sn_opgave_83658.doc - 1 -
[navn fjernet] 1.v HTX – Sukkertoppen
Matematik B
”Vægdrejekran”
Projekt til d. 28 / 04 / 06
Projektet omhandler: Kræfter / Vektorer / Trigonometri.
_____________________ _____________________
[navn fjernet]. Jan Pihl.
sn_opgave_83658.doc - 2 -
[navn fjernet] 1.v HTX – Sukkertoppen
Indholdsfortegnelse:
Indledning side 3…
Matematisk analyse side 3-6…
Vektorer
Komposanter
Trigonometri
Yderkræfter
Stangkræfter
Knudepunkter
Ligevægtsbetingelser
Dokumentation side 6-10…
Beregninger
Tegninger
Syntese side 11 …
Tegning
Tabel
sn_opgave_83658.doc - 3 -
[navn fjernet] 1.v HTX – Sukkertoppen
2
6
V
B
H
B
H
A
5
3
1
4
7
F
1
F
2
Indledning:
I matematik har vi været igennem forskellige emner, vektorer/kræfter/trigonometri.
Nu skal vi finde ud af hvor meget vi har lært og vi skal lærer hvordan man kan bruge
disse ting i praksis. Derfor har vi fået stillet en projektopgave hvor vi skal bruge de tre
ovenstående emner for at kunne udregne dette.
Opgaven hedder ”Vægdrejekranen”, her har vi fået to ”underopgaver”, der skal løses:
Taget fra Teknisk Matematik af Preben Madsen.
a) Du skal vise, at der er ligevægt mellem vektorbelastningerne og
vektorreaktionskræfterne.
b) Du skal bestemme samtlige vektorstangkrafter i gitteret og angive, om de er
træk- eller trykstænger.
Matematisk analyse.
Hvad skal jeg bruge for at løse dette problem?
I vores matematik bog ”Teknisk Matematik” fik vi de nødvendige oplysninger til at
løse opgaven.
¨
Vektorreaktionskræfterne:
H
A
= 19.32kN
H
B
= 14.32kN
V
B
= 10,66kN
Vektorbelastninger:
F
1
= 2kN
F
2
= 10kN
sn_opgave_83658.doc - 4 -
[navn fjernet] 1.v HTX – Sukkertoppen
Jeg vil starte med at fortælle kort om de forskellige ”værktøjer” som jeg har brugt for
at løse denne opgave.
Vektor.
Der findes to forskellige slags vektorer. En matematisk- og en fysisk vektor.
Den matematiske vektor indlægges i et koordinatsystem og er angivet med
endepunkternes koordinater.
Fx (5.3) så ”går” man 5 punkter ud af x-aksen (den vandrette) og derfra 3 op af y-
aksen (den lodrette). Fra punktet (5.3) konstruerer man en linie til punktet (0.0)
denne linie kalder man resultanten. Hvis du så skal finde længden af resultanten gør
man således:
22
yxP
I denne opgave bruger vi den fysiske vektor, som skal beregnes ud fra trigonometri
og denne angives med vinkler og længder.
Fx
Derefter opløses P i en vandret og en lodret komposant.
Ud fra nedenstående ligninger kan man finde P.
Det er selvfølgelig forskelligt hvilken ligning man bruger, mht. om det er en lodret
eller vandret kræft du skal finde.
|vandrette komposant|* cos(V) = P
|lodrette komposant|*sin(V) = P
sn_opgave_83658.doc - 5 -
[navn fjernet] 1.v HTX – Sukkertoppen
Jeg vil tage Knudepunkt 1 som et eksempel.
Her har jeg ”klippet” første knudepunkt ud.
De stiplede linier skal symbolisere de lodrette og de vandrette komposanter, af
henholdsvis S
1
og F
2
.
Derefter regner vi de lodrette komposanter med ligningen nedenunder:
kNS
S
S
S
V
43.19
4478,0
66.8
0
0)30cos(10)6,26sin(
0
1
1
1
1
På denne måde får vi vektor S
1
til 19.43kN.
Ved at udregne de vandrette komposanter finder vi derefter vektor S
2
.
På denne måde fortsætter man videre til næste knudepunkt. Dette finder du ved at
sige du må være max to ubekendte vektorer.
sn_opgave_83658.doc - 6 -
[navn fjernet] 1.v HTX – Sukkertoppen
Trigonometri.
I denne opgave bruger vi cosinus og sinus da vi som tidligere nævnt skal regne med
nogle vinkler.
nhypo tenuse
kateteehosliggend
VusCo )(sin
nhypotenuse
katetestående
VSinus
mod
)(
Kræfter.
Vi arbejder med to slags kræfter
Stangkræfter.
Det er stængernes kræfter. Disse skal bruges til at bringe ligevægt mellem vektorerne
i deres knudepunkter. Det vil sige at i det punkt hvor vektorerne mødes skal de
udligne hinanden, altså det skal give 0.
Eksempel:
03.2
03.2
0
0
5
5
5
56
56
S
S
S
SHS
HSS
H
B
B
203.2
0
H
Yderkræfter.
Er de kræfter som påvirker kranen udefra.
Fx vægen som kranen står/hænger på, og så det som kranen skal løfte.
sn_opgave_83658.doc - 7 -
[navn fjernet] 1.v HTX – Sukkertoppen
Ligevægtsbetingelser.
Det vil sige at der trækkes/ trykkes lige meget på alle sider af knudepunktet.
Man deler det her op i
0
0
kateterHøjsontale
kateterVertikale
Dokumentation.
Knudepunkt 1
Stangkræft 1
kNS
S
S
S
V
43.19
4478,0
66.8
0
0)30cos(10)6,26sin(
0
1
1
1
1
Stangkræft 2
kNS
S
S
S
SS
H
29.12
29.12
0529.17
0)30sin(10)6.26cos(34.19
0)30sin(10)6.26cos(
0
2
2
2
2
12
sn_opgave_83658.doc - 8 -
[navn fjernet] 1.v HTX – Sukkertoppen
Knudepunkt 2
Stangkræft 3
kNS
S
S
SF
V
2
2
02
0
0
3
3
3
31
Stangkræft 6
kNS
kNS
S
SS
H
29.12
29.12
029.12
0
0
6
6
6
62
sn_opgave_83658.doc - 9 -
[navn fjernet] 1.v HTX – Sukkertoppen
Knudepunkt 3
Stangkræft 5
57.9
7511.9
9.0
066.10)6.26sin(03.2
0)6.26sin(
0
/
7
7
/
57
S
S
S
S
VSS
V
B
03.2
03.2
0
0
5
5
5
56
56
S
S
S
SHS
HSS
H
B
B
sn_opgave_83658.doc - 10 -
[navn fjernet] 1.v HTX – Sukkertoppen
Knudepunkt 4
Stangkræft 4
kNS
S
S
HS
H
A
6.21
8941.0
32.19
1.0
0)6.26cos(
0
4
4
4
4
sn_opgave_83658.doc - 11 -
[navn fjernet] 1.v HTX – Sukkertoppen
Syntese.
Nu har jeg så bevist at der er ligevægt mellem stængerne, og jeg har vist hvilke
kræfter stængerne har.
Stænger
Trykkræfter
Trækkræfter
S
1
S
1
= 19.34kN
S
2
S
2
= 12.29kN
S
3
S
3
= 2kN
S
4
S
4
= 21.6kN
S
5
S
5
= 2.03kN
S
6
S
6
= 12.29kN
S
7
S
7
= 9.57kN