1
Indholdsfortegnelse
Abstract ................................................................................................................................................... 2
Indledning................................................................................................................................................ 3
Før renæssancen
[]
................................................................................................................................... 3
Renæssancens begyndelse ...................................................................................................................... 3
Manufaktur
[]
........................................................................................................................................ 4
Kirkestaten .............................................................................................................................................. 4
Renæssancetanken ................................................................................................................................. 4
Mennesket som ideal .............................................................................................................................. 5
Gotik kontra renæssance ........................................................................................................................ 5
Medici familien
[]
...................................................................................................................................... 6
Medici familiens indvirken på renæssancekunsten ............................................................................ 7
Lorenzo il Magnifico ............................................................................................................................ 8
Opgøret med den katolske kirke ikke rettet ........................................................................................... 9
Dansk renæssance
[]
............................................................................................................................... 10
Fibonacci
[]
.............................................................................................................................................. 10
Det gyldne snit
[]
................................................................................................................................. 12
Sætning 1
[]
......................................................................................................................................... 13
Sætning: ........................................................................................................................................ 13
Bevis: ............................................................................................................................................. 13
De gyldne tal 2
[]
................................................................................................................................. 14
Definition ....................................................................................................................................... 14
Sætning 2
[]
......................................................................................................................................... 15
Bevis: ............................................................................................................................................. 15
Det gyldne rektangel ......................................................................................................................... 16
Det gyldne snit .................................................................................................................................. 16
Induktionsbevis – eksempel
[]
............................................................................................................ 17
Induktionsbeviset – Binets formel
[]
................................................................................................... 18
Sætning 3
[]
......................................................................................................................................... 19
Bevis – Induktionsbevis ................................................................................................................. 19
Sætning 4 (Binets formel)
[]
................................................................................................................ 20
Bevis .............................................................................................................................................. 20
2
Sætning 4
[]
......................................................................................................................................... 21
Det gyldne rektangel i oldtiden ............................................................................................................. 21
Pallazzo Strozzi
[]
..................................................................................................................................... 22
Palazzo Rucellai ..................................................................................................................................... 25
Botticellis Venus’ fødsel ........................................................................................................................ 26
Dansk renæssancearkitektur
[]
............................................................................................................... 27
Konklusion ............................................................................................................................................. 28
Litteratur ............................................................................................................................................... 29
Bilag ....................................................................................................................................................... 31
Abstract
The following paper concerning renaissance and geometry examines the relation between human
perception, renaissance architecture and mathematics. Throughout the paper there will be a going
through of the renaissance as a historical period. Furthermore the principles behind the fibonacci-
numbers will be explained and Binet’s formula proven. This will be linked to a thorough source criti-
cism of the Palazzo Strozzi in Florence along with some other buildings and the painting Birth of Ve-
nus by Botticelli.
By connecting the general perception of a human as an individual with the architecture of the renais-
sance, which will show how the buildings placed the human in society. Combined with the mathe-
matics of the buildings this will show an obvious connection between the two.
Through these deliberations it was shown, that the renaissance architecture places the human being
besides the awe inspiring buildings. This is contrary to the gothic architecture, which placed God and
the church above humanity. By using the golden rectangle and the golden section the architects of
the renaissance were able to bring massive structures down to street level.
3
Indledning
Renæssancen i Norditalien indtræffer omkring 1200-tallet og slutter omkring 1600-tallet. Denne
spredes fra Norditalien op igennem Europa, hvor den noget senere begynder i de nordiske lande.
I Norditalien importeres antikke værker, skulpturer og generel viden med korstogene mod
mellemøsten. Dette betyder at den katolske kirkes vidensmonopol brydes og mennesket kan udvikle
dets færdigheder med en fornyet hast. I Firenze som i mange andre Italienske byer blomstrer
kunsten og efterspørgslen af denne stiger i takt med at familier kan udvide deres formue markant,
eftersom verdenshandlen for alvor indtræffer i denne periode. Renæssancens menneskesyn
inspirerer også universalgenier som Leonardo Da Vinci til at udforske menneskekroppens anatomi og
kortlægge denne.
Et fornyet menneskesyn er sparket i gang og det logiske menneske har nu frit spil til at udfolde sig.
Før renæssancen
[
1
]
Den kulturelle arv fra Rom og oldtidens Grækenland var ikke tilgængelig for Vesteuropa grundet
romerrigets opsplitning til nye germanske stater, feudaliseringen
[
2
]
og den katolske kirkes
meningsmonopol. Dog eksisterede dele af den klassiske kulturarv i Byzans. Her blev de antikke
filosofiske og naturvidenskabelige værker oversat, og studeret af araberne. Det betød også, at denne
viden blev ført videre til Europa gennem Spanien og de arabiske områder i Syditalien. Først efter
korstogenes begyndelse får Vesten et reelt indblik i oldtidens tanker og værdigrundlag.
Renæssancens begyndelse
Renæssancen begynder for alvor efter plyndringen af Konstantinopel under det 4. korstog i 1204 og
Osmannernes erobring af byen i 1453, da dette medførte, at mange klassiske kunstværker og
manuskripter kom til Norditalien. De norditalienske byer gennemgik en enorm økonomisk udvikling i
korstogstiden og denne nyskabte forbindelse til mellemøsten blev i høj grad varetaget af byer som
Venedig, Pisa og Genova.
[
3
]
Korstogshærene blev udrustet i byerne og sendt til det hellige land og
tilbage igen via handelsruter. En stor del af overskudet blev investeret i Levanthandlen og
overskuddet herfra blev igen investeret i korstogene
4
. Levanthandlen betegner handlen med landene
[
1
]
Tager udgangspunkt i Clausen m.fl., 1997 s. 7-14
[
2
]
En guddommelig orden, hvor hver stand og hvert menneske har en position bestemt af Gud. Et hierarki
styret af hvor meget jord en person ejede.
[
3
]
Helles, 1997 s.93
4
Clausen m.fl., s.9
4
ved det østlige Middelhav. Handlen skabte stor rigdom i Norditalien, som blandt andet blev benyttet
til at udvikle byernes produktion af eksempelvis glas, silke og farvevirksomhed. I Firenze udvikledes
uld industrien enormt over en kort tidsperiode grundet det økonomiske opsving. Det spillede også en
stor rolle, at bankfilialer dukkede op i Norditalien og siden hen i resten af Europa. Det var dog stadig
handlen, som var tidens vigtigste økonomiske drivkraft. Den øgede handel og den hurtigt voksende
økonomi i Norditalien betød, at det var her de nye ideer indenfor litteratur, kunst, videnskab og
samfundssyn først slog igennem.
[
5
]
Manufaktur
[
6
]
I middelalderen var der stort set ikke deling af produktionsfaserne. Hele processen blev udført af en
mand, som selv skaffede materialer til produktion, fremstillede varen og solgte den efterfølgende. I
renæssancen opstod en i højere grad fabrikslignende deling af produktionsfaserne. Forelæggeren
ejede produktionsmidlerne og betalte arbejdere for at udføre et stykke arbejde. Han indgik på den
måde ikke selv i den praktiske del af produktionen, men varetog den administrative del.
Kirkestaten
Under renæssancen var Norditalien dybt katoliceret og det gjaldt specielt Italien eftersom
Vatikanstaten ligger i Rom. Det norditalienske samfund kan betegnes som værende sekulariseret.
Paven blev set som den allerhøjeste magthaver, da han var guds talerør til jorden og hans ord derfor
var lov. Den katolske kirke hjalp i høj grad renæssancen i gang, da kirken suverænt var den største
indehaver og køber af kunst. Det gjaldt dog, kun i begyndelsen af renæssancen, grundet kirkens
modstand til en ”frisindet” udvikling af kunst og naturvidenskabelig forskning. Grundet korstogene
var kirken ikke længere eneindehaver på viden.
De enkelte byer, som Firenze, blev politisk set styret af de rige og gejstlige i den givne by.
Renæssancetanken
Renæssancens tankegang kredsede om de glemte antikke værdier. Den enorme tilstrømning af antik
viden fra blandt andet Konstantinopel gjorde dette muligt.
Det nyskabende ved renæssancen var, at humanisterne, som forskere under renæssancen blev kaldt,
begyndte at dyrke den menneskelige fornuft og selvstændighed. Det vil sige, at det enkelte
[
5
]
Clausen m.fl., 1997 s.10
[
6
]
Clausen m.fl., 1997 s.15
5
menneske ikke var begrænset, men kunne skabe sin egen lykke og rigdom. Den nye tankegang
stemte overens med erfaringerne som købmænd fra mellemklassen havde gjort sig under tiden.
Humanisterne opdagede også, at der var et alternativ til den kristne levevis, hvilket skabte mange
religiøse bevægelser i 14- og 1500-tallet.
[
7
]
Det vil sige at kirkens autoritet blev udfordret under renæssancen.
Mennesket som ideal
Mennesket i renæssancen blev for første gang betragtet som et individ. Enkeltpersoner kunne skabe
deres eget navn, uden nødvendigvis at være adelige. Den øgede handel gjorde det muligt for
købmandsbutikker at blomstre og udvikle sig til større foretagender. På den måde var det muligt for
den større mellemklasse, som blev kaldt popolani
8
, at udvide deres formue betydeligt.
Selve mennesket dyrkes som et intellektuelt væsen. De rige borgere så deres succes ikke kun som
Guds nåde, men også som et produkt af egen gøren.
[
9
]
Den græsk-romerske dyrkelse af menneskets
fornuft og logik blev set som en bekræftelse af, at mennesket kunne bestemme sin egen skæbne i en
vis udstrækning. Nogle mente endda, at det var menneskets forpligtelse overfor Gud at udfolde sine
evner bedst muligt. Måden hvorpå det kunne gøres var at være et universalgeni. Det vil sige, at det
ideale menneske i renæssancen beherskede sværdet såvel som handelsmandens tunge og logik.
Ydermere havde han videnskabelig indsigt og kunstneriske færdigheder. Han var velbevandret i
filosofi, litteratur, musik, skrev digte og kunne spille et instrument, var en dygtig atlet og habil
danser.
[
10
]
At mennesket havde fuld kontrol over sin egen tilværelse stod i skarp kontrast til middelalderens syn
på tilværelsen. Mennesket var underordnet Gud i middelalderen, og det enkelte menneskes valg
havde ingen betydning for, hvordan dennes liv skulle udforme sig, da det var bestemt af Gud. Det vil
sige at determinismen dyrkedes i denne tid.
Gotik kontra renæssance
I gotikken (ca. )
[
11
]
blev bygninger konstrueret ud fra tanken om at Gud er almægtig. I
gotikken var kirken ofte arkitektens eneste bygherre. Det betød at arkitekturen var noget særskilt for
kirken og derfor kunne man betragte dette som værende et evangelium i sten. Den gotiske stil
[
7
]
Helles, 1997 s. 94
8
Sørensen, 1993 s.110
[
9
]
Grubb m.fl., 2006 s. 72
[
10
]
Grubb m.fl., 2006 s. 72
[
11
]
Clausen m.fl., 1997 s.99
6
udstråler menneskets mindreværd i forhold til Gud
[
12
]
. De høje lodrette linjer på vej mod himmels,
som næsten formår at nå Gud skaber en utrolig ærefrygt hos mennesket og fortæller mennesket, at
det er fortabt uden kirkens beskyttelse og velsignelse. De typiske glasmalerier fortæller om en
verden, som er uopnåelig for den ikke troende, men inden for rækkevidde for den troende. Notre
Dame i Paris er bygget efter en gotisk stil, se Bilag 1. De fem skibe stod færdige ca. år 1163 og de to
store 69m høje tårne i år 1250
[
13
]
.
I renæssancen blev dette ændret. I Firenze blev opførelsen af dominikanerkirken Santa Maria
Novella, se Bilag 2, påbegyndt i år 1287 og afsluttet i år 1470
[
14
]
. Kirken er bygget af en munkeorden
kaldet dominikanerordenen.
[
15
]
Det ses at den himmelstræbende gotiske stil er forsvundet og det
vandrette skaber en fornemmelse af jordbundenhed
[
16
]
. Den romerske triumfbue understreger, at
antikken og ikke kirken er forbillede. Renæssance arkitekten opfatter en bygning som en æske med
hud, hvor æsken er bygningens indre struktur og huden dens udsmykning. Arkitekten forsøger med
udsmykningen at bringe en harmonisk sammenhæng mellem den indre og ydre struktur.
[
17
]
Medici familien
[
18
]
Medici familien begyndte deres forretninger som apotekere i Firenze, men senere havde de succes
som manufakturhandlere, køb- og bankmænd. Slægtens forskellige grene delte sig i 1300-tallet over
20-30 husstande i Firenze.
[
19
]
De repræsenterede på dette tidspunkt sig selv i de kommunale organer
af pligt, da de intet synderligt ønske havde om at overtage magten i Firenze. De tilhørte den større
mellemklasse, popolani. Medici familien deltog i modsætning til mange andre familier i kampen mod
aristokraterne (ottomati). Dette betød, at de senere i deres historie havde en enorm opbakning fra
den jævne bybefolknings (popolo minuto) side.
Giovanni di Bicci () var den første i familien, som gjorde sig bemærket i historien. Han
hævede hele Medici familien op til en stærk førerstilling, da han i år 1397 åbnede en bankfilial i
Firenze. Medici banken blev foretrukket af kirken, hvilket gjorde, at Giovanni havde den største
kunde i hele Norditalien og måske endda verden. Giovanni gjorde intet synderligt for det kulturelle
[
12
]
Clausen m.fl., 1997 s.99
[
13
]
Om Notre Dame
[
14
]
Om Santa Maria Novella
[
15
]
Sørensen, 1993 s. 17
[
16
]
Clausen m.fl., 1997 s.100
[
17
]
Clausen m.fl., 1997 s.100
[
18
]
Afsnittet angående Medici familien tager udgangspunkt i filmen Justin, Birth og a dynasty, Justin,
Magnificent Medici og Justin, Medici pope
[
19
]
Sørensen, 1993 s. 110
7
aspekt af renæssancens gennembrud i Firenze, men det gjorde derimod hans søn Cosimo il Vecchio
().
Cosimo opdagede en af renæssancen største arkitekter Filippo Brunelleschi ()
[
20
]
.
Brunelleschi genopfører som den første siden romerriget en facade på en bygning båret af
fritstående søjler. Denne bygning var et børnehjem i Firenze og facaden stod færdig i år 1419. Denne
bedrift fører til at Brunelleschi får muligheden for at færdiggøre kuplen på katedralen i Firenze. De
oprindelige arkitekter havde overvurderet deres evner, men Brunelleschi mente at have en løsning
på problemet. Han byggede kuplen år
For at konstruere kuplen vidste Brunelleschi, at han havde brug for at benytte aldrig før sete
teknikker. Derfor tog han til Rom, hvor han analyserede Pantheon templet og dechifrerede dens
mysterier. Han bemærkede, at de til konstruktionen af Pantheon, havde benyttet et skelet af
tømmer, som overhældtes med beton. Brunelleschi stod overfor to problemer hvis han skulle følge
metoden Pantheon var bygget efter. Det ene var at opskriften på beton var gået tabt og den anden
var at der ikke var tømmer nok i Firenze til at dække den enorme flade, som kuplen ville få. Derfor
var han nødt til at konstruere nye løsninger til at håndtere problemet. Han byggede to skaller, en af
letvægtsmaterialer som indre og en ydre mere robust af mursten og tegl. Dette bevidner at
renæssancens tænkere søgte tilbage i tiden, men ikke for at kopiere. De gjorde det for at lade sig
inspirere. Ud over, at Brunelleschi færdiggjorde katedralen, så fastlagde han også regler for hvordan
perspektivtegning kunne udføres korrekt.
Medici familiens indvirken på renæssancekunsten
Før og i renæssancen kreerede kunstnere ikke værker efter deres egne tanker. En kunstner blev
ansat til en opgave, eksempelvis at skulptere en bestemt historisk figur. Kunstnere blev derfor ofte
betalt på forhånd. Det var i høj grad kirken, som ønskede disse værker fremstillet, men i
renæssancen var det ikke udelukkende de gejstlige, der bestilte værker. Privatpersoner eller familier
ville omsætte deres rigdomme til noget visuelt. Konceptet at omsætte sin formue til en genstand af
værdi ud over bygninger var et relativt nyt koncept. Den frihed, som skabtes, da en kunstners
håndværk ikke fremstilles i en religiøs sammenhæng, giver spillerum til at udforske nye eller antikke
former af håndværket.
Cosimo af Medici familien viser dette, da han sponsorerer en skulptur af Donatello (ca. )
[
21
]
kaldet David. Skulpturen afbilleder David, der har besejret Goliath. Det er som bekendt en bibelsk
fortælling, men det radikale ved figuren var, at David var afbilledet nøgen. Det var første gang siden
[
20
]
Om Filippo Brunelleschi
[
21
]
Om Donatello
8
romerriget at en skulptur afbillede en nøgen figur. Figuren viser heller ikke David som nogen form for
overmenneske, men som en ganske almindelig mand, endda en ”drenget” mand med enkelte
kvindelige træk. Der var også en provokation i fjeren fra Goliaths hjelm, som kærtegner indersiden af
Davids lår. Det var en stor provokation, taget i betragtning, at det var en tid, hvor sodomi kunne
afstraffes med døden.
[
22
]
Lorenzo il Magnifico
Lorenzo il Magnifico (1449-92) fik overdraget magten til Firenze af Cosimo i år 1469. Lorenzo styrede
sin plads i kommunen fra sit palads med hård hånd.
[
23
]
Dog lå hans egentlige interesse i kulturen og
det var Lorenzo, som formede Firenzes ”kulturpolitik”. Selv var Lorenzo digter og filosof. Han så sig
selv som en livgivende sol til alle filosoffer, da han ikke kun understøttede dem finansielt, men også
diskuterede med dem.
[
24
]
Lorenzo var også meget aktiv på det Platoniske akademi, der blev grundlagt
af Cosimo il Vecchio. Han beskrives her som en del af det firkløver, der udgjorde kernen i det
Platoniske akademi. Firkløveren bestod af filosoffen Marselio Ficino, maleren Bottecelli samt
digterne Poliziano og Lorenzo.
[
25
]
Lorenzo var et idol for den almene befolkning, men kirken ønskede at myrde både Lorenzo og hans
bror Giuliano, eftersom de da ville få magten over Firenze. Det ses her, at paven er begyndt at
fungere som en fyrste i stedet for en religiøs leder, som har territoriale interesser i Italien. Kirken
ønskede at gribe direkte ind i det politiske aspekt af staten på dette tidspunkt. Det var Pave Sixtus 4.
(1471-84)
[
26
]
, som lagde navn til det Sixtinske kapel i Vatikanet i Rom, og som den første blandede sig
i Firenzes indre politiske forhold. Sixtus ønskede også at tage kampen op hvad angik videnskab, kunst
og kultur. Det gjorde han ved at trække kunstnere som Bottecelli og Ghirlandaio til Rom. Ydermere
ændrede Sixtus bankforbindelser fra Medici’erne til Pazzi’erne. Det gjorde han som et led i planen
om at vælte Lorenzo og få indsat kardinalen Gerolamo Riario.
[
27
]
Den 26. april år 1478 angreb de sammensvorne Medici’er Lorenzo og Giuliano ved en messe i
domkirken Santa Maria del Fior. Lorenzo forsvarede sig med sit sværd, men broderen Guiliano blev
dræbt af 19 knivstik.
[
28
]
Ærkebiskoppen Salvati af Pisa havde installeret sig på Palazzo della Signoria,
da han troede at attentatet var blevet gennemført. Eftersom det ikke var tilfældet, blev han hængt
ud af vinduet på paladset. Jacopp Pazzi red gennem Firenzes gader og kaldte folket til kamp mod
[
22
]
Helles, 1997 s. 95
[
23
]
Sørensen, 1993 s.111
[
24
]
Sørensen, 1993 s. 111
[
25
]
Sørensen, 1993 s.111
[
26
]
Sørensen, 1993 s. 112
[
27
]
Sørensen, 1993 s. 112
[
28
]
Justin, Magnificent
9
Medici familien, men han blev mødt med befolkningens vrede, da Medici’erne altid havde varetaget
popolo minuto’s interesser. Sixtus benyttede lejligheden til at skabe røre og krig i Italien, men
Lorenzo viste sine politiske egenskaber ved at gendanne en stabil magtbalance i Italien.
[
29
]
Opgøret med den katolske kirke ikke rettet
Paven var i stigende grad begyndt at opføre sig som en enevældig konge og den katolske kirke som
verdslige
[
30
]
. Det afspejledes i prestigebyggerier som Peterskirken i Rom og den katolske kirkes
enorme mængde jordejendom. Dette og det stigende salg af afladsbreve ville det tyske folk ikke
finde sig i, hvilket førte til at Martin Luther () ophængte sine 95 teser på kirkedøren i
Wittenberg i 1517
[
31
]
. Luther havde ikke forestillet sig, at dette ville føre til et brud med den katolske
kirke. Hvad der adskilte Luther fra den katolske kirke var, at han ikke mente mennesket kunne købe
sig fra skærsilden, eller igennem gode gerninger gøre det samme. Det eneste, som var af betydning,
var troen på Gud, alene igennem denne kunne man få forladelse fra arvesynden. Eftersom Luther
ikke ville tilbagekalde sine skrifter, blev han erklæret fredløs af og lyst i band af paven.
Luther mente at fyrsten var indsat af Gud, og derfor var bondeoprørene i Tyskland Fandens allierede.
Dette betød at han ikke ville gå i spidsen for dem, men derimod valgte han at tage imod beskyttelse
af kurfyrst Frederik den Vise
[
32
]
. Herefter dannes den Lutherske trosretning hvor fyrsten, og ikke
paven indtager pladsen som kirkens overhoved. Dette medførte også at kirkens gods overgik til
fyrsten. De fleste fyrster i Midt- og Nordtyske samt Skandinavien overgik til denne trosretning. Det
skabte den luthersk-protestantiske lære. Ved siden af denne opstod også andre trosretninger, som
var uenige med den lutheranske kirke på mange teologiske punkter. De to protestbevægelser blev
ledt af hhv. Zwingli () og Calvin ()
[
33
]
.
Den katolske kirke reformerede sig omkring 1550 til at imødekomme kravene hvad angår det
åbenlyse økonomiske misbrug
[
34
]
.
[
29
]
Sørensen, 1993 s. 112
[
30
]
Clausen m.fl., 1997 s. 17
[
31
]
Clausen m.fl., 1997 s.18
[
32
]
Clausen m.fl., 1997 s.18
[
33
]
Clausen m.fl., 1997 s.18
[
34
]
Clausen m.fl., 1997 s.18
10
Dansk renæssance
[
35
]
I 1400-tallet var der i Danmark tilstrækkelig arbejdskraft til at godsejeradelen kunne stramme
kravene for fæstebønderne. På den måde sikrede godsejeradelen sig en økonomisk gevinst ved
handel med okse og korn med Nordtyskland og Nederlandene. Det betød, at adelen sad med en
enorm del af den politiske magt, da de var de økonomisk stærkeste i landet. Udviklingen fortsatte ind
til 1600-tallet, hvor borgerstanden blev en politisk magtfaktor, og kunne støtte kongen mod adelen.
I år 1523 blev Christian 2. afsat som følge af utilfredshed blandt godsejerne med, at han forsøgte at
styrke kongemagten og at han førte en bekostelig udenrigspolitik. Det skal nævnes at,
protestantismen havde vundet mange tilhængere gennem 1520’erne og 1530’erne. I år 1534 udbrød
der borgerkrig i Danmark. Bønder og borgere rejste sig mod adelen, hvilket gjorde at rigsrådet var
nødsaget til at indsætte Christian 3., som var protestant. Efter sejren i borgerkrigen i 1536
gennemførte Christian 3. reformationen. Igennem denne blev kirkens store godsejendomme
inddraget under kongedømmet, hvilket skabte en øget magt over adelen og mindre magt til kirken.
Renæssancen slog efterfølgende igennem. Det var de Nordvesteuropæiske humanisters bibelstudier,
som gav størst inspiration til den danske renæssance. Altså var det ikke de antikke værdier, som var
til grund for renæssancen i Norditalien, men bibelstudier og en revurdering af hvordan denne skulle
tolkes, som var skyld i den Nordvesteuropæiske renæssance.
Rent arkitektonisk fandt Danmark inspiration i den nederlandske renæssancestil også kaldet
rosenborgstilen. Den var en blanding af gotik og italiensk renæssance.
[
36
]
Den italienske renæssance
byggede på den katolske kirke, men med rosenborgstilen forsøgte protestanterne at vise deres tro
byggede på mere end katolicismen, eftersom denne indeholdt træk fra Nordeuropa.
Fibonacci
[
37
]
Leonardo af Pisa eller Fibonacci, hvilket han kendes bedre som, levede fra år 1175 til ca. 1225 og
skrev bogen Liber Abaci. Det er en håndskrevet afskrift fra år 1228, der her bliver benyttet som kilde.
Bogen er på 459 sider og er et omfattende værk angående praktisk brug af matematik til fx
handelsmænd. Bogen menes at have haft en betydelig indflydelse på matematikkens udvikling i
Europa. Specielt for denne bog er, at der konsekvent er benyttet arabertal i stedet for de mere
folkelige romertal. Derfor menes bogen også at være skyld i, at der i dag benyttes arabertal i
[
35
]
Grubb m.fl., 2006 s. 78
[
36
]
Om den danske renæssance – afsnittet om rosenborgstilen
[
37
]
Følgende tager udgangspunkt i Frandsen, 2010 s.92-118
11
Europa
38
. Desuden formodes det også, at Fibonacci indførte brøkstregen
39
. I Liber Abaci beskrives en
række matematiske problematikker, hvoraf den mest kendte (lidt omskrevet) ser således ud:
”En kaninbestand består fra begyndelsen af et kønsmodent par. Hvert
kønsmodent par føder et nyt par hver måned og kaninerne bliver
kønsmodne en måned efter fødslen.
Hvordan vokser antallet af kaninpar efterhånden som månederne går?”
- Fibonacci, Liber abaci, 1202
Fibonacci illustrerede situationen gennem en figur, se Bilag 3. Som det fremgår af denne vil et
kønsmodent par i løbet af en måned vil føde et par, som ikke er kønsmodent. Næste måned vil det
kønsmodne par føde endnu et par som ikke er kønsmodent. Den tredje måned er de to par
kønsmodne og der fødes nu to par, som ikke er kønsmodne. Det giver følgende talrække:
Måned
1
2
3
4
5
6
7
Nye par
0
1
1
2
3
5
8
Par i alt
1
2
3
5
8
13
21
38
Frandsen, 2010 s.92
39
Frandsen, 2010 s.92
12
Her giver talrækken ”Par i alt” de tal, som kaldes fibonaccifølgen. Det ses, at det næste tal i
fibonaccifølgen er lig summen af de to foregående, derfor kan vi opskrive en definition, som er givet
ved:
Ved Fibonaccifølgen forstås den følge af tal F
1
, F
2
, F
3
,…, F
n
,…, hvor F
1
= F
2
= 1
For n > 1 gælder, at
F
n+1
= F
n-1
+F
n
Det ses, at fibonaccifølgen vokser hurtigt og at lave et skema for dette ikke er en hensigtsmæssig
måde at beregne følgen. Fysikeren Binet fandt i år 1843 en formel for, hvordan disse tal kunne
findes. Formlen var dog kendt af Leonard Euler (1707-83) og Deniel Bernoulli (1700-82) ca. 100 år før.
Binet fandt formlen uafhængigt af disse og formlen blev opkaldt efter ham, da de to andre navne
forbindes med andre matematiske formler og tal.
Binets formel er givet ved:
Formlen bevises senere i projektet.
Hvis n=20 indsættes i Binets formel fås:
Værdien bekræftes i en tabel for en række af fibonaccital
[
40
]
. Det er altså muligt gennem Binets
formel at finde et ellers uoverskueligt fibonaccital.
Det gyldne snit
[
41
]
Ud fra fibonaccitallene er det muligt at finde tallet Ф, som er et tal i fibbonaccis følge divideret med
det foregående. Måden hvorpå det gøres er ved at betragte talrækken og opskrive et tal over det
foregående
[
40
]
Frandsen, 2010 s.95
[
41
]
Frandsen, 2010 s.96
13
Det ses at tallene går mod 1,6, men til at beregne Ф som eksakt tal benyttes sætning og bevis for Ф i
det følgende.
Binets formel kan skrives som:
Sætning 1
[
42
]
Sætning:
Når F
n
er det n’te fibonaccital, gælder:
Bevis:
Grænseværdier for Ф fastsættes:
Da Ф>1 og 0< Ф’<1 gælder at:
Hvilket medfører:
Følgende omskrives:
De fundne grænseværdier indsættes:
[
42
]
Frandsen, 2010 s.96
14
Det synes af ovenstående, at der er en tæt kobling mellem det gyldne snit og fibonaccitallene.
Hvordan det gyldne snit kan konstrueres beskrives i det følgende.
De gyldne tal 2
[
43
]
Vi ser på linjestykket |AB|, der er delt af punktet C:
C deler linjestykket |AB| i det gyldne snit.
Definition
For linjestykket |AB| som er delt af punktet C gælder:
C deler AB i det gyldne snit hvis forholdet mellem hele linjestykket (x + y) og det største linjestykke
(x), er lig med forholdet mellem det største linjestykke (x) og det mindste linjestykke (y).
1. Eks: Hvis x = 13 og y = 8:
[
43
]
Afsnittet tager udgangspunkt i definition af det gyldne snit og øvelse 1-5.2 fra Grøn, Gyldne snit
x
y
A
C
B
x
y
A
C
B
15
Begge brøker er ca. lig 1,6, hvilket vil sige, at C deler linjestykket AB i det gyldne snit.
2. Eks: Hvis x = 16 og y = 5
Da de to brøker ikke har det samme værdi, deler C ikke linjestykket AB i det gyldne snit.
Sætning 2
[
44
]
C deler AB når:
Bevis:
y(x+y) skrives ud og sættes lig 0:
Der divideres med y
2
i alle led:
Formlen
indsættes i formlen:
[
44
]
Grøn, Det gyldne øvelse 1
16
Diskriminanten for andengradsligningen beregnes:
Denne indsættes og z findes:
Dermed er Ф og Ф’ beregnet.
Det gyldne rektangel
Det gyldne tal kan også benyttes som et gyldent rektangel, hvilket konstrueres ved at dreje y 90°, så
den danner en ret vinkel. Derefter spejles y ved x og y´s endepunkter.
Denne form er ofte benyttet til at danne bygninger, som senere vises.
Det gyldne snit
Ikke kun det gyldne rektangel bliver, og er blevet brugt til konstruktion af kunst og arkitektur, men
også, og måske i højere grad er det gyldne snit blevet benyttet. Dette bestemmes på følgende måde.
x
y
x
y
17
Ud fra de ovenstående figurer kan det vises hvor langt inde på linjen vi finder at linjerne mødes. Hvor
stor en procentdel 1 udgør af 1+Ф beregnes:
Det gyldne snit ligger dermed ca. 38% inde på linjen.
Induktionsbevis – eksempel
[
45
]
Til at bevise Binets formel tages udgangspunkt i et induktionsbevis. I nedenstående vises hvordan
sådan et konstrueres gennem et eksempel.
En række kvadrat tal og afstanden mellem disse betragtes:
Det ses, at kvadrattallene vokser med de ulige tal 1,3,5 og 7. Det undersøges om det altid er
gældende for kvadrattal. Det opskrives på følgende måde:
[
45
]
Frandsen, 2010 s.113
Afstand:
Kvadrattal:
1
0
1
3
4
5
9
16
7
Ф
1
Ф
1
18
Da ovenstående er sandt, må det generelle udtryk være p(n). Denne kan opskrives som:
Vi antager, at p(n) er sand og opskriver p(n+1). Denne omskrives til nedenstående vha. antagelsen:
Her er
antagelsen venstreside og vi kan derfor erstatte denne med
antagelsen og opskrive følgende:
Da det nederste er sandt, er det øverste også sandt og hermed er vist at:
Da dette kan fortsættes i en uendelighed er p(n) sand for
.
Denne bevismetode bygger på induktionsaksiomet, som er en grundsætning, der ikke kan bevises.
Induktionsaksiomet beskrives som følger:
[
46
]
Hvis det om et åbent udsagn P(n) gælder, at:
Så er P(n) sand for alle
.
Induktionsbeviset – Binets formel
[
47
]
Binets formel kan bevises direkte gennem induktion, men her gøres det ved hjælp af en
hjælpesætning, som også tages i brug senere i beviset. Nedenfor udtrykkes Ф
n
vha. Ф.
[
46
]
Frandsen, 2010 s.114
[
47
]
Frandsen, 2010 s.116
19
1.
Φ
Φ
2.
Φ
Φ Φ
Φ
Φ
Φ
Φ Φ Φ Φ
3.
Φ
Φ Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ Φ
4.
Φ
Φ Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ Φ
Alle tallene er nabo-Fibonaccital. Og vi har her fundet grundlaget for hjælpesætningen til
induktionsbeviset.
Altså har vi følgende (dette gælder også for Φ):
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Da Ф og Ф’ er de eneste løsninger til
formuleres sætningen som følger.
Sætning 3
[
48
]
Hvis er løsning til
så gælder at:
Bevis – Induktionsbevis
Da vi laver et induktionsbevis indleder vi med at definere udsagnet:
Hvor dette er sandt for alle n=1, 2, 3, 4… Dog vil være en forkert påstand, eftersom skal være
, set af Sætning 3.
Vi antager at er sand.
Det skal bevises at:
[
48
]
Frandsen, 2010, s116
20
Vi laver følgende omskrivninger:
Det er hermed bevist at antagelsen P(n) er sand.
Sætning 4 (Binets formel)
[
49
]
Det n-te Fibonaccital
er for alle
, som er bestemt ved:
Bevis
Ved Sætning 3 ved vi at:
Φ
Φ
Φ
Φ
Nu trækkes (2) fra (1)
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ Φ
Φ
Φ
Det fås at
Φ Φ
Ved indsættelse af værdierne for Ф og Ф’ fås Binets formel.
[
49
]
Frandsen, 2010 s.117
21
Da
vil
for , og i Binets formel er det derfor populært sagt dette led formål er
at sørge for, at højresiden giver et helt tal. Disse overvejelser fører til den næste sætning.
Sætning 4
[
50
]
Hvis
afrundes til næste hele festen fås
Bevis
Da
er et helt tal, kan beviset føres ved at belyse, forskellen mellem denne og
er mindre end
1/2. ved anvendelse af Binets formel kan følgende omskrivninger benyttes:
Eftersom
gælder det, at:
Grundet dette kan omskrivningen fortsættes til:
Hermed er det ønskede bevis, da afstanden er mindre end ½ .
Det gyldne rektangel i oldtiden
Parthenon templet, som står på akropolis i Athen, er bygget år 447-438 f.Kr. Templet er dermed
bygget før Leonardo af Pisa fandt fibonaccitallene, men det synes, at bygningens opbygning benytter
sig af disse. På Bilag 4 ses fronten af Parthenon templet rekonstrueret. Længden er 30,9m og højden
til tagets ryg 19,2m
[
51
]
.
52
[
50
]
Frandsen, 2010 s.117
[
51
]
Om højden på Pantheon templet
[
52
]
Grøn, Det gyldne (Definition rektangel)
22
Det synes, at templet er proportioneret efter phi. Det kan skyldes, at det gyldne snit og det gyldne
rektangel ofte sættes i sammenhæng med det æstetisk smukke. Altså er det ikke sikkert at grækerne
har haft kendskab til de specifikke matematiske egenskaber ved det gyldne snit, men arkitekterne
har bygget efter hvad de fandt æstetisk smukt.
Der kan også trækkes linjer længere tilbage i historien. Helt tilbage til den egyptiske kultur. På Bilag 5
ses indgangen til Luxor templet, som ligger 675km syd for Cairo
[
53
]
og er bygget under Ramses II,
hvilket sætter tidsrammen omkring år f.kr.
[
54
]
. På denne bygning påføres det gyldne snit
og det gyldne rektangel. Det skal nævnes at jeg ikke har nogle reelle mål på konstruktionen, men da
der er tale om forholdet mellem de forskellige længder og tegningen er vist forfra, kan målte
benyttes.
Vi finder Ф:
Til at finde placeringen af det gyldne snit udregnes 38% af længden 9:
Både det gyldne rektangel og det gyldne snit passer på Luxor templets indgang. Denne model gælder
for mange andre egyptiske porte, som blev opstillet under samme tidsperiode. Det er svært at tro, at
egypterne ikke har haft matematisk kunnen indenfor denne del af geometri.
Det ses tydeligt at disse gyldne tal har været benyttet før Fibonacci.
Pallazzo Strozzi
[
55
]
I forbindelsen med konflikten med Medici familien blev alle mandlige medlemmer af Strozzi familien
forvist fra byen i 1434. Det førte til, at frontfiguren for familien åbnede et bankforetagende i Napoli,
hvilket sønnen Filippo Strozzi () videreførte med stor succes.
Som tidligere nævnt i afsnittet angående Lorenzo il Magfico genetablerede han en stabil
magtbalance efter pave Sixtus’ forsøg på at overtage Firenze. Måden hvorpå han gjorde dette, var
ved at benytte Filippo som mægler i det store politiske magtspil. Her igennem fik Strozzi familien
mulighed for igen at leve i Firenze. Dette skete i 1480.
[
53
]
Om Luxor templet
[
54
]
Om Ramses II
[
55
]
Tager udgangspunkt i Sørensen, 1993 s.106-109
23
Som produkt af ovenstående og at Lorenzo fik indført en lov, som gjorde, at en person, som
iværksatte større byggeprojekter blev fritaget fra kommunalskat i 40 år, påbegyndte Filippo byggeriet
af Palazzo Strozzi (se bilag 6 og 7).
Ideen med paladset har været at vise Firenze, at Strozzi familien er genindtrådt i Firenzes overklasse.
Den 6. august 1489 lagde Filippo grundstenen til paladset, dog var det ikke Filippo, som færdiggjorde
projektet, da han døde blot 2 år efter påbegyndelsen. Det var hans søn Filippo den yngre (1488-
1538), som kunne flytte ind i paladset i 1536. Herefter tilhørte paladset familien Strozzi til 1939, hvor
det blev købt af INA (Det Nationale Forsikrings Institut)
[
56
]
.
Bygningen er placeret mellem Via Tornabuoni og Piazza Strozzi, hvilket placerer den omkring Firenzes
bymidte. Selve bygningen fylder en hel blok og er et af de største paladser i Firenze
[
57
]
.
Arkitekterne, som konstruerede paladset, var mange. Mest fremstående var Benedetto da Maiano og
Simone del Pollaiuolo, men også Lorenzo de Medici var inde over arkitektarbejdet. Dette bevidner, at
de to familier ikke længere har et anspændt forhold, men derimod et venskabeligt forhold. Dette ses
også, da Filippo den Yngre gifter sig med Lorenzos barnebarn Clarice de Medici. Desuden var
metalarbejdet udført af Niccoló Grosso.
Simone del Pollaiuolo hæftede sig ved den klassiske romerske stil, hvor bygningen består af massive
stenblokke. Dette giver et indtryk af ærefrygt hos beskueren. Stenene er placeret i en bestemt orden,
som først ses ved nærmere undersøgelse af bygningen. Der synes at være forskellige mønstre i hvert
lag sten. De tre stokværk bygningen består af, er delt af en gesims, som ”bærer” de to øverste
rækker vinduer. Gesimserne forstærker de meget rolige vandrette linjer i bygningen. Den meget
store gesims i toppen af bygningen er et træk, som også stammer tilbage fra den klassiske romerske
stil.
Stenene bliver finere og finere som bygningen hæver sig over gadeplanet. Dette udstråler, i bunden
med store grove stenblokke, en overvældende og uigennemtrængelig barriere. Strozzi’erne var
bankfolk og dermed skulle paladset give indtrykket af, at det var umuligt at nå ind til den formue, der
lå gemt hos familien. De meget små vinduer i nederste stokværk forstærker ligeledes dette udtryk. I
andet stokværk bliver stenene mindre og finere. Bygningen bliver mere elegant og begynder nu at
udstråle overklassens værd, det samme gælder vinduerne, som i toppen er udsmykket med en bue i
romersk stil. Under buen og over vinduet findes også et klassisk renæssancetræk. Den gotiske
ornamentik
[
58
]
, som stammer fra gotikken, bliver benyttet til at udsmykke facaden. Igen bevæger vi
os et stokværk op og historien gentager sig, finere og mindre sten bliver benyttet. Som vi når toppen
[
56
]
Om Strozzi 2
[
57
]
Om Strozzi 2
[
58
]
Lars Brix dias 7
24
over tredje stokværk er stenene helt glatte og viser den udsøgte livsstil Strozzi familien delte med de
allerrigeste familier i Firenze. I toppen finder vi også den førnævnte, meget udstående og prangende,
gesims.
Sammenlagt giver det et udtryk, som bevidner familiens værd. Det skal dog siges, at det prangende
udtryk er udført med klassiske renæssancetræk, som den harmoniske deling af stokværk og
gennemgående vandrette linjer. Dette bringer bygningen ned på gadeplan og gør den i stedet for
højtravende til imponerende.
Bilag 8 viser grundplanet af Palazzo Strozzi. I centrum af paladset findes en gårdsplads. Gårdspladsen
har den samme rektangulære form som selve bygningen. På bilag 9 vises et billede af selve
gårdspladsen set indefra. De øverste og nederste stokværk er indefra bygget med søjler, som har en
bærende funktion. Søjler i gårdspladsen var et must i renæssancepaladser og blev flittigt benyttet i
paladser Italien over. I Strozzi paladset er der i nederste stokværk, som blev kaldt loggia
[
59
]
bygget
søjler med rundbuer og krydshvælv i romersk stil. Disse søjler er af den korinthiske orden, som
senere vil blive forklaret. I øverste stokværk er ioniske søjler benyttet, som også senere forklares.
Gårdspladsen skaber et luftfyldt rum og bringer en følelse af frihed til paladset, dog giver de meget
rene og enkle linjer
[
60
]
en følelse af orden til billedet, hvilket skaber en god balance, som afspejler
selve renæssancens ideologi.
Hvad der er meget atypisk for Palazzo Strozzi er de fraværende pilastre på bygningens facade.
Pilastre er også et gennemgående træk for renæssancepaladser.
Som det fremgår af bilag 6, kan det gyldne rektangel og gyldne snit påføres bygningen. Igen tages der
udgangspunkt i forholdet afmålt af tegningen.
Gyldne rektangel:
Gyldne snit:
Det gyldne rektangel passer altså ind i de to øverste stokværk og det gyldne snit med gesimsernes
placering på bygningen.
Altså tyder det på, at bygningen er konstrueret efter disse principper for at skabe harmoni i
strukturen
[
59
]
Lars Brix dias 7
[
60
]
Lars Brix dias 7
25
Palazzo Rucellai
Rucellai familien er en gammel købmandslægt, som har deres hjem i Santa Maria Novella-karteret
61
.
Arkitktan, som har bygget paladset hedder Leon Battista Alberti ()
62
. Ligesom Loenardo da
Vinci var han et universalgeni. Bygningen er kommissioneret af Giovanni Rucellai (1403-81) og
bygningen blev påbegyndt i 1446 og afsluttet i 1451
[
63
]
. Dybere vil vi ikke gå i dette palads’ historie,
dog vil vi betragte dets udsmykning, da denne type udsmykning var meget brugt i renæssancen.
Tilbage i Grækenlands oldtid benyttede arkitekterne næsten udelukkende søjlekonstruktioner til
templer og lignende. Disse søjler fik en bestemt orden udseende. Denne er skematiseret nedenfor.
Søjle:
Forklaring: (Der fokuseres på kapitælet, da kun denne del af søjlen er synlig
på palistre).
[64]
Den doriske orden er den mest simple. Denne type indeholder kun et stort
abacus og et echinus. Echinusset er den halvrunde top af søjlen
65
.
[64]
Den ioniske orden er noget mere udviklet. Abacus er her nogen mindre, og
det kan ses, at en form for udsmykning indtræder. Denne udsmykning kaldes
volutter og er kendetegnet ved en ionisk søjle
66
.
[64]
I den ioniske søjleorden findes også en underorden, kapitælet kaldes et
korithisk kapitæl. Her er volutterne mere udstikkende på echinus og den
øvrige udsmykning består af akanthusblade
67
.
Betragtes bilag 10 ses det, at der i de tre stokværk på paladset er placeret pilastre. Disse tilhører hver
deres orden, og ligesom stenene bliver finere på Palazzo Strozzi, så skifter ordenerne fra den mest
simple til mest avancerede, som vi bevæger os op fra gadeplan. I første stokværk findes den doriske
søjle, i andet den ioniske og i tredje stokværk ses den korithiske søjle. Ligesom stenen er det ment, at
disse skal illustrere den solide bund i overklassens økonomi og den finere livsstil overklassen er tildelt
i de øverste lag. Dette er, som tidligere nævnt, typisk for renæssancepaladserne.
[
61
]
Sørensen, 1993 s.101
[
62
]
Sørensen, 1993 s.101
[
63
]
Sørensen, 1993 s.101
[
64
]
Søjler
[
65
]
Bruhn m.fl., 1965 IX i leksikon
[
66
]
Bruhn m.fl., 1965 IX i leksikon
[
67
]
Bender m.fl., 1981 s.194
26
Botticellis Venus’ fødsel
Sandro Botticelli() var italiensk maler og virksom i Firenze
68
. Han påbegyndte sin karriere i
lære som guldsmed, men afbrød dette, og kom i lære hos den florentinske maler Filippo Lippi
69
, som
bl.a. malede på Det Sixtinske Kapel i Rom
[
70
]
. Boticelli arbejde i Lippis værksted fra ,
hvorefter han blev selvstændig mester
[
71
]
.
Bilag 11 viser maleriet Venus’ Fødsel, blev sammen med La Primavera malet af Botticelli i årene
[
72
]
. Denne blev bestilt af Lorenzo di Pierfrancesco, som var Lorenzo il Magnificos fætter.
Maleriet skulle hænge i hans villa i Castello
[
73
]
. Billedet forestiller Venus, som lige er opstået af havets
skummen. Hun bliver blæst ind mod landjorden af vestenvindende, som symboliseres af zefyrene.
Det menes, at zefyren, som er tydeligst, har broderen til Lorenzo il Magnifico, Guiliano Medicis
ansigtstræk
[
74
]
. Dette skyldes højst sandsynligt at, Bottecellis største kunder var Medici familien og
deres omgangskreds. På land står en kvinde, og ønsker Venus velkommen til den jordiske verden
med beklædning. Maleriet er især interessant, grundet det ikke forestiller noget kristent, men
derimod en fortælling fra den romerske religion.
Dette maleri benytter det gyldne snit til fulde, selv rammen er konstrueret efter et gyldent
rektangel, som det fremgår af bilag 11. (der tages udgangspunkt i afmålte forhold)
Ф 162
Det gyldne snit bliver brugt til at skabe en harmonisk balance i billedet. Det. Hver af figurerne har
hver deres lodrette kasse, som de holdes indenfor.
Vandret:
138 038 524
Lodret:
85 038 323
Det gyldne rektangel er placeret således, at hypotenusen viser læseretningen. Dette er også bevidst
af Botticelli, eftersom maleriet skal ses fra venstre mod højre
75
.
[
68
]
Om Botticelli
[
69
]
Om Botticelli
[
70
]
Om Lippi
[
71
]
Om Botticelli
[
72
]
Sørensen, 1993 s.118
[
73
]
Sørensen, 1993 s.118
[
74
]
Sørensen, 1993 s.119
[
75
]
Sørensen, 1993 s.119
27
Dansk renæssancearkitektur
[
76
]
Jens Bang (ca. ) var storkøbmand, og ejede som eneindehaver Aalborgkompagniet
[
77
]
. Han
byggede i årene Jens Bangs stenhus (bilag 12), som er placeret i Aalborg på Nytorv. Huset
er bygget med munkesten, der er lagt i moderne krydsskifte, som kom frem i renæssancetiden. Det
ses tydeligt at denne bygning har fundet stor inspiration hos de nederlandske renæssancehuse. Det
afspejles i de svungne gavle og mange sandstensornamenter. Dette ses tydeligt sammenlignet med
bilag 13, som er en typisk bygning fra den nederlandske renæssance. Det skal nævnes at det lille tårn
udenfor facaden på Jens Bangs stenhus, ikke har været en del af det originale byggeri.
Jens Bangs stenhus er ligesom de italienske paladser bygget efter et princip om en generel harmoni
igennem bygningen. Nedenfor ses udregningen for det gyldne rektangel, som også er tegnet på
bilaget. Der er igen taget udgangspunkt i afmålte størrelser.
Det kan også ses, at det gyldne snit på den vandrette led ”indhegner” den midterste gavl. Grundet en
mindre forskydning på billedet, passer det ikke perfekt på højre side, men det kunne forestilles at det
ville passe på den reelle bygning.
I Danmark har Fibonacci og det gyldne snit, altså også haft sin indvirkning på arkitekturen.
[
76
]
Tager udgangspunkt i Zeeberg, 67-70 billede 20
[
77
]
Om Jens Bang
28
Konklusion
Vi har nu dannet os et overblik over renæssancetiden, og hvadan den gjorde indtog i Europa.
Renæssancen betød for den litterære, kunstneriske, matematiske og naturvidenskabelige udvikling,
at disse fik et stort skub på vej fremad. Meget af den antikke viden, som havde været glemt siden
romerrigets fald, blev genfundet og med tanken om at udforske den selv samme og endda
videreudvikle på den.
Igennem beviser for Binets formel og et bevis for det gyldne snit, er der blevet fremstillet en klar
sammenhæng mellem fibonnaccitallene og det gyldne snit.
Det er også blevet vist, at der er en reel sammenhæng mellem de klassiske tider og renæssancen
gennem beregninger på bygninger. Herunder er Pantheon templet og Palazzo Strozzi.
De antikke værdiers tilstrømning til Norditalien har gjort et enormt indtryk på den videre udvikling af
såvel litterær og kunstnerisk kunnen som naturvidenskabelig. Denne genfødsel af det logiske og
videnshungrende menneske har betydet, at det i nutiden er givet, at verden er en uudtømmeligt
ressource for nye opdagelser og ny viden.
29
Litteratur
Bøger:
Clausen, Flemming; Falkes, Jørgen; Løndahl, Mette; Thiedecke, Johnny: Skabt Til At Skabe –
Renæssancens kultur i Europa, 1997, (Aschehoug): Forkortes Clausen m.fl., 1997
Grubb, Ulrik; Helles, Knud; Thomsen, Bente: Overblik – Verdenshistorien i korte træk, 2006,
(Gyldendal): Forkortes Grubb m.fl., 2006
Sørensen, Ivan Z.: Inden Turen Går Til Firenze, 1993, (Dansklærerforeningen): Forkortes Sørensen,
1993
Helles, Knud; Thomsen, Bente; Andersen, Torben P., Store Linjer I Verdenshistorien, 1997, (Gyldendal
Undervisning): Forkortes Helles, 1997
Frandsen, Jesper: De(t) Gyldne Snit – i kunst, natur og matematik, 2010, (Systime): Forkortes
Frandsen, 2010
Bender, Johan og Rasmussen, Bodi Bundgaardl: Oldtidens Grækenland – Græske billeder, 1981,
(Munksgaard): Forkortes Bender m.fl., 1981
Bruhn, Ada og Hjortshøj, Leo: Klassisk Kunst – Hellas, 1965, (Gyldendahl): Forkortes Bruhn m.fl., 1965
Zeeberg, Jørgen: Dansk Arkitektur III – renæssance, , (Forlaget For Faglitteratur): Forkortes
Zeeberg, 67-70
Opgaver:
Grøn, Bjørn: Det gyldne snit og fibbonacci-tallene: Forkortes Grøn, Gyldne snit
Film:
Hardy, Justin: Medici: The godfathers of reinessance – Birth of a dynasty, (Lion Television
i samarbejde med PBS og Devillier Donegan Enterprises): Forkortes Justin, Birth og a dynasty
Hardy, Justin: Medici: The godfathers of reinessance – The magnificent Medici, (Lion Television
i samarbejde med PBS og Devillier Donegan Enterprises): Forkortes Justin, Magnificent Medici
Hardy, Justin: Medici: The godfathers of reinessance – The Medici pope, (Lion Television
i samarbejde med PBS og Devillier Donegan Enterprises): Forkortes Justin, Medici pope
Websteder:
www.denstoredanske.dk
http://www.denstoredanske.dk/Kunst_og_kultur/Arkitektur/Ren%C3%A6ssance/Arkitekter_-
_ren%C3%A6ssance_-_Italien/Filippo_Brunelleschi
Forkortes: Om Filippo Brunelleschi
www.denstoredanske.dk
30
http://www.denstoredanske.dk/Kunst_og_kultur/Billedkunst/Billedhuggerkunst,_italiensk_ren%C3%
A6ssance/Donatello
Forkortes: Om Donatello
www.denstoredanske.dk
http://www.denstoredanske.dk/Kunst_og_kultur/Billedkunst/Billedkunst,_italiensk_ren%C3%A6ssan
ce/Domenico_Ghirlandaio
Forkortes: Om Ghirlandaio
www.danskarkitektur.dk
http://www.danskarkitektur.dk/kulturperioder/dansk%20renaessance.htm
forkortes: Om den danske renæssance
www.denstoredanske.dk
http://www.denstoredanske.dk/Kunst_og_kultur/Arkitektur/Kunst_og_arkitektur_i_bybilledet/Mon
umenter/Frankrig/Notre-Dame_de_Paris
Forkortes: Om Notre Dame de Paris
www.wikipedia.org
http://en.wikipedia.org/wiki/Parthenon
Forkortes: Om højden på Parthenon templet
www.denstoredanske.dk
http://www.denstoredanske.dk/Rejser,_geografi_og_historie/Gr%C3%A6kenland/Klassisk_ark%C3%
A6ologi/Parthenon
Forkortes: Om Parthenon templet
www.denstoredanske.dk
http://www.denstoredanske.dk/Rejser,_geografi_og_historie/Afrika/Nordafrika/Luxor
Forkortes: Om Luxortemplet
www.denstoredanske.dk
http://www.denstoredanske.dk/Rejser,_geografi_og_historie/Mellem%C3%B8sten/Egypten/Ramses
_2?highlight=ramses%20II
31
Forkortes: Om Ramses II
Diasshow af Lars Brix Frandsen
http://fc.nrsbgym.dk/~en/Arkitektur_i_Rom.pdf?FCItemID=S
Forkortes: Lars Brix
www.arkitekt-raadgivning.dk
http://www.arkitekt-raadgivning.dk/ordliste.html
Forkortes: Søjler
www.denstoredanske.dk
http://www.denstoredanske.dk/Kunst_og_kultur/Billedkunst/Billedkunst,_italiensk_ren%C3%A6ssan
ce/Sandro_Botticelli
Forkortes: Om Botticelli
www.denstoredanske.dk
http://www.denstoredanske.dk/Kunst_og_kultur/Billedkunst/Billedkunst,_italiensk_ren%C3%A6ssan
ce/Filippino_Lippi
Forkortes: Om Lippi
www.denstoredanske.dk
http://www.denstoredanske.dk/Danmarks_geografi_og_historie/Danmarks_historie/Danmark_1536
-1849/Jens_Bang
Forkortes: Om Jens Bang
Bilag
1 Norte Dame
http://www.google.dk/imgres?imgurl=http://www.edwud.com/photos/notre_dame.jpg&imgrefurl=http://www.edwud
.com/2007/02/13/notre-dame-de-paris-cathedral-
paris/&usg=__GPX1ekfNfhfRVpmmR3na2tfcBZ8=&h=566&w=800&sz=155&hl=da&start=0&zoom=1&tbnid=2oWq7
2 Santa Maria Novella
http://www.google.dk/imgres?imgurl=http://cache.virtualtourist.com/2849098-The_Church_of_Santa_Maria_Novella-
Floren-
32
ce.jpg&imgrefurl=http://members.virtualtourist.com/m/63b94/24e41/&usg=__wUXBbSo2nKncfkxPrhzUl0B4Uvc=&h=33
3&w=500&sz=34&
3 Fibonaccis kaninpar
http://www.google.dk/imgres?imgurl=http://www.jimloy.com/algebra/rabbits.gif&imgrefurl=http://www.jimloy.com/
algebra/fibo.htm&usg=__1EcJjioEEL7FHlhlTDpil5XpD-
s=&h=549&w=386&sz=15&hl=da&start=0&zoom=1&tbnid=pYyDL4P3-
INc1M:&tbnh=135&tbnw=95&prev=/images%3Fq%3Dfibonaccis%2Brabbits%26um%3D1%26hl%3Dda%26biw%3D1345%
26bih%3D551%26tbs%3Disch:1&um=1&itbs=1&iact=hc&vpx=641&vpy=172&dur=6435&hovh=268&hovw=188&tx=147&
ty=141&ei=epAGTdKZK4Gs8gPitciKBg&oei=epAGTdKZK4Gs8gPitciKBg&esq=1&page=1&ndsp=22&ved=1t:429,r:10,s:0
4 Parthenon templet m. tilføjede afmærkninger
http://www.google.dk/imgres?imgurl=http://mp082.k12.sd.us/parthenon.gif&imgrefurl=http://mp082.k12.sd.us/&usg
=__d3HVDwMcMtwSfWIyu0wEMl0wJqk=&h=435&w=580&sz=113&hl=da&start=18&zoom=1&tbnid=KUwpc5NuFG6GPM
:&tbnh=117&tbnw=156&prev=/images%3Fq%3Dparthenon%26um%3D1%26hl%3Dda%26sa%3DN%26biw%3D1345%26b
ih%3D551%26tbs%3Disch:10%2C400&um=1&itbs=1&iact=hc&vpx=933&vpy=262&dur=8627&hovh=194&hovw=259&tx=
123&ty=101&ei=EMQITYiiKtGSOoySmfcE&oei=0cMITeafN4KZ8QOT87QP&esq=7&page=2&ndsp=21&ved=1t:429,r:12,s:1
8&biw=1345&bih=551
5 Indgangen ved Luxor templet m. gyldent rektangel og snit
http://www.realbollywood.com/news/2010/11/naomi-campbell-wed-ancient-egyptian-temple.html
6 Palazzo Strozzi m. det gyldne rektangel (rød) og gyldent snit (blå)
http://www.google.dk/imgres?imgurl=http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cf/Palazzo_Strozzi_1.jpg&im
grefurl=http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Palazzo_Strozzi_1.jpg&usg=__OH9YPGQKzma13TLEtFZ9_NL9wSI=&h=6
45&w=762&sz=185&hl=da&start=0&zoom=1&tbnid=9vY54yIbnCBwLM:&tbnh=128&tbnw=151&prev=/images%3Fq%3D
palazzo%2Bstrozzi%26um%3D1%26hl%3Dda%26biw%3D1345%26bih%3D551%26tbs%3Disch:1&um=1&itbs=1&iact=rc&d
ur=143&ei=ckwJTfHgFci38gORhIwT&oei=ckwJTfHgFci38gORhIwT&esq=1&page=1&ndsp=24&ved=1t:429,r:4,s:0&tx=62&t
y=69
7 Palazzo Stozzi 2
http://www.google.dk/imgres?imgurl=http://www.ciaoitalia.es/images/PalazzoStrozzi.jpg&imgrefurl=http://www.ciaoi
talia.es/florencia2.html&usg=__dt7wIVH4_Np-
l51Me2X5YnwfB18=&h=600&w=800&sz=110&hl=da&start=48&zoom=1&tbnid=ueT4KfA3oYEReM:&tbnh=129&tbnw=16
7&prev=/images%3Fq%3Dpalazzo%2Bstrozzi%26um%3D1%26hl%3Dda%26sa%3DN%26biw%3D1345%26bih%3D551%26t
bs%3Disch:10%2C764&um=1&itbs=1&iact=hc&vpx=412&vpy=278&dur=1876&hovh=194&hovw=259&tx=188&ty=129&ei
=p2IJTePVNJGfOvrT4d8E&oei=aGIJTaL-
LMez8QPV05UX&esq=3&page=3&ndsp=25&ved=1t:429,r:10,s:48&biw=1345&bih=551
8 Grundplan Palazzo Strozzi
http://www.google.dk/imgres?imgurl=http://www.tamtamtravel.com/write/opere/operag2197.jpg&imgrefurl=http://
www.tamtamtravel.com/opera.php%3Fopera%3D197&usg=__33iZshidPxQlNvyt11HhUmUUeUs=&h=347&w=270&sz=28
&hl=da&start=24&zoom=1&tbnid=zZgELi1gYYCEVM:&tbnh=126&tbnw=98&prev=/images%3Fq%3Dpalazzo%2Bstrozzi%2
33
6um%3D1%26hl%3Dda%26sa%3DN%26biw%3D1345%26bih%3D551%26tbs%3Disch:1&um=1&itbs=1&iact=rc&dur=234&
ei=pxkKTf7PDZHoOfiCqMkG&oei=kBkKTdC-
Mcu38QOS2aET&esq=2&page=2&ndsp=24&ved=1t:429,r:23,s:24&tx=46&ty=62
9 Gårdsplads Palazzo Strozzi
http://www.google.dk/imgres?imgurl=http://www.italyguides.it/img/med/strozzi01.jpg&imgrefurl=http://www.italygu
ides.it/it/firenze/galleria_fotografica_firenze/browse_topic_dettaglio.php%3Ftopic%3D17%26RECORD_INDEX(gallery)%
3D1&usg=__sFAenu_t6Xkx22j-
jcM98xdwkAo=&h=549&w=423&sz=29&hl=da&start=73&zoom=1&tbnid=xTTQeb4EZqjM4M:&tbnh=128&tbnw=98&prev
=/images%3Fq%3Dpalazzo%2Bstrozzi%26um%3D1%26hl%3Dda%26sa%3DN%26biw%3D1345%26bih%3D551%26tbs%3Di
sch:10%2C1267&um=1&itbs=1&ei=URoKTditG4ycOt7YxfwF&iact=hc&vpx=136&vpy=282&dur=1092&hovh=190&hovw=1
46&tx=88&ty=69&oei=kBkKTdC-Mcu38QOS2aET&esq=4&page=4&ndsp=25&ved=1t:429,r:8,s:73&biw=1345&bih=551
10 Palazzo Rucellai
http://www.google.dk/imgres?imgurl=http://www.abroadco.com/Blogs/images/abroadco_com/Blogs/Ann/palazzo%25
20rucellai.JPG&imgrefurl=http://www.abroadco.com/Blogs/Ann/archive/2007/08.aspx&usg=__ugQF91DoTLdaTK-
bymq9Zr9gUgY=&h=1024&w=768&sz=195&hl=da&start=0&zoom=1&tbnid=Fz5QYVu_mBeF9M:&tbnh=131&tbnw=98&p
rev=/images%3Fq%3Dpalazzo%2Brucellai%26um%3D1%26hl%3Dda%26sa%3DX%26biw%3D1345%26bih%3D551%26tbs
%3Disch:10%2C1&um=1&itbs=1&iact=hc&vpx=228&vpy=40&dur=2740&hovh=259&hovw=194&tx=128&ty=181&ei=mko
JTZOn-
JNGz8QO8hp2YAQ&oei=mkoJTZOnJNGz8QO8hp2YAQ&esq=1&page=1&ndsp=27&ved=1t:429,r:1,s:0&biw=1345&bih=55
1
11 Botticelli: Venus’ Fødsel
http://www.google.dk/imgres?imgurl=http://www.abm-
enterprises.net/artgall2/botticelli_birth_venus.jpg&imgrefurl=http://www.abm-
enterprises.net/danish/artgallery2.html&usg=__SqhxyM9mpYYNIyYLUOYGWMDWXCE=&h=1560&w=2435&sz=3418&hl
=da&start=0&zoom=1&tbnid=4-
cnQVPtrqU47M:&tbnh=107&tbnw=167&prev=/images%3Fq%3Dbotticelli%2Bbirth%2Bof%2Bvenus%26um%3D1%26hl%
3Dda%26sa%3DX%26biw%3D1345%26bih%3D551%26tbs%3Disch:1&um=1&itbs=1&iact=hc&vpx=1038&vpy=79&dur=15
750&hovh=180&hovw=281&tx=228&ty=131&ei=uLQITZWQL4Kp8QPBpJQV&oei=uLQITZWQL4Kp8QPBpJQV&esq=1&pag
e=1&ndsp=21&ved=1t:429,r:6,s:0
12 Jens Bang Stenhus i Aalborg
http://www.google.dk/imgres?imgurl=http://lh6.ggpht.com/_ON0LW8laa54/Rc8hfRe5tQI/AAAAAAAAATw/nm95RaXbU
r8/Kirker%2B006-1.jpg&imgrefurl=http://picasaweb.google.com/lh/photo/HM1G-
PCHLIRj5NJ_zpm_tw&usg=__13VPn2oN9YFJAI-
BdDXvMfA8XZM=&h=1200&w=1600&sz=509&hl=da&start=0&zoom=1&tbnid=lgb5pe-
dFGeVWM:&tbnh=124&tbnw=155&prev=/images%3Fq%3Djens%2Bbang%2Bstenhus%26um%3D1%26hl%3Dda%26sa%3
DN%26biw%3D1345%26bih%3D551%26tbs%3Disch:1&um=1&itbs=1&iact=hc&vpx=636&vpy=278&dur=2235&hovh=194
&hovw=259&tx=216&ty=129&ei=x3YKTY7OK8374Abxo63TDw&oei=x3YKTY7OK8374Abxo63TDw&esq=1&page=1&ndsp=
21&ved=1t:429,r:17,s:0
13 De Vleshaal bygningen
http://www.google.dk/imgres?imgurl=http://haarlem.ca/images/devleeshal.jpg&imgrefurl=http://haarlem.ca/attractio
34
ns/devleeshalbuilding.html&usg=__TTEX2ykVOlF6Vg2C9jEfw6s9BsU=&h=356&w=475&sz=44&hl=da&start=0&zoom=1&t
bnid=3L8Gz85c097G8M:&tbnh=126&tbnw=168&prev=/images%3Fq%3Ddutch%2Brenaissance%2Barchitecture%26um%
3D1%26hl%3Dda%26sa%3DN%26biw%3D1345%26bih%3D551%26tbs%3Disch:1&um=1&itbs=1&iact=hc&vpx=301&vpy=
71&dur=8843&hovh=194&hovw=259&tx=88&ty=107&ei=HqEKTfvHL4iu8gPb3aUJ&oei=HqEKTfvHL4iu8gPb3aUJ&esq=1&
page=1&ndsp=23&ved=1t:429,r:1,s:0