Indholdsfortegnelse
Indledning: ..................................................................................................................................................... 2
Verdensbilledet under udvikling: .................................................................................................................. 2
Johannes Kepler: ........................................................................................................................................... 3
Keglesnit med fokus på ellipsen og dens ligning: ......................................................................................... 4
Banekurver i centralfelt: ................................................................................................................................ 5
Solens og en galakses rotationskurve: ........................................................................................................... 7
Konklusion: ................................................................................................................................................... 9
Litteratur: ..................................................................................................................................................... 10
Bilag: ........................................................................................................................................................... 11
STX 2.g
Klasse: 2.c
Gymnasium: Ørestad gymnasium
Fag: Matematik og fysik
Lærer: Ali Qais
Dato: 30. maj 2010
SRO 20. maj 2010
2.c
Side 2 af 13
Indledning:
Vi ved alle i dag hvordan verdensbilledet ser ud. Det har taget forskere og astronomer flere århundreder for
at komme frem til en sandhed om hvordan vores univers fungerer - eller i det mindste en nogenlunde rigtig
forestilling. Der er blevet foretaget flere ekspeditioner ud til rummet, for at finde svar, og vi er endda nået så
langt med teknologien, at der ikke længe før det almindelige menneske også vil kunne foretage ekskursioner
til det mystiske Univers om os, i al dens pragt. Når det er sagt, skal der ikke lægges skjul på, at der er meget
ved Universet, der stadig ledes efter forklaringer på. Astronomer observerer ting og aktiviteter som de ikke
kan begrunde.
Denne opgave vil bl.a. komme ind på en af de aktiviteter som sker uden at man har en ordentlig forklaring –
her hentydes til bl.a. galaksers rotationskurver som beviser, at der findes en anden større kraft – en kræft vi
ikke kender. Herudover vil der blive taget hul på 3 love fra en af historiens mest betydningsfulde mænd
inden for astronomi – Johannes Kepler. Herunder bliver der introduceret til keglesnit – da det er en vigtig
funktion, i og med, at den kan beskrive banekurverne om solen - og kræfter der har gjort, at vores solsystem
ser ud som den gør. Denne kraft har også en påvirkning på andre fysiske objekter i rummet og det er også
indblandet i punkterne som vil blive lagt vægt på gennem opgaven.
Behandlingen af besvarelserne bygger på forskellige data fra såvel som fysikbøger til matematikbøger med
tilhørende nyttige formler, som alle har været under kildekritisk opsyn.
Verdensbilledet under udvikling:
Fra tidernes morgen så verdensbilledet helt anderledes ud end hvad en gør i dag. Planeterne var placeret
anderledes, man vidste minimalt om solen i forhold til i dag – selv Jorden var placeret helt forkert.
I den klassiske græske model for universet var Jorden centrum. Bevægelsen om Jorden blev opfattet som en
cirkelbevægelse eller sammensat af cirkler. Dette billede af Universet blev først ændret efter 2000 år af
Copernicus’ heliocentriske verdensbillede, hvor det var Solen som var i centrum.
Problemformulering:
En redegørelse for banekurver i centralfeltet samt den grundlæggende
matematik i keglesnit med særlig fokus på ellipser.
En analyse af hvilke faktorer der spiller ind i for en udefra kommende
objekts banekurve.
En diskussion om hvorvidt der er en sammenhæng mellem Keplers love og
mørkt stof i galaksen.
SRO 20. maj 2010
2.c
Side 3 af 13
Johannes Kepler:
Johannes Kepler var en fremragende matematiker og overtager af Tyge Brahes observationer. Hans opgave
hos Brahes var at bestemme Mars’ bane. Han udledte på baggrund af analyser af Mars sin første lov.
Herudover kom han også med 2 andre meget grundlæggende love i perioden
Alle data han havde til rådighed, angav Mars’ stillinger i forhold til Jorden, men det han havde brug for var
stillingerne i forhold til Solen. Han fandt dem ved først at finde Jordens bane om Solen. Solen befinder sig,
som forventet, ikke helt i centrum af Jordens cirkelbane. Herudover er bevægelsen ikke jævn dvs. at den ikke
har en konstant fart – for Jordens fart er hurtigere nær Solen end hvis den befinder sig længere væk. Efter
han havde fundet Jordens bane kunne han fastlægge Mars’ bane. Jorden til Mars skærer hinanden i et punkt
på Mars banen. På denne måde kunne han skridt for skridt fastlægge punkter på banen og derudfra skitserer
dens form og størrelse. Han opdagede at banen tydeligvis ikke var cirkelformet, men derimod var der snarer
tale om en oval – det man i dag kalder for en ellipse, hvor Solen befinder sig i det ene brændpunkt.
Keplers 1. lov:
”En planets kredsløb omkring solen er en ellipse med solen i det ene brændpunkt”.
Ud far denne lov betyder det altså, at ellipsen er et lukket kredsløb, hvor solen befinder sig i det ene
brændpunkt. Der findes nemlig også åbne kredsløb, som er hyperbelformede. I grænsen mellem ellipse og
hyperbel kan man finde parabelformede kredsløb. Dette kredsløb er dog også åbent men har til forskel for
ellipsen en uendelig lang storakse.
Keplers 2. lov:
”Den linje, der forbinder Solen med planeten overstryger lige store arealer i lige store tidsrum.”
Dvs. at man får hvert bestemt tidsrum vil have bevæget sig lige meget – over lige store arealer. Det tager
altså en planet lige så lang tid at bevæge sig fra H til I som det gør at komme fra A til B. Dette betyder, at
planeten bevæger sig hurtigere jo tættere den er solen.
Keplers 3. lov:
”planetens sideriske perioder i anden potens er proportionale med planeternes halve storakser i tredje
potens”.
Dvs. hvis et helt omløb omkring solen varer T sekunder, og kredsløbets halve storakse er a meter lang så er
T
2
= k*a
3
, hvor k er en konstant.
Man kan ikke se ud fra loven hvilken værdi k har eller beregne den. Efter Newton kom med den matematiske
og fysiske baggrund for Keplers love viste det sig så, at:
2
3
2
*4 T
rMG
K
G er gravitationskonstanten. M er Solens masse, M = 1,989 * 10
30
kg.
SRO 20. maj 2010
2.c
Side 4 af 13
Keglesnit med fokus på ellipsen og dens ligning:
Keglesnit er en fælles betegnelse for specielle kurver, med nogle egenskaber tilfælles. Disse kurve er cirkler,
ellipser, parabler og hyperbler.
Man betragter en dobbeltkegle. Når man snitter en plan kan betragte punktmængderne. Alt efter hvor man
snitter keglen kan man få de forskellige kurver.
Inden for astronomi har keglesnit en vigtig rolle. Ifølge Keplers love og Newtons gravitationslov vil et objekt
bevæge sig i en keglesnitformet bane – altså enten en cirkel, ellipse, hyperbel eller parabelformet bane –
under indflydelse af Solens eller Jordens tyngdefelt. For planeter og andre objekter bundet til gravitationen
vil banen være ellipseformet. Asteroider, som ikke er bundet af tyngdefeltet fra Jorden, vil derimod bevæge
sig i parabel – eller hyperbelformede baner.
En ellipse kan bedst karakteriseres som en cirkel, der er fladtrykt. En ellipse har til forskel fra cirklen to
brændpunkter som betegnes med F. Hvis de to brændpunkter er sammenfaldne er der tale om en cirkel med
radius a, hvorimod radius i ellipsen er 2a.
Vi ser på en ellipse i et koordinatsystem med centrum i koordinatsystemets begyndelsespunkt (0,0). Ellipsens
centrum er punktet midt i mellem de to brændpunkter. Det betyder således at brændpunkterne ligger på x-
aksen. I denne position som ellipsen ligger i nu kaldes for standardposition. Skæringspunkterne mellem
koordinatakserne og ellipsen kaldes ellipsens toppunkter, hvilket der er 4 af.
En ligning med centrum i (0,0) og halvakser a og b med storaksen langs x-aksen og lilleaksen langs y-aksen
har ligningen:
Bevis:
For en cirkel defineres ligningen som:
(x – a)
2
+ (y – b)
2
= r
2
Hvor a og b er koordinaterne til cirklens centrum C (a, b), x og y – koordinaterne angiver et vilkårligt punkt
på cirklen p(x, y) og r = radius.
I dette tilfælde er radius = a (den halve storakse af ellipsen), og punktet på cirklen skrives som P
c
(x
c
, y
c
).
dvs. ligningen for cirklen vil få formen:
x
2
+ y
2
= a
2
Fladtrykningsfaktoren for en ellipse angiver forholdet mellem lilleaksen og storaksen (b og a) dvs.
a
b
k
Da ellipsen trods alt er en ”fladtrykt version” af cirklen har den nævnte fladtrykningsfaktor. Det betyder at
cirklens punkt (x
c
,y
c
) vil få nye koordinater ved fladtrykningen. Cirklens punkt føres over i ellipsepunktet
med fladtrykningsfaktoren. Dvs.
(x
c
, y
c
) = (x,y) x
c
= x
1
2
2
2
2
b
y
a
x
SRO 20. maj 2010
2.c
Side 5 af 13
og
a
b
yy
c
*
b
a
yy
c
*
Indsættes disse nyfundne koordinater ind i ligningen for cirklen fås:
x
c
2
+ y
c
2
= a
2
222
)*( a
b
a
yx
Banekurver i centralfelt:
Når en partikel eller himmellegeme bevæger sig under påvirkning af ydre kræfter dannes der en kurve. I
solsystemet skyldes bevægelserne af disse objekter solens massetiltrækning. Man kalder objekter som
bevæger sig inden for solsystemet for centralbevægelser – de bevæger sig altså inden for centralfeltet, og er
derfor påvirket af Solen. Banekurven er et såkaldt keglesnit. I solsystemet vil banekurven være ellipseformet.
En genstand har massen m. Den er kun påvirket af kraften fra en anden genstand med massen M. ifølge
Newtons 2. lov
1
, vil genstanden følge en banekurve med accelerationen a som er givet ved:
F = m * a (1)
F står for gravitationskraften som angiver kraften mellem to genstande med masserne M og m.
2
*
*
r
mM
GF
G er gravitationskonstanten, som virker som en tiltrækningskraft mellem genstandene. r er afstanden
imellem. Genstandens banekurve er givet ved formlen (1), hvortil der er suppleret et sæt værdier af hastighed
og position til et bestemt tidspunkt – de såkaldte begyndelsesbetingelser.
Man kan vise, at banekurven vil blive et af de nævnte kurver, fra foregående afsnit om keglesnit – cirkel,
ellipse, parabel eller hyperbel. Her vil det desuden vise sig, at der er en sammenhæng mellem genstandens
mekaniske energi E
mek
og banekurven. Det gælder således for en genstand med massen m, som bevæger sig i
gravitationsfeltet fra et centrallegeme med masse M vil følge en banekurve, hvis form afhænger af
genstandens mekaniske energi:
1
Hvis den resulterende kraft på en genstand med masse m er F
res
vil genstanden bevæge sig med acceleration a bestemt ved
ligningen: F
res
= m * a
E
mek
< 0: cirkel – eller ellipseformet banekurve.
E
mek
= 0: parabelformet banekurve.
E
mek
> 0: hyperbelformet banekurve.
1
2
2
2
2
b
y
a
x
SRO 20. maj 2010
2.c
Side 6 af 13
Dvs. at en genstand med mekanisk energi mindre end nul danner en cirkel eller ellipseformet bane hvis den
er bundet i gravitationsfeltet fra centrallegemet.
Hvis genstandens banekurve er cirkelformet er den mekaniske energi givet ved formlen:
E
mek
= E
kin
+ E
pot
=
r
mM
G
*
**
2
1
Denne formel er udtrykt ved følgende:
Hvis genstanden kun er påvirket af gravitationskraften, må den være lig med centripetalkraften af
cirkelbevægelsen. Vi får af gravitationskraften og centripetalkraften
r
mM
F
res
*
At
2
2
*
*
*
r
mM
G
r
vm
Vi ganger med r og en
2
1
på begge sider og får:
r
mM
Gvm
*
**
2
1
**
2
1
2
Hvis vi sammenligner dette med formlen for kinetisk energi og potentiel energi:
E
kin
=
2
1
* m * v
2
E
pot
= -
r
mM
G
*
*
E
kin
= -
2
1
* E
pot
Da den mekaniske energi er summen af den potentielle og kinetiske energi er formlen derved bevist.
For en ellipseformet bane er den mekaniske energi givet ved:
E
mek
= E
kin
+ E
pot
=
a
mM
G
*
**
2
1
Da a er den halve storakse.
SRO 20. maj 2010
2.c
Side 7 af 13
Solens og en galakses rotationskurve:
En rotationskurve for fx en galakse angiver dens hastighed som funktion af afstand. Rotationskurven for
Solen kan fås ud fra data som kommer af programmet Orbit Simulator, som kan bruges til at beregne de
tilhørende hastigheds og afstand værdier.
De data man får givet ved programmet er bl.a. radius af banen – i beregningerne til solens rotationskurve er
radius a, altså den halve storakse, da planeternes baner om solen er ellipseformet. a er målt i AE.
2
Ud over
radius for man også perioden
3
opgivet. Disse bruges til at beregne henholdsvis planetens afstand fra solen og
dens middelhastighed. Da middelhastigheden angiver hvor meget den har bevæget sig pr. tid kan man
udregne det vha. formlen for cirklens omkreds, hvor man i stedet for r bruger a.
1 AE = 1,496*10
11
m
Sekunder på en dag = 3600s * 24 = 86400s
s
km
T
a
T
O
v
2
a = afstanden omregnet til meter = a * 1,496*10
11
m
T = perioden omregnet til sekunder = 86400s * T
(se bilag for tabel over resultater samt rotationskurven lavet i Excel)
Mælkevejens rotationskurve:
Som vi har lavet kurven kan vi også lave en for Mælkevejen. Man kan ikke finde kurven gennem Orbit
Simulator, men vi må derimod udlede en formel, der kan give et bud på Mælkevejens rotationskurve.
Solens hastighed v om dens bane om galaksens center skal bestemmes. Solen befinder sig i en afstand
r = 25 000 lysår fra centeret og har et omløbs tid T på ca. 200 mio. år.
Vi vil finde afstanden. På et år har vi:
ss
7
101558,5,365
Lysets hastighed er
s
m
8
100,3
Afstanden på 1 lysår =
ms
s
m
1578
104674,9101558,3100,3
2
Astronomisk enhed. De skal omregnes til meter inden de kan bruges videre i beregningerne.
3
Denne skal også omregnes således vi får den i sekunder frem for døgn.
SRO 20. maj 2010
2.c
Side 8 af 13
Da solen befinder sig 25 000 lysår væk bliver afstanden dermed
4
:
mm
2015
103669,2104674,925000
Solens omløbstid omregnet til sekunder:
ss
156
103115,6),365(10200
Ud fra den beregnede afstand og omløbstid vil vi bestemme al massen M der ligger inden for solens radius. –
25 000 lysår. Det kan vi ved følgende formel. Vi antager at solen bevæger sig i en cirkelbane om centeret.
Heraf gælder Keplers 3. lov i en omskrevet form.
2
3
2
*4
*
T
rMG
K
G
vr
M
2
Hastigheden kan findes vha.
T
r
T
O
v
2
s
mm
235628
10*3115,6
10*3669,2**2
15
20
r er afstanden fra centrum. G er gravitationskonstanten 6,673·10
–11
m
3
/(kg·s
2
), v er hastigheden i enheden
m/s, og M er massen af alt det der er inde for radius, som angives i kg.
Al massen inden for afstanden r vil så være:
M =
311
2
20
10*37,6
235628*10*3669,2
m
s
m
m
= 1,96931*10
41
kg
Vi vil nu finde hastigheden af stjerner i mælkevejen og isolerer derfor v i overstående formel for M:
G
vr
M
2
r
GM
v
Vi kender nu M og vi kender G. Derfor kan hastigheden beregnes ved bestemte værdier af r. Da r angives i
lysår skal det først omregnes til meter
5
.
Ved 25 000 lysår er hastigheden således:
s
km
s
m
m
mkg
9,2
10*3669,2
10*637,6*10*96931,1
20
31141
4
Denne omregnings metode skal bruges til at beregne hastigheden af stjerner i mælkevejen forneden ved fodnote 2 side 11.
5
Se afsnittet hvor fodnote 1 er vedhæftet – den viser omregningsmetoden fra lysår til meter.
SRO 20. maj 2010
2.c
Side 9 af 13
Man kan derfor beregne hastigheden ved forskellige værdier af afstand. Ved beregninger på afstande mere
end 25 000 lysår med tilhørende rotationskurve kan ses under bilag.
Konklusion:
I programmet Orbit Simulator kunne man lave rotationskurven for Solen ved hjælp af data og beregninger.
Ligeledes er der også en rotationskurve for Mælkevejen. Som det fremgår, falder rotationshastigheden for
begge. Når afstanden er større end 25 000 lysår vil hastigheden for Mælkevejens rotation altså falde. At
hastigheden falder, giver også mest mening da tyngdekraften bliver svagere jo længere væk fra centrum vi
bevæger os – ligesom med de ydre planeter som roterer langsommere om Solen end de indre. Dette er dog
ikke tilfældet i virkeligheden, for der er blevet observeret at hastigheden faktisk holdes nogenlunde konstant,
i forhold til forventet, i takt med at afstanden forstørres. Forklaringen på dette er det man kalder for mørkt
stof. Der findes altså noget stof i Universet som man ikke kender til, men alligevel udgør størstedelen af
Universets byggesten.
Af Keplers 3. lov på omskreven form,
r
GM
v
kan man se, at for at hastigheden kan holdes konstant og afstanden bliver større må en forstørrelse af massen
også ske, da G er en konstant. Der kommer altså mere masse jo længere væk vi bevæger os fra galaksens
centrum. Det kan ikke være det lysende stof som fx stjerner da der bliver færre af dem længere fra centrum.
Denne ekstra masse som mangler i regnskabet er massen af noget vi ikke kan se – altså mørkt stof.
Ud over at finde Solens rotationskurve kunne man af Orbit Simulator også lave sin egen planet. Jeg lavede
en planet og af den fremgik det, at den bevægede sig i en ellipseformet bane i solsystemet. Ligeledes er der
en komet – Halleys komet som også bevæger sig i en tilnærmelsesvis ellipseformet bane. Ifølge Keplers love
og Newtons gravitationslov vil et objekt under indflydelse af Solens eller Jordens tyngdefelt bevæge sig i et
keglesnitformet bane. For planeter og andre bundne objekter vil denne bane typisk være en ellipse.
Asteroider som ikke er bundet af Jordens tyngdefelt, vil derimod bevæge sig i parabel– eller
hyperbelformede baner. De bevæger sig med så høj hastighed at de kan undslippe tyngdefeltet. Et objekt vil
altså have en positiv mekanisk energi for ikke at blive fanget. Objektet når undvigelseshastigheden – den
hastighed objektet når for at undslippe Jordens gravitationsfelt.
Halleys komets banebevægelse er ikke helt jævn da den forstyrres af de to store planeter Jupiter og Saturn
SRO 20. maj 2010
2.c
Side 10 af 13
Litteratur:
Bøger:
Claussen, Carsten m.fl.: Spektrum – Fysik II. 1. udgave, 1. oplag. Gyldendal, 2004
Elvekjær, Finn og Benoni, Torben: FysikABbogen 2. 1.udgave, 2. opslag. Systime A/S, 2007.
Internet:
De centrale keglesnit: Ellipsens ligning.
Adresse:http://fronter.com/kkgym/links/files.phtml/29$1$/2.g+Studie+-
retningsprojekt/Opgave+2/Keglesnit/12-13.pdf
Den Store Danske: Banebevægelse.
Adresse:http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Astronomi/Himmellegemernes
_positioner_og_bev%C3%A6gelser/banebev%C3%A6gelse
Dato for ændring: 4. februar 2009.
Keplers Love: Dansk Selskab for Rumfartsforskning.
Adresse: http://www.rumfart.dk/vis.asp?id=185
Senest opdateret: 28. februar 2003
Rotationskurver og mørkt stof.doc: Kosmologi forløb – Emne 2 – Rotationskurver.
Adresse: http://fronter.com/kkgym/main.phtml
SRO 20. maj 2010
2.c
Side 11 af 13
Bilag:
1. Tabel over planeternes afstand og omløbstid givet af Orbit Simulator.
Planet
a (AE)
Perioden (døgn)
Merkur
0,387
87
Venus
0,723
224
Jorden
1
365
Mars
1,534
687
Jupiter
5,203
4334
Saturn
9,53
10 745
Uranus
19,24
30 825
Neptun
30,14
60 438
2. Tabel over beregninger på baggrund af værdier fra overstående tabel. Her er afstanden
omregnet fra AU til m. og middelfarten er beregnet for hver planet.
Planet
Afstand fra solen målt i m
(1 AE = 1,496*10
11
m)
Middelfart v
(km/s)
Merkur
5,7895 * 10
10
m
48,4 km/s
Venus
1,0816 * 10
11
m
35 114,6 km/s
Jorden
1,496*10
11
m
29 806,1 km/s
Mars
2,29486*10
11
m
24 292,2 km/s
Jupiter
7,78369*10
11
m
13 060 km/s
Saturn
1,42569*10
12
m
9649,04 km/s
Uranus
2,8783*10
12
m
6790,47 km /s
Neptun
4,50894*10
12
m
5425,39 km/s
SRO 20. maj 2010
2.c
Side 12 af 13
3. Solens rotationskurve udført af Excel og udledt af beregningerne fra tabel 2.
4. Tabel over Mælkevejens middelfart fra forskellige værdier af afstande større end 25 000 lysår.
Afstand r fra galaksens centrum omregnet fra
1000 lyssår til meter
Middelfart v målt i enheden km/s
25 lyssår = 𝟐, 𝟑𝟔𝟔𝟗 ∗ 𝟏𝟎
𝟐𝟎
m
234,9 km/s
30 lyssår = 2,84022*10
17
m
6783,71 km/s
35 lyssår =3,31359*10
17
m
6280,49 km /s
40 lyssår = 3,78696*10
17
m
5874,86 km/s
45 lyssår =4,26033*10
17
m
5538,87 km/s
50 lyssår =4,7337*10
17
m
5254,64 km/s
60 lyssår = 5,68044*10
17
m
4796,8 km/s
70 lyssår = 6,62718* 10
17
m
4440,98 km/s
80 lysår = 7,57392*10
17
m
4154,15 km/s
90 lysår = 8,52066 * 10
17
m
3916 km/s
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
40000
0 2 4 6 8 10
Rotationshastighede
n km/s
afstand fra solen m
Solens rotationskurve
SRO 20. maj 2010
2.c
Side 13 af 13
5. Mælkevejens rotationskurve lavet på baggrund af værdierne fra overstående tabel. Kurven,
som er lavet i Excel viser mælkevejens hastighed som funktion af afstand.
6. Her er den rigtige rotationskurve for mælkevejen – den rotationskurve som man har
observeret.
6
6
Fået fra dokumentet om Orbit Simulator fra ressourcerummet på AT Fronterrum.
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
2
hastigheden km/S
afstanden m
Rotationskurve for Mælkevejen