4) Svingninger i væske
I afsnittet om de frie dæmpede harmoniske svingninger (afsnit (2.2.1)) fandt vi, at forholdet
mellem svingningens dæmpning (angivet
,
½
eller
m
c
½
) og vinkelfrekvensen
23
afgjorde
hvilken type dæmpning svingningen ville resultere i. Der galt, at hvis:
0
underdæmpning, og et udsving som funktion af tiden:
)sin()(
0
teAtx
t
0
overdæmpning, og et udsving som funktion af tiden:
trtr
ecectx
21
21
)(
24
0
kritiskdæmpning, og et udsving som funktion af tiden:
)()(
21
ctcetx
t
Som alle er løsninger til 2. ordens differentialligningen:
0'2''
2
0
xxx
Det ses, at alle funktioner har et aftagende eksponentielt led til fælles, hvilket er meget logisk, da
alle funktionerne er udtryk for energitab, hvilket matematisk kan skrives:
t
x 0
.
Således, at svingningen bliver drænet for energi, og udsvinget går mod 0. I praksis kan dette fx
benyttes i bilers støddæmpere, hvor man ønsker en kritisk dæmpning af ujævnhederne fra vejen.
(4.1) Forsøg med dæmpede svingninger
På baggrund af al denne teori kan vi nu afprøve, om det passer med et
forsøg i praksis. Formålet med forsøget er derfor at eftervise, at et lod
nedsænket i en væske, og som er under påvirkning af en fjederkraft, vil
udføre dæmpede svingninger, af en af de ovenstående typer.
Forsøget er ret simpelt, og forsøgsopstillingen ses til venstre.
Som det ses, er det igen et strømlinet lod, som er nedsænket i shampoo,
som er fortyndet med vand, dog er der omrørt så godt, at der god
tilnærmelse er tale om en homogen væske. Årsagen til at der ikke
anvendes ren shampoo, som i faldforsøget er, at dette ville dæmpe
svingningen for meget. Der ønskes nemlig en underdæmpet svingning,
således der mere graf at ”regne” på.
23
Vinkelfrekvensen skulle være den udæmpede svingnings vinkelfrekvens, som er en lille smule anderledes fra den
dæmpede svingnings vinkelfrekvens.
24
Hvor r
1
og r
2
angiver henholdsvis:
2
22
2
0
2
og
2
22
2
0
2
, 3.y SRP 2009
Loddet bliver sat i svingning, og bevægelserne optaget fra samme position, som billedet er taget i.
Filmen, som er på ca. 4 sek., er taget med 300 billeder i sekundet, og analyseret i LoggerPro. Her er
det muligt, at plotte loddets position ind som tiden går.
Resultatet af en sådan behandling ses herunder:
Konstanterne for lige netop dette svingende system er:
Svingende masse, M: 0,0875 kg
Fjederkonstant, k: 8,18 N/m
25
Dæmpningskonstanten, c: 0,171 kg/s
26
Disse konstanter omregnes strakt til
og
0
:
2
/ Mc
1
977,0
2
)0875,0/()/171,0(
s
kgskg
1
00
669,9
0875,0
/18,8
s
kg
mN
M
k
Det ses at
0
, hvilket resulterer i en underdæmpet svingning, hvilket var det ønskede.
Derfor må svingningen kunne beskrives ved:
)sin()(
0
teAtx
t
Leddet
t
eA
er eksponentielt aftagende, og kan på grafen afbildes, som den aftagende amplitude.
Resten af funktionen omgiver den før omtalte fase.
Vi kan imidlertid løse ligningen på CAS, hvor der anvendes et tilfældigt linjeelement fra grafen.
25
Fjederkonstanten er fundet med Hookes lov. Et lod blev hængt på fjederen, og afstanden til en nye ligestilling blev
målt. Der blev selvfølgelig anvendt flere forskellige lodder, og fjederkonstanten er udregnet over mindst 4 forsøg.
26
Denne er fundet på samme måde som beskrevet i afsnit (3.1), med et faldende lod gennem væsken.
, 3.y SRP 2009
0669,9'977,02''(
2
xxxdesolve
and
066,0 )265,0( x
and
),,0)265,0(' xtx
Det ses, at linjeelementet her er: (0,265 , 0,066 ; 0) hvilket betyder der er valgt et sted hvor loddets
hastighed er 0. Dette er gældende når loddet befinder sig i en yderposition, altså når udsvinget (og
accelerationen) er størst. Denne solve-kommando giver imidlertid:
)62,9cos(3764,00758,0)62,9sin(3764,0041,0 ttx
tt
Hvilket kan omskrives, idet
2
2
2
1
ccA
og
2
1
0
tan
c
c
jf. (2.0.4) fra afsnit (2.1.3)
Det eksponentielle led kommer fra den matematiske sammenhæng:
ka )ln(
i
kx
e
.
Altså hedder funktionen:
))
0758,0
041,0
tan(977,0669,9sin(0758,0041,0)(
22)3764,0ln(22
tetx
t
)49,062,9sin(086,0)(
977,0
tetx
t
Endelig kan vi indlæse denne funktion i LoggerPro, og denne teoretiske graf skulle gerne ligge oven
i forsøgsgrafen.
Hvilket den også tilnærmelsesvis gør, taget forholdene i betragtning. Disse forhold skal ikke
tolkes som fejlkilder, da den eneste reelle fejlkilde er snorens og fjederens masse
27
, som der i
forsøget ikke er taget højde for.
27
Der gælder, at hvis fjederens masse skal indgå som en del af den samlede masse, er det en tredjedel af fjederen masse,
som skal adderes til denne masse - altså få gram.
, 3.y SRP 2009
Med forholdene forstås usikkerheden ved forsøget. Betragt fx grafen ved
2t
. Her ses at
forsøgsgrafens udsving er større end det teoretiske udsving, dog er det ikke mere end ca. 0,005m.
Denne afstand svarer til et uhyrligt lille ryk på musen, når loddets position skal plottes ind på
filmen, altså svarer et lille ryk på musen til et stort ryk på grafen. Derudover er kvaliteten ikke
overvældende på filmen, og derfor er loddets position umulig at plotte ind med 100 % nøjagtighed.
På baggrund af denne usikkerhed, må det kunne konkluderes, at løsningen til den pågældende 2.
ordens differentialligning stemmer overens med den praktiske position af loddet!
(5) Konklusion
Vi har i denne opgave bevist den fuldstændige løsning til de to differentialligninger af typen:
0'' Ayy
og
0''' byayy
Dette er lineære 2. ordens differentialligninger, som er homogene og med konstante koefficienter.
Det har vist sig, at den fuldstændige løsning afhænger af koefficienterne, såvel deres fortegn som
forholdet mellem deres værdier.
Derudover har vi vist, hvordan disse differentialligninger anvendes i svingende fysiske systemer,
og beskrevet de vigtigste bevægelsesligninger, som er af typen:
0'' x
M
k
x
og
0''' x
M
k
x
M
c
x
Hvilket henholdsvis beskriver en udæmpet og dæmpet svingning. Vi har vist, at den teoretiske
løsning til den dæmpede bevægelsesligning stemmer overens med et lods faktiske bevægelse i en
væske. Ved lave hastigheder har vi vist, at bevægelsen i væsken afhænger af gnidningskraften
mellem lod og væske, og det viste sig, at gnidningskraften i forsøgsvæsken var proportional med
loddets hastighed.
Kort sagt kan vi konkludere, at differentialligninger af 2. orden er fundamentale i arbejdet med
fysiske systemer hvor der forekommer svingninger.
(6) Litteraturliste
Faglitteratur:
Alonso, Marcelo & Finn, Edward, Fundamental University Physics, Addison-Wesley, 1967
, 3.y SRP 2009
Andersen, A.F. & Bohr, H., m.fl., Matematisk Analyse, Gjellerups, 1963, 1. udg., 3. oplag
Carstensen, Jens & Frandsen, Jesper, MAT 3A, Systime, 2002, 1. udg., 1. oplag.
Kristensen, Erik, differentialligninger, G·E·C GAD, 1972, 1. udg., 1. oplag
Olsen, Ole W., integralregning og differentialligninger, Basis, 1999, 1. udg., 1. oplag
Øhlenschlæger, Erik, Fysik for diplomingeniører, Gyldendal, 1996, 1. udg., 1. oplag