2010
[navn fjernet] Skole –
Vibenhus
Projektet udarbejdet af: Mastoora
Hassan Vejleder: Frits E. & Ian K
Projektarbejde nr.5 – Vandtårnet
[navn fjernet] Skole Afleveringsdato: 11.02.10
Mastoora Hassan 3.x Matematik A lærer: Frits E. & Ian K.
Indledning
Jeg har i dette projekt beskæftiget mig med et nyt anlægsarbejde i Snestrup kommune, hvor man har lagt op
til at skulle bygge et vandtårn. Som sædvanlig griber ingeniør Hansen til den letteste løsning, hvor han
trækker et gammelt vandtårns projekt op, og beslutter sig hurtigt at det tidligere vandtårn, som var bygget for
35 år siden i Østbyen, med stor sikkerhed er godt nok til Snebakkebydelen.
Men der er nogle yngre teknikker, som ser lidt skeptisk overfor Hansens vandtårns dimensioner. Især er det
Orla von Thurnundtaxis der mener at dimensionerne ikke passer, fordi enhver ved en gennemsnitborger
bruger 200 liter vand i døgnet, og at ingeniør Hansens vandtårn ikke kan rumme Snebakkebydelen
vandforbrug engang for to døgn. Derfor går han i gang med anlægsarbejde til sit eget vandtårns projekt. I
dette hjælper vi ham med hans beregninger og finder ud af om Orlas vandtårn kan rumme to døgns
vandforbrug, hvis ikke, har vi så andre muligheder.
Jeg vil svar disse spørgsmål bedst mulig ved at bruge formler for pyramidestub, omdrejningslegemer osv.
[navn fjernet] Skole Afleveringsdato: 11.02.10
Mastoora Hassan 3.x Matematik A lærer: Frits E. & Ian K.
Teori
Integralregning
Integralregning er den modsatte regningsart til differentialregning. Det vil sige at hvis nu man differentierer
funktionen og man derefter har dens differentialkvotient, og så integrerer denne differentialkvotient, er
man tilbage hvor man startede, nemlig ved Man integrerer efter samme principper som man
differentierer.
Man har altid et sæt regneregler, som man bruger til at "omskrive" en funktion til en stamfunktion. Dette
gøres delvist ved fastlagte regneregler, og delvist ved brug af integration ved substitution, partiel integration
og andre brugevenlige regneregler.
Følgende regneregler for ubestemte integraler:
hvis og kun hvis .
- (Sum funktion)
- (Differens funktion)
- (Multiplikation med konstant)
- (Partiel integration)
- (integration ved substitution)
Følgende regneregler for bestemte integraler:
-
-
-
Regneregler for integraler
Jeg har valgt at tage beviset med både for integration ved substitution og partiel integration med, da jeg
mener de er rimelig relevante, for mår man står overfor en integrationsopgave, kommer man nemt ud for
dem begge dele.
Integration ved substitution
Integration ved substitution er en metode til integration af sammensatte funktioner – herved man erstatter
eller rettere sagt substituerer den indre funktion. Det betyder at hvis er en sammensat funktion,
er en stamfunktion til og er differentialkvotienten af vil følgende gøre sig gældende:
For at bevise ovenstående bruges kontrol af ligninger, hvor højre side af lighedstegnet differentieres, dette
skulle gerne være lig med venstre side af lighedstegnet:
venstre side fra ovenstående differentieres
[navn fjernet] Skole Afleveringsdato: 11.02.10
Mastoora Hassan 3.x Matematik A lærer: Frits E. & Ian K.
Regnereglen om eller fås ved differentiation af
sammensatfunktion benyttet
Derved er hovedsætningen for
integration ved substitution bevist. Det er også vigtigt at vi fremhæver det i en ramme.
Eksempel på brugen af substitutionsintegration:
Ovenstående udtryk kan også skrives på følgende måde, hvor
:
Partiel integration
Partiel integration er når der ønskes integreret et produkt af f.eks. eller når det er en kvotient
til andre funktioner.
Hvis er en stamfunktion til er følgende gældende:
For at bevise ovenstående bruges kontrol af ligninger, hvor højre side af lighedstegnet differentieres, dette
skulle gerne være lig med venstre side af lighedstegnet:
Regnereglen for differentiation af en differens benyttes
Her er brugt formlen for differentiation af et produkt
Det er nu bevist at den højre side af lighedstegnet er stamfunktionen da det bliver det samme
resultat på begge sider.
Eksempel på brugen af partiel integration:
Funktionen er givet ved:
[navn fjernet] Skole Afleveringsdato: 11.02.10
Mastoora Hassan 3.x Matematik A lærer: Frits E. & Ian K.
I dette eksempel er og . Derfor kan man, ved at bruge den netop beviste formel
opskrive integralet således:
Omdrejningslegemet
Man lader en vilkårlig funktion dreje om enten x eller y-aksen. Derved fremkommer det som man kalder
rumlige figurer eller ved en symmetrisk rotation altså 360° om en ret linje. Denne rette linje findes
ofte som x-aksen eller y-asken i et koordinatsystem. Disse har samme egenskaber som alle andre
funktioner. Man kan ved hjælp af integration bestemme arealer, som man kender det fra det bestemte
integral. Men det er også muligt, at bestemme rumfang på de 3D-figurer, som bliver dannet ved at en
funktion i et koordinatsystem bliver drejet om henholdsvis x- og y-aksen.
”Såfremt dx går mod 0, giver summen af alle intervallerne det tilnærmelsesvis rigtige resultat.”
Dreje om x-aksen:
Ved 360
o
drejning af rektanglet som er langt
og højt fås en cylinder, med radius
og højden er stadigvæk , hvor,
og
Skrives som:
Bevis: Da rumfanget tilnærmelsesvis kan findes ved at sumerer alle intervallerne, kan det korrekte rumfang
som sagt findes ved at lade gå mod 0:
Da:
[navn fjernet] Skole Afleveringsdato: 11.02.10
Mastoora Hassan 3.x Matematik A lærer: Frits E. & Ian K.
Dreje om y-aksen:
Ved 360
o
drejning af rektanglet som er langt og højt fås en cylinderskal, med radius og højden
og tykkelsen , hvor
og
Som også kan skrives:
Bevis: Da rumfanget tilnærmelsesvis kan findes ved at sumerer alle intervallerne, kan det korrekte rumfang
som sagt findes ved at lade gå mod :
Da:
Hvis funktionen er negativ så skal man være opmærksom på at kun følgende gælder:
[navn fjernet] Skole Afleveringsdato: 11.02.10
Mastoora Hassan 3.x Matematik A lærer: Frits E. & Ian K.
Løsningsforslag
Projektet indeholder 4 opgaver med under delspørgsmål og der er flere forskellige metoder til at beregne
disse opgaver:
Opgave 1. I denne del af opgaven er vi oplyst at vandtårnets form er en regulær, firesidet pyramidestub,
og dens demissioner. Dermed anvender jeg formel for pyramidestubbens rumfang, da der er tale om
volumen af ingeniør Hansens vandtårn.
Først og fremmest finder jeg den mængde vand beboerne bruger i Snebakkebydelen for to døgn.
Herefter sammenlignes vandforbruget med resultat fra opgave 1, for at finde ud af om vandtårnet
kan rumme Snebakkebydelens vandforbrug for to døgn.
Opgave 2. Denne første del af opgave 2 går ud på at finde ud af om ingeniør Hansens vandtårn kan rumme
to døgns forbrug til 2000 indbyggere, hvis man regner med et dagligt forbrug på 200 liter pr. indbygger.
Dette findes ved at tage antal beboer gange det med den daglig forbrug på 200 liter pr. indbygger og gang
med to døgn. Derefter sammenligne resultatet fra opgave 1, for at finde ud af om ingeniør Hansens vandtårn
kan rumme nok vand til beboernes 2 døgns vandforbrug.
I den anden del af opgaven sættes vandforbruget lige med pyramidestubs rumfang, hvor højde og nedre
grundflade ønskes at blive bibeholdt. Vi finder nu om hvor meget skal sidelængden forøges, så vandtårnet
kan rumme lige præcis volumen. Dette gøres som sagt ved at bruge den samme formel for pyramidestubben
og isolerer dermed G vha. andengradsligning, som svare til vandtårnets forøget topflade.
Opgave 3. I denne del af opgaven bliver vi oplyst om Orlas nye demissioner for hans projekt, således at
vandtårnets øvre del er således udformet at det udgør en parabelformet omdrejningslegeme om
tårnets lodrette midteraksel. Jeg starter med at opstille en funktionsforskrift ved at brug
koordinaterne for toppunktet B. Herefter finder jeg volumen til den parabelformede vandtårn, ved at
brug omdrejningslegemer rundt om x-aksen med den givne grænseværdi.
Opgave 4. Da jeg i denne del af opgaven kender til mængden af vandforbrug for to døgn til
Snebakkebydelen, sætter jeg den lig med integralet af parabelens funktion, hvor grænseværdien går
fra 0 til den ukendte værdi, som svar til den højde, der ønskes for at kunne rumme mængden af
vand for to døgn. Den ukendte værdi for højden isoleres ved hjælp af Matcade 14.
[navn fjernet] Skole Afleveringsdato: 11.02.10
Mastoora Hassan 3.x Matematik A lærer: Frits E. & Ian K.
Dokumentation
Opgave 1. Beregn hvor meget vand ingeniør Hansens vandtårn kan rumme. Tårnets vandbeholder er
konstrueret som en regulær, firesidet pyramidestub med indre mål som det fremgår af fig.1:
For at bestemme hvor meget vand ingeniør Hansens vandtårn kan rumme, bruger følgende formel for
pyramidestub:
Hvor den store grundlinje
og den lille grundlinje
og
højde , som så indsættes i ovenstående formel:
Opgave 2. Snebakkebydelen vil fuldt udbygget have 2000 indbyggere. Kan ingeniør Hansens vandtårn
rumme to døgns forbrug til beboerne, hvis man regner med et dagligt forbrug på 200 l pr. indbygger?
Hvis ikke, hvor meget skal sidelængden i tårnets topflade forøges med for præcis at rumme det nødvendige
volumen, når højde og nedre grundflade ønskes bibeholdt? Sidelængden ønskes angivet med én millimeters
nøjagtighed.
[navn fjernet] Skole Afleveringsdato: 11.02.10
Mastoora Hassan 3.x Matematik A lærer: Frits E. & Ian K.
a) Til at starte med finder jeg på følgende måde om ingeniør Hansens vandtårn kan rumme to døgns
forbrug til beboerne, hvis man nu regner med et dagligt forbrug på 200 liter pr. indbygger:
Det vil så sige at ingeniør Hansens vandtårn ikke kan rumme to døgn forbrug til beboerne, da den er
alt for lille.
b) For at bestemme hvor meget sidelængden i tårnets topflade G, skal forøges med for præcis at rumme
det nødvendige volumen, når højden og nedre grundflade ønskes at beholde, anvender jeg igen
formelen for pyramidestubben, og sætter lige med
og isolere dermed den store
grundlinje:
I dette tilfælde er :
[navn fjernet] Skole Afleveringsdato: 11.02.10
Mastoora Hassan 3.x Matematik A lærer: Frits E. & Ian K.
Jeg divider med
over på lighedstegn og får ligningen til:
Hermed beskæftiger vi os med andengradsligningen, hvor jeg først starter med at finde dens
diskriminanten
:
Diskriminanten:
Derefter anvender formel for andengradsligning for at bestemme x-værdierne:
Den fundet positive x-værdi indsættes ind i formel for pyramidestubben for at bestemme hvor meget
sidelængden i tårnets topflade i dette tilfæde, skal forøges med for præcis at rumme det
nødvendige volumen:
Det vil så sige at tårnets topflade skal være , for at få et vandtårn der skal kunne rumme til
den pågældende vandmængde.
[navn fjernet] Skole Afleveringsdato: 11.02.10
Mastoora Hassan 3.x Matematik A lærer: Frits E. & Ian K.
Opgave 3. Orla von Thurnundtaxis har endvidere en svaghed for runde former! (hvem har ikke det…..…).
Han foreslår derfor, at vandtårnet i stedet udformes så overdelen udgøres af et parabelformet
omdrejningslegeme om tårnets lodrette midterakse. Han har i sin tidligere ansættelse i Solby kommune været
med til at projektere sådan et vandtårn og har stadig en af tegningerne herfra liggende; se fig.2. Buen fra B til
C er del af en parabel med toppunkt i B og målene på fig.2 gælder for den indre vandbeholder, som
fremkommer når parablen drejes om tårnets lodrette midterakse (det skraverede område). Beregn hvor stort
et volumen dette vandtårn kan rumme. (Hint: Det kan være en fordel at indlægge et koordinatsystem med x-
akse på tårnets lodrette akse!)
For at bestemme hvor stort et volumen dette vandtårn kan rumme til drejning om x-aksen starter jeg med at
beregne forskriften for parablen.
Derefter indsætter jeg det kendte punkter og beregne derudfra b-værdien:
Dermed indsætter jeg den fundne b-værdi ind i funktionsforskriften, hvor det kendte punkter er nu
og isolere dermed a-værdien:
Hvilket giver følgende funktionsforskrift for vores parabel;
Jeg finder hermed rumindholdet ved at lave en omdrejningslegemer om x-aksen, hvor funktionen er givet
ved med følgende begrænsning:
Det vil sige at:
[navn fjernet] Skole Afleveringsdato: 11.02.10
Mastoora Hassan 3.x Matematik A lærer: Frits E. & Ian K.
Opgave 4. Kan Orla von Thurnundtaxis’ vandtårn rumme to døgns vandforbrug for beboerne i snebakke
bydelen? Hvis ikke, må du beregne hvor meget tårnets højde skal forøges med, når nedre grundflade og
parablens forskrift bibeholdes. Resultatet ønskes også her angivet med én millimeters nøjagtighed.
Da det ikke er muligt at Orla Thurnundtaxis’ vandtårn kan rumme to døgn vandforbrug i Snebakke bydelen,
er vi nødt til at forøge tårnets højde en vis grad, når både den nedre grundflade og parablens forskrift
bibeholdes. Dette bestemmes på følgende måde:
Jeg vha. Matcade 14, isoler c-værdien ved at flytte
på den anden side af lighedstegn og sætte derefter
ligningen lig med 0. Marker derefter c, trykker på symbolic – variable og solve:
[navn fjernet] Skole Afleveringsdato: 11.02.10
Mastoora Hassan 3.x Matematik A lærer: Frits E. & Ian K.
Maskinen svar tilbage med et reelt tal og fire komplekse tale:
x
5
320
x
3
6
4 x
800
0
0111
i
i
2745 0688i
2745 0688i
Jeg tager det reelt tal og indsætter i ligningen i stedet for c-værdien:
Vi kan også udlade at minus ligningen fra
og bare nøjes med at:
Eller sæt vores c-værdi ind i den oprindelige ligning:
Det vil så sige at tårnet højde skal forøges med , eller den skal være .
[navn fjernet] Skole Afleveringsdato: 11.02.10
Mastoora Hassan 3.x Matematik A lærer: Frits E. & Ian K.
Konklusion
Jeg kan hermed ud fra dokumentationer konstatere, at det har været et meget spændende projekt at
beskæftige sig med. Da ingeniør Hansens vandtårn ikke kan rumme to døgns, altså
vandforbrug for
Snebakkebydelen, er hans projekt derfor ubrugeligt. Men til gengæld lykkes det for den unge tekniker Orla
Thurnundtaxis og hans rundformede vandtårn med forøget højde kraven for at kunne rumme to døgns
vandforbrug, som de forhåbentlig vil få gavn af. Jeg har hermed også fået et større overblik over
omdrejningslegemer om x og y-akserne.