[navn fjernet] SRO - Valgsystemer 11.02.11
Mat. / Samf. – JL / TH Langkær Gym. 2.u
Side 1 af 10
Indholdsfortegnelse
Abstract
Side 2
Indledning
Side 2
Redegørelse
Side 2-3
D’Hondts metode og Største Brøks metode
Side 3
Sammenligning af fordelingsmetoder
Side 3-5
Geometrisk forklaring samt Alabamaparadokset
Side 5-6
Mandatfordeling af meningsmåling
Side 7-8
Diskussion
Side 8-9
Konklusion
Side 9
Litteraturliste
Side 10
[navn fjernet] SRO - Valgsystemer 11.02.11
Mat. / Samf. – JL / TH Langkær Gym. 2.u
Side 2 af 10
Valgsystemer
Abstract
In this task I have worked with different kinds of electoral systems, below their advantages and
disadvantages. Furthermore I have worked with two different distribution methods, as well as the
problems that may arise on the way, such as the Alabama paradox. Here I have used mathematics
as a explanation. Finally, I used the above knowledge to discuss the electoral systems’ democratic
representatively as well as management efficiency.
Indledning
Man skulle umiddelbart tro at der måtte være én smart måde, hvorpå en mandatfordeling mellem
flere partier kunne fortages, der kunne gøres brug af i hele verdenen. Dette viser sig ikke at være
tilfældet. Der findes for det første forskellige valgsystem, og for det andet findes der forskellige
fordelingsmetoder under disse valgsystemer. Hver at disse valgsystemer og fordelingsmetoder har
sine fordele og ulemper, og jeg vil i følgende opgave, blandt andet med hjælp fra matematikken,
belyse disse. Afslutningsvis vil jeg diskutere valgsystemerne med henblik på demokratisk repræ-
sentativitet samt styremæssigt effektivitet.
Redegørelse af flertalsvalg i enkeltmandskredse og forholdstalsvalg
I følgende afsnit vil jeg sætte specielt fokus på to forskellige valgsystemer, samt to underordnede
metoder til det ene valgsystem.
Flertalsvalg i enkeltmandskredse er en måde at fordele mandater på, der kræver at et land er op-
delt i valgkredse. Eksempelvis USA, som er opdelt i stater, der hver er en valgkreds. Hvis der i en
valgkreds blot stiller to kandidater op, gælder det for kandidaterne om at få over 50 % af stem-
merne. Det gælder altså helt enkelt om at få flest stemmer. Dette kaldes ”first-past-the-post”,
hvor de resterende stemmer vil bortfalde helt, og de der ikke vinder altså taber alt, og intet får ud
af valget. Det parti der har vundet i flest stater, har så vundet det samlede valg. Et eksempel på at
der kun findes én vinder i et flertalsvalg, kan være en situation med fire kandidater, kandidat A, B,
C, og D. A får 34 %, B får 16 %, C får 31 %, D får 7 % og 12 % stemmer blankt. Selvom kandidat A og
[navn fjernet] SRO - Valgsystemer 11.02.11
Mat. / Samf. – JL / TH Langkær Gym. 2.u
Side 3 af 10
C har næsten lige mange stemmer, er det parti A der vinder valget, og de tre andre kandidater har
altså intet at sige.
Forholdstalsvalg derimod er ikke helt så simpelt, men en mere præcis måde at uddele mandater
på, på baggrund af befolkningens stemmer. Alle stemmer på hvert enkelt parti er af betydning.
Dog skal et parti nå over spærregrænsen, der i Danmark er på 2 %, dvs. at de skal have mindst 2 %
af de samlede stemmer. Her er der ikke kun én vinder af valget, men en fordeling af mandater til
de forskellige partier, afhængigt af stemmeandelen. Dette gøres der brug af i fx Danmark, hvor vi
har et Folketing der består af flere forskellige politiske partier. Parlamentet afspejler dermed væl-
gernes holdning godt. Der er i Folketinget 179 pladser der skal besiddes, heraf to til Færøerne og
to til Grønland. 139 af mandaterne bliver fordelt ud til folketingsmedlemmer rundt omkring i lan-
det. De resterende mandater er tillægsmandater. Tillægsmandaterne fordeles mellem partierne
for at sikre en mere lige fordeling. Indenfor forholdsvalget findes der to metoder, der kan gøres
brug af.
D’Hondts metode og Største Brøks metode
Største Brøks metoden er en måde, hvorpå man tildeler mandater ud fra et partis kvota. Ved at
dividere et partis stemmer med det samlede stemmetal findes % -delen af det samlede antal
stemmer. Ved at dividerer % -delen med antallet af mandater der skal være, findes partiets kvota.
Derefter tildeles antallet af mandater ud fra heltalsdelen af kvotaen. Da de ”hele” mandater er
tildelt, tildeles resten af mandaterne ud til de partier med den største brøkdel, deraf navnet.
En anden måde at fordele mandaterne på, er ved hjælp af D’Hondts metode. Metoden er indført
af den belgiske jurist og matematiker Victor D’Hondt i 1878. Metoden går ud på at man dividerer
stemmetallet for partierne med divisionerne 1, 2, 3 osv. I Danmark bruges divisionerne 1, 4, 7 og
10, der giver de mindre partier en større chance for at få tildelt mandater, da afstanden mellem
kvotienterne bliver større. Efter at have lavet divisioner på tallene tildeles mandaterne ét efter ét
til de største divisioner.
Sammenligning af de to fordelingsmetoder samt forklaring af Alabamapa-
radokset
[navn fjernet] SRO - Valgsystemer 11.02.11
Mat. / Samf. – JL / TH Langkær Gym. 2.u
Side 4 af 10
I følgende afsnit vil jeg sammenligne de to fordelingsmetoder Største Brøk og D’Hondt med et
tænkt eksempel. Ud fra dette vil jeg se nærmere på eventuelle forskelle samt en forklaring af Ala-
bamaparadokset med hjælp af geometri.
For at lave en sammenligning af fordelingsmetoderne, vil jeg fordele syv mandater ud til tre partier
med vha. de to forskellige metoder:
Største Brøks metode:
Parti
Stemmer
%
Kvota
”Hele mandater”
Rest
Mandater
A
176
24,011
1,681
1
0,681
2
B
309
42,156
2,951
2
0,951
3
C
248
33,833
2,368
2
0,368
2
Samlet
733
100 %
7
5
2
7
D’Hondts metode:
Divisioner
Mandater
Parti
Stemmer
1
2
3
A
176
176
3
88
7
58,7
2
B
309
309
1
154,5
4
103
6
3
C
248
248
2
124
5
82,7
2
Samlet
733
7
I dette tilfælde er udfaldet ens ved de to metoder. Parti A vil få to mandater, B vil få tre og C vil
ligeledes få tildelt to mandater. Dette er dog ikke altid tilfældet, og det er Alabamaparadokset et
godt bevis på. I 1880 i USA opdagede man at hvis det samlede antallet af mandater blev øget vil
antallet af de mandater staten Alabama fik tildelt falde. Dette synes altså ikke at hænde sammen.
Dette vil jeg illustrere med et eksempel fra materialet ”Mandatfordelingsproblemet”, hvor vi kun
har med tre partier at gøre
1
Parti A, B og C skal have fordelt fem mandater ved hjælp af Største Brøks metode:
1
http://www.matematiksider.dk/mandatfordelinger.html
[navn fjernet] SRO - Valgsystemer 11.02.11
Mat. / Samf. – JL / TH Langkær Gym. 2.u
Side 5 af 10
Parti
Stemmetal
%
Kvota
”Hele mandater”
Rest
Mandater
A
6
10,0
0,50
0
0,50
1
B
37
61,7
3,08
3
0,08
3
C
17
28,3
1,42
1
0,42
1
Samlet
60
100 %
5
4
1
5
Ændrer man derefter det samlede antal mandater der skal uddeles, til seks i stedet for de før fem,
vil fordelingen af mandaterne se således ud:
Parti
Stemmetal
%
Kvota
”Hele mandater”
Rest
Mandater
A
6
10,0
0,60
0
0,60
-
B
37
61,7
3,70
3
0,70
4
C
17
28,3
1,70
1
0,70
2
Samlet
60
100 %
5
4
2
6
Altså ved at sætte det samlede mandatantal op bliver parti A ”snydt” for deres ene mandat, idet
rest-brøken bliver mindre, og de to sidste mandater så bliver tildelt parti B og C. Dette kan illustre-
res vha. geometri
2
.
Geometrisk forklaring samt Alabamaparadokset
Denne teori kan kun holde skik, hvis vi har med tre partier at gøre. Hvis
der er tale om situationer med fire eller flere partier, er der behov for
geometri i flere dimissioner. Trekanten til højre viser en ligesidet tre-
kant, hvor linjerne u, v og w svarer til højden i trekanten. De tre linjer
står vinkelret på trekantens sider, og mødes i punktet P. Højden i tre-
kanten er 100 % og derfor kan det siges at u + v + w = 100 %. Derved
præsenterer de tre linjer stemmeandelen for hhv. parti A, B og C. Parti A for stemmeandelen for
linjen u, parti B for linjen v og sidste for parti C stemmeandelen for linjen w. Ud fra dette skal det
så gøres muligt at aflæse partiernes mandattal i trekanten ved at udregne mandattallets andel af
det samlede antal mandater. Dette kan vises med et eksempel, hvor fem mandater skal fordeles
mellem de tre partier.
2
http://www.matematiksider.dk/mandatfordelinger.html
[navn fjernet] SRO - Valgsystemer 11.02.11
Mat. / Samf. – JL / TH Langkær Gym. 2.u
Side 6 af 10
Hvis der gøres brug af Største Brøks metoden kan dette illustreres
med figuren til venstre. De mulige mandatfordelinger er her vist
ved de orange prikker i trekanten. Stemmefordelingen er placeret i
punktet P. Stemmetalsfordelingspunktet P er placeret inde for
mandatfordelingspunktet M. Hver af de grønne sekskanter er altså
er mandatfordelingsområde hvor P kan ligge. I dette tilfælde ligger
P lige på kanten mellem to mandatfordelingspunkter, og det er
derfor en vurderingssag hvordan mandaterne skal fordeles. Hvis vi
fra den første trekant ser på linjen v, vil jeg forklare hvordan man
afgører antallet af dets mandater. De orange prikker der ligger på
linjen CA, ligger inde for det mandatfordelingspunkt, der giver par-
ti B nul stemmer. Rykker man derimod op i næste mandatforde-
lingspunk vil partiet få et mandat. Derfor, når man skal rykke tre orange prikker op for at finde det
område P ligger i, vil B få tildelt tre mandater. Grunden til at det kan være en vurderingssag i den-
ne situation, er at det kan diskuteres hvorvidt det er parti A eller B, der har ret til den sidste
stemme, idet punktet P ligger lige på kanten mellem de to mandatfordelingspunkter. Parti C’s linje
w skal rykke én orange prik ind, og får derfor et mandat, ligeledes med linjen u. Dette ser umid-
delbart meget smart ud, men det er her der kan opstå problemer, hvis det samlede mandattal
bliver forstørret, ligesom der skete i Alabama.
Her er det vist hvordan ”maskerne” i en situation med fem manda-
ter skulle fordeles. Oven over er ”maskerne” lagt for hvordan det
vil se ud med seks mandater. Med blåt er markeret nogle af de
steder, hvor Alabamaparadokset vil opstå. I situationen med fem
mandater vil P altså her ligge i et mandatfordelingsområde, hvor
parti A vil få et mandat. Er det derimod seks mandater der skal
fordeles, vil P blive rykket ud i det område der viser en forskydning,
hvor P kommer ud i det mandatfordelingsområde, hvor A vil få nul stemmer. Deri ligger altså pro-
blemet der umiddelbart virker meget usandsynligt, at ved at det samlede mandattal bliver større,
kan et parti risikere at få tildelt færre mandater.
[navn fjernet] SRO - Valgsystemer 11.02.11
Mat. / Samf. – JL / TH Langkær Gym. 2.u
Side 7 af 10
Mandatfordeling af selvvalgt meningsmåling
Her vil jeg foretage en mandatfordeling på baggrund af en selvvalgt meningsmåling, vha. både
Største Brøks metode samt D’Hondts metode.
Følgende meningsmåling viser, hvordan den danske befolkning vil stemme, hvis der var folketings-
valg i morgen, og er fortaget af Greens d. 04/02-11
3
. Undersøgelsen bygger på telefonisk svar fra
1053 personer, og derved kan jeg omregne % -delen til de faktiske stemmer, der er behov for at
kende i efterfølgende udregninger. Der skal ses bort fra de dobbelte søjler, det er blot det samme
de viser. Der laves nu en mandatfordeling med de to forskellige metoder; Største Brøk samt
D’Hondt.
Største Brøks metoden
Parti
Stemmer
%
Kvota
”Hele mandater”
Rest
Mandater
A
329
31,2
54,6
54
0,6
55
B
59
5,6
9,8
9
0,8
10
C
57
5,4
9,45
9
0,45
9
F
164
15,6
27,3
27
0,3
27
K
6
0,6
1,05
1
0,05
1
O
130
12,3
21,525
21
0,525
-
V
224
21,3
37,275
37
0,275
37
I
46
4,4
7,7
7
0,7
8
Ø
35
3,3
5,775
5
0,775
6
3
http://politiken.dk/politik/meningsmaaleren/
[navn fjernet] SRO - Valgsystemer 11.02.11
Mat. / Samf. – JL / TH Langkær Gym. 2.u
Side 8 af 10
Øvrige
3
0,3
0,525
0
0,525
-
Samlet
1053
100 %
175
170
5
175
D’Hondts metoden
Divisioner
Mandater
Parti
Stemmer
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
329
329
1
164,5
3
109,7
7
82,3
8
65,8
11
54,8
16
47
18
41,1
36,6
7
B
59
59
13
29,5
19,7
14,8
11,8
9,8
8,4
7,4
6,6
1
C
57
57
14
28,5
19
14,3
11,4
9,5
8,1
7,1
6,3
1
F
164
164
4
82
9
54,7
17
41
32,8
27,3
23,4
20,5
18,2
3
K
6
6
3
2
1,5
1,2
1
0,9
0,8
0,7
-
O
130
130
5
65
12
43,3
32,5
26
21,7
18,6
16,3
14,4
2
V
224
224
2
112
6
74,7
10
56
15
44,8
20
37,3
32
28
24,9
5
I
46
46
19
23
15,3
11,5
9,2
7,7
6,6
5,8
5,1
1
Ø
35
35
17,5
11,7
8,8
7
5,8
5
4,4
3,9
-
Øvrige
3
3
1,5
1
0,8
0,6
0,5
0,4
0,4
0,3
-
Samlet
1053
20 (175)
For at færdiggøre mandatfordelingen med D’Hondts metoden skal man lave helt op til mindst 55
divisioner, da det er det antal mandater der er det højeste der bliver tildelt, hvert fald med Største
Brøks metoden. Det vil være af for stort et omfang for denne opgave, men jeg har her lavet op til
ni divisioner, blot for at illustrere hvordan man arbejder med metoden. Der har jeg fordelt 20
mandater, for at vise hvordan billedet vil se ud hvis det var 20 og ikke 175 mandater der skulle
fordeles.
Diskussion
Med henblik på demokratisk repræsentativitet og styringsmæssigt effektivitet vil jeg nu diskutere
de forskellige valgsystemer, som jeg har arbejdet med i denne opgave.
Kort sagt kan man sige, at flertalsvalget i enkeltmandskredse er præget et en forholdsvis lille de-
mokratisk repræsentativitet samt en stor styringsmæssig effektivitet. Med ”first-past-the-post” –
systemet bliver resultatet sådan at kun et parti sidder på magten i et land. Det er størstedelen af
landets borgere der deler holdninger med dette parti, men den resterende del får meget svært
ved at skære igennem, hvis der er noget de er uenige i. Ser man igen på et land som USA med kun
to store partier, republikanerne og demokraterne, er det det vindende parti, der i en fireårig peri-
[navn fjernet] SRO - Valgsystemer 11.02.11
Mat. / Samf. – JL / TH Langkær Gym. 2.u
Side 9 af 10
ode styrer landet. Dog med midtvejsvalg hver fjerde år, med en forskydning på to år. Valgsystemet
sikrer dog at ekstremistiske partier på enten højre- eller venstrefløjen ikke får mulighed for at få
indflydelse på landets magt. Effektivitetsmæssigt er flertalsvalget i enkeltmandskredse dog let og
ligetil. Da det netop kun er det ene parti der har magten, er det meget ligetil at skære igennem
med lovforslag, da partiet naturligvis har et flertal i parlamentet. Der er altså ikke så mange der
skal overbevises om lovforslagets vigtighed og rigtighed, og hele processen er forholdsvis hurtig,
da den ikke møder megen modstand. Dog opstår der sommetider den situation, at præsidentens
parti taber flertallet i det ene kammer eller endog i begge, og der kan derved opstå en fastlåst po-
litisk situation.
Forholdstalsvalget er groft sagt stik modsat, præget af en stor demokratisk repræsentativitet og en
mindre styringsmæssig effektivitet. Vi har fx i Danmark et Folketing med hele ni forskellige partier,
opdelt i regeringen og oppositionen. Befolkningen er bredt repræsenteret gennem disse forskelli-
ge partier, og det er derved et meget demokratisk valgsystem. Idet at så mange partier er repræ-
senteret i Folketinget kan det dog påvirke at effektiviteten mindskes. Her er altså flere partier der
har noget at skulle have sagt, før en lov kan blive gennemført. Dette er dog ikke hele virkelighe-
den, da stort set alle lovforslag de sidste mange år er gennemført alene ved regeringen og deres
støtteparti. Det er således en længere proces at skulle gennemføre lovforslag osv., og dette kan
føre til en del kompromisser der måske ikke ellers ville have fundet sted.
Konklusion
Efter at have arbejdet med overstående opgave kan jeg konkluderer, at de forskellige valgsyste-
mer har hver deres styrker og svagheder. Dette gælder specielt Største Brøks metoden, der har
det smuthul, kaldt Alabamaparadokset, hvor det der virker usandsynligt, kan blive en realitet.
Nemlig at ved at forøge det samlede mandattal, kan et enkelt partis mandattal falde.
Ligeledes kan det konkluderes at hvis man ønsker et samfund der er stor demokratisk repræsenta-
tivt, men mindre styringsmæssigt effektivt er et valgsystem med forholdstalsvalg en god løsning.
Ønsker man derimod et samfund der er mindre demokratisk repræsentativt men mere styrings-
mæssigt effektivt er et valgsystem med flertalsvalg i enkeltmandskredse et fremragende bud på
dette.
[navn fjernet] SRO - Valgsystemer 11.02.11
Mat. / Samf. – JL / TH Langkær Gym. 2.u
Side 10 af 10
Litteraturliste
Tekster:
”Jeffersons metode og D’Hondts metode er ækvivalente” af Erik Vestergaard fra
www.matematikfysik.dk
”Mandatfordelinger og retfærdighed” af Erik Vestergaard fra www.matematiksider.dk
Links:
http://www.matematiksider.dk/mandatfordelinger.html
http://politiken.dk/politik/meningsmaaleren/
http://valg.sum.dk/~/media/Filer-valg-dk/Valgsystemet/opgoer-FTvalg.ashx