SIDE 0
GPS-systemet
POSITIONSBESTEMMELSE OG FEJLKILDER I GPS-SYSTEMET
SIDE 1
Abstract
The following study investigates the structure of the GPS-system and the mathematical and
physical contemplations, which must be taken into account for determining a position. In
the first part, the fundamental mathematical principles for determining a position is
revealed. In the mathematic section there is also given several examples of calculations in
the sub processes of determining the position. When the necessary mathematics has been
deduced, some of the most important physical errors that appears in the GPS-system, and
certainly must be taken into consideration, is shown. In the physic section, examples of the
calculations used to eliminate the errors that appear in GPS-system is included. The
conclusion of this assignment reveals that the minimum amount of satellites need to
determine a position is four. Furthermore, it is concluded, that without taking the physical
errors that appear in the GPS-system into the position-calculations, there would be a large
error in the precision of the GPS-system.
SIDE 2
Indholdsfortegnelse
Abstract ............................................................................................................................................................ 1
Indledning ........................................................................................................................................................ 3
1. GPS-systemet ............................................................................................................................................... 4
1.1 Historien bag det moderne GPS-system............................................................................................ 4
1.2 Opbygningen af GPS-systemet .......................................................................................................... 4
2. Matematikken bag GPS-systemet ............................................................................................................. 6
2.1 Bestemmelse af position .................................................................................................................... 6
2.2 Satellitternes position ....................................................................................................................... 11
2.3 Det sfæriske koordinatsystem ......................................................................................................... 15
3. Fejlkilder ved GPS-systemet ..................................................................................................................... 17
3.1 Atmosfærens påvirkning .................................................................................................................. 17
3.1.1 Ionosfæren ..................................................................................................................... 17
3.1.2 Troposfæren og stratosfæren ...................................................................................... 19
3.2 Relativistiske effekter ....................................................................................................................... 19
3.2.1 Tidsforlængelse ............................................................................................................. 19
3.2.2 Tyngdekraften ..............................................................................................................20
3.2.3 Længdeforkortelse ....................................................................................................... 22
3.3 Dopplereffekten ................................................................................................................................ 22
3.4 Sagnac-effekten ................................................................................................................................ 24
3.5 Multipath .......................................................................................................................................... 27
Konklusion .................................................................................................................................................... 28
Perspektivering og afslutning ..................................................................................................................... 28
Litteraturliste ................................................................................................................................................ 29
Bilag ................................................................................................................................................................ 31
Bilag 1 ..................................................................................................................................................... 31
Bilag 2 ..................................................................................................................................................... 31
Bilag 3 ..................................................................................................................................................... 32
SIDE 3
Indledning
En verden uden GPS-systemet ville rulle tiden af opfindelser 40-50 år tilbage: nedsat
kommunikationsmuligheder, krige uden positionsbestemte-missiler, ingen
navigationsmuligheder, transportmuligheder som fly og tog ville være meget begrænset etc.
GPS-systemet berører en betydelig del af de moderne opfindelser, og er derfor et relevant
emne at udforske. Følgende opgave er lavet med udgangspunkt i denne
problemformulering:
Gennemgå GPS-systemets opbygning og hvordan det fungerer. Gør rede for den nødvendige
matematik herunder sfæriske koordinatsystemer, der skal til for at bestemme positioner.
Gennemgangen skal indeholde et eksempel på hvordan en position bestemmes af systemet.
Diskuter fejlkilder ved GPS-systemet.
Først i opgaven gennemgås kort udviklingen og historien af GPS-systemet fra første gang
det blev tilgængeligt frem til i dag. Derefter forklares med tekst, strukturen af GPS-
systemet og den nødvendige viden der skal haves, for at forstå matematikken og de fysiske
fejlkilderne ved GPS-systemet. I den efterfølgende matematikdel ses og redegøres for den
nødvendige matematik for at bestemme en position, herunder trilateration, satellit
positionsbestemmelse og sfæriske koordinatsystemer Der vil i matematikdelen løbende
være eksempler på beregninger i de viste formler. I fysikdelen diskuteres fejlkilderne der
fremkommer i GPS-systemet, herunder atmosfærens påvirkning, relativistiske effekter og
doppler- og sagnaceffekten. Ligesom i den matematiske del, er der også løbende
beregninger, der viser det udsving og de forbehold der tages ved diverse fejlkilder. I
gennemgangen er der både i den matematiske og fysiske del taget forbehold, således at
beregningerne og forståelsen skaber et mere overodnet overblik af positionsprocessen, da
der ellers ville kunne skrives en 20 siders rapport om f.eks. bare en af de nævnte fejlkilders
påvirkning på systemet. Til sidst i bilag 1, 2 og 3 er vist nogle gældende data fra en satellit,
en kort gennemgang af en del af processen af, hvordan positionen bestemmes med ikke
lineære ligninger og konversationen fra decimal længde- og breddegrader til det
seksagesimale talsystem.
SIDE 4
1. GPS-systemet
I følgende afsnit redegøres for den grundlæggende historie af det moderne GPS-system og
en kort gennemgang af de grundlæggende principper for opbygning af GPS-systemet.
1.1 Historien bag det moderne GPS-system
Det første navigationssystem baseret på satellitter blev for første gang succesfuldt testet af
USA’s flåde i 1960. Det bestod af en gruppe på 5 samarbejdende satellitter, der kunne
bestemme en koordinat én gang i timen. 7 år senere, i 1967, opsendte USA’s flåde den første
satellit der gjorde det muligt at bestemme tiden korrekt i rummet, hvilket er et af de
grundlæggende principper for GPS-systemets anvendelse - dette uddybes senere. Grundet
Den Kolde Krigs atomtrusler blev der - selvom det kostede milliarder af dollars – nu endelig
en grund til at tilføre penge ind i GPS udviklingen. De første moderne GPS-satellitter (blok
1) blev testet i 1978, og derefter blev 10 opsendt i årene op til 1985. I år 1983 blev GPS-
systemet åbnet til det offentlige, dog havde den civile befolkning kun adgang til C/A-
kodede-modtagere, der skulle være mindre præcise, end P-kode-modtagerene militæret
havde adgang til. C/A-kodede og P-kodede modtagere havde dog næsten samme præcision.
Efter blok 1 satellitterne blev der fra 1989 og opefter taget blok 2 satellitter i brug, der gjorde
positionsbestemmelse endnu mere nøjagtigt. Grundet den betydeligt højere nøjagtighed
med blok 2 satellitterne, indførte USA’s forsvarsministerium præcisionsforringelse på C/A-
koden i 1990, pga. de ikke ville have, at den høje nøjagtighed, skulle være tilgængelige til
uautoriserede brugere, og at nøjagtigheden kunne bruges imod dem selv. Denne forringelse
hed Selecteive Avability (SA). I år 2000 blev SA forringelsen dog fjernet fra C/A koden, så
det offentlige nu havde en præcision der var 10 gange bedre end før. I krigssituationer kan
USA igen indføre SA, så nøjagtigheden af GPS’er forringes i det valgte geografiske område.
USA’s luftvåben har planlagt at tage blok 3 satellitter i brug tidligst i 2016, der vil gøre
positionsbestemmelsen endnu mere nøjagtig.
1
GPS-systemet skal ikke forveksles med A-GPS (A: assisted) – GPS enheden der i dag findes i
næsten alle telefoner, da disse fungerer vidt forskelligt. A-GPS’er fungerer ved
mobildækningen (2G, 3G osv.) – hvis du ikke har nogen mobildækningen, fungere A-GPS’er
ikke. ”Normale” GPS’er derimod anvender GPS-satellitter. Begge systemer anvender dog
samme princip for positionsbestemmelse (afsnit 2.1).
2
1.2 Opbygningen af GPS-systemet
Positionsbestemmelse vha. GPS-systemet er opbygget af et satellitnetværk af 24 aktive, men
30 operationsdygtige GPS-satellitter i en højde af ca. 26600km fra jordens midte. De
1
Internet [25], [26] og bog [1] s. 34-35
2
Internet [1] og [3]
SIDE 5
befinder sig i 6 kredsløbsbaner med mindst 4 satellitter i hver. Omløbstiden om Jorden for
GPS-satellitterne er ca. 11 timer og 58 min, og de befinder sig altså derfor ikke i et
geosynkront kredsløb (24 timers omløbstid dvs. altid samme position over Jorden) som
f.eks. kommunikationssatellitter gør. De udskiftes regelmæssigt, og har i løbet af
udviklingen haft en estimeret levetid på 5-15 år (der er dog stadig operationsdygtige
satellitter fra hhv. 1990 og 1992 i kredsløb) – der er alene i 2014 blevet sendt 4 GPS-
satellitter op. GPS-satellitterne har 4 atomure: 2 Cæsium og 2 Rubidium. Cæsium urene har
større stabilitet over en længere periode, hvorimod at Rubidiumurene har størst stabilitet
over en kort periode. Der er installeret 2 af hver for at sikre sig mod eventuelle ursvigt.
3
Satellitterne får via. komplekse beregninger af et netværk med over 400 jordbaserede
overvågningsstationer (IGS) tilsendt og opdateret deres position og ur med referencepunkt
i Jordens midte (yderligere beskrevet i afsnit 2.3) af ”2. SOPS” (enhed i USA’s luftvåben).
4
Med deres bestemte position og tid i rummet, udsender satellitterne elektromagnetiske
signaler af 30 sekunders dele. Hver af sådan et 30 sekunders segment er delt op i 5
undersegmenter som indeholder
5
:
1. Generelle satellit dataparametre og transmissionstidspunktet:
Indeholder transmissionstiden for signalet, inkl. parametre til at korrigere for
forsinkelse ved signalets forsendelse og satellittens urs tid. Derudover fås også
information om satellittens helbred og en estimering af nøjagtigheden af satellitten.
2. og 3. Efemeride data:
Efemeride dataene er en række parametre af data, som modtageren bruger til at
bestemme positionen af den pågældende satellit på et givent tidspunkt.
4. Almanak data
Almanak data for satellit 25 til 30, forskellen mellem GPS- og UTC-tiden og
information om målingsfejl forårsaget af atmosfæren. Yderligere beskrevet
nedenunder.
5. Almanak data
Almanak data for satellit 1 til 24.
Almanak-dataene er en række parametre af data, der gør det muligt for modtageren at
bestemme alle GPS-satellitterne i omløbs position. Almanak dataene speeder
positionsbestemmelsen op, idét modtageren med beregningerne kan forudse, hvilke
satellitter der er tilgængelige, så den ikke behøver at søge for de satellitter, der er under
horisonten. Alle almanak dataene er for store til at komme med i et 30 sekunders segment,
så de splittes yderligere op i 25 grupper á 30 sekunder. Signalstrukturen for signalerne er
yderligere opdelt i 2 bærebølger L1 og L2, som har forskellige frekvens og bølgelængde.
6
På
bærebølge L1 og L2 modelleres navigationssignalet, som er det der bliver brugt i systemet.
3
Bog [1] s. 37
4
Internet [1] og [2]
5
Bog [3] s. 26
6
Bog [1] s.31
SIDE 6
Figur 2.1.01
Med de modtagende data kan modtageren ud fra forskellige formler og parametre
bestemme satellittens position, transmissionstiden for signalet og til sidst dens egen
position – alle beregningerne foregår altså i selve modtageren.
2. Matematikken bag GPS-systemet
I følgende afsnit vil de grundelæggende matematiske principper for positionsbestemmelse
blive vist. Derefter vil der blive givet et eksempel på en beregning af en position uden
fejlkilder i et ikke roterende koordinatsystem, og til sidst vil det blive vist hvordan
modtageren bestemmer koordinaterne på satellitten.
2.1 Bestemmelse af position
Når en position for en GPS-modtager bestemmes, bruges transmissionstiden af signalet til
at bestemme afstanden mellem satellitten til modtageren. Afstanden fra GPS-satellitten til
GPS-modtageren kan beregnes som afstanden i almindelig forstand: – det er dog
lidt mere komplekst i GPS-systemet. Hvis vi ser bort fra alle fejlkilder, er afstanden:
7
Her er s afstanden mellem GPS-satellitten og GPS-modtageren, c er lysets hastighed i vakuum og t er tiden fra
afsendelsestidspunktet til modtagelsestidspunktet.
Ovenstående princip er første skridt i positionsbestemmelsen.
Hvis vi forestiller os 1 satellit der udsender et signal i alle retninger, vil det ses som en kugle
rundt om satellitten, og hvis det signal modtages, vides det altså at man befinder sig ét sted
på sfæren, men ikke hvor. Hvis der bruges 2 satellitter, skabes der nu en cirkel af
muligheder for positionen: der hvor de to signalsfærer skærer hinanden. Når en tredje
satellit tilføjes, fås 2 skæringspunkter, og til sidst ved en fjerde satellit, fås én skæring – den
fjerde satellit bruges dog til tidskorrektion da man ved skæringen mellem 3 sfærer får 2
skæringspunkter, hvoraf det ene kan forkastes, da det ligger et langt stykke ude i rummet.
Figur 2.1.01
8
illustrerer dette.
Afstandsformlen fra satellitterne til GPS-modtageren
(pseudoafstanden) er en af hovedformlerne i positionsbestemmelsen.
Den er givet ved vektorregning i rummet:
9
Her er
,
og
satellitternes koordinater og
,
og
er GPS-modtagerens koordinater.
7
Bog [1] s. 11
8
Internet [5]
9
Bog [2] s. 169
SIDE 7
Figur 2.1.02
Princippet GPS-systemet bruger for at beregne en position ud fra signalet fra GPS-
satellitterne, er trilateration.
Trilateration er en matematisk metode til at bestemme en position ud fra kendte positioner
og kendte længder (radiuser), det er altså ikke nødvendigt at have viden om retning, fart,
vinkler eller acceleration som i triangulering
10
. I følgende eksempel er der givet et udtryk
for koordinaterne til et punkt, til kendte værdier af længderne af satellitternes signal. I den
virkelige verden er dette udført i et tredimensionelt rum, men for at gøre det mere
overskueligt er det her udført i et todimensionelt rum, da det er princippet der skal forstås.
Dvs. alle kuglerne ligger i samme højde , hvilket de til dels også gør i den virkelige
verden, hvor afstanden for satellitterne til jordens centrum er konstant på ca. 26600 km
11
.
På figur 2.1.02
12
er vist de længder der vil blive brugt.
Der haves 3 punkter:
,
og
for de tre satellitter, et punkt for
GPS-modtageren
og 3 længder fra GPS-satellitterne til GPS-modtageren,
defineret ved
og
. Der regnes ud fra sfære
’s centrum:
Afstanden
må derfor gives ved (vektorlængde i rummet):
Da afstand
afviger med længden (ikke lysets
hastighed i denne situation) fra
’s X-koordinat, må
afstand
være:
Afstand
afviger med en længde fra
’s X-koordinat og en længde fra
’s Y-
koordinat. Derfor må afstand
være givet ved:
Nu skal punktet
, som opfylder de tre ovenstående ligninger, findes. Først findes
ved
at trække fra og isolere
:
10
Internet [7]
11
Bog [3] s. 213
12
Internet [8]
SIDE 8
findes ved at trække fra og isolere
:
Og da
og
’s sfærer har 2 skæringspunkter, indsættes
-værdien for at finde punktet
’s, Y-koordinat:
Og
findes ved at isolere
i :
Dette giver udtrykket for punktet
, hvis radius af signalerne fra satellitten er kendt. Det er
dette fundament, som GPS-systemets positionsberegning bygger op på: Skæringer mellem
satellitternes radiobølgers sfærer. Disse udtryk er lavet med udgangspunkt i
’s position
, og en opnået position ved denne metode vil derfor være i forhold til satellit
.
Ovenstående udtryk er inspireret af internet [7] og [8].
I det ”virkelige liv” tages udgangspunkt i Jordens geografiske centrum som , også
kaldet ECEF (Earth Centered Earth Fixed). Trilaterations metoden anvendes igen, men i et
tredimensionelt rum og her positionerne for satellitterne og transmissionstidspunktet også
kendt. Der skal i virkeligheden bruges 4 satellitter til positionsbestemmelse, da GPS-
SIDE 9
Figur 2.1.03
modtagerens ur ikke er synkroniseret med GPS-satellitternes ur – dette korrigerer den
fjerde satellit for
13
. Pseudoafstanden er derfor lidt anderledes end i :
14
Ovenstående formel er gældende for de fire satellitter (i = 1 … 4). PSR er pseudoafstanden, XYZ er modtagerens koordinater
(User på illustrationen),
,
,
er satellitternes koordinater, c er lysets hastighed og
er tidsforskellen mellem
satellit uret og modtagerens ur.
Figur 2.1.03
15
viser ECEF systemet, med jordens centrum som referencepunkt i ,
modtageren placeret et sted på kloden og de 4 satellitter placeret i rummet.
i pseudoafstanden kommer af, at den målte tid må være:
er transmissionstiden fra satellitten til modtageren og
er tidsforskellen mellem satellituret og
modtagerens ur.
Og derfor må:
Og
Hvor R er den korrekte afstand fra satellitten til modtageren.
Og for at bestemme de fire ukendte variabler for modtageren og
løses de fire
korresponderende ligninger til i = 1 … 4 samtidig.
Følgende er et eksempel på bestemmelse af en position, med tre satellitter i et
koordinatsystem der ikke roterer og uden fejlkilder (derfor udelades
:
3 tilfældige satellit koordinater vælges, der dog overholder at:
Koordinaterne findes ved at vælge 2 koordinaters punkter som må befinde sig indenfor
, da dette er afstanden til Jordens centrum. Derefter løses ovenstående
ligning med de 2 indsatte koordinater, og den sidste koordinat isoleres og findes.
De tilfældige koordinater/stedvektorer bliver:
13
Bog [3] s. 211
14
Bog [4] s. 31
15
Bog [4] s. 30
SIDE 10
,
og
Og de tilfældige transmissionstider fra satellitterne til modtageren, for hhv. satellit 1, 2, og
3, er:
Derfor må pseudoafstanden fra satellitterne til modtageren være:
Og vi kan nu løse de tre ligninger med modtagerens position som de ukendte
værdier:
Hvilket giver følgende koordinater på modtageren:
Denne udregning er altså et eksempel på en beregning af en modtagers position, uden
fejlkilder og i et ikke roterende koordinatsystem, men med referencepunkt i jordens
geografiske centrum. Fejlkilderne der fremkommer ved positionsbestemmelse er vist i
afsnit 3.
Ovenstående metode er dog ikke den helt rigtige, da ligningerne producerer et sæt af ikke
lineære ligninger. Kort gennemgang af dette findes i bilag 2.
SIDE 11
Som beskrevet i dette afsnit er det altså nødvendigt at modtageren kender satellitternes
position og deres signals transmissionstid for at den kan beregne sin egen position. Det er
disse oplysninger der bliver sendt i signalet.
I næste afsnit vises den metode som modtageren bruger for at bestemme satellitternes
position, ud fra de data den får tilsendt af satellitten.
2.2 Satellitternes position
Satellitternes position er bestemt ud fra komplekse beregninger af et netværk med over 400
jordbaserede stationer (IGS) og kredsløbsbaners parametre karakteriseret ved kepplers
love. IGS overvåger satellitternes status, og ved ændringer i enten satellitternes
efemerideiske data eller tid fremsendes opdateringer, der synkroniserer til de rigtige
værdier
16
17
. Dette sker flere gange dagligt.
16
Internet [1]
17
Internet [9]
SIDE 12
Figur 2.2.01
Figur 2.2.02
For at bestemme en satellits kredsløbsbane og position skal der bruges mindst 6 Keppler
”Two-line elements”
18
. Figur 2.2.01
19
illustrerer dele af disse.
Formen og størrelsen af satellittens kredsløbsbane defineres af følgende 2 parametre:
e: excentriciteten
20
: En værdi der definerer formen af banen. Ved vil det være en
cirkelformet bane, er en ellipse, er en parabel og er en
hyperbel. Excentriciteten for satellitbanerne er
21
. I følgende eksempel sættes
excentriciteten derfor til , for at gøre det mere overskueligt, dvs. det antages at
kredsløbsbanen er en cirkel. Se figur 2.2.02
22
.
a: Den halve storakse
23
: Afstanden fra satellittens kredsløbsbanes geografiske
midte (Jorden) til den længst væk beliggende kant af kredsløbsbanen.
Nemmere forstået kan den defineres som en ”ellipses lange radius”. Da det blev antaget at
excentriciteten var , er a blot cirklens radius r.
Følgende to elementer beskriver retningen af kredsløbsbanen, hvor excentricitetsformen er
taget i betragtning:
i: Banehældningen
24
: Beskriver banens vertikale hældning i forhold
til koordinatsystemets referencepunktet (yderlige uddybet i afsnit 2.3) dvs. Jorden.
Ω:Rektascensionen af den indgående node
25
: Er vinklen til positionen mellem den indgående
node (det sted hvor kredsløbsbanen skærer x-y planen) og x-aksen i koordinatsystemet.
Og dertil er der to andre elementer, der henholdsvis definerer:
ω: Argumentet om pergæum
26
: Retningen af baneformen i kredsløbsbanen, ved en vinkel
målt fra den indgående node til perihelium (perigee på figuren) (det sted på banen hvor der
er mindst afstand til Jorden).
I dette eksempel er , da den afhænger af perihelium, som ikke findes i cirkel - der er
en konstant radius.
M: Gennemsnitlige anomali
27
: Positionen for objektet i kredsløbsbanen ved en specifik tid.
Og for at beregne satellittens koordinater skal yderlige stiftes bekendtskab med hhv.:
18
Internet [10]
19
Internet [10]
20
Internet [13]
21
Bog [3] s. 213 og 227
22
Internet [12]
23
Internet [10], [13] og [14]
24
Internet [11]
25
Internet [10]
26
Internet [10] og [11]
27
Internet [11]
SIDE 13
v: Ægte anomali: Beskriver hvor mange grader satellitten bevæger sig med i en bestemt
tidsperiode, som må være givet ved, idét at det antages at det er en cirkel dvs. 360, og
satellittens rotations tid om jorden kendes (
28
:
r: Afstand fra satellitten til det satte referencepunktet – her jordens midtpunkt. r regnes
via.:
Og pga. at excentriciteten e blev sat til , fås, som også nævnt under definitionen af a:
29
Ud fra ovenstående elementer kan en satellits X, Y og Z koordinater, med jordens
geografiske midte som referencepunkt og uden andre forstyrrelser, beregnes på følgende
måde:
30
De klassiske parametre for en typisk satellit der skal bruges i dette eksempel for en satellits
position, er givet ved:
31
32
F.eks.: til tiden fås følgende koordinater:
28
Bog [4] s. 12
29
Bog [6] s. 65
30
Bog [3] s. 113
31
Bog [4] s. 12
32
Bog [3] s. 213
SIDE 14
Nu haves altså X, Y og Z koordinaterne, med referencepunkt i Jordens midte, for en satellit.
Et ”sikkerhedstjek” af ovenstående formel kan udføres ved at sammenligne farten der fås
ved vektorregning i rummet og den fart der fås ved omløbslængde divideret med
omløbstid. Men da satellitten bevæger sig i en cirkulær bane, og derfor ikke lineært som
det antages at den gør i afstandsformlen for vektorregning i rummet, vælges et meget lille
tidsinterval.
Ved tiden fås:
Og ved tiden fås:
Og ved vektorregning i rummet giver det en hastighed på:
Og ved den oplyste baneradius og omløbstid giver det en hastighed på:
Og som forventet er den rigtige hastighed lidt større, da vektorafstandsformlen jo ikke
tager højde for at satellitten bevæger sig i en cirkulær bane. Derfor kan accepteres
som en gyldig ligning for satellittens position til en given tid, da der ikke er et større
udsving i farten.
SIDE 15
Ovenstående parametres værdier er dog forskellige fra satellit til satellit. Det er altså disse
data som satellitterne sender til modtageren, som den så beregner satellitternes position ud
fra og derefter beregner sin egen position som i afsnit 2.1.
Bilag 1 viser et eksempel på faktiske data sendt fra 4 forskellige satellitter.
De X, Y og Z koordinater der fås ved de indtil nu gennemgåede processer, siger dog ikke
rigtig det normale menneske noget om hvor man befinder sig. X, Y og Z koordinater for en
position er også svære at forholde sig til, da det ikke vides ved hvilke koordinater man
befinder sig inde i/uden for Jorden og ved hvilke man befinder sig på Jorden. Derfor er der
indført længde- og breddegrader, som ikke har nogen decideret højde med, som gør det
noget nemmere at forholde sig til. I næste afsnit vises konversationen fra X, Y og Z
koordinater til længde- og breddegrader.
2.3 Det sfæriske koordinatsystem
Sfæriske koordinater, også kaldet sfæriske polære koordinater, bruges til at
definere/bestemme positioner på en sfæres overflade.
Figur 2.3.01
33
viser et sfærisk koordinatsystem. Her er punktet defineret af
længden r fra til P, azimut vinklen i x-y planen og højdevinklen til P fra x-y
planen, .
The World Geodetic System 1984 (WGS 84), er et standard koordinatsystem, med
referencepunkt i Jordens midtpunkt (ECEF), som bliver anvendt i GPS-systemets
beregninger dvs. der beregnes via. X, Y og Z koordinater.
I WGS 84 er x- og y-akserne i samme plan som ækvator, hvor x-aksen
peger i retning mod det punkt hvor nulmeridianen skærer ækvator. z-aksen står vinkelret
på x-y planen med retningen imod den geografiske Nordpol. Aksernes skala er i meter, og
roterer når jorden roterer, så nulmeridianen og ækvator altid er det samme sted på Jorden.
Derfor er et givent X, Y og Z koordinat også altid det samme sted på Jorden. Breddegrader
er målinger fra ækvator sat ved °, nordpolen ved ° og sydpolen ved °. Længdegrader
er målinger fra nulmeridianen/z-x planen ved og derefter til -180°vestpå og til 180°
østpå.
34
Opbygning af WGS 84 er vist på figur 2.3.02
35
.
33
Bog [7] s. 18
34
Bog [7] s. 19
Figur 2.3.01
SIDE 16
Figur 2.3.02
Som set i det sfæriske koordinatsystem på figur 2.3.01, er det længde og breddegraden, samt
jordens radius der udgør en position på Jorden.
Hvis vi tager X, Y og Z koordinaterne fra afsnit 2.1:
Og det vides at længden af en vektor
er givet ved:
36
Længden af vores vektor er kendt, da vi jo har referencepunkt i Jordens midte, og Jordens
radius er kendt til at være ca. 6731km. Derfor skal følgende gælde:
Hvilket det i dette tilfælde gør. Omregningen fra WGS 84’s X, Y og Z koordinater til
bredde- og længdegrader er givet ved de trigonometriske regneregler for retvinklede
trekanter:
Hvor er breddegraden og længdegraden.
Med de tilfældige, men ankerkendte X, Y og Z koordinater fås:
Længde og breddegraderne er her angivet i decimaltal. I bilag 3 ses hvordan længde- og
breddegrader regnes til det (måske mere kendte?) seksagesimale talsystem . I Google
Earth fås følgende position:
35
Bog [7] s. 20
36
Bog [8] s. 106
SIDE 17
Figur 3.1.01
Figur 3.1.02
Figur 3.1.03
Alle beregningerne for positionen sker altså i et standart XYZ-koordinatsystem, men bliver
derefter regnet til bredde- og længdegrader på modtagerenheden.
3. Fejlkilder ved GPS-systemet
I følgende afsnit diskuteres de forskellige fejlkilder ved GPS-systemet. Der er ikke lavet
udsving på X, Y og Z koordinaterne, da der, som beskrevet i afsnit 2.2, stod, at det skabte et
ikke lineært sæt af ligninger, hvilket er en stor omfattende opgave at løse. Derimod er der
eksempler på den forskel der fås i pseudoafstanden, hvis der ikke tages forbehold for
fejlkilderne. En forskel i pseudoafstanden kan siges at være størst, når satellitten er i
horisonten, da en pseudoafstandsforskel derfor vil påvirke modtageren til at tro, at den
enten er tættere på satellitten eller længere væk.
3.1 Atmosfærens påvirkning
Positionsbestemmelsens præcision og nøjagtighed påvirkes af de forskellige egenskaber
ionosfæren, stratosfæren og troposfæren har. Uden at korrigere for de fejlkilder der fås i
atmosfæren, bliver positionens nøjagtighed forvrænget betydeligt. De forskellige lag af
atmosfæren der har betydning, for postionsbestemmelsens nøjagtighed er vist på figur
3.1.01
37
.
3.1.1 Ionosfæren
Kosmisk stråling og den ultraviolette stråling fra solen forårsager
ionisering af atomerne i ionosfæren, så de bliver spaltet til ioner og
elektroner
38
. Den kosmiske stråling kommer fra
supernovaeksplosioner, og mængden der kommer til Jorden, er reguleret
af solens aktivitet (også kendt som solpletter). Solens aktivitet
regulerer solens magnetfelt (heliosfæren på figur 3.1.02
39
), som kan
siges at være ”et skjold” mod den kosmiske stråling. Ved en høj solaktivitet er magnetfeltet
stærkt, som derfor skærmer for mere kosmisk stråling og ligeledes (bare omvendt) ved lav
solaktivitet. Stor solaktivitet øger også den ultraviolette stråling, og ligeledes, bare omvendt
ved lav solaktivitet
40
. Dvs. der er altså en modsigelse i ioniseringsgraden ved solaktiviteten
– den neutraliserer dog ikke sig selv. Solaktiviteten topper i en cyklus på 11 år. Derudover
bliver graden af den kosmiske stråling reguleret af solsystemets position i mælkevejen. Da
vores solsystem cirkulerer i et kredsløb om mælkevejsen midte, og at mælkevejens
galaksetype er spiralformet (figur 3.1.03
41
), vil der i spiralarmene være en højere intensitet af
kosmisk stråling pga. en højere densitet af stjerner, og derfor også flere
37
Bog [1] s. 39
38
Bog [1] s. 39
39
Andet [1] s. 5
40
Bog [1] s. 40
41
Internet [15]
SIDE 18
supernovaeksplosioner. Sidstnævnte er dog ikke af største betydning lige pt. Da
solsystemets omløbstid i Mælkevejen er 225-250 million år
42
og GPS systemet har været her
i år, men det er dog stadigvæk en gældende fejlkilde, der med tiden skal tages højde
for. Det er altså mange faktorer der spiller ind ved bare denne fejlkilde i systemet.
43
44
Derfor varierer densiteten af de frie elektroner i ionsfæreren, med ovenstående parametre,
men også til tidspunktet på dagen og årstiden
45
. Ionosfærefejlen på målingen af
pseudoafstanden mellem modtager og satellit gives ved, idét ionosfæreforsinkelsen er
omvendt proportional med kvadratet på frekvensen:
46
Hvor f er frekvensen på radiobølgen og
er elektrondensiteten angivet i TECU (1 TECU =
elektroner pr. kvadratmeter
47
).
Forsinkelsen i ionosfæren angivet i ovenstående formel, kan omregnes til en
afstandskorrektion d via:
48
Her er
afstandskorrektionen på bærebølge L1,
og
er pseudoafstandene for bølgerne L1 og L2,
og
er
frekvenserne for bølgerne L1 og L2
49
.
Frekvenserne for bærebølgerne L1 og L2’s signal med C/A-og P koden er dannet ud fra en
grundlæggende frekvens som er angivet til MHz
50
:
F.eks. vil en usikkerhed på 100m mellem pseudoafstandene for bølgerne L1 og L2 ved f.eks.
25.000km og 24.900km i give en afstandsafvigelse på:
42
Internet [24]
43
Andet [1] s.5
44
Internet [16]
45
Bog [1] s. 39
46
Bog [1] s. 39
47
Bog [1] s. 40
48
Bog [1] s. 41
49
Bog [1] s. 41
50
Bog [1] s. 31
SIDE 19
En fejlkilde på 37,78m hvis der er en forskel på 100m i pseudoafstanden mellem de
to bølger L1 og L2 – en betydelig fejlkilde der skal huskes at korrigeres for.
3.1.2 Troposfæren og stratosfæren
I tropos- og stratosfæren udsættes signalet for refraktion, som afhænger af tryk, temperatur
og luftfugtighed. Da fejlen her ikke afhænger af signalets frekvens som i ionosfæren, kan
fejlen kun korrigeres via. modeller. Der er en lang række af forskellige modeller til dette,
den der er angivet som den mest nøjagtige er givet ved:
51
Hvor er breddegraden, H er højden over havniveau i km, elv er elevationsvinklen for signalet, P er trykket i millibar, T er
temperaturen ved GPS-antennen i kelvin og e er det partielle tryk for vanddamp angivet i millibar
52
.
Der er ikke noget eksempel på denne fejlkilde, da den kræver data der ikke er tilgængelige.
Det er derfor blot vist at den eksisterer.
3.2 Relativistiske effekter
For at finde den daglige tidsudvidelse som GPS-systemet oplever ved den specielle
relativitetsteori (tidsforlængelse) dvs. hastighed og den generelle relativitetsteori
(tidsforkortelse) dvs. tyngdekraften skal disse findes og adderes.
3.2.1 Tidsforlængelse
Tidsforlængelse går ud på, at ting i bevægelse skal bruge længere tid på at opnå den tid, det
ville tage, hvis tingen ikke var i bevægelse – altså tiden for ting i bevægelser bliver længere.
Størrelsen af tidsforlængelsen fås ved at bruge Lorentz transformationen:
53
Hvor v er hastigheden og c er lysets fart.
Og for små værdier af
fås ved rækkeudvikling til 2. orden:
Lysets hastighed c og farten v af en satellit (baneradius og omløbstiden kendes så farten
kan nemt findes) gives ved:
51
Bog [1] s. 42
52
Bog [1] s. 42
53
Internet [20]
SIDE 20
54
Hvilket giver os:
Hvor
er den brøkdel, som satellitternes ure er langsommere end
jordbaserede ure. Og for at få afvigelsen for 1 døgn i µs, ganges
med antal
mikrosekunder (µs) pr. døgn:
Dvs. at på 1 døgn mister satellituret . Derfor er 1 døgn på jorden 1 døgn + µs i
satellitten.
Og hvis der ikke korrigeres for dette fås en pseudoafstands-afvigelse på:
Dette giver en positions-unøjagtigheden på 2175m, på blot ét døgn, hvis der ikke er
korrigeret for tidsforlængelse. Dette er derfor en meget relevant fejlkilde, idét der kommer
store usikkerheder på meget kort tid.
3.2.2 Tyngdekraften
Tyngdekraften er en anden effekt, der har stor betydning for urenes gang. GPS-Satellitterne
befinder sig i et svagere tyngdefelt end GPS-modtageren ved jordoverfladen, da de er
placeret længere væk fra Jordens centrum. Det svagere tyngdefelt gør, at satelliturene går
hurtigere end de Jordbaserede ure. Størrelsen af den faktiske tidsforskel mellem
satelliturene og modtageruret pga. tyngdekraften er givet ved:
55
Hvor r er den radiale koordinat for observatøren, G er den universelle gravitationskonstant, M er massen af objektet der
skaber tyngdefeltet og c er lysets hastighed.
Og for små værdier af
fås ved rækkeudvikling til 2. orden:
54
Internet [17]
55
Internet [20]
SIDE 21
Vi er dog kun interesseret i fraktionen mindre end 1 og forskellen mellem modtageren og
satellitten. For at bestemme denne forskel tages:
56
Her er G er den universelle gravitationskonstant,
er massen af Jorden,
er Jordens radius,
er
satellitbanens radius og c er lysets hastighed.
Og værdierne er givet ved:
57
58
Og hvis disse værdier substitueres ind i fås:
Dvs. den brøkdel som satellitternes ure er hurtigere, end Jordbaserede ure er
.
Og ganget med antal mikrosekunder pr. dag fås afvigelsen pr. døgn i µs:
På grund af tyngdekraften er uret i satellitten altså 45,706µs hurtigere pr. døgn. Dvs. 1 døgn
på jorden er 1 døgn - 45,706µs i satellitten.
56
Internet [20]
57
Internet [18]
58
Internet [19]
SIDE 22
Figur 3.3.01
Det samlede resultat af påvirkningerne på satellituret af tidsforlængelsen og tyngdekraften
giver altså et ur, der går: hurtigere.
Måden der korrigeres for disse fejlkilder er ved at gøre urets frekvens langsommere. Den
bestemte frekvens satellituret skal sættes til er givet ved: 1 minus brøkdelen som uret var
hurtigere minus brøkdelen som uret var langsommere ganget med den grundlæggende
frekvens:
Dvs. frekvensen af urene skal sættes ned fra til som derved
gør det langsommere, idét at det samlede resultat fra de relativistiske effekter, gjorde uret
hurtigere.
3.2.3 Længdeforkortelse
Længdeforkortelsens påvirkning af positions nøjagtigheden er minimal, da
længdeforkortelsen er defineret ved, at en genstand skal bevæge sig i sin længderetning i
forhold til iagttageren, for at der vil kunne blive observeret en længdeforkortelse. En satellit
bevæger sig i en cirkelformet bane, og derfor ikke i sin længderetning. Længdeforkortelsen
kan dog fremkomme ved at splitte satellitbanen op i små størrelser, der så afviger minimalt
fra længderetningen og derved giver en længdeforkortelse. Længdeforkortelsen burde dog
umiddelbart ikke have nogen betydning for GPS-systemet, da det jo ikke er længden af
satellitten, der bruges i beregningerne, men den findes ved GPS-satellitterne.
3.3 Dopplereffekten
Dopplereffekten er et fænomen, der gør at den frekvens som en bølge observeres med,
afhænger af bevægelsen af bølgekilden i forhold til observatøren. For elektromagnetiske
bølger er den observerede frekvens givet ved:
59
Hvor
er den observerede frekvens,
er den afsendte frekvens , er vinklen mellem satellittens hastighedsvektors retning
og satellit-til-modtager-signalets retning, v er satellittens fart og c er lysets hastighed.
59
Bog [3] s. 183
SIDE 23
Figur 3.3.02
I følgende regnes frekvensen og bølgelængden for observatøren, hvor satellitten kommer
tættere på og hvor den bevæger sig væk igen som set på figur 3.3.01
60
. Det er frekvensen på
navigationssignalet, som er modulleret på bærebølge L1 og L2, der anvendes (50,42Hz)
Den maksimale og mindste vinkel der er mellem hastighedsvektoren og sigtelinje fra
signalet mellem modtageren og satellitten findes vha. trigonometrien.
På figur 3.3.02 er vist Jorden, Jordens geografiske midte, satellitternes bane, Jordens radius
b, afstanden fra satellitternes bane til Jordens midte c, vinklen mellem satellitbanens radius
og modtagerens sigtelinje til satellitten
og
og vinklen mellem hastighedsvektorens
retning og sigtelinjen fra modtager til satellit
og
. Det er værd at nævne at tangenten
til et punkt på en cirkel altid er vinkelret på radius.
Af figur 3.3.02 fremgår det altså at vinklen
må være:
Og vinkel
må være:
Og både længde b (jordens radius) og længde c (satellitbanens radius) er kendt, så vinkel
må være:
Og derfor må vinkel
være:
Vinkel
må ifølge figur 3.3.02 være:
Og idét at både vinkel
og
regnes ud fra jordens radius og satellitbanens radius, må
. Derfor er vinkel
:
Hvilket giver en maksimum frekvens
og minimum frekvens
, for
navigationssignalet modulleret på bærebølge L1 og L2, på:
60
Internet [21]
SIDE 24
Figur 3.4.01
Hvor før er før satellitten er i zenit over modtageren og efter er efter at satellitten har været i zenit over modtageren.
Dvs. bølgelængden og frekvensen varierer i intervallet:
Frekvensen:
Bølgelængden:
Dvs. en forskel på 377m i bølgelængden. Endnu en betydelige fejlkilde der skal huskes at
korrigeres for
Der findes også måder hvor doppler-effekten faktisk er med, ikke kun som en fejlkilde, men
i hovedtrækkene bag positionsbestemmelse. Dette er pga. at frekvensen ændres med
vinklen , som er beregnet ud fra satellittens og modtagerens position. Frekvensen
fortæller således om satellittens position.
3.4 Sagnac-effekten
Sagnac-effekten skyldes at Jorden roterer. På figur 3.4.01
61
er først vist en ikke roterende
cirkel med to lysstråler der bliver sendt af sted i hver sin retning rundt om cirklen, og de
må derfor nå fra start til slut på samme tid (bid ikke mærke i at lysstrålernes baneomkreds
ikke er lige store, det skal forstå som de har den samme baneomkreds). Til højre er vist
samme cirkel og lysstrålerne igen, her roterer cirkel dog med urets retning. Derfor vil
strålen der går imod uret, have den ”fordel” at dens slutpunkt bliver roteret imod strålen,
og det vil derfor tage mindre tid for strålen at nå fra start til slut. For lysstrålen der går med
urets retning skal lysstrålen nu modarbejde at cirklen roterer i samme retning som
lysstrålen. Det er altså ikke selve farten af lysstrålen der bliver øget/reduceret, men
61
Internet [22]
SIDE 25
Figur 3.4.02
distancen for start til slut der øges/reduceres for lysstrålen ved rotationen.
For en lysstråle rundt om jorden, hvor jorden ikke roterer, vil tiden
være givet ved:
For at beregne tiden med rotationen, tilføjes startpunktets hastighed v givet ved
62
, som hhv. adderes med c når lysstrålen går imod rotationsretningen, og subtrakteres
når den går med rotationsretningen. Vinkelhastigheden er ved ækvator givet ved
63
:
Det giver følgende
Som giver en tidsforskel på:
64
Som med god tilnærmelse kan skrives som
65
Hvilket giver en tidsforskel på:
Og en afstandsforskel på:
Dette er dog ved at sende en lysstråle rundt om jorden, som jo ikke sker i GPS-systemets
positionsbestemmelse. I følgende er vist den maksimale påvirkning sagnac-effekten har på
GPS-systemet. I GPS-systemet bliver positionsbestemmelse påvirket, således at
satellitternes position bliver fastlåst i det roterende koordinatsystem. Men før at
modtageren har fået signalet om satellittens position, er der gået en hvis tid, og derfor også
62
Andet [2] s. 29
63
Internet [23]
64
Andet [2] s. 29
65
Andet [2] s. 29
SIDE 26
sket en rotation i koordinatsystem. Derfor er satellittens position i forhold til
koordinatsystemet på det tidspunkt hvor signalet modtages af modtageren ikke den rigtige
position, derimod er dens position i forhold til koordinatsystemet på det tidspunkt hvor
signalet blev sendt.
På figur 3.4.02 er beskrevet de betegnelser og genstande der skal lægges mærke til. Hvis
transmissionstiden var ville der ikke være noget problem, og
ville gælde,
transmissionstiden er dog ikke . Fejlen der opstår her er at lige idét at signalet sendes fra
satellitten roterer koordinatsystemet, men satellittens signal indeholder dens position lige
idét at signalet bliver sendt. Når signalet bliver modtaget af modtageren, er der gået en hvis
tid og dermed også sket en rotation i koordinatsystem. Den X, Y og Z satellit-position der
bliver beregnet ud fra satellitsignalets data er altså samme koordinater, men i forskellige
koordinatsystem, og det er her fejlen opstår. Afstanden mellem de samme koordinater i de
to koordinatsystem må kunne findes, da Jordens rotationstid og transmissionstiden fra
signalet kendes. Hvis vi antager at Positionen på Jorden er på ækvator ved nulmeridianen
dvs. følgende koordinater (km): og antager en satellit der er i horisonten til
højre dvs.: og den er i samme -plan som modtageren dvs.: , må Y-
koordinaten være givet ved:
Altså følgende koordinater:
Og da både X- og Z-koordinatet er det samme, må afstanden ifølge vektorregning i rummet
blot være . Dette giver en transmissionstid på:
Og ved ækvator (i satellithøjde) - hvor rotationshastigheden er størst - må
rotationshastigheden være:
Og satellitpositions-afstandsfejlen må derfor, hvis vi antager at den bevæger sig i XY-planen
igennem hele kredsløbet (i dette tilfælde står satelliten stille), være givet ved:
Men da satellitten selv roterer med en omløbstid på må den maksimale
rotationshastighed imellem Jorden og satellitten være når satellitten roterer imod jordens
rotationsretning:
SIDE 27
Figur 3.5.01
Hvilket giver en maksimal positions-afstandsfejl på:
Samme princip må gælde når jorden og satellitten roterer væk fra hinanden. Dette giver
altså en satellitpositions-afstandsafvigelse i intervallet:
Ovenstående forskel er den maksimale afvigelse der kan fås, da det er de maksimale
formationer der kan opnås. Intervalafvigelsesafstanden af satellitpositionen er selvfølgelig
fordelt ud i de forskellige XYZ-retninger.
Dette er en fejlkilde der ses tidligt i processen, da den allerede opstår ved beregning af
satellitternes position. Det er derfor en relevant fejlkilde, der skal korrigeres for.
3.5 Multipath
66
Multipath-fejlen er en fejl, der opstår når signalet fra satellitten genspejles i f.eks. en mur,
og så bliver modtaget af modtageren. Dette forårsager, at pseudoafstanden afviger fra den
rigtig afstand. På figur 3.5.01 er vist 2 eksempler med multipath-fejlen. Scenariet til venstre
kan undgås, idét at modtageren er opbygget, så
den bruger det stærkeste signal. De reflekterede
signaler i huset og i jorden vil ved refleksionen
blive svagere og de udelukkes derfor. De
reflekterede signaler vil også ankomme senere
end det originale signal, og kan derfor også
udelukkes på denne måde. Hvis vi derimod
betragter scenariet til højre, er det kun det reflekterede signal, der når frem. Dette scenarie
fremkommer derfor især i byer, hvor bygningerne gør, at det kun er det reflekterede signal
der kommer frem. Måden der korrigeres for dette er at navigations-GPS’er der sidder i
biler, er indstillet til ikke at kunne befinde sig uden for vejene. Dvs. selvom GPS’en
beregner positionen til f.eks. 2 meter ved siden af vejen, angives position til at være på
vejen.
66
Bog [1] s. 43-44 og bog [3] s. 316-319
SIDE 28
Konklusion
Det kan konkluderes at positionsbestemmelsen i GPS-systemet er meget komplekst.
Derudover er det også blevet vist at det er flere komplicerede beregninger der laves i løbet
af beregningsprocessen. Fejlkilderne der opstår er meget relevante og hvis der ikke tages
hensyn til disse, fås store udsving fra den faktiske position. Der er også blevet vist at der
skal bruges 4 satellitter for at korrigere for tidsfejl. Derudover kan det konkluderes at de
fejlkilder der opstår i GPS-systemet afhænger af forskellige parametre som ændres igennem
tiden.
Perspektivering og afslutning
De matematiske og fysiske modeller og formler der bliver brugt i GPS-systemet er dannet
på baggrund af den grundlæggende matematik og fysik. Den grundlæggende matematik og
fysik skaber et fundament, der så bygges videre på, og inddrager flere avancerede
situationer, i beregningerne i GPS-systemet. Derudover kan der også perspektiveres til de
tidligere måder der blev brugt til at navigere på før GPS-systemet. Her kan f.eks. nævnes
hvordan man brugte stjernehimlen, solhøjden osv. til at navigere på.
Hvis der skulle arbejdes videre med dette emne kunne det være interessant at se på de
andre navigationssystemer der findes, hvordan satellitternes position bestemmes fra IGS –
og hvorfor de afviger fra de bestemte data de får tilsendt. Derudover kunne der nemt graves
længere ned i hvordan systemet fungerer og hvordan en position bestemmes, heri f.eks.
bilag 2 og positionsbestemmelse med dopplereffekten. Det kunne også være interessant at
se på andre positionsbestemmelses-systemer, og hvordan de bestemmer en position i
forhold til GPS-systemet. Metoderne der blev brugt før GPS-systemet til at navigere på,
kunne også være interessant at kigge på.
SIDE 29
Litteraturliste
Bøger – både fysiske og e-bøger
[1]: Dueholm, Keld m.fl.: GPS, 3. udgave 1. oplag, Nyt Teknisk Forlag, 2005
[2]: Nielsen, Knud Erik m.fl.: Vejen til Matematik A2, 2. udgave, 2. oplag, Forlaget HAX,
2013
[3]: Seeber, Günter: Satellite Geodesy, 2. udgave, Walter de Gruyter, 2003
[4]: Zogg, Jean-Marie: GPS Basics, u-blox ag, 2002
[5]: Sidi, J Marcel: Spaccraft Dynamics and Control: A Practical Engineering Approach, 1.
udgave, 2. oplag, Cambridge University Press, 1997
[6]: Samama, Nel: Global Positioning: TECHNOLOGIES AND PERFORMANCE, 1. Udgave,
John Wiley & sons, 2008
[7]: Harper, Neil: Server-side GPS and Assisted-GPS in Java, Artech House, 2010
[8]: Carstensens, Jensen m.fl.: MAT A3 stx, 1. udgave, 2.oplag, Systime, 2008
[9]: Elvekjær, Finn m.fl.: FysikABbogen 2, 1. udgave, 3. oplag, Systime, 2009
[10]: El-Rabbany, Ahmed: Introduction to GPS: The Global Positioning System, 1. udgave, 2.
oplag, Artech House, 2002
Internetlitteratur sidst besøgt 18/12/2014
[1]: http://en.wikipedia.org/wiki/Global_Positioning_System
[2]: http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_GPS_satellites
[3]: http://en.wikipedia.org/wiki/Assisted_GPS
[4]: http://www.ausairpower.net/TE-GPS-Guided-Weps.html
[5]: http://giscommons.org/chapter-2-input/
[6]: http://en.wikipedia.org/wiki/Trilateration
[7]: http://scialert.net/fulltext/?doi=jas.1614
[8]: http://www.mdpi.com//13/9/11728/htm
[9]: http://igscb.jpl.nasa.gov/overview/viewindex.html
[10]: http://spaceflight.nasa.gov/realdata/elements/
SIDE 30
[11]: http://en.wikipedia.org/wiki/Orbital_elements
[12]: http://academic.sun.ac.za/mathed/shoma/Index14.htm
[13]: http://en.wikipedia.org/wiki/Orbital_eccentricity
[14]: http://en.wikipedia.org/wiki/Semi-major_axis
[15]: http://da.wikipedia.org/wiki/Galakse
[16]: http://www.sciencebits.com/ice-ages
[17]: http://en.wikipedia.org/wiki/Speed_of_light
[18]: http://en.wikipedia.org/wiki/Gravitational_constant
[19]: http://en.wikipedia.org/wiki/Earth
[20]: http://en.wikipedia.org/wiki/Error_analysis_for_the_Global_Positioning_System
[21]: http://www.argos-system.org/manual/3-location/32_principle.htm
[22]: http://www.mathpages.com/rr/s2-07/2-07.htm
[23]: http://www.livephysics.com/physical-constants/mechanics-pc/angular-speed-earth/
[24]: http://en.wikipedia.org/wiki/Galactic_year
[25]: http://en.wikipedia.org/wiki/GPS_Block_IIIA
[26]: http://www.rmtracking.com/blog/2013/07/27/gps-and-the-public-release-of-
government-data/
[27]: http://www.colorado.edu/geography/gcraft/notes/gps/gif/ephdata.gif
[28]: http://www.sunearthtools.com/dp/tools/conversion.php
Andet
[1]: Artikel: Lauritsen, Sune Nordentoft: Den kosmiske forbindelse, Dansk
Rumforskningsinstitut, 2003.
[2]: Øvelsesvejledning: Uggerhøj, Ulrik m.fl.: Eksperimentelle øvelser i Speciel
Relativitetsteori, Århus Universitet, August 2007
SIDE 31
Figur 9.01
Figur 9.02
Bilag
Bilag 1
67
Bilag 2
68
De fire ligninger af
giver som
sagt et sæt af ikke lineære ligninger. For at løse dette ligningssæt, lineariseres
rodfunktionen med Taylor modellen som set på figur 9.01.
Dvs. ved
er den første del, simplificeret, givet ved:
Men for at lineraisere de fire ligninger, sættes en ny estimeret X, Y og Z position for
modtageren som set på figur 9.02, og derfor må modtagerens position være givet ved :
Og derfor må afstanden fra satellitten til den estimerede position være givet ved samme
princip som ved afstanden fra satellitten til modtageren:
Og hvis pseudoafstands-formlen for satellit til modtager kombineres med fås:
Som ved partiel differentiation giver:
Og efter udregning af den ovenstående formel for , kan de fire ukendte variabler
og
findes efter reglerne for lineær algebra:
67
Internet [27]
68
Bog [4] s. 32-34
SIDE 32
Og løsningen for og
, bruges herefter til at genberegne de estimerede
koordinater i .
De nye estimerede koordinater smides nu i ud fra ovennævnte proces, indtil at ,
og er under den ønskede fejlstørrelse. Der skal ofte laves 3-5 beregninger af ovennævnte
proces, for at få en fejl på mindre end 1 cm. Der laves altså en tilnærmelse til de rigtige
koordinater ved at estimere et sæt koordinater, som der så arbejdes tætter og tætter på
mod de rigtige, så det efter gentagende beregninger af ovennævnte proces er den nye
estimerede position, der angives til at være den rigtige position.
Bilag 3
69
Fra afsnit 2.3 blev bredde- og længdegraderne i decimaltal:
Som i det seksagesimale talsystem giver en bredde- og længdegrad på:
Det seksagesimale er altså bygget op på grader , minutter ´ og sekunder ” i den givne
retning, som enten er angivet ved Nord el. Syd og Vest el. Øst, eller om det er et positivt
eller negativt tal.
69
Internet [28]
SIDE 33
De findes på følgende måde:
De først tal før punktummet forbliver det samme og angives med grader dvs.: og
Decimaltallene efter punktummet ganges derefter med :
Det hele tal bliver antal minutter og angives med ´ dvs.: og
De nye decimaltal ganges igen 60:
Det opnåede tal er antal sekunder som angives med ” altså: og
Det skrives med punktum i stedet for komma, da et komma adskiller bredde- og
længdegraderne dvs.: