STX 3.g
Studieretningsprojekt - Matematik A og Historie A
Side 1 af 29
Abstract
This project examines the Old Kingdom of Egypt to understand the importance of the pyramids and
the mathematic for the structure of its society. The Old Kingdom is without doubt one of the most
glorious societies of old times, and is still looked upon with great fascination, which makes it an
interesting subject to investigate. An understanding of their mathematic expertise might give an
insight to solve some of the mysteries of this once magnificent kingdom.
Through the paper it will be expounded how great mathematic skills the Egyptians had, and how
well they were able to put them into practice, even without the modern aid from electronic devices.
There will be looked upon several different kinds of problems which the Egyptians solved, and how
well they match the modern solutions alike. By examining the examples of mathematical problems
for a pyramid, it will be shown how incredibly developed their society had become, and it will be
possible to conclude that the Egyptians were able to, at least theoretically, construct the pyramids.
The proof will be followed up by an analysis of the Egyptians’ society where the structure of it will
be seen upon from different angles. Subsequently, a discussion about the reasons for constructing
the pyramids and thereby what influence the pyramids had upon the Egyptian society will be done.
This study indicates the pyramids and the mathematic had a great influence on the society and its
structure. By seeing it from both a scientific and historical perspective, it is possible to conclude,
with even more confidence, that the Egyptians had had the values for engineering the pyramids, and
maybe even did construct them, even though no one can solve how they did it, yet.
Side 2 af 29
Indholdsfortegnelse
Abstract ................................................................................................................................................ 1
Indledning ............................................................................................................................................ 4
Matematik i Det Gamle Ægypten ........................................................................................................ 5
Addition og Subtraktion ................................................................................................................... 6
Multiplikation ................................................................................................................................... 6
Division ............................................................................................................................................ 7
Ikke-stambrøkerne ............................................................................................................................ 8
Opløsning med Ulige Tal i Nævneren .......................................................................................... 9
Lokalisering af Brøker .................................................................................................................. 9
Regning med Brøker ...................................................................................................................... 11
De Røde Hjælpetal ...................................................................................................................... 11
F-reglen ....................................................................................................................................... 12
-tabellen ............................................................................................................................. 13
-reglen ................................................................................................................................ 13
De Matematiske Beregningers Anvendelse ....................................................................................... 14
Rumfang af pyramidestub .............................................................................................................. 15
Teori 1 – Kvadratet med samme Hjørnetoppunkt ...................................................................... 15
Teori 2 – Kvadratet med samme Midttoppunkt. ......................................................................... 15
Teori 3 – De Fire Pyramider til én. ............................................................................................. 16
Teori 4 – Pyramidestubben ......................................................................................................... 16
Ægyptisk Opgave m. Pyramidestub: .......................................................................................... 17
Moderne Bevis: ........................................................................................................................... 18
Hældningen på Pyramidens Sideflade ............................................................................................ 19
Matematikkens og Pyramidernes Betydning for Det Gamle Rige ..................................................... 21
Hvem byggede pyramiderne? ......................................................................................................... 22
Hvad var pyramidernes formål? ..................................................................................................... 23
Teorierne ..................................................................................................................................... 23
Den ”Ortodokse” Teori ............................................................................................................... 24
Pyramiderne og Matematikkens Betydning efter Ægypternes Tid .................................................... 25
Konklusion ......................................................................................................................................... 26
Litteraturliste ...................................................................................................................................... 27
Side 3 af 29
Bøger: ............................................................................................................................................. 27
Websider:........................................................................................................................................ 27
Artikler: .......................................................................................................................................... 28
Bilag 1 – -tabellen ................................................................................................................... 28
Bilag 2 - Pyramiderne blev bygget indefra ...................................... Error! Bookmark not defined.
Side 4 af 29
Indledning
Meterhøje pyramider står i den golde ørken og gnistrer i den varme sol om en fortid med for længst
glemt viden. Mennesker er i tusinde af år blevet fascineret over dem, og hvorfor ikke? Selv nu om
dage ved man ikke, hvordan man i sin tid har kunnet bygge dem. Det har uden tvivl gennem årene
sat laviner af konspirationsteorier i gang om, hvordan de er blevet skabt. Var væsner fra det ydre
rum, som har bygget dem for os? Eller har de bare i deres ansigts sved og hjernevridning kommet
frem til geniale måder at konstruere bygningsværkerne på? – og hvad var grunden til deres
bebyggelse?
Jeg vil gennem min SRP belyse belægget for, at ægypterne har haft en stor nok matematisk viden til
selv at have konstrueret pyramiderne. Dette vil jeg gøre ved at redegøre og analysere levn fra
fortiden i form af ægyptiske matematikopgaver nedskrevet på papyrusser. De problemer jeg
hovedsageligt vil arbejde med vil være omkring matematik, der kan benyttes under
pyramidebygninger. Eftersom der ingen beviser er for, hvordan de er kommet frem til visse regler
og regnemetoder, vil jeg give nogle mulige bud på, hvordan de kunne have fundet frem til dem.
Derefter vil jeg perspektivere til, hvordan man nu om dage løser og beviser de samme problemer,
samt sammenligner dem for at se, om der har været hold i deres metoder. Jeg vil også kigge på
hvilken rolle samfundsstrukturen har haft på at lade matematikken udvikle sig i den grad, den
gjorde, og hvilken rolle matematikken har spillet i det fjerde dynasti, hvor pyramiderne
hovedsageligt blev opført. Jeg vil også tage et kig på de forskellige teorier omkring konstruktionen
af disse massive bygningsværker, og hvilke formål de har tjent både for faraoen, den almene borger
samt de omkringliggende lande. I forbindelse med opgaven har min primære kilde været bogen
af Jesper Frandsen. Opgaven har et samlet antal anslag på 47.816 der svarer til
ca. 20 normalsider.
1
1
16
http://www.a-t-s.net/shared/images/destinations/giza.jpg
Side 5 af 29
Matematik i Det Gamle Ægypten
Ægypten er et af de ældste samfund, hvortil man har arkæologiske beviser for at matematiske
beregninger har fundet sted. Når man kigger på , så arbejder man hovedsageligt
med arkæologiske litteratur, arkivmateriale, og i denne opgave vil jeg arbejde med Papyrus
Rind(PR), Papyrus Moskva(PM), Papyrus Kahun(PK) og Læderrullen (LR), hvori der er forskellige
matematiske opgaver løst af ægypterne. Nogle af opgaverne tager udgangspunkt i praktiske
hverdags-problemer, mens andre er mere teoretiske. Man mener, at papyrussernes reelle formål var
en måde at uddanne skrivere, men for os i eftertiden har de været af stor nytte til at få klarhed over
deres matematiske kunnen.
Det ægyptiske talsystem var et titalssystem, ligesom det moderne er, dog benyttede de ikke nul. Det
gamle talsystem er heller ikke noget positions system, i stedet blev det opskrevet som addition fra
højre mod venstre. Til
2
nedskrivning brugte ægypterne både hieratisk skrift og hieroglyffer.
3
I
SRP’en vil jeg fokusere på brugen af hieroglyffer. Fx
Brøkregning var heller ikke uset i det Ægyptiske samfund, dog blev det opskrevet på en anden
måde. Alle brøker undtagen
var stambrøker. Hvis der var behov for en ikke-stambrøk, så foregik
det gennem addition af flere brøker, hvormed summen af de forskellige brøker gav den reelle brøk.
Derudover så blev den samme stambrøk heller aldrig genbrugt. Fx skrev de ikke
, heller ikke
men i stedet
Når de nedskrev en brøk, så foregik det ved at påføre et oval-lignende øje ( ) over tallet, dvs.
For nemheds skyld, så vil brøkerne gennem opgaven være betegnet med en streg over sig i de
ægyptiske opgaver fx
Mens brøkerne
vil have to streger over sig:
Ægypterne benyttede sig ligesom man i dag gør af de fire regneoperationer: addition, subtraktion,
multiplikation og division i deres udregninger, dog på en anden måde. Alle ægypternes udregninger
2
12
http://www.virtual-egypt.com/newhtml/hieroglyphics/sample/numbers.htm
3
22
http://www.eyelid.co.uk/numbers.htm
Figur 1 - Oversigt over
Ægyptiske Tal
Side 6 af 29
byggede nemlig på addition. Det tre afsnit om regneoperationer er baseret på J. Frandsens Ægyptisk
Matematik s. 19-24.
Addition og Subtraktion
Disse regnemetoder har været forholdsvis nemme for ægypterne. Under addition spørger man sig
selv ”hvad fås der, hvis der adderes a med b?”, hvilket jo er det samme som de udnytter under
udregning af et tal.
Og eftersom ti 1’ere er 10, så kan det erstattes med et 10-tal og dermed omskrives til:
Det samme foregik naturligvis også for overgangen mellem 10 og 100, 100 og 1.000 osv.
Subtraktion har også været let for ægypterne, eftersom de også her gjorde brug af additionen. Her
vælger de bare at spørge omvendt ”hvad skal der adderes til a for at få b?”
4
Multiplikation
Eftersom multiplikation bare er en forenkling af addition
så har det også været forholdsvis let for ægypterne at arbejde med. Under udregninger opstillede
ægypterne tallene i fordoblingskolonner, da det er lettere at fordoble tal end at udregne et tilfældigt
tal multipliceret med et andet fx :
Ægypterne
Forklaring
/1 7
2 14
/4 28
Resultat 35
Under sammenregning, skulle fordoblingstallene adderes på venstre side indtil de fik det givne tal, i
dette tilfælde 5. De lettest overskuelige resultater blev naturligvis de valgte, og de blev markeret
med et ”/”. Højre søjles tal blev derefter adderet sammen, som gav det endelige resultat, i dette
tilfælde 35, eftersom at 7+28 = 25
4
18
http://www.math.wichita.edu/history/topics/num-sys.html#egypt
Side 7 af 29
Der blev naturligvis aldrig regnet længere i venstre søjle end hen imod det ønskede tal, da de så
ville regne forbi det ønskede resultatet. Det var dog ikke altid at tallene blev fordoblet. I visse
tilfælde havde ægypterne overblikket til at springe nogle fordoblinger over eller multiplicere med
noget andet fx 10, 20 eller 1/10.
Selvom det kan virke som en meget besværlig måde at multiplicere på, så er den faktisk ikke uset af
andre. Mange senere samfund kopierede denne metode, og helt frem mod Romerriget blev denne
fordoblingsidéen stadig brugt. Derudover, skal det måske også påpeges, at det faktisk er den
metode, som vores moderne computere gør brug af, lidt pudsigt…
Division
Division blev klaret ud fra multiplikation, og dermed igen gennem addition. Det var dog stadig den
besværligste af regneoperationerne for de gamle ægyptere, ligesom det sædvanligvis er for os.
Ægypterne brugte den samme metode, som man gør nu om dage, når man vil tjekke noget man har
divideret er korrekt, nemlig divisionsprøven:
Hvis eksemplet fra multiplikation gentages, så ville ægypterne her sige ”hvad skal jeg gange 7 med
for at få 35”, altså:
De ville opstille en tabel ligesom under multiplikation, dog er det denne gang højre side, som skal
holdes øje med. Her må fordoblingstallet ikke overstige resultatet, 35. Højre søjle lægges sammen
for at finde 35, hvorefter de markerede tal lægges sammen til at finde resultatet.
/ 1 7
2 14
/ 4 28
I alt 5
Man kan se at 38+7=35, og derfor må 1+4=5 være resultatet. Hvis det indsættes i regneoperationen
vist ovenover, så kan man regne sig tilbage til, at 5 ér svaret:
Hvis udregningerne ikke gik op i et helt tal, så måtte ægypterne gå ind og benytte andre metoder.
Ligesom de kunne se en fordobling af tallene, så kunne ægypterne også benytte sig af en halvering
af dem. Dette kan fx ses i PR 24, hvor divisionsregnestykket hedder
. regnestykket omskrives
gennem divisionsprøven og vi får:
Side 8 af 29
Ægyptisk Fremgangsmåde
Forklaring
1 8
/2 16
Først blev tallet fordoblet, 8+8=16
4
så bliver tallet halveret
, eftersom en
fordobling vil give et for højt tal og ingen af
tallene sammenlagt kan give det rigtige svar
/
2
Hvorefter det fortsætter til det ønskede svar er
muligt at finde
/
1
I alt
16+2+1=19, derfor må svaret for divisionen være
Det andet de kunne gøre, var at benytte
metoden, hvor man tager
af det første resultat og
derefter halvere, altså
. Dette blev fx benyttet i PR25, hvor divisionstykket lød
Ægyptisk Fremgangsmåde
Forklaring
/1 3
2 6
/4 12
Sidste fordobling, da næste vil overstige tallet 16
2
Division af det første tal med
=2
/
1
En halvering af foregående tal.
I alt 5
3+12+1=16, derfor må svaret være 1+4+
=5
Ligesom ved multiplikation, så kan en skiver med større overblik og evt. erfaring vælge andet en
fordobling og halvering, fx at dele med 5. Dette kan fx ses i PR 21, hvor divisionsstykket
blev
opstillet:
1 15
1
3
1
I alt
Ikke-stambrøkerne
Ægypterne har haft adskillige tabeller til deres hjælp, hvor man bl.a. kan nævne
tabellen, som
menes at være godt brugt. Den blev brugt meget under både multiplikation og division, eftersom
ægypterne, som før nævnt, skrev ikke-stambrøker som summen af flere stambrøker. Sådanne
tabeller er bl.a. fundet i både PR og PK (for at se
-tabellen fra PR, se bilag 1).
-tabellen bestod
naturligvis kun af ulige tal, da 2 delt med et lige tal kan forkortes til en stambrøk. Der er forskellige
Side 9 af 29
måder at skrive ikke-stambrøkerne på, men for at gøre det så overskueligt og let at regne med som
muligt, så har ægypterne haft følgende regler:
- Der foretrækkes så få brøker som muligt og ingen må overstige 4 brøker.
- Nævnerne skal helst være lige numre samt være så små som muligt.
o Den mindste brøk foretrækkes så lille som muligt, dog afviges der, hvis den største
brøk bliver meget stor.
5
Der er dog intet i papyrusserne, som beviser, hvordan de er kommet frem til
-tabellen, så det er
rent gætværk fra forskernes side af.
Opløsning med Ulige Tal i Nævneren
En af de metoder, som forskere gætter på har været benyttet er denne. Man kan bemærke, at
ægypterne har valgt, at alle brøker, hvis nævner går op i 3, 5, 7 eller 11 kun skrives som summen af
to stambrøker. Dette gør de, fordi de følger F-reglen samt
-reglen(jf. afsnittene med samme
navne), fx
. I
-reglen siger at
, hvilket også kan benyttes her
Hvis det i stedet gælder brøkerne, der kan opløses i 5, 7 eller 11, så ændres det til henholdsvis
, at man skal multiplicere med. Det gør at reglerne vil blive:
Man ved ikke med sikkerhed om disse regler er blevet brugt, eftersom der ingen steder er beviser
for det. Men da ægypterne har benyttet denne disse brøker, frem for nogle andre der måske passede
bedre på de førnævnte regler fx er
pænere for brøken
end
, så foretrak de alligevel
den sidste, så gætter man på, de har gjort nytte af den.
Lokalisering af Brøker
Når man arbejder med brøker, kan man med alle ægte brøker bestemme, hvor de ca. ligger på en
tallinje, eftersom de vil ligge mellem to stambrøker. Man kan derfor opskrive følgende
sammenhæng:
For
, hvor
, , og , , så gælder
5
4
, Frandsen, J, s. 30-31
Side 10 af 29
b’s værdi kender vi eftersom at heltalsdivision med samme brøk
vil opfylde:
, hvor det sidste led er det, som er nævnt ovenover.
For at bevise uligheden, deler vi opgaven i 2 dele, men hvor vi begge steder tager udgangspunkt i
s værdi. Bevisførelsen er baseret på J. Frandsens s. 96-97.
Bevis af første del af uligheden,
Først sætter vi a udenfor parentes, så c+1 i førnævnte formel fremkommer:
Herefter dividerer vi med på begge sider af lighedstegnet og forkorter:
Eftersom at a < d, så vil tælleren ikke opnå negativ værdi, hvormed vi kan udlede at
Bevis af anden del af uligheden,
I søger vi at få
til at fremkomme, så vi deler udtrykket med bc på begge sider af
lighedstegnet og fortkorter:
Eftersom vi har bestemt, at alle tallene er positive(dog vil d kunne være 0), så kan vi konkludere
Det betyder fx at hvis vi har brøkerne
og
, så vil man finde c vha. heltalsdivision, og dermed
bestemme indenfor hvilket interval af stambrøker, brøken befinder sig:
Indsat i førnævnte ulighed:
For
gælder det
Side 11 af 29
Hvilket betyder brøken
er en forlænget brøk af
, og kan dermed forkortes til stambrøkens form.
Regning med Brøker
Som tidligere nævnt, så var der visse regler, som ægypterne gik efter under nedskrivning og regning
med brøker. De fire regneoperationer foregår ved brøkregning ligesom ved hele tal. Når man ganger
op eller adderer, så vil man ind i mellem være i stand til at forkorte brøkerne, hvilket ægypterne
også gjorde nytte af(jf. evt afsnit om Lokalisering af Brøker). I nutidens samfund er det let for os at
se, når man fx kan forkorte til hele tal eller mindre brøker, da vi sætter tallene på en fælles
brøkstreg:
. Det samme gjaldt ikke for ægypterne, eftersom de kun
regnede med stambrøker. Derimod havde de andre regler og metoder til at hjælpe sig under
division.
De Røde Hjælpetal
De benyttede sig i stedet bl.a. af det man i dag kalder for ”de røde hjælpetal”, fordi tallene blev
farvet rødt i PRs opgaver. I flere af opgaverne valgte ægypterne bare at angive facittet uden
kommentarer om resultatet, men ind i mellem medtog de mellemregningerne med de røde hjælpetal.
De røde hjælpetal blev set som ”tællere” i forlængede brøker, som fx i PR7A, hvor regnestykket
, eller skrevet som på ægyptisk
, blev udregnet
6
Ægyptisk
udregning
Røde tal
Forklaring
Moderne fællesnævner
Tallene sættes på fællesnævner
med 28, tælleren angives som det
røde tal. Det kunne også have
foregået med 112, som vi nu til
dags ville have gjort
28 4
14 2
7 1
I alt
Resutatet bliver
, eftersom de
røde tal kun opnår halvdelen af
deres fællestal:
Det lette for ægypterne med 28 som fællesnævner var, at det var omregningsfaktoren mellem fingre
og alen, eftersom 1 alen var 28 fingre. Så selvom det for os ser forvirrende og svært ud at regne op
6
2
Ancient Egyptian Science: Ancient Egyptian Mathematics, Glagett, Marshall, s. 27
Side 12 af 29
mod 28, så var det let for dem. Men det var ikke altid 28, som var det fælles tal, fx så havde PR21
tallet 15 og PR41 tallet 64.
7
F-reglen
F-reglen siger ”summen af to stambrøker, hvor den ene er nævner F gange med den anden, er lig
med den stambrøk, hvis nævner er den størstes oprindelige nævnere divideret med F+1”
8
. Det kan
også omskrives til, at hvis den ene brøk er den andens multipliceret med F, så må summen af
brøkerne være den største multipliceret med F+1, dvs.
.
Dette kan bevises ved:
Der står ingen steder eksplicit, at de har benyttet denne regel, men gennem analyser af
opgaveløsninger, hvor de pludselig springer mellemregninger over, kunne tyde på, at F-reglen er
blevet benyttet. Derudover, så er der blevet fundet en tabel i den LR, som viser systemet, hvis de to
sammenlagte brøker er hinandens halvering, altså et særtilfælde af overnævnte regel.
9
Det tyder på, at de har benyttet denne, en lignende tabel, eller måske endda bare huskereglen, til at
udregne brøker hvor disse specialtilfælde gælder.
F-regelen kan også benyttes til at beregne differencen mellem to
brøker. Her vil reglen omformuleres til ”Differencen mellem to stambrøker, hvor den ene nævner er
F gange den anden, er lig med den stambrøk, hvis nævner er den største af de oprindelige nævnere
divideret med F-1”
10
Det betyder, at hvis den ene brøk er den andens brøk multipliceret med F, så
vil differencen mellem dem være den største brøk multipliceret med F-1:
En sådan formel er ikke fundet i ægyptisk arkivmateriale, men en omskrivning af fig. 2 kan give en
tabel for F-reglen ved subtraktion:
7
4
, Frandsen, J, 26-27 og 72
8
4
, Frandsen, J, 28
9
5
Mathematics in the time of the Pharaohs, s. 39
10
4
, Frandsen, J, s. 29
Figur 2 - Tabel over F-regel
Side 13 af 29
Selvom der ingen tabel er over det, så mener man at reglen har været i brug. F-reglen for summer er
bl.a. set i PR18
11
:
Ægyptisk Fremgangsmåde
Forklaring
Gang
med 1
Division ved
reglen(jr afsnit om
reglen)
En halvering af dette tal
I alt
lægges sammen.
kan ses
følger reglen for summer, hvilket giver
(jr. Fig.2 linje 11).
, hvilket er resultatet der er
blevet skrevet.
-tabellen
Den tredje måde de løste division på, var ved at benytte
tabellen(jr. Bilag 1 samt Afsnit om ikke-
stambrøker). Hvis vi fx har divisionen
vil det let kunne udregnes gennem denne metode.
Udregning
Forklaring
Her går
ægypterne ind og slår op i
tabellen,
giver i deres
tabel
Det foregående
resultat halveres. Det er som
regel let, eftersom
ægypterne gik efter visse
regler (jr Afsnit om ikke-
stambrøker)
I alt
-reglen
Et andet særtilfælde er, hvis man skal tage
af en anden brøk. Her mener man, at have en opgave,
PR61B
12
, som er det tætteste på en sætning man har fundet hos ægypterne.
PR61B
Forklaring
11
4
, Frandsen, J, s. 29
12
4
, Frandsen, J, s. 37
Side 14 af 29
Hvordan man bestemmer
af en ulige brøk.
Hvis det siges dig hvad er
af
? Så skal du
gange med
og med
; det er
af det. Gør det
samme med alle ulige brøker
Her er en bestemmelse for, hvordan man
udregner
af en ulige brøk. Fx hvis man
spørges hvad
er, så skal man dividere
tallet med både 2 og 6. Det vil give
af brøken.
Det kan gøres med alle ulige brøker
Dvs. vi kan opstille følgende formel:
Hvis vi udregner PR61B bliver det:
Med 4 forskellige måder at løse division på, har ægypterne skulle have overblik og øje for hvilken
metode, der gjorde det mest simpelt at løse divisionsproblemet.
De Matematiske Beregningers Anvendelse
De forskellige regneoperationer blev brug til mange forskellige ting i den ægyptiske hverdag,
nøjagtig ligesom i dag. Om det var udregning af kornets udnyttelse i øl og brød, arealopmåling af
jordlodder eller beregninger til opførselen af pyramider, så mener man at ægypterne udnyttede at
beregne sig teoretisk frem til tingene næsten ligeså meget, som vi gør nu til dags.
Pyramiderne er det mest storslåede og kendte fra Det Gamle Ægypten, og derfor også hvad jeg vil
fokusere på i denne opgave. Den ældste af pyramiderne kan dateres tilbage til 2700 f.kr og man
regner stærkt med, at selvom de første beviser på matematiske kundskaber først var omkring 1850
f.kr., så er man overbevist om, at der er benyttet matematik til udførelsen af pyramiderne. Hvordan
skulle det ellers være muligt at bygge kvadratiske pyramider, der i sidelængderne kun har en
fejlmargin på 0,01 %? Og hvordan er det muligt at skabe en konstant hældning på de yngre
pyramider? Der skulle uden tvivl mange teoretiske overvejelser til at fuldbyrde nogle så fantastiske
vidundere uden at lave en masse fejl. Der måtte uden tvivl have været ingeniører, arkitekter og
bygningskonstruktører til at få tingene til at gå flydende, ellers ville pyramiderne aldrig have været
bygget på så kort tid, som man regner med. Pyramiderne blev sat i gang, når faraoerne kom på
magten, og skulle være færdig når de døde, eftersom man mener, at pyramiderne var beregnet til at
huse faraoens lig. Nogle mener dog at visse pyramider blev bygget på efter faraoens død også. Men
ligegyldigt hvad, så har betydet, at der var behov for en kæmpe effektivitet fra arbejdernes side af,
når de skulle flytte op mod 2 millioner stenblokke. Cheopspyramiden, som er den største af dem
alle, menes ifølge den græske historiker Herodot at have taget 20 år at bygge, nogle skyder på et
højere antal andre lavere, men nyere undersøgelser peger på 21 år. Dette betyder, at der på en
gennemsnitlig 10-timers arbejdsdag skulle tilrettelægges én stenblok pr andet minut.
13
At det skulle
gå så hurtigt viser tydeligt, at alt var tilrettelagt til mindste detalje og nogen havde overblikket over,
13
27
Pyramiden blev bygget indefra, Dal Hoff, H. s. 53
Side 15 af 29
at det blev fuldført korrekt. Derudover betyder det naturligvis, at ægypterne har haft et godt
kendskab til matematikken, for at kunne virkeliggøre pyramiderne og de andre storslåede
bygningsværker de har opstillet.
Rumfang af pyramidestub
Under opførelsen af pyramider er dens rumfang en god ting at kende til, da det lægger grundlag for
hvor mange og hvor store stenklodser, der er behov for at udhugge, transportere og bruge.
I de papyrusser, der er til rådighed, er der ikke mange forklaringer på, hvordan ægypterne er
kommet frem til deres metoder, og pyramidestubben er ikke nogen undtagelse. Eftersom der ingen
direkte beviser er, så har flere eksperter opstillet gisninger til, hvordan de kunne være kommet til
frem til rumfangsbestemmelse i PM14.
Det første, der er behov for at bevise, er rumfanget på en hel pyramide. Man mener ikke de har haft
en generel metode til at finde formlen, men efter adskillige specifikke beviser, kan man
argumentere for, at det er en brugbar løsning – i hvert fald til nogen falsificerer det. Disse teorier er
baseret på afsnittet om rumfangsbestemmelse fra j. Frandsens , s. 75-78.
Teori 1 – Kvadratet med samme Hjørnetoppunkt
Forestil et kvadrat der er opdelt i 3 lige store pyramider med samme toppunkt oppe i det ene
14
hjørne, samt en hel sideflade af kvadraten som bund. Se fig. 3
En kvadrats rumfang er som bekendt højden, bredden og dybden multipliceret med hinanden, i dette
tilfælde bliver det
.
Eftersom kvadratet er opdelt i 3 pyramider bliver hver af pyramidernes rumfang lig en tredjedel af
kvadratets rumfang:
Da pyramiderne har de kvadratiske sideflader som bund, så opfylder formlen den moderne notation
som siger
Teori 2 – Kvadratet med samme Midttoppunkt.
Her forestilles endnu en kvadratisk firkant, men denne gang opdeles den i 6 lige store pyramider,
hvor hver pyramides bund er en sideflade på kvadratet. Kvadratets rumfang er igen a
3
. Hver enkelt
pyramides volumen bliver dermed
14
21
http://www.mathaware.org/mam/00/master/essays/B3D/2/volume.html
Figur 3 - Tre Pyramider i Kvadrat
Figur 4 - Seks Pyramider i Kvadrat
Side 16 af 29
Som det kan ses på fig. 4, så er dens højde kun
, formlen kan dermed omskrives til
Hvormed vi endnu engang opfylder den moderne notation
Teori 3 – De Fire Pyramider til én.
Dette særtilfælde bygger på de to foregående eksempler. Det er
15
4 pyramider som i Teori 1, mens
de er sat sammen som en pyramide fra Teori 2, hvilket giver en højde der er
i forhold til siderne.
Det giver rumfanget:
Hvilket endnu engang opfylder den moderne skrivemåde
Eftersom den fremfundne formel går igen, så kan man benytte den videre til at bestemme
pyramidestubbens generelle formel med. Dette kan kun gøres på grundlag af, at man nu går ud fra,
at overnævnte pyramideformel er sand.
Teori 4 – Pyramidestubben
En given pyramide med kendt højde, grundflade og
dermed også rumfang skal bruges. Pyramiden skæres
over på midten som ses på figur 6. Ud fra det kan vi
konkludere
Hvis bogstaverne indsættes sammen med formlen for
en pyramide kan formlen omskrives til
Hvis vi indsætter , så vil man ud fra nogle regneregler omkring ensvinklede
trekanter kunne komme frem til at . For nemheds skyld kalder vi nu med en fælles
betegnelse, nemlig h. En omskrivning finder sted
15
4
, Frandsen, J, s. 78
Figur 6 - Afskåret Pyramide
Figur 5 - Fire Pyramider til én
Side 17 af 29
Udtrykket i parentesen kan ses som kvadratsætningen, der fortæller noget om to tals sum gange
samme tals differens:
Vi bestemte tidligere værdierne for bogstaverne, hvilket hvormed vi ved at , eftersom
, dette indsættes i formlen:
Formlen som benyttes nu til dags hedder:
, hvor er arealet af bunden og er arealet af toppen. Dvs. vi
kan omskrive dem til
og
og dermed få ægypternes formel:
Hvis man lod b være nul, så vil man kunne regne sig tilbage til den hele pyramide igen
Ægyptisk Opgave m. Pyramidestub:
Denne formel er også hvad PM 14 beskæftiger sig med, hvilket har gjort den til en af de vigtigste af
Papyrus Moskvas opgaver.
16
Ægyptisk beskrivelse
Forklaring
1
Metode til beregning af en pyramidestub
2
Hvis det siges til dig, at en pyramidestub med
højden 6 alen og den nederste side er 4 alen
og den øverste 2
Forstil dig en pyramidestub med højden 6
alen. Sidefladerne på bunden er 4 alen og
på toppen er sidefladerne 2 alen. Se fig. 7
3
Regn med de 4, kvadreret. Resultat 16
Udregn arealet på bunden ved at tage
kvadratet af 4, dvs. 4
2
=16
4
Fordobl du de 4. resultat 8
Multiplicer bundens sidelængde med 2
dvs. =8. Der angives ikke direkte at
det er 2, hvilket kan betyde, at enten har
der været en oversættelsesfejl, eller også
har ægypteren skrevet forkert under
nedskrivningen, for det er kun i dette
tilfælde, at der skal fordobles.
5
Kvadrer de 2. resultat 4
Udregn arealet på toppen ved at tage
kvadratet af 2 dvs. 2
2
=4
6
Adder de 16 til 8 og de 4. resultat 28
Find summen af de overstående resultater
dvs. 16+8+4 = 28
16
4
, Frandsen, J, s. 75
Side 18 af 29
7
af 6. resultat 2
Tag 1/3 af højden 6 dvs.
8
Regn med 28 2 gange. Resultat 56
Multiplicer summen i nr. 7 med resultatet
i 9 dvs.
9
Se: det er 56. Du har fundet det rigtige
17
Som formel ser det således ud:
Hvis vi erstatter tallene med bogstaver, vil der fremstå en generel
formel, som kunne benyttes til udregninger end dette specifikke
eksempel
Som vist ovenover, så stemmer denne formel overens med den moderne
notation, og ægypterne har dermed benyttede den korrekte formel.
Moderne Bevis:
Det bevis vi benytter os af nu om dage, er ligesom før, at vi først skal have beviset for en pyramide,
og derefter gentage Teori 4. Beviset er baseret på http://mathschallenge.net’s bevis. Pyramiden
bevises ved at forestille sig, at den er bygget op at n’te antal lag. Hvert af disse lag kan ses som små
firkanter, der kan udregnes rumfang på, hvorefter de lægges
sammen til at give det fuldendte volumen. Man kan evt. se det
lidt som trinpyramiden, hvor vi udregner hvert trins rumfang.
En firkants rumfang ved vi er .
Bundfalden bliver betegnet med B, og højden h. For hvert lag der
er, bliver bundfladearealet mindre, hvilket gør, at det opfylder
. hvor n er det uendelige antal af lag, mens k er det
nummer lag fra toppen af, vi er kommet til. Højden af hvert lag
vil også blive i forhold til n’te højde, altså
. Dvs. det nederste lags rumfang vil dermed blive
, andet lag
og så fremdeles. Samlet vil det blive til at rumfanget på
pyramiden ca. er:
Den sidste parentes kan omformuleres til:
17
4
, Frandsen, J, s. 75 – med bearbejning.
Figur 7 - Pyramidestub
Figur 8 - Pyramidefigur
Side 19 af 29
Eftersom der påstås at følgende gælder for disse summer af rækker:
Hvis vi indlægger det i formlen får vi at:
Jo flere lag vi har lavet i pyramiden, desto mere præcis bliver det, så hvis vi lader n gå mod de
uendelige, så vil brøkerne blive uendeligt små, hvormed man til sidst kan karakterisere dem som 0
Pyramidens volumen bliver altså
Dette er samme formel, som resultaterne gav i Teori 1, 2 og 3, hvilket gør, at vores resultat for en
pyramidestub også vil ende med:
(jr. Afsnit Teori 4)
Hældningen på Pyramidens Sideflade
Al forberedelse før et byggeri vil gavne i den anden ende, både unødvendigt slid, kræfter og
mandskab kan undgås med den rette forarbejde. En anden ting som ville hjælpe med overblikket
over det store bygningsværk som en pyramide er, er at kende deres hældning. For at kunne skabe
perfekte hældninger, som vi ser på fx de tre Giza pyramider, så måtte man nøje kunne beregne sig
frem til det på forhånd. Dette gjorde ingeniørerne senere i stand til at undgå uheldigheder såsom ved
Sneferus Knækpyramiden ved Dashur, eller undgå indhakkene som i fx Trinpyramiden og Sneferus
første pyramide, Pyramiden ved Meidum. Disse pyramider var ikke fysisk i stand til at bære sig
selv, hvis ægypterne havde fortsat byggeriet med den hældning, som var ved bunden.
Knækpyramiden kan man se, at de prøvede at redde ved at gøre vinklen mindre stejl, men det frigav
stadig stress til de underlæggende sten og dermed blev fundamentet til pyramiden for ustabil. Det så
heller ikke så kønt ud, hvilket nok er grunden til, at Sneferu tog chancen med endnu en pyramide.
Side 20 af 29
Figur 9 - Billeder over Sneferus pyramider, henholdsvis Pyramiden ved Meidum, Knækpyramiden og Den Røde Pyramide
18
De første to kunne godt tyde på at ægypterne enten brugte metoden ”trial and error”, måske havde
de problemer med at overføre teori til praksis eller også skulle de forbedre deres matematiske
beregninger gennem lidt tid, før de med sikkerhed kunne skabe de overvældende pyramider. For
hvis man i stedet fra starten kunne planlægge en præcis hældning sammen med højden og
rumfanget af den, så kunne man på forhånd bestemme, hvor meget mandskab der skulle til for at
skabe pyramiden på et vis antal år.
Ægyptere beregnede ikke vinkler i grader, som man gør nu om dage, de beregnede det i
håndsbredder. Det kan ses lidt ligesom den moderne hældningskoefficient, hvor man spørger ”hvis
jeg går én ud af x-aksen, hvor meget stiger y på y-aksen så med?”. Ægypterne spurgte dog omvendt,
de sagde ”hvor meget skal jeg gå ud af x-aksen, hvis y stiger med én på y-aksen?”. Se fig. 10. Dette
gjorde at jo spidsere vinkel de kom frem til, desto højere værdi opnåede de, og omvendt.
Figur 10 – Illustration af den Ægyptiske Hældning
En pyramides hældning kan man se ægypterne har beskæftiget sig med i PR 56
19
, hvor opgaven
angiver:
Ægyptisk beskrivelse
Forklaring
1
Eksempel på beregning af en
pyramide, hvor siden er 360 alen og
højden er 250 alen. Angiv hældning
2
Tag
360; det bliver 180
Halver pyramidens sidelængde, dvs.
3
Regn med 250 for finde 180
Løs ligningssystemet 250x=180
4
Det bliver
alen
Resultatet bliver 0,72 alen eller
alen
5
En alen er 7 håndbredder, du skal
gange med 7
Dette skal omregnes til håndsbredder.
1 alen = 7 håndbredder, derfor skal resultatet
ganges med 7
18
12,13, 14
http://www.bbc.co.uk/history/ancient/egyptians/images/pyramid_gallery_meidum.jpg ,
http://www.guardians.net/egypt/cyberjourney/dahshur/bentpyramid/bent1.htm , http://www.travelooce.com/red-
pyramid-dahshur-egypt.shtml
19
4
, Frandsen, J, s. 84
Side 21 af 29
6
7
8
9
10
Hældningen er
håndsbredder
Resultatet for hældningen bliver
En forkortning kan foregå:
hvor 30 går som det røde tal:
15+10+2+3=30
Resultatet bliver dermed
håndsbredder
Man kan forestille sig, at denne anderledes metode til at beregne hældninger på, er kommet af at det
skulle bruges til pyramider, eftersom det har været lettere at gøre det præcist, når man kunne sige
”hver gang vi ligger en sten på pyramiden med y højde, så skal vi flytte den x ind i forhold til
kanten.”. En konstant hældning har dermed været nemmere at opnå end man lige tror.
Matematikkens og Pyramidernes Betydning for Det Gamle Rige
Allerede tidligt i Det Gamle Ægypten havde de et højtudviklet samfund. Det øvre og nedre
Ægypten blev omkring 3000 år f.kr. samlet til rige, og allerede dengang spillede matematikken en
rolle. Nilens frugtbare oversvømmelser, blev hurtigt til emne for bestemmelse for ægypterne og
gennem matematiske udregninger og astronomiske studeringer af nattehimlen, kom ægypterne frem
til meget præcise kalendrer, som kunne benyttes under dyrkning af afgrøder. En effektivisering af
landbruget gav overflåd i mad, og dermed også grobund for skatter og lign kunne indkræves.
Administrationer blev opført, embedsmænd ansat og regnskaber blev holdt, ligesom der blev frihed
til andre kreative og kulturelle ting, såsom kunst, filosofi og lign. Dette så man hovedsageligt
blomstre i det fjerde dynasti, hvor pyramiderne også kom til.
20
Der er grund til at tro, at
matematikkens sværhedsgrad steg med samfundets udvikling, da det stemmer overens med andre
store samfund, der har været gennem tiden.
Forskere mener at meget af ægypternes viden er gået tabt siden deres tid, muligvis fordi videnskab
blev set som en del af mystikken og hemmeligheden bag deres religion. Dette gjorde naturligvis at
det kun var få indviede, som fik tilladelse til indsigt i denne viden, og det blev ofte kun overført fra
en mester til en lærling. Det samme gjaldt for matematik, skrivning og lign, hvilket kan være
grunden til, man heller ikke har fundet mange lærebøger, beviser eller andre nedskrivninger over
disse ting.
21
Det kan bl.a. forklare, hvorfor vi ikke kan finde optegnelser over, hvordan de kom frem
til konstruktionsideerne, samt at vi ingen direkte udregninger på pyramiderne har fundet, endnu.
20
1
The Egyptians, Aldred, C., s. 119
21
1
The Egyptians, Aldred, C., s. 98
Side 22 af 29
Et naturligt skel mellem borger og de matematisk begavede kan derfor ikke undgå at være
fremkommet. Det var heller ikke uset at videnskabsfolk blev anset som noget stort. Imhotep,
arkitekten til Trinpyramiden, og dermed siges at være opfinderen til pyramiderne, blev set ligeså
stort til under sin levetid som faraoen, pga. sin opfindelse. Dette kan bl.a. ses ved nogle af de
indgraveringer nær Trinpyramiden samt ved en af Djosers statuer, hvor han som en af de få
privilegerede fik sin plads ud over faraoen. Senere blev han endda også ophøjet til gudestatus.
22
Hvem byggede pyramiderne?
Om det var slaver eller borgere som byggede pyramiderne er der stadig uenighed om. Det letteste at
gætte på er naturligvis slaver, da pyramidebygning var hårdt fysisk arbejde under strenge forhold,
samt der skulle bruges mange mennesker til arbejdet. Et par krigstog ud i verden og man kunne let
skrabe nogle tusinde krigsfanger sammen, der som slaver kunne klare det hårde arbejde. Eller var
det nu sådan det foregik? – det var ikke ægypterne selv, der stod for byggeriet?
Men hvordan har det overhovedet kunne lade sig gøre? For man kunne da ikke bare tage mindst
20.000 mennesker ud af samfundet uden, at det havde den mindste påvirkning? Eller kunne man?
Den tidligere nævnte Niloversvømmelse har måske givet dem muligheden. Tre måneder om året
gjorde Nilen det umuligt for bønderne at arbejde i markerne, hvilket gav dem frihed til andre ting,
sandsynligvis pyramidebygning.
Men for at pyramiderne kunne være færdige indenfor en menneskealder, så skulle der lægges sten
på konstruktionen hver andet minut 10 timer om dagen hele året rundt, dvs. processen måtte aldrig
gå i stå! Så må man jo spørge, hvem overtog bygningsarbejdet, hvis den almene borger skulle bruge
tid og kræfter på landbrug? Har de været i stand til at effektivisere landbruget så meget, at endnu
flere kunne bønder kunne undværes? Er det virkelig muligt, at der har været så meget overflåd fra
egypternes høstning af Nilen, at man har kunnet brødføde ikke bare faraoen, præster, ingeniører,
embedsmænd osv., men også 20.000 mennesker som arbejdede kun på at bygge grave for deres
farao? Det mener nyere forskning er svaret. Det er også muligt at ægypterne intensivt har arbejdet i
denne korte periode, hvor så op mod 100.000 mennesker arbejdede på én gang! Man kan muligvis
forestille sig, at det var en mellemting. At der i de tre måneder blev arbejdet på fulde drøn, og at der
resten af året blev arbejdet lidt på pyramiderne af en mindre del af befolkningen. Men lige meget
hvad, så begynder ægyptologerne at være enige om, at det var ægypterne selv, og ikke slaver, som
konstruerede pyramiderne.
Et bevis for at det har været egypternes arbejde er, at der er blevet fundet eksempler på
pyramideinfirmerier samt pyramidearbejdere som har overlevet knuste og amputerede lemmer
23
.
Hvis det havde været slaver ville man ikke have spildt tid og ressourcer på dette, men bare pisket
slaven videre eller ladet ham dø.
Man kan også se på det faktum, at faraoen var af høj status i samfundet. Det ville sandsynligvis
have været en ære at skulle hjælpe med bebyggelsen af faraoens gravsted, noget man ikke ville
overlade til uværdige slaver. Et andet tegn på at det har været ægyptere selv, er at man har fundet
22
6
Pharaohs and Pyramids, s. 57
23
23
http://www.nationalgeographic.com/pyramids/pyramids.html
Side 23 af 29
beviser for at arbejderne var inddelt i grupper, der hver især kappes mod hinanden for at have lavet
mest og bedst hurtigst. Det har uden tvivl øget ægypternes motivation til det hårde og nedslidende
arbejde. Det også ville være underligt hvis grupperne bestod af slaver, når de havde givet sig selv
tilnavne som fx ”Knufus venner”
24
.
Nogle eksperter funderer lidt over om bygningen af pyramiden har skabt en fælles bånd, der har
knyttet landet sammen. Folk fra både den nordlige og sydlige del af Ægypten ville naturligvis have
taget del i bygningen og derigennem lært hinanden at kende. Det kunne have skabt en form for
nationalfølelse hos ægypterne. Men hvis det har det, så er det et usædvanligt enestående tilfælde.
Hvis man ellers kigger på verdenshistorien, så er det kun krige, enten som borgerkrige i fx USA
eller Indien eller store krige som hundredårskrigen mellem Frankrig og England, der har skabt
stærke nationale følelser.
25
En anden teori, som kommer af Plinius den Ældre, siger at ægypterne
blev sat til at bygge på pyramiderne, for at sætte dem i arbejde og dermed for at undgå oprør.
26
.
Uden at sige for meget, så har pyramiderne sandsynligvis haft en påvirkning mellem underklassens
befolkning, samt kraftigt øget forskellen mellem den almene borger og faraoen samt de
videnskabelige folk
Hvad var pyramidernes formål?
Der har været mange bud på hvilken rolle, pyramiderne har spillet i det ægyptiske samfund gennem
tiderne. Teorier, konspirationer og gisninger har svirret rundt i hele verden siden grækeren Herodot
første gang skrev om dem, og fortalte deres funktion som gravplds.
27
Langt de fleste folk lagde hans
bud på hylden, sandsynligvis fordi de så teorien som for værende for simpel. I stedet har der været
gættet på, at det var rumvæsners værk, flugtmuligheder fra naturkatastrofer, astronomiske
observatorier, solure og nogle er endda gået så vidt med at kalde dem for ”nøglen til Guds store
planer for universet”
28
. Og kunne pyramiderne så ikke også være disse ting?
Teorierne
Mange fritidsteoretikere leger med tanken om at det var rumvæsner, det med deres UFO’er var i
stand til at skabe pyramiderne. De argumentere for, at mennesker aldrig kunne have bygget dem
selv, da de er alt for præcise. Men hvis det er rumvæsner, hvorfor er de så ikke vendt tilbage til
deres flotte kunst eller hvad de nu så det som? – hvorfor er der ingen skriftlige kilder, som hentyder
til at det mænd fra rummet, som har bygget dem, hvorfor siger de i stedet det er ægypterne?
Pyramiderne ville helt klart kunne være til beskyttelse for ægypterne under naturkatastrofer,
eftersom de har stået smukt og stabilt de sidste mange tusinde år, uden at andet end ”lakken”
udenpå er faldet lidt af. Det eneste problem er bare, at der ikke har været meget plads inde i
pyramiderne, og de har dermed ikke kunne huse specielt mange mennesker under katastroferne.
24
9
The Complete Pyramid, Lehner, M., s. 24-225
25
22
http://www.eyelid.co.uk/pyramid3.htm
26
3
Discovering Acient Egypt, David, R., s. 53
27
19
http://www.world-mysteries.com/mpl_2_1.htm frit oversat fra engelsk.
28
3
Discovering Ancient Egypt, David, R., s. 53
Side 24 af 29
Teorien om de astronomiske observatorier kommer af måden pyramiderne er blevet bygget på. De
tre store pyramider i Giza afspejler præcist Orions bælte som i den gamle tid var en del af
stjernekonstellationerne til Osiris, som var en stor gud i det gamle Ægypten. Se fig. 11.
29
Derudover så peger pyramidernes hjørner utrolig præcist mod verdenshjørnerne, fx Cheops
pyramiden har kun en af afvigelserne er på af en grad i nord-sydlig retning, ligesom dens
luftkanaler peger direkte op mod Orion og Sirius, som i gammel tid stod for henholdsvis Orisis,
som også var udødelighed for sjælen, og hans hustru samt gudernes dronning Isis, hvor disse to
også stod som faraoens forældre(jf. afsnit om Den ”Ortodokse” Teori)
30
. Men kunne disse skakter
ikke lige så godt have været til religiøse formål? Og hvis det skulle bruges som observatorier, så
skulle der vel laves meget bedre plads til udkig af stjerner, og ikke mindst flere udkigsskakter? Og
hvad med de andre
pyramider, de er ikke helt
så præcise med verdenshjørnerne og har hverken luftskakter eller kan afbilledes på nattehimlen.
Solure kunne de måske være blevet brugt til, men det er en meget tynd hypotese at sætte op.
Hvorfor skulle der laves skakter og gange inde i pyramiden, hvis det var det udenpå, der skulle
benyttes? Hvorfor ikke bare lave nogle mindre, som var lettere at benytte sig af? Dertil kan man
også spørge sig selv om, hvorfor de ville skabe så store solure, når de i forvejen havde obelisker til
at måle tiden på?
31
Den sidste idé var Guds nøgle. Idéen skulle indebære, at hvis man løste mysteriet til pyramiderne,
så ville man kunne forstå Gud og hans univers. Det er naturligvis endnu en af menneskehedens
mange forhåbninger på at finde meningen med livet og alt omkring os. Men det er ikke de eneste
vilde spekulationer, som fremstår omkring pyramiderne. Der har fx været meget mystik omkring
hvordan de blev bygget, og selv nu med al vores moderne teknologi kan ingen af de mange kloge
hoveder, som har arbejdet på det, været i stand til at knække nøden helt, og med sikkerhed være i
stand til at fremstå med beviser som holder vand hele vejen igennem. Dette gør naturligvis også, at
ingen kan fjerne overstående teorier helt fra listen over mulige formål.
Den ”Ortodokse” Teori
De mere seriøse forskere og ægyptologer er dog blevet enige om, at pyramiderne har været brugt til
gravkamre og evt. rituelle formål. Dette stemmer overens med deres religion, der som kultreligion
ofte blev udøvet i templer og grave. Religionen spillede en stor rolle i samfundet, hvor de troede alt
omkring dem, både naturen og menneskers forhold, var bestemt af guderne. Det var derfor vigtigt at
ofre og dermed sørge for gudernes velvilje. I Ægypten skulle den almene borger ikke ofre til
guderne, men i stedet til faraoen. Man troede at guden Horus var kommet til jorden for at regere
over menneskene og var trådt i faraoens krop for at fuldføre sit hverv. Dette gjorde naturligvis, at
faraoen blev ophøjet til gudestatus, samt at alt hvad han sagde, var lov. Det er grunden til man fandt
så store statuer og vægmalerier af faraoer, og ikke mindst kan det bruges som belæg for at sådanne
fascinerende store bygningsværker blev bygget til ære for faraoerne. Det kan også forklare, hvorfor
29
17
http://doernenburg.alien.de/alternativ/orion/ori00_e.php, let bearbejdet
30
11
http://www.naturalmoney.org/pyramidalignment.html
31
26
http://en.wikipedia.org/wiki/Sundial#History
Figur 11 - Sammenligning over Pyramiderne og Orionsbælte
Side 25 af 29
han har kunnet samle folk om sig, til at bygge disse overvældende konstruktioner. Faraoens hverv
var til gengæld at sørge for gudernes gunst ved enten selv eller lade hans repræsentanter, præsterne,
ofre til dem. Når faraoen døde blev Horus reinkarneret i faraoens efterfølger, mens den gamle
faraos krop symboliserede Osiris, Horus’ far
32
.
Derudover kan forestille sig, at de har haft en politisk betydning. Det er umuligt at bemærke, at så
enorme bygningsværker, der med sin dengang hvide overflade kunne reflekterede solens lys, må
have været et syn for guder. Det må have været så overvældende, at man både som ven og fjende af
Ægypten må have set på dem med ærefrygt og ærbødighed, og ikke mindst haft det syn på
faraoen.
33
Man ved at fra senere tider, så sendte udenlandske fyrster deres prinsesser til faraoen for
at vinde hans venskab og gunst
34
, så det har nok også foregået i det tidligere tider, specielt når han
begyndte at fremvise så stor magt under bebyggelsen af disse værker!
Pyramiderne har dermed haft sammen med matematikken en stor betydning for samfundet, hvor
skellet mellem almen borger, videnskabsfolk og faraoen blev mere markant. Man kan dog ikke
undgå at bemærke, at det også går den modsatte vej. Hvis ægypterne ikke havde haft Nilens
frugtbarhed, så kunne matematikken og mindst af alt pyramiderne aldrig være fremkommet. Dvs.
bare en af tingene ikke havde været til stedet for 6.000 år siden, så er det ikke sikkert, at Det Gamle
Rige blev så stort og mægtigt, som det blev. Pyramiderne selv har betydet meget for både Det
Gamle Ægypten og de omkringliggende lande, da det ikke kan undgås at have haft en politisk
betydning.
Pyramiderne og Matematikkens Betydning efter Ægypternes Tid
Pyramiderne har haft en stor betydning for eftertidens kulturer, arkitekturer og kunst, og det bliver
stadig set på med fascinerende og mystikprægede øjne, ikke mindst fordi de er de sidste af verdens
syv vidundere som endnu står tilbage. Man kan fx se pyramiden Gaius Cestius bygget af Kejser
Augustus i år 12 f.kr. Pyramiderne har også været et centralt emne i mange stile bygningsstile, fx
rokokostilen () hvor pejse og gravmæler blev lavet i pyramideform. I det moderne
samfund ses pyramideformen også tit, lige fra Louvres glaspyramide i Frankrig, til Clevelands
Pyramiden, der rummer ”The Rock and Roll Hall of Fame”
35
Eftersom man mener matematikken har spillet en væsentlig rolle i det gamle samfund, så blev
matematikken ikke kun brugt til pyramiderne i oldtiden. Nu om dage er der stadig mange teoretiker,
ægyptologer og lign, som mener, at siden matematikken var så meget brugt i fortiden, så må den
også kunne benyttes til at finde skjulte skatkamre i dag. Det er ikke alle teorier som har belæg for
deres påstande i selve historien, men det forhindrer ikke skatkamre i at blive fundet vha. disse
udregninger, fx blev der i 1995 fundet nye kamre i Ramses II’s sønners grav
36
32
24
http://www.galapagos.dk/dokumenter/pyramider.pdf
33
9
The Complete Pyramid, Lehner, M., s 34-35
34
8
Ansigt til Ansigt med Ægypterne, Holm-Rasmussen, T., s. 21
35
9
The Complete Pyramid, Lehner, M., s 241-243
36
4
, Frandsen, J., s. 104
Side 26 af 29
Konklusion
Matematikken har spillet en stor rolle i ægypternes liv, og selvom det har foregået uden de
modernes hjælpemidler, så har de kunne lave forholdsvise svære udregninger med simple regler,
tabeller og regnemetoder. Ægypterne har dermed været i stand til at udfolde sig med så at sige et
mere civiliseret måde med fx administrationer, skatteindtjeninger og ikke mindste arkiteturiske
vidundere. Eftersom flere og flere forskninger tyder på, at ægypterne selv har bygget pyramiderne,
så har de også haft brug for denne matematiske viden, for at være i stand til at fremstille de
pragteksemplarer de har endt ud med at lave. Deres arkivmateriale viser, at de både har været i
stand til at udregne korrekte hældninger og rumfang af pyramidestubbe, hvilket kan tyde på, at det
har været benyttet praktisk for at lette bygningskonstruktionen. Matematikken har også adskilt
borgerne fra videnskabsfolk og lign., eftersom viden blev set som en del af deres religions
hemmelighed. Pyramiderne har også haft en stor betydning for samfundet. I forvejen var samfundet
præget af en hierarkisk inddeling, og pyramiderne sammen med matematikken har ikke svækket
denne inddeling. Pyramiderne har kunnet samle folk, men stadig også få den almene borger adskilt
fra de højere stillede, specielt faraoen, som der blev set på med sandsynligvis endnu mere ærefrygt
og ærbødighed, efter pyramiderne blev opført. Alt i alt har pyramiderne og matematikken nok haft
så stor betydning, at hvis en af delene ikke var til stede i fortiden, så havde Det Gamle Rige ikke
have været så storslået, som det er.
Side 27 af 29
Litteraturliste
Bøger:
-
1
Aldred, Cyril, ”The Egyptians”, Thames and Hudson, 3. udgave 1998
-
2
Clagett, Marshall, ”Ancient Egyptian Science: Ancient Egyptian Mathematics”, American
Philosophical Society, 1. udgave 1999
-
3
David, Rosalie, “Discovering Ancient Egypt”, Michael O’Mara Books, 1. udgave 1993
-
4
Frandsen, Jesper, ””, Forlaget Systime, 1. udgave 1996
-
5
Gillings, Richard J., “Mathematics in the time of the Pharaohs”, The Massachusetts
Institute of Technology,1. udgave 1972
-
6
Hart, George, “Pharaohs and Pyramids”, The Herbert Press, 1. udgave 1991
-
7
Hohlenberg, Johannes, "Kheops Pyramiden og dens hemmeligheder" Borgen, 7. udgave
1986
-
8
Holm-Rasmussen, Torben, “Ansigt til Ansigt med Ægypterne”, Pantheon, 2. udgave 2003
-
9
Lehner, Mark, ”The Complete Pyramid”, Thames and Hudson, 1. udgave 1997
-
10
Parry, Dick, “Engineering the Pyramids”, Sutton Publishing, 1.udgave 2004
Websider:
-
11
Anonym, ”Astronimical alignment in Egyptian Pyramids”
http://www.naturalmoney.org/pyramidalignment.html,
-
12
Anonym, billed, http://www.virtual-
egypt.com/newhtml/hieroglyphics/sample/numbers.htm , 6.12.2009
-
13
Anonym,billed,http://www.bbc.co.uk/history/ancient/egyptians/images/pyramid_
gallery_meidum.jpg ,
-
14
Anonym,billed,
http://www.guardians.net/egypt/cyberjourney/dahshur/bentpyramid/bent1.htm ,
-
15
Anonym, “What is the volume of a Pyramid?” http://mathschallenge.net
/index.php?section=faq&ref=geometry/volume_pyramid
-
16
Anonym, billed, http://www.a-t-s.net/shared/images/destinations/giza.jpg ,
-
17
Dörnenburg, Frank, ”The Orion Theori”
http://doernenburg.alien.de/alternativ/orion/ori00_e.php ,
-
18
Eskridge Lybarger, Carey ”The Egyptian Number
System”http://www.math.wichita.edu/history/topics/num-sys.html#egypt , 7.12.2009
-
19
Herodotus, ”Construction of the Great Pyramid according to Herodotus”
http://www.world-mysteries.com/mpl_2_1.htm
-
20
Jakich, Craig, billed, http://www.travelooce.com/red-pyramid-dahshur-egypt.shtml,
-
21
Mathematics Awareness Month, “Volume Patterns for Pyramids”,
http://www.mathaware.org/mam/00/master/essays/B3D/2/volume.html , 9.12.2009
Side 28 af 29
-
22
Millmore , Mark, “The Pyramids of Giza” og “Ancient Egyptian Number Hieroglyphs”,
http://www.eyelid.co.uk,
-
23
National Geographic, “Introduction to Pyramids”
http://www.nationalgeographic.com/pyramids/pyramids.html,
-
24
Ravnborg , Brian”Giza-Pyramiderne”
http://www.galapagos.dk/dokumenter/pyramider.pdf,
-
25
Rosbjerg, Bo, http://www.math.aau.dk/students/Sand08/BaggrundBo.pdf,
-
26
Wikipedia, “Sundial”, http://en.wikipedia.org/wiki/Sundial#History,
Artikler:
-
27
Dal Hoff, Henning, ”Pyramiden blev bygget indefra”, Illustreret Videnskab, 2008, nr. 1,
s. 48-55
Bilag 1 –
-tabellen
Billede lånt af J. Frandsens , s. 31