Side | 1
SRP
Exoplaneter
Side | 2
Abstract
This paper examines exoplanets, which is a planet that orbits another star than the Sun. Firstly, the
concept of a conic section will be presented, with focus on ellipses, the eccentricity of the ellipse,
and the equation of the ellipse will be proofed. Secondly, Kepler’s three laws, which describes a
planets movement including ellipses as planetary orbits will be described. Thirdly, four indirect
methods to find an exoplanet: astrometry, radial velocity method, transit photometry, and microlens
method will be described and two ways to calculate the distance from Earth to the star will be
explained. Fourthly, data from the Kepler-satellite will be used to calculate the orbital period, the
mass, the density and the temperature of the planet Kepler-4b which is found with the transit
photometry method. Finally, the questions: Is there life on other planets than Earth and is it even
possible for us to find it if it exists, will be evaluated.
Side | 3
Indholdsfortegnelse
Abstract ............................................................................................................................................ 2
Indledning ........................................................................................................................................ 4
Universets historie............................................................................................................................ 5
Keglesnit .......................................................................................................................................... 5
Ellipsen som keglesnit ................................................................................................................. 6
Ellipsens excentricitet .................................................................................................................. 7
Ellipsens ligning ........................................................................................................................... 8
To-legemeproblemet ...................................................................................................................... 10
Kepler ............................................................................................................................................. 11
Keplers 1. lov ............................................................................................................................. 11
Keplers 2. lov ............................................................................................................................. 11
Keplers 3. lov ............................................................................................................................. 12
Newton ........................................................................................................................................... 12
Gravitationsloven ....................................................................................................................... 13
Detekteringsmetoder ...................................................................................................................... 13
Astrometri .................................................................................................................................. 13
Radialhastighedsmetoden........................................................................................................... 14
Passagemetoden ......................................................................................................................... 15
Mikrolinse-metoden ................................................................................................................... 15
Afstandsbestemmelse ..................................................................................................................... 16
Parallakse ................................................................................................................................... 16
Cepheide..................................................................................................................................... 16
Kepler-4b ....................................................................................................................................... 17
Liv i rummet................................................................................................................................... 22
Konklusion ..................................................................................................................................... 23
Litteraturliste .................................................................................................................................. 24
Bøger .......................................................................................................................................... 24
Hjemmesider .............................................................................................................................. 25
Bilag ............................................................................................................................................... 26
Side | 4
Indledning
Det har altid været i menneskets interesse og natur, at lære mere om universet og hvor vi kommer
fra. Opfattelsen af universet og verdensbilledet, har været præget meget op gennem tiden, og Jorden
er gået fra at være flad og i centrum af universet, til at være rund og bare en lille brik i det store
univers. Mennesket prøver altid, at finde på nye metoder til at få mere viden om det uvisse, og vi er
nu kommet så langt med teknologien, at det er blevet muligt at begynde på en kortlægning af
universet. Mennesket er også meget fascineret i spørgsmålet om der er liv i rummet, og om Jorden
er den eneste befolkede planet. Første skridt til at besvare de spørgsmål, er at finde planeter udenfor
vores eget solsystem, såkaldte exoplaneter. Detekteringen af exoplaneter er forholdsvis nyt, og det
er derfor et spændende emne at dykke ned i.
Denne opgave vil gøre rede for keglesnit med fokus på ellipsen, herunder ellipsen som keglesnit,
ellipsens excentricitet samt beviset for ellipsens ligning. Der vil herefter blive givet et overblik over
Keplers tre love, som beskriver planeternes bevægelser herunder ellipser som planetbane. Der vil
derefter blive beskrevet nogle indirekte metoder til at detektere exoplaneter, og hvordan man kan
bestemme afstanden til dem. Der vil blive behandlet data for Kepler-4b, som er fundet af Kepler-
satellitten, der benytter en af de indirekte detekteringsmetoder. Der vil til sidst blive vurderet om
der findes liv på andre planeter end vores og om det er muligt for os at finde liv på jordlignende
planeter.
Side | 5
Universets historie
Universet blev til for 13,7 milliarder år siden i et Big Bang, og det har udvidet sig lige siden. For
13,5 milliarder år siden, blev de første galakser dannet, og de første stjerner begyndte at lyse. Vores
solsystem blev dannet for 4,6 milliarder år siden, og livet på Jorden opstod.
1
Mennesket har altid prøvet at finde en forklaring på verdensbilledet, og vores viden i dag stammer
fra århundredes forskning i at observere himlen og opstille teorier, der stemte overens med
hinanden. Der har været mange forestillinger om verdensbilledet i tidens løb, helt fra Ptolemaios’
teori i år 150, om at stjernerne og planeterne bevæger sig i cirkelbaner rundt om Jorden, til
Kopernikus’ teori i år 1530, om at Solen var i centrum af hele universet, og Jorden og de fem andre
kendte planeter bevæger sig i cirkelbaner omkring den.
2
Det verdensbillede vi har i dag kom i 1619
3
, da Johannes Kepler præsenterede sine tre love, som
beskriver planeternes bevægelse. Han fandt blandt andet frem til, at planetbanerne skal beskrives
som ellipsebaner i stedet for cirkelbaner.
Der findes mange planeter i universet udover de otte der er i vores solsystem, og de er kaldet
exoplaneter. Definitionen på en exoplanet, er et objekt som kredser om en anden stjerne end Solen.
Den første exoplanet blev fundet i 1995 af Michel Mayor og Didier Queloz, og den kredser om
stjernen 51 Pegasus. Dette var første gang, at flere videnskabelige grupper kunne bekræfte
eksistensen af en exoplanet.
4
Keglesnit
Hvis man i rummet har to linjer som skærer hinanden omkring en vinkelhalveringslinje, også kaldet
keglens akse, vil man få en dobbelt rotationskegle. Keglens overflade kan skæres med en plan, og
danne en vinkel fra plan til keglens akse. Denne vinkel v kan enten være 90 grader eller større, lig
med eller mindre end den halve toppunktsvinkel α. Hvis vinklen er 90 grader, vil der fremkomme
en cirkel, hvis vinklen er større end α vil der fremkomme end ellipse, hvis vinklen er lig med α vil
1
FysikABbogen 2 side 119
2
FysikABbogen 1 side 59-62
3
På rumrejse i solsystemet side 17
4
Politikkens bog om solsystemet side 83-85
Side | 6
der fremkomme en parabel, og hvis vinklen er mindre end α vil der fremkomme en hyperbel.
5
Disse
fire senarier kan ses på figur 1.
Figur 1 En cirkel, en ellipse, en parabel og en hyperbel lavet ud fra et keglesnit
Da Kepler, som nævnt tidligere, fandt frem til at planeter bevæger sig i en ellipsebane rundt om
dens tilhørende stjerne, vil jeg fokusere på ellipsen.
Ellipsen som keglesnit
Man starter med at skære en kegle med en plan, som går gennem keglen.
Dette er vist som det orange på figur 2. Man placerer nu to kugler
indvendig i keglen, så de tangerer med keglens indvendige side og så de
tangerer planen i punkterne
og
, som vist på figuren. Punkterne
og
kaldes ellipsens brændpunkter.
Jeg vil nu vise at planen og kegleoverfladen danner en ellipse.
P er et tilfældigt punkt på skæringskurven, som forbindes til keglens
toppunkt og skærer de to cirkler i
og
.
og
er begge
tangenter til den øverste kugle og det medfører at
. Dette er det samme princip med
og
som er tangenter til den nederste kugle og det medfører at
. Det vil sige at:
.
Dette udtryk vil fremkomme, for alle værdier af P på skæringskurven, fordi
er et konstant
stykke. Alle punkter på skæringskurven har en afstand til
og
som er konstant, og ingen
punkter udenfor skæringskurven har den egenskab, så det betyder at skæringskurven er en ellipse.
6
5
Vektorer og rumgeometri side 91-92
Figur 2 En ellipse som
keglesnit
Side | 7
Ellipsens excentricitet
Da jeg tidligere har vist at der kan fremkomme en ellipse hvis man skærer en kegle med et plan, vil
jeg nu sætte ellipsen ind i et koordinatsystem. x-aksen bliver
anbragt så den går gennem brændpunkterne
og
og y-
aksen bliver anbragt så den er midtnormalen til
. Origo
er nu det samme som ellipsens centrum og
,
,
og
er ellipsens skæringspunkter med akserne og bliver kaldt
ellipsens toppunkter. Dette er vist grafisk på figur 3. Den
konstante afstand
, for alle punkter P på ellipsen,
bliver nu betegnet som 2a. Det vil sige at hvis punktet P er i
, får man
.
Jeg ved fra tidligere at
og da
, må
også være lig med
. Stykket
er ellipsens storakse og har som sagt længden 2a og stykket
på y-aksen er
ellipsens lilleakse og har længden 2b.
Ellipsens excentricitet betegnes med e, og er forholdet mellem afstanden mellem brændpunkterne
og storaksens længde:
. Ellipsens excentricitet siger noget om hvor fladtrykt ellipsen
er, og på figur 4, bliver der vist nogle ellipser med forskellig excentricitet.
Figur 4 Ellipser med forskellig excentricitet
Ellipsens excentricitet vil altid være , da
. Hvis jeg omskriver formlen for
excentriciteten får jeg at
og afstanden fra origo ud til henholdsvis
og
må derfor
være
. Man kan ud fra dette bestemme koordinaterne for
og
og de bliver
henholdsvis
og
. Disse koordinater kan også ses på figur 3.
6
Samme fremgangsmåde som i bogen ”Geometri og keglesnit” side 72-73
Figur 3 En ellipse i et
koordinatsystem
Side | 8
er et punkt på ellipsen, og derfor må der gælde at
, da det gælder for alle
punkter på ellipsen. Da
, må der samtidig gælde følgende:
. Hvis
man så kigger på den retvinklede trekant
, hvor O er origo, kan man finde en sammenhæng
mellem a, b og e, ved at benytte Pythagoras sætning:
. Dette kan omskrives til
følgende udtryk:
.
7
Ellipsens ligning
Ellipsens ligning er
, og den vil i dette afsnit blive bevist.
8
Man sætter P til at være et vilkårligt punkt på ellipsen P(x,y), og man kan så finde en ligning som x
og y opfylder. Man kan ud fra afstandsformlen og koordinaterne for henholdsvis
og
komme frem til følgende:
og
.
9
Man kan nu kvadrere i begge udtryk, for at fjerne kvadratrødderne:
og
. Man kan derefter trække de to ligninger fra hinanden:
Man kan ved hjælp fra kvadratsætningerne reducere udtrykket:
Hvis man omskriver dette, ser det sådan ud:
, da man kan skrive venstresiden som to tals sum gange de
to tals differens.
10
Som beskrevet tidligere er
, og det kan man indsætte i udtrykket:
, man kan nu isolere
:
7
Samme fremgangsmåde som i ”Geometri og keglesnit” side 61-62
8
Fremgangsmåden er hovedsageligt som i ”Geometri og keglesnit” side 62-64, men med input fra bogen ”Vektorer og
rumgeometri” side 86-87
9
Her er udtryksmåden fra bogen ”Vektorer og rumgeometri” side 86
10
Her er udtryksmåden fra bogen ”Vektorer og rumgeometri” side 86
Side | 9
Man har nu to ligninger med to ubekendte:
og
, og man
starter med at isolere
i begge ligninger:
Ligninger sættes lig hinanden, og
bliver isoleret:
Udtrykket for
kan indsættes i den første ligning:
Man har nu et udtryk for siden
og siden
.
Man ved fra tidligere at
og
og man kan
derfor sætte de to udtryk man lige har fundet lig med dem man kender fra tidligere, og så får man
følgende:
, og
Hvis man kvadrerer på begge sider af lighedstegnet i den første ligning får man følgende:
, dette kan omskrives ved hjælp af kvadratsætninger:
, når y bliver isoleret ser udtrykket sådan ud:
, dette kan reduceres og omskrives:
, det kan omskrives yderligere:
, Hvis man laver samme fremgangsmåde for den anden ligning får man det
samme resultat.
Side | 10
Man kan omskrive det fundne udtryk for ellipsens ligning, ved at benytte vores viden om ellipsens
excentricitet, nemlig at
, som kan omskrives til:
. Dette udtryk, kan
indsættes i ellipsens ligning på følgende måde:
, man kan nu gange ind i
parentesen og gange med
på begge sider af lighedstegnet, og få følgende udtryk:
, da man gerne vil have x og y på samme side af lighedstegnet, lægger man
til på begge sider af lighedstegnet og får følgende:
, Man dividerer nu med
på alle leddene:
, Man kan reducere dette udtryk:
, beviset for ellipsens ligning, når centrum er i origo og brændpunkterne ligger på x-
aksen, er nu bevist.
11
To-legemeproblemet
I astronomiens verden opstår to-legemeproblemet, når man skal beskrive to legemer alene i
universet, selvom de egentlig ikke er det. Da universet er forholdsvis tomt, kan man forudsætte at
de to legemer ikke bliver påvirket af andre kræfter end de indbyrdes. Da man antager ud fra to-
legemeproblemet, at en planet kun er påvirket af tyngdekraften fra dens moderstjerne, vil planetens
bane som nævnt tidligere, have et af de følgende keglesnit: cirkel, ellipse, parabel eller hyperbel.
For at en cirkelbane skal opstå, skal den mekaniske energi være mindre end 0, og hastigheden skal
have en helt bestemt værdi. Hvis en ellipsebane skal opstå, skal den mekaniske energi også være 0,
men hastigheden kan variere. En parabel opstår hvis den mekaniske energi er 0, og hastigheden er
så høj at planeten flyver væk fra solen. Hyperblen opstår hvis den mekaniske energi er mere end 0,
og planetens fart er så høj at den flyver forbi solen og derefter ændre kurs på grund af
tyngdekraften.
12
11
Geometri og keglesnit – bog & vektorer og rumgeometri – bog
12
FysikABbogen 2 side 246
Side | 11
Kepler
Den tyske astronom Johannes Kepler, formulerede i sin tid, tre love, som beskriver planeternes
bevægelse. Han lavede lovene på baggrund af den danske astronom Tycho Brahes observationer af
mere end 700 stjerner.
13
Keplers 1. lov
Keplers første lov siger, at planeter bevæger sig i ellipser, med solen i det ene brændpunkt.
Som der tidligere er blevet nævnt i opgaven, består en
ellipse af alle de punkter P som opfylder ligningen:
. En cirkel kan også opfattes som en ellipse, hvor
de to brændpunkter ligger i samme punkt og ellipsens
excentricitet derfor er 0. Hvis dette forekommer, vil cirklens
radius være a, da storaksen er 2a.
Alle ellipsebaner om solen, har to punkter kaldet perihel og
aphel. Perihel er det punkt som ligger tættest på Solen og aphel er det punkt som ligger længst fra
Solen. Afstanden fra perihelpunktet til Solen kaldes perihelafstanden og betegnes
. Afstanden fra
aphelpunktet til Solen kaldes aphelafstanden og betegnes
. Hvis man kigger på figur 5, kan man
se, at:
.
Alle planeterne i solsystemet bevæger sig i ellipser med Solen i det ene brændpunkt, men
excentriciteten er så lav, at banerne næsten er cirkler.
14
Keplers 2. lov
Keplers anden lov lyder, at linjen mellem Solen og planeten
overstryger lige store arealer i lige store tidsrum.
Efter Keplers opdagelse af planeternes bane, hans første lov, fandt
han hurtigt ud af, at planeterne ikke bevægede sig med konstant
13
FysikABbogen 2 side 248
14
På rumrejse i solsystemet side 16-17
Figur 5 En ellipse hvor punkterne
perihel og aphel er illustreret
Figur 6 Grafisk illustration af
Keplers 2. lov
Side | 12
hastighed.
15
Han så nemlig, at planeterne bevægede sig langsomt i aphel og hurtigst i perihel.
Kepler ledte derfor efter en anden konstant, og fandt frem til at det areal som forbindelseslinjen
mellem planeten og Solen overstryger i et bestemt tidsrum er konstant, og det er illustreret på figur
6.
16
Planeterne bevæger sig hurtigst, i perihel, altså når de er tættest på Solen, og det skyldes at jo
tættere planeterne kommer på Solen jo mere bliver de påvirket af solens gravitationskraft, og
planeterne bevæger sig derfor hurtigere. Dette er også kaldet Newtons gravitationslov.
Keplers 3. lov
Keplers tredje lov lyder, at
, hvor T er planetens omløbstid og a er banens halve storakse.
Kepler havde i sin første og anden lov undersøgt planeterne hver for sig, men han var opsat på at
finde en sammenhæng mellem dem. Efter mange forsøg på at finde den sammenhæng, kom han
frem til sin tredje lov.
17
Da K er et bestemt tal, som gælder i hele solsystemet, kan man derfor sætte to planeter op mod
hinanden:
. For at kunne benytte denne formel, kræver det selvfølgelig, at man allerede
kender omløbstiden og storaksen for en planet og enten omløbstiden eller storaksen for en anden
planet.
Keplers tredje lov, gælder ikke kun for planeter rundt om Solen, men f.eks. også for satellitter rundt
om jorden. Det er derfor ikke nødvendigvis to planeter man sætter op mod hinanden, når man
benytter hans formel. Princippet med hans formel er blot, at man skal bruge en i forvejen kendt
bane, for at kunne udregne banen for en anden.
18
Newton
Newton mente at jordiske og himmelske fænomener måtte adlyde de samme naturlove, og for at
lave en samlede beskrivelse af universet, var han nødt til at slippe idéen om at planeterne bevæger
sig i cirkelbaner, ligesom Kepler gjorde 60 år tidligere. Newton benyttede Keplers tre love til at
komme frem til sine love, her i blandt gravitationsloven, som jeg vil beskrive.
15
Det kosmiske urværk side 56
16
På rumrejse i solsystemet side 17
17
Det kosmiske urværk side 56
18
På rumrejse i solsystemet side 17-19
Side | 13
Gravitationsloven
Newton sagde at to legemer altid tiltrækker hinanden, med en kraft som er givet ved:
,
her er M og m de to legemers masse, r er afstanden mellem de to legemer og G er
gravitationskonstanten, som er givet ved
.
19
Dette udtryk er også kaldet gravitationsloven og det er en af de fire grundlæggende naturlove.
Man kan i formlen se, at jo mindre afstanden er, jo større vil gravitationskraften blive, hvilket
stemmer godt overens med Keplers 2. lov, som gravitationsloven blandt andet er bygget på.
Detekteringsmetoder
Der findes mange detekteringsmetoder til at observere exoplaneter, da det er svært at observere dem
direkte. De er svære at observere direkte, fordi planeter er så små at man ikke kan se dem for lyset
fra deres stjerne. Planeter producerer samtidig ikke energi, så det eneste lys de ”udsender”, er
refleksionen af lyset fra deres stjerne. Da det er så svært at observere dem direkte, er det meget få
exoplaneter som er fundet med den metode. Langt størstedelen er fundet med indirekte metoder,
hvor man har observeret exoplaneternes effekt på deres stjerne.
Astrometri
En af de indirekte metoder, man kan benytte til at observere en exoplanet om en stjerne, er
astrometri. Metoden består i at betragte den lille bevægelse en stjerne laver når en exoplanet kredser
omkring den. En planet bevæger sig i en ellipse bane rundt om stjernen,
og da planeten vil ”hive” lidt i stjernen på grund af gravitationskraften vil
stjernen også bevæge sig i en ellipse bane omkring det fælles
tyngdepunkt. Stjernes bane vil dog være meget mindre end planetens
bane, da solen vejer meget mere end planeten.
20
Dette er illustreret på
figur 7. Denne metode kan benyttes til at finde planetens masse, størrelse
og afstand fra stjernen, da stjernen vil bevæge sig i en større ellipse hvis
planeten er langt væk fra stjernen, samt hvis planetens masse er høj. Ydermere er metoden ideel,
fordi man ikke skal bruge to objekter til at konstatere planetens tilstedeværelse, man skal kun
19
FysikABbogen 2 side 235
20
Politikkens bog om solsystemet side 80-83
Figur 7 Figuren
illustrerer hvordan
stjernen bevæger sig,
når planeten kredser om
den
Side | 14
observere stjernen og dens bevægelse. Selvom metoden umiddelbart virker som den perfekte
metode til at finde planeters tilstedeværelse, så er det svært at måle den lille flytning som stjernen
laver, når planeten kredser om den. Denne måde at observere stjerner på, var den metode som
Tycho Brahe benyttede sig af, da han observerede stjernes position, bevægelser og afstande.
Radialhastighedsmetoden
Radialhastighedsmetoden er den detekteringsmetode som hidtil har fundet flest exoplaneter.
Metoden går, ligesom astrometri, ud på at observere stjerner og de små bevægelser de laver, når
planeter kredser omkring dem. Når stjernen bevæger sig, vil den nogle gange bevæge sig væk fra os
og nogle gange bevæge sig hen imod os. Når stjernens lys så sendes igennem en spektrograf, som er
et instrument som opdeler lyset i frekvenser, bliver lyset delt op i farver. De grundstoffer som er på
stjernen, vil blive vist som mørke linjer i det spekter, hvor hver linje er det samme som en bestemt
bølgelængde for lys. Når stjernen så bevæger sig væk fra Jorden vil de mørke linjer være forskudt
mod det røde lys, da bølgelængden vil være ”hevet” lidt i. Det modsatte sker når stjernen bevæger
sig hen imod Jorden, for så vil de mørke linjer være forskudt mod det blå lys, da bølgelængden vil
være ”trykket” lidt sammen. Den forskydning som stjernen laver, kalder man for dopplereffekten.
Med denne metode kan små ændringer i stjernens position observeres, og man kan ud fra
forskydningen af linjerne beregne planeternes minimums masse. Metoden indebærer ligesom
astrometri ikke andre objekter end en stjerne til at konstatere en exoplanets tilstedeværelse, og det er
derfor også den metode der har båret mest frugt når det kommer til detektering af nye exoplaneter.
Selvom denne metode har detekteret mange exoplaneter har den en ulempe, og det er, at den ikke
kan beregne planeters præcise masse, hvilket er en vigtig faktor hvis man gerne vil finde en planet
som kan indeholde liv.
Metoden fungerer bedst, hvis planeten kredser om stjernen mere end én gang, da det vil give mindst
måleusikkerheder, men da omløbstiden for en planet kan være flere år, vil det tage lang tid før man
har en sikker observation. Astronomerne har kun brugt denne metode i ca. 20 år, så man har hidtil
kun detekteret planeter som er tæt på deres stjerner og derfor har en kort omløbstid.
21
21
Dansk astronomi i kikkerten side 73-74
Side | 15
Passagemetoden
Passagemetoden går ud på at man observerer en stjerne og måler antallet af fotoner. Når en planet
bevæger sig ind mellem teleskoppet og dens moderstjerne vil antallet af fotoner dykke, fordi
planeten dækker en lille smule for stjernen. Dykket i lyskurven er illustreret på figur 8. Det er
vigtigt med denne metode, at planeten kredser om stjernen
flere gange, så man er sikker på at det er en planet, og så
kan man også i den sammenhæng måle planetens
omløbstid. Denne metode er også god til at bestemme
planetens masse, da en stor planet vil give et stort dyk i
fotonantallet og en lille planet vil give et lille dyk i
fotonantallet. Kepler-satellitten, som blev opsendt i 2009,
har til formål at detektere små exoplaneter ved brug af
passagemetoden.
22
Da det er umuligt at måle stjernens lys
helt nøjagtigt fra Jordens overflade, er man nødt til at få satellitter til det, når man skal lede efter
planeter på størrelse med Jorden. Passagemetoden kræver at planeten er mellem satellitten og
moderstjernen og det er ikke særlig ofte at det er tilfældet.
23
Metoden kan også tage mange år at
benytte da en planets omløbstid kan vare flere år. Det er med denne metode at exoplaneten Kepler-
4b, som der bliver behandlet data fra senere i opgaven, er detekteret.
Mikrolinse-metoden
Mikrolinse-metoden går ud på at to stjerner er på en lige linje set fra Jorden, og så vil kildestjernens
lys blive forstærket af linsestjernens tyngdekraft.
Linsestjernen vil så fungere som et slags forstørrelsesglas
over kildestjernen, og dette er illustreret på figur 9. Hvis
linsestjernen har en omkredsende planet, vil den også
fungere som et forstørrelsesglas, og kildestjernens lys vil
blive endnu kraftigere. Hvis man er interesseret i at finde
jordlignende planeter, er dette en ideel metode, da planeter
22
http://www.nbi.ku.dk/almanakken/viden_om_universet/kepler-missionen---jagten-paa-jordlignende-planeter/
(Besøgt: 6/12-14)
23
Politikkens bog om solsystemet side 80
Figur 8 Figuren illustrerer
lysintensitetens dyk når planeten
passerer stjernen
Figur 9 Figuren illustrerer hvordan
linsestjernen og dens omkredsende
planet forstærker lyset fra
kildestjernen
Side | 16
langt væk fra linsestjernen ikke vil blive set, og det er derfor kun planeter tæt på linsestjernen som
vil blive opdaget på lyskurven fra kildestjernen. Metoden har dog hidtil ikke fundet så mange
exoplaneter, da det jo kræver at to stjerner er på en lige linje set fra Jorden, og det er en
sjældenhed.
24
Afstandsbestemmelse
Der findes flere metoder til at bestemme afstande i universet, og der er både direkte og indirekte
metoder. Til at bestemme afstande til de stjerner der er nærmest kan man bruge en direkte metode
som parallakse-metoden, men for at bestemme afstande til stjerner og galakser som er længere væk,
kan man benytte cepheide-metoden som er en indirekte metode. Det er nødvendigt at have indirekte
metoder da det er svært at se forskel på om en stjerne lyser svagt og er tæt på eller om en stjerne
lyser kraftig og er langt væk.
Parallakse
Parallakse-metoden er en direkte metode til at bestemme afstande i
universet. Metoden går ud på at man laver en sigtelinje fra Jorden til
stjernen, og så venter man ½ år til Jorden er på den anden side af Solen, og
så kan man igen måle sigtelinjen til stjernen. Dette er illustreret på figur 10.
Stjernens parallakse er den vinkel, som bliver dannet ud fra de to sigtelinjer
til stjernen. Da man kender Jordbanens diameter, som er ca.
,
hvilket er en stor nok forskel til at sigteretningerne bliver forskellige, kan
man ud fra trekantsberegning udregne afstanden til stjernen, og der findes
følgende sammenhæng:
, hvor a er afstanden til stjernen, D er
jordbanens diameter og v er parallaksen i radianer. Når man benytter parallaksen bliver den oftest
omtalt i buesekunder, og omskrevet til grader er det:
.
25
Cepheide
Cepheider er pulserende stjerner, som betyder at de trækker sig sammen og udvider sig periodisk.
Når en cepheide trækker sig sammen, vil temperaturen og trykket stige, og stjernen vil derfor
24
http://www.nbi.ku.dk/Nyheder/nyheder_12/et_vaeld_af_beboelige_planeter_i_maelkevejen/ – (Besøgt: 30/11-14)
25
FysikABbogen side 105
Figur 10 Figuren
illustrerer parallakse-
metoden
Side | 17
udvide sig og det medfører at temperaturen og trykket vil falde, hvorefter den igen vil trække sig
sammen, og sådan vil det fortsætte.
Der findes to former for lysstyrke, den absolutte og den tilsyneladende lysstyrke. Den absolutte
lysstyrke er den mængde energi en stjerne eller galakse udstråler pr. tid og den tilsyneladende
lysstyrke er den mængde lysenergi som bliver observeret på Jorden.
En cepheide lyser kraftigst i den udvidende fase, da temperaturen endnu er høj og den samtidig har
opnået et vist overfladeareal. En cepheides periode er den tid det tager for stjernen at udvide sig og
derefter trække sig sammen, og perioden kan var fra nogle få dage til flere måneder. Cepheider er
ideel til indirekte afstandsbestemmelse, da de lyser meget kraftigt samtidig med at der er en
sammenhæng mellem cepheidens periode og dens absolutte lysstyrke. Sammenhængen er, at jo
længere cepheidens periode er, jo højere er den absolutte lysstyrke.
Man kan med denne viden beregne afstanden til en cepheide med formlen:
, hvor l er den
tilsyneladende lysstyrke, L er den absolutte lysstyrke og r er afstanden til stjernen. Den absolutte
lysstyrke skal divideres med
, fordi det er formlen for arealet af en kugle.
26
Kepler-4b
Jeg vil i dette afsnit behandle data fra Kepler-4b, som er en exoplanet Kepler-satellitten har
observeret ud fra passagemetoden.
27
Det data, som jeg har hentet fra ibogen, exoplaneter,
indeholder tiden i døgn og stjernens lysintensitet. De har oprindelig observeret stjernen, Kepler-4, i
95 døgn, men jeg har valgt kun at beskæftige mig med de første 30 døgn. Jeg har samtidig trukket
startværdien i døgn fra alle punkterne, så det første punkt ligger i x=0, da det er nemmere at regne
med. Jeg har indsat datasættet i LoggerPro og lavet lysintensiteten som funktion af tiden, og grafen
kan ses på figur 11.
26
FysikABbogen 2 side 106-107
27
Jeg har i dette afsnit hovedsageligt benyttet samme fremgangsmåde som i artiklen ”Exoplaneter fundet med Kepler
og CoRoT” skrevet af Hans Kjeldsen: http://www.kvant.dk/upload/kv-2010-3/kv-2010-3-HK-exoplaneter.pdf
Side | 18
Figur 11 Grafen viser lysintensiteten som funktion af tiden
Man kan på grafen se, at der er 11 dyk i lysintensiteten, og det er for hver gang planeten passerer sin
stjerne. Da planeten passere sin stjerne 11 på 32 døgn, vil det sige at planeten omløber sin stjerne 10
gange på 32 døgn. Jeg kan derfor finde omløbstiden P, ved at dividere 32 med 10, og planeten får
derfor en omløbstid på P=3,2 døgn.
Jeg vil nu udregne planetens banehastighed, ved brug af formlen
, hvor omkredsen af
planetens bane er og omløbstiden er P. Da jeg ikke kender a, vil jeg benytte newtons version
af Keplers 3. lov, hvor a indgår:
, her er P planetens omløbstid, a er den halve
storakse,
er solens masse og
er planetens masse.
Jeg kan forudsætte at planetens masse er meget mindre end solens, og jeg får nu en formel, som ser
sådan ud:
, hvor
er stjernens masse. Hvis jeg isolerer a, får jeg:
.
Jeg kan nu indsætte udtrykket for a, i formlen for banehastighed:
. Dette kan
reduceres på følgende måde:
Side | 19
Jeg mangler nu blot stjernens masse som er oplyst i ibogen til
, hvor
betyder én
solmasse som er
, og det vil sige at stjernens masse er
.
28
Da jeg nu både kender planetens omløbstid som er 3,2 døgn, altså
, og stjernens
masse som er
, kan jeg udregne planetens banehastighed:
Omskrevet til kilometer pr. sekund er det
, og det er mere end 5 gange så hurtigt
som jordens banehastighed på .
Som jeg tidligere har nævnt, kredser stjernen og planeten om deres fælles tyngdepunkt, og stjernen
vil derfor også flytte sig. Jeg kan derfor benytte mig af impulsbevarelse
omskrevet til
, til at udregne planetens masse. Jeg mangler bare at beregne stjernens banehastighed, og
den kan jeg finde ud fra observationer, som har målt stjernens hastighedsvariation. Jeg har igen
fundet data fra ibogen, exoplaneter, og lavet radialhastigheden som funktion af omløbstiden. Dette
kan ses på figur 12. Se bilag for målepunkter.
Figur 12 Grafen viser radialhastigheden som funktion af omløbstiden
Stjernens banehastighed
er illustreret på grafen, og da der er to punkter: 10,1m/s og 9,4m/s, kan
jeg udregne gennemsnittet, og derved få et mere præcis resultat:
.
28
http://da.wikipedia.org/wiki/Solen (Besøgt: 2/12-14)
Side | 20
Da jeg nu kender stjernens banehastighed, kan jeg benytte formlen for impulsbevarelse til at
udregne planetens masse:
Det vil sige at planetens masse er
, hvilket er det samme som 26 jordmasser.
Jeg vil gerne finde planetens radius, og til det kan jeg benytte formlen:
, hvor D er
mængden af lys som planeten absorberer og
er stjernens radius. Stjernens radius er opgivet i
ibogen til at være
og da Solens Radius er
, er stjernens radius
. Jeg mangler bare at finde D, og den kan jeg finde ved at kigge på den første
passage fra figur 11. I nedenstående figur, har jeg zoomet ind på den første passage, og illustreret
hvor D er. Se bilag for målepunkter. Man kan diskutere, om det er præcist nok, kun at kigge på en
passage, men da jeg har valgt en passage hvor planeten dækker solens lysintensitet nogenlunde
gennemsnitlig, giver det ikke en stor afvigelse i D-værdien.
Figur 13 Figuren viser den første passage som planeten laver fra graf 11. Størrelsen D kan findes ud fra denne graf.
Jeg ved at det nederste punkt ligger i y=0,999226, og jeg kan ud fra dette beregne den procentvise
svækkelse af lyset, da lysintensiteten fra stjernen normalt er 1:
Konstanten D er 0,0774 %, og i decimaltal er det D=0,000774.
Side | 21
Jeg kan nu udregne planetens radius med formlen
, som jeg tidligere nævnte:
Hvis jeg omregner det til meter er det:
Da jeg kender planetens masse og planetens radius, kan jeg udregne planetens densitet, med
formlen:
, da volumen af en kugle er givet ved
.
Kepler-4b har en densitet på
, hvilket er lidt mindre end Neptuns densitet på
.
29
Til sidst vil jeg gerne komme med et bud på planetoverfladens temperatur, og til det vil jeg bruge
formlen:
, her er
stjernens overflade temperatur, og den er opgivet til
5857K i ibogen,
er som sagt stjernens radius, A er albedo-effekten som jeg antager, er 10 % og
til sidst er der a som er den halve storakse. a er den eneste jeg ikke kender, men da jeg udledte en
formel for den i starten af dette afsnit:
, vil jeg benytte den til at finde a, da jeg
allerede kender gravitationskonstanten G, omløbstiden P og stjernens masse
. Jeg indsætter
tallene i formlen og udregner a:
Da jeg nu kender a, kan jeg benytte formlen:
, til at give et bud på
planetoverfladens temperatur:
29
http://da.wikipedia.org/wiki/Neptun_%28planet%29
Side | 22
Planeten Kepler-4b har cirka en overfladetemperatur på
.
Jeg har i dette afsnit beregnet omløbstiden, massen, densiteten og temperaturen for planeten Kepler-
4b. Kepler-4b vejer
og har en densitet på
, hvilket indikerer, at det er en stor
gasplanet. Planeten har samtidig en omløbstid på 3,2 døgn hvilket betyder at den må være meget tæt
på sin stjerne, og det passer også godt med dens høje overflade temperatur på 1593K. Da det er en
varm gasplanet, er det udelukket at der findes liv på Kepler-4b.
Liv i rummet
Når astronomerne leder efter nye exoplaneter, vil der altid være nogle egenskaber som de leder efter
på planeterne, fordi der findes en række kriterier som skal være opfyldt, for at livet kan opstå.
Et af kriterierne er, at planeten er nødt til at være en såkaldt klippeplanet og ikke en gasplanet. En
gasplanet, som f.eks. Neptun, har ikke en fast kerne eller en fast overflade, og det er derfor umuligt
at livet kan have været opstået på en sådan planet.
30
Et andet kriterie er at der skal være flydende
vand, og for at der kan være flydende vand skal temperaturen være maksimum 373,15K, for hvis
temperaturen er over det, vil vandet fordampe. Temperaturen må dog heller ikke være for lav, for
hvis den er under 273,15K vil vandet være i is-fasen, og derfor ikke være flydende. Planeten skal
samtidig have en atmosfære, som holder på stjernens varme.
For at fastslå om en planet er en klippeplanet eller gasplanet kan man beregne dens densitet. Man
ved fra densiteterne af de otte planeter i vores solsystem, at en klippeplanet har en densitet mellem
og en gasplanet har en densitet mellem
. For at man kan beregne
en planets densitet, skal man bruge dens masse og radius, og det kan godt være besværligt at finde,
og det er derfor ikke let at beregne planetens densitet og derved bekræfte eller afkræfte om det er en
klippeplanet.
For at undersøge om en planet har den rette temperatur, er man nødt til at undersøge hvor stor
stjernen er i forhold til Solen og hvor kraftigt den lyser. Hvis stjernen er mindre end Solen og ikke
lyser ligeså kraftigt, medføre det, at planeten skal være tættere på stjernen end Jorden er på Solen
30
Universets melodi side 109
Side | 23
for at den rette temperatur opnås og hvis stjernen er større og lyser kraftigere end Solen, skal
planeten være længere væk end Jorden er på Solen for at den rette temperatur opnås.
Hvis de ovenstående kriterier er opfyldt for en planet, har man en planet som ligger i det man kalder
den beboelige zone, som er et udtryk for at der kan være liv på planeten.
Stjerner og planeter er dannet i samme proces, og det vil sige at hvis man undersøger en stjernes
spektre, og fastslår dens kemiske indhold, kan man tjekke om det er det samme indhold som Solens,
og hvis det er det, ved man at det system stjernen er i, minder meget om vores, og det er klart en
fordel. Stjernen skal samtidig have levet i nogle mia. år, for at livet kan være opstået og udviklet
sig.
31
Hvis man antager, at man har fundet en planet som opfylder alle de ovenstående kriterier, er
der rig mulighed for at der kan være liv som vi kender det på Jorden. Da alt i rummet ligger langt
væk fra hinanden, vil det sige at den potentielle planet vil ligge mange lysår væk fra os. Hvis en
planet ligger 1000 lysår væk, vil det derfor tage 2000 år at sende og modtage en besked, hvis de vel
og mærket sender en besked tilbage med det samme de modtager vores besked. Scenariet kan også
være at det liv der lever på planeten ikke har samme teknologi som os eller lever i vandet og derfor
aldrig kan sende en besked tilbage. Vi vil derfor aldrig modtage et svar fra dem, og vil derfor aldrig
vide at der er liv på planeten.
32
Alle kriterierne om forholdene på planeten, skal være i orden, for at liv kan opstå og leve på
planeten, men selvom kriterierne er opfyldt og der er liv, betyder det ikke at vi kan komme i kontakt
med dem, da det ikke er sikkert at de har teknologien til at sende en besked tilbage til os. Der kan
derfor sagtens være liv på planeter, men vi vil måske ikke blive gjort opmærksomme på det, fordi
det ikke er sikkert at de har muligheden for at vise, at de er der.
Konklusion
Johannes Kepler kom i 1619 ud med sine tre love som beskriver planeternes bevægelse. Hans første
lov lyder at planeter bevæger sig i ellipser med Solen i det ene brændpunkt. Hans anden lov lyder at
31
Artikel: http://scitech.au.dk/aktuelt/nyheder/vis/artikel/forskere-er-taet-paa-at-finde-beboelige-planeter/
32
Dansk astronomi i kikkerten side 76
Side | 24
linjen mellem Solen og planeten overstryger lige store arealer i lige store tidsrum, og hans tredje og
sidste lov lyder at
, hvor T er planetens omløbstid og a er banens halve storakse.
Da planeter bevæger sig i ellipser, blev der beskrevet hvordan man ud fra et keglesnit, kan finde
ellipsen. Ellipsen blev indsat i et koordinatsystem, og ellipsens excentricitet, som beskriver hvor
fladtrykt ellipsen er, kunne findes og ellipsens ligning, som lyder:
, kunne bevises.
Planeter som er i andre solsystemer end vores, kaldes exoplaneter, og de kan detekteres ud fra en
række indirekte metoder. Der blev i denne opgave beskrevet fire detekteringsmetoder: Astrometri,
radialhastighedsmetoden, passagemetoden og mikrolinse-metoden. Astrometri og
radialhastighedsmetoden går ud på at man observerer stjernens bevægelse når planeten kredser om
den. Passagemetoden går ud på at observere en stjernes lysintensitet, og det dyk der kommer, når
planeten passere stjernen, da planeten dækker en lille smule for stjernens lys. Mikrolinse-metoden
går ud på at to stjerner står på en lige linje fra observatøren på Jorden og den forreste stjerne med
dens tilhørende planet vil fungere som et forstørrelsesglas for den bagerste stjerne.
Exoplaneten Kepler-4b, blev opdaget med passagemetoden, og det data Kepler-satellitten har lavet,
blev behandlet i denne opgave. Planetens omløbstid er 3,2 døgn og den masse er
.
Densiteten kunne beregnes til
og et bud på overfladetemperaturen er 1593K. Ud fra disse
resultater, kan man konkludere at det er en stor gasplanet som er tæt på sin stjerne og derfor har en
høj temperatur.
For at der kan opstå liv på en planet, er det nødvendigt at det er en klippeplanet, da den har en fast
overflade. Det er samtidig vigtigt at planeten har den rette afstand til sin stjerne så temperaturen
tillader flydende vand. Selvom der findes planeter der opfylder disse kriterier og der findes liv på
dem, er det ikke sikkert at det er muligt at komme i kontakt med dem, da det tager et år for en
besked at komme frem til planeten for hvert lysår den er væk fra Jorden, og det er heller ikke sikkert
at de har den samme teknologi som os til at sende en besked tilbage.
Litteraturliste
Bøger
Arentoft, Torben og Hans Kjeldsen. Exoplaneter. SystimeiBog, 2014
Side | 25
Axelsen, Ib og Hans Jørgen Schrøder. Vektorer og rumgeometri. Gjellerup og Gad, 1991
Carstensen, Jens. Geometri og Keglesnit. Systime, 1996
Elvekjær, Finn og Torben Benoni. FysikABbogen 1. Systime, 2007
Elvekjær, Finn og Torben Benoni. FysikABbogen 2. Systime, 2007
Hornstrup, Allan m.fl. Dansk astronomi i kikkerten. Epsilon, 2010
Nørgaard, Henry m.fl. Universets melodi. Gyldendal, 2001
Rasmussen, Ib Lundgaard. Politikkens bog om solsystemet. Politikkens forlagshus, 2005
Schilling, Verner. Det kosmiske urværk. Gyldendal, 1995
Stub, Helle og Henrik Stub. På rumrejse i solsystemet. Gyldendal, 1988
Hjemmesider
Christensen, Rasmus Rørbæk, ”Forskere finder de mest jordlignende planeter til dato”,
www.scitech.au.dk, http://scitech.au.dk/aktuelt/nyheder/vis/artikel/forskere-er-taet-paa-at-finde-
beboelige-planeter/ (Besøgt: 5/12-14)
Jørgensen, Uffe Gråe, ”Et væld af beboelige planeter i mælkevejen”, www.nbi.ku.dk,
http://www.nbi.ku.dk/Nyheder/nyheder_12/et_vaeld_af_beboelige_planeter_i_maelkevejen/
(Besøgt: 6/12-14)
Kjeldsen, Hans, ”Exoplaneter fundet med Kepler og CoRoT”, www.kvant.dk,
http://www.kvant.dk/upload/kv-2010-3/kv-2010-3-HK-exoplaneter.pdf (Besøgt: 4/12-14)
Skaarup, Gertie, ”Kepler missionen – Jagten på Jordlignende planeter”, www.nbi.ku.dk,
http://www.nbi.ku.dk/almanakken/viden_om_universet/kepler-missionen---jagten-paa-
jordlignende-planeter/ (Besøgt: 6/12-14)
Side | 26
Bilag
Målepunkterne for radialhastigheden:
Tid (døgn)
Radialhastighed (m/s)
56,77837
-4,9
57,4308
-10,1
57,96745
-5,1
58,86905
7,7
59,20167
9,4
59,72929
3,3
Side | 27
Målepunkterne for den første passage planeten laver:
Tid (døgn)
Lysintensitet
0,572144
1,000131
0,59259
0,999811
0,612976
1,000117
0,633423
0,999957
0,65387
1,000212
0,674316
0,999922
0,694702
0,999854
0,715149
0,999418
0,735596
0,999336
0,756043
0,999226
0,776489
0,999308
0,796875
0,999226
0,817322
0,999271
0,837769
0,999464
0,858215
0,999695
0,878662
1,00001
0,899048
0,999975
0,919495
0,999895
0,939941
0,999934
0,960388
1,000085