HTX 3. år
Bestemmelse af
inertimomentet
For et cykelhjul
HTX 3. år
[navn fjernet] , 3A
Fysik forsøg – bestemmelse af inertimoment den 17/11-2009
Side 2 af 13
Indholdsfortegnelse
Formål: ............................................................................................................................................................... 3
Teori: .................................................................................................................................................................. 3
Materialeliste: ................................................................................................................................................... 7
Fremgangsmåde: ............................................................................................................................................... 7
Forsøgsopstilling: ............................................................................................................................................... 7
Beregninger (efterbehandling): ......................................................................................................................... 8
Fejlkilder: ......................................................................................................................................................... 12
Konklusion: ...................................................................................................................................................... 12
[navn fjernet] , 3A
Fysik forsøg – bestemmelse af inertimoment den 17/11-2009
Side 3 af 13
Formål:
Formålet med dette forsøg var, at bestemme inertimomentet. I dette tilfælde for et cykelhjul.
Teori:
Hvis man skal beregne impulsmomentet for et legeme, tager man summen af impulsmomenterne,
for samtlige partikler som udgør legemet. Hvis man betragter et plant legeme, der roterer med en
vinkelhastighed ω, omkring en akse kan man finde impulsmomentet. Dette kræver at man
betegner den i’te partikels masse m
i
, afstanden fra omdrejningsaksen r
i
, og dens hastighed v
i
.
Herved kan impulsmomentet bestemmes ved;
Her indsætter man impulsen for hvert enkelt partikel, udtrykt ved;
Da sættes ω udenfor summationen, da dette er en fælles faktor, der gælder for alle partiklerne.
Parentesen derved, indeholder en sum af masser multipliceret med kvadratet på afstandene fra
omdrejningsaksen. Hvis et legeme først er fæstnet til omdrejningsaksen, vil denne sum være
konstant. Derfor har man valgt at give denne sum et specielt navn. Inertimomentet for et legeme
omkring en given afkse, forstås derved ved;
På baggrund af formel for inertimomentet, kan man så omskrives impulsmomentet til;
Der findes en yderst simpel måde til at finde inertimomenter på, så længe inertimomentet om en
akse gennem legemets massemidtpunkt er kendt. Denne metode kaldes Steiners sætning. Hvis
man betragter en akse parallel med en anden aksen, som går igennem massemidtpunktet;
[navn fjernet] , 3A
Fysik forsøg – bestemmelse af inertimoment den 17/11-2009
Side 4 af 13
Vektoren d forbinder de to akser, imens stedvektoren for masseelementet m
i
i forhold til
massemidtpunktet betegnes r’
i
. Stedvektoren i forhold til den anden akse betegnes r
i
;
Inertimontet kan da bestemmes ved;
Betegnes den samlede masse
fås det da at;
Ovenstående er derved Steiners sætning. Denne sætning, eller lov om man vil, gør det muligt at
beregne inertimomenter, om akser parallelle med aksen gennem massemidtpunktet. Sidste er det
gældende at inertimomentet aldrig kan antage nogen lavere værdi, end den værdi den antager om
en akse gennem massemidtpunktet.
[navn fjernet] , 3A
Fysik forsøg – bestemmelse af inertimoment den 17/11-2009
Side 5 af 13
Desuden havde vi 3 metoder til at bestemme inertimomentet. Disse skal bruges til
efterbehandlingen. (Disse er kopieret direkte ind fra oplægget).
Metode 1:
Den resulterende kraft på loddet kan udtrykkes således:
Heraf fås
. Det er snorkraften F
s
der trækker hjulet rundt med kraftmomentet
Vi kan da opstille følgende ligning for kraftmomentet (det er en såkaldt bevægelsesligning)
Hvor I er inertimomentet og α er vinkelaccelerationen. M
f
er det kraftmoment der skabes af
friktionen i lejerne. Ligningen kan omskrives til
Ved at indsætte F
t
= m∙g og den lineære acceleration a=α∙r fås
Her af ses at hvis man kender m og r og måler a og M
f
, kan I bestemmes.
Metode 2:
Hvis loddets acceleration a er meget mindre end g kan man lave den tilnærmelse at man ser bort
fra a i tælleren. Herved får man
Som igen kan omskrives til
[navn fjernet] , 3A
Fysik forsøg – bestemmelse af inertimoment den 17/11-2009
Side 6 af 13
Dette er ligningen for en ret linie når m∙g∙r
2
afsættes ud ad 1.aksen og a ud ad 2. Aksen. Ved
bestemmelse af hældningskoefficienten hk, kan inertimomentet findes som
a måles ved hjælp af rotationssensoren. M
f
findes ud fra den masse, m
f
, som netop kan trække
hjulet rundt med konstant vinkelhastighed: M
f
= m
f
∙g∙r.
M
f
kan også findes ud fra den grafiske afbildning.
Metode 3:
Alternativt kan I bestemmes ud fra energiomsætningen: Idet loddet trækker hjulet rundt, mister
det potentiel energi, dette tab i potentiel energi genfindes som rotationsenergi i hjulet, kinetisk
energi af loddet samt gnidningsarbejde. Hvis vi bruger et tilstrækkeligt tungt lod, kan vi se bort fra
gnidningskræfternes arbejde, og vi får
som omskrives til
Hvilket giver
Det ses, at ved en afbildning af ∆h mod ω
2
fås en ret linie, hvis hældning hk er
Hvoraf man får
[navn fjernet] , 3A
Fysik forsøg – bestemmelse af inertimoment den 17/11-2009
Side 7 af 13
rotationssensor
cykelhjul
m
Materialeliste:
- Cykelhjul
- Lodder
- snor
- Pasco rotationssensor
- Datastudio.
Fremgangsmåde:
Cykelhjulet opspændes så det roterer i det vandrette plan. På hjulet er en nylonskive med en line
der kan vikles rundt i en fure. Et passende stykke fra hjulet monteres en rotationssensor således at
linen kan trækkes hen over den midterste skive. For enden af linen hænges et lod.
Rotationssensoren tilsluttes via et USB link en computer med datastudio. I datastudio sættes
rotationssensoren op til at måle den lineære position, og hastighed.
Mål så nøjagtigt som muligt nylonskivens radius r. Husk at den skal måles til bunden af furen.
Der laves en forsøgsserie med en række lodder, hvor man for hvert lod måler den lineære
position, og hastighed af loddet som trækker hjulet rundt.
Bestem den masse m
f
der lige netop kan trække hjulet rundt med konstant hastighed (brug evt.
datastudio til at kontrollere).
Forsøgsopstilling:
[navn fjernet] , 3A
Fysik forsøg – bestemmelse af inertimoment den 17/11-2009
Side 8 af 13
Beregninger (efterbehandling):
Metode 1;
Som jeg også beskrev det i mit teoriafsnit kan M
f
bestemmes således;
Da jeg kender m
f
, som er klipsens masse (klipsen benyttes til, at bestemme for at finde
bevægelsen med konstant acceleration), som er 2,1 gram, tyngdeaccelerationen og vi har målt
radius til 11,24 cm, kan M
f
bestemmes;
Herunder har lavet en række eksempler, hvor jeg bestemmer inertimomentet ved hjælp af
følgende formel;
M
f
er den konstant, som jeg har beregnet ovenfor, mens g er tyngdeaccelerationen, r er radius og
accelerationen findes for hver måling. Dette gøres ved at dele stigningen i hastighed med
stigningen i tid;
Udregning med massen 50g:
Acceleration:
Inertimoment:
Udregning med massen 70g:
Acceleration:
[navn fjernet] , 3A
Fysik forsøg – bestemmelse af inertimoment den 17/11-2009
Side 9 af 13
Inertimoment:
Udregning med massen 110g:
Acceleration:
Inertimoment:
Udregning med massen 150g:
Acceleration:
Inertimoment:
[navn fjernet] , 3A
Fysik forsøg – bestemmelse af inertimoment den 17/11-2009
Side 10 af 13
Udregning med massen 190g:
Acceleration:
Inertimoment:
Metode 3;
I denne opgave skulle man vælge en måleserie for et af de tunge lodder, hvorefter vi skulle
kopiere hastigheden af positionen over i et Excel og lave en afbildning af positionen og
vinkelhastigheden, hvorefter man kan bestemme inertimomentet.
[navn fjernet] , 3A
Fysik forsøg – bestemmelse af inertimoment den 17/11-2009
Side 11 af 13
Ovenfor ses et billede af dataen jeg har benyttet i denne opgave.
Vinkelhastigheden findes på følgende måde;
Derefter er det blot at sætte denne i anden. Dernæst afsætter man vinkelhastigheden ud af x-
aksen, mens positionen sættes ud af y-aksen. Hvis dette gøres får man en graf, som ser
nogenlunde således ud;
Som det kan ses ud fra R
2
, er dette tal meget tæt ved 1, dermed er resultatet yderst brugbart.
y = 0,0204x - 0,0078
R² = 0,9999
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0,5
25
Metode 3
Metode 3
Lineær (Metode 3)
[navn fjernet] , 3A
Fysik forsøg – bestemmelse af inertimoment den 17/11-2009
Side 12 af 13
Som jeg også beskrev det i min teori, kan inertimomentet nu bestemmes, da vi nu har opgivet
hældningskoefficienten. Dette gøres ved brug af følgende formel;
Dernæst indsættes de kendte tal og vi får;
Dernæst kan jeg bestemme afvigelsen i forhold til det inertimoment jeg beregnede for præcis
samme lod via metode 1;
Fejlkilder:
Som det kan ses ovenfor i min beregning af afvigelsen i procent forekommer den en lille
usikkerhed. Dette tror jeg skyldes, at tiden ikke præcis er den samme, forskellen imellem
målingerne af positionen og hastigheden er 0,05 sekund. Dette har en lille betydning og kan
sagtens være årsagen til den lille afvigelse ovenfor.
Desuden er det svært at bestemme hvornår hjulet bevæger sig med konstant acceleration og måle
radius præcist.
Konklusion:
Jeg kan hermed konkludere at dette forsøg forløb godt og som ønsket. Vi fejlede i vores første
måling, fordi vi havde foretaget målinger med det mindste af hjulene på måleinstrumentet. Det
[navn fjernet] , 3A
Fysik forsøg – bestemmelse af inertimoment den 17/11-2009
Side 13 af 13
rigtige er det midterste og vi foretog derfor en række målinger, hvorefter vi fik de resultater, som
jeg har benyttet til beregningerne i dette forsøg.
Efter denne lille svipser, syntes jeg forsøget forløb som ønsket, og vi har fået en række brugbare
resultater.
Meget spændende og lærerigt forsøg, som var med til at belyse bestemmelse af inertimoment på
en god måde vil jeg mene. God idé med at skulle finde inertimomentet på flere forskellige måder
og sammenligne disse resultater.