Page 1 of 54
STX 3.g
Studieretningsprojektet
Page 2 of 54
Table of Contents
Abstract ............................................................................................................................................................. 3
Indledning .......................................................................................................................................................... 4
1. GPS-systemet ................................................................................................................................................. 5
1.1 Historie .................................................................................................................................................... 5
1.2 Opbygningen ........................................................................................................................................... 6
2. Analyse af matematiske modeller i anvendelse af GPS-systemet ................................................................. 7
2.1 Positionering ............................................................................................................................................ 7
2.2 Bestemmelse af satellitkoordinater ........................................................................................................ 11
2.3 Sfæriske koordinatsystemer ................................................................................................................... 14
3. Fejlkilder for GPS-systemet ......................................................................................................................... 16
3.1 Relativitiske effekter .............................................................................................................................. 16
3.2 Urfejl ...................................................................................................................................................... 18
3.3 Sagnac-effekten ..................................................................................................................................... 21
3.4 Atmosfærelagenes betydning ............................................................................................................... 22
3.5 Multipath ............................................................................................................................................... 24
3.6 Doppler-effekt ....................................................................................................................................... 25
3.7 Opsummering af fejlkilder ......................................................................................................................... 26
4. Baneberegning for en satellit ...................................................................................................................... 27
Konklusion ....................................................................................................................................................... 30
Perspektivering ............................................................................................................................................ 30
Litteraturliste ................................................................................................................................................... 31
Bøger ........................................................................................................................................................... 31
Internetmateriale ........................................................................................................................................ 31
Andet hjælp ................................................................................................................................................. 31
Bilag 1 .............................................................................................................................................................. 32
Bilag 2 .............................................................................................................................................................. 34
Page 3 of 54
Abstract
This paper examines the basic princips of the Global Navigation System. Nowadays a GPS-reciever
is possessed by almost every person on the planet taking smartphones with GPS in consideration.
This subject is very interesting because it works with basic mathematical methods to point out a
position on earth. At the same time the study indicated that physics also play a great role deciding
the coordinates of a GPS-receiver. To get to my conclusion I’ve worked with different books about
satellites and the GPS-system and I’ve been visiting two scientists, working with satellites in outer
space at the DTU in Copenhagen at the space investigation department of the university. This
assignment seeks to find answers in how the GPS-system mathematically works, and how physical
effects influence the GPS-system. I’ve made a simulation of a GPS-satellite orbiting the earth, to
clearify the point of how GPS-satellites constantly are aware of their own coordinates with the earth
as a reference system.
This study shows that GPS-receivers correlates a minimum of 4 satellite coordinates to decide it’s
own position. The receiver knows the time of travel of the radiosignal and by multiplying it with the
speed of light, it is capable of evaluating the distance between the reveiver and the transmitter. In
this project there’s also made an investigation on the error sources and their contributes to the GPS-
system, and an evalutation has been made upon how trustworthy the GPS-system actually is.
Page 4 of 54
Indledning
GPS-systemet er et internationalt anerkendt system til positionsbestemmelse. Siden anden
verdenskrig har man forsøgt at udvikle navigationssystemer, der kunne positionsbestemme helt
nøjagtigt. Idag er vi i stand til at bestemme en position for en GPS-modtager helt ned til få meters
afstande, og endda endnu mindre ved militære systemer. En GPS-modtager er idag blevet
hvermandseje, og er en god hjælp til familiefaderen på kør-selv ferie, der benægter sin egen mangel
på stedsans overfor konen eller andre mænd. GPS’en er blevet endnu en gagdet, vi mennesker ikke
kan være foruden. Det meste af nutidens transportformer, såsom fly og tog, ville ikke være i stand
til at fungere uden GPS-systemet som hjælp. Derfor har jeg stillet mig selv den opgave at finde ud
af, hvordan GPS-systemet fungerer.
Jeg vil i min opgave redegøre for opbygningen.
Derefter vil jeg analysere de matematiske metoder GPS-systemet anvender til
positionsbestemmelse. Dernæst vil jeg analysere fejlkilderne og konkludere, hvorvidt fejlkilderne er
for omfattende til, at vi kan stole på nutidens GPS-modtagere.
Til sidst vil jeg lave en baneberegning for en satellit, hvor jeg i et regneark har simuleret en bane,
for en GPS-satellit i omløb om jorden. Opgaven er opbygget i 4 hoveddele med henholdsvis:
redegørelse i den første del; matematisk analyse af forskellige modeller i den anden del; fysisk og
matematisk analyse af fejlkilder i den tredje del. Og til sidst en baneberegning, for et GPS-satellit i
kredsløb om jorden, i dette tilfælde både matematisk of fysisk.
Efter denne opgave vil jeg finde svar på, hvordan GPS-systemet positionsbestemmer en GPS-
modtager. Jeg vil samtidig have kendskab til fejlkilderne for systemet, størrelsen af dem, samt
grundlaget for at de fremkommer. Jeg vil også være i stand til at kunne bestemme en satellitposition
i et roterende koordinatsystem, til ethvert tidspunkt på døgnet.
Jeg har i arbejdet med projektet været på besøg på DTU Space i København, hvor jeg har fået et
indblik på satellitfartøjer, deres opbygning samt deres måde at navigere på.
Page 5 of 54
1. GPS-systemet
GPS-systemet er et internationalt anerkendt system til positionsbestemmelse, jeg vil i dette afsnit
kort redegøre for historien samt den generelle opbygning bag GPS-systemet.
1.1 Historie
Opbygningen af GPS-systemet blev hovedsageligt bygget efter to lignende systemer fra 2.
Verdenskrig der hed ”LORAN” og ”The Decca Navigator”, som var bygget på radiosignaler fra
antenner på jorden. I 1960 fik den amerikanske flåde for første gang et satellitbaseret
navigeringssystem, der på baggrund af signalerne fra 5 satellitter på himmellegemet kunne komme
med et koordinat for GPS-modtageren én gang i timen. I 1978 blev den første blok-1 GPS-satellit
sat i kredsløb om jorden og systemet er lige siden stille og roligt blevet udviklet. Den ældste satellit
der stadig er i brug er fra 1990 og den yngste satellit der er blevet sat i kredsløb er fra maj 2010. I
dag er der 24 aktive satellitter i kredsløb, 4 satellitter i hver bane, med et total baneantal på 6.
Satellitbanerne ses på figur 1
1
, samt mængden af synlige satellitter til GPS-modtagerens position på
et givent tidspunkt på døgnet. GPS-systemet blev i starten udviklet til militært brug, men da
systemet var meget dyrt at få op og køre, solgte man også GPS-modtagere til private. Siden hen er
udviklingen af GPS-modtagere blandt private forbrugere eksploderet, og idag er det næsten
hvermandseje.
Ovenstående er skrevet på baggrund af hjemmeside [1] og
dens udlægning af historien bag GPS-systemet.
1
Illustration fra: (hjemmeside 4)
Figur 1
Figuren viser 24 satellitter i kredsløb om jorden i
6 forskellige baner med 4 satelliter i hver.
Page 6 of 54
1.2 Opbygningen
GPS-systemet er opbygget på
envejskommunikation imellem en GPS-satellit og
en GPS-modtager. I GPS-systemet kender man
positionen på alle GPS-satellitter, og man kan ud
fra 3 afstandsmålinger bestemme positionen på
modtageren, hvis alting er fuldstændig
synkroniseret. Dette kræver dog, at man udelukker
det ene af de to koordinater GPS-systemet
beregner ens position til
2
. Et godt eksempel på den
grundlæggende tanke bag GPS-systemet ses på figur
2.
3
Her ses det at modtageren kun kan befinde sig ét
sted i rummet, hvis alle snore skal være udstrakte.
Dog kan GPS-modtageren, hvis man kan forestille sig det, også befinde sig ovenover rummet, hvor
alle snore også er udstrakte. Dette er grunden til at man kan udelukke det ene koordinat, da punktet
altså befinder sig et sted ude i rummet. Det skal dog lige siges, at der i realiteten skal anvendes
minimum 4 forskellige satellitter for at bestemme positionen på en modtager, da jeg har antaget at
alting et perfekt synkroniseret, hvilket det i virkeligheden ikke er. Dette vil jeg komme ind på
senere. GPS-modtageren anvender længden på de tre ’snore’ (radiosignalerne), ved at finde ud af,
hvor lang tid de har taget om at blive modtaget i forhold til satellittens transmissionstidspunkt.
GPS-modtageren kan vha. den transmitterede navigationskode fra satellitten, aflæse frekvensen,
bølgelængden, farten samt transmissionstidspunktet på navigationsignalet. Ud fra navigationskoden,
satellitterne udsender til GPS-modtageren, kender den satellitternes position, som den derudfra kan
beregne sin egenposition. Jorden er opbygget i et tredimensionelt koordinatsystem, som roterer.
Dette gør at GPS-modtageren, som står stille på jorden, logisk nok ikke ændrer koordinat, imens
jorden roterer. Istedet gør det roterende koordinatsystem det lidt sværere at regne på, hvor
satellitterne befinder sig. US. Air Force holder styr på, om satellitterne nu også kredser i de baner de
skal. MCS
4
, sammenholder så disse informationer med det faktiske, og korrigerer også for andre
fejl ved satellitterne vha. nogle antenner på jorden. Alle disse fejl bliver sendt til satellitten, og
satellitten sender derefter et fejlkorrigeret signal ned til GPS-modtagerne, hvilket giver modtageren
en meget mindre afvigelse fra sin faktiske position
5
.
2
Det begrundes senere i afsnittet, hvorfor.
3
Illustration fra: (Dueholm, s. 11)
4
Master Control Station. Hovedstationen, hvorfra satellitterne bliver overvåget.
5
Hjemmeside [4].
Figur 2
Rumlig indbinding. Ud fra positionerne på 3 kendte punkter
kan man finde det ukendte punkt, når alle tre snore er
udstrakte.
Page 7 of 54
2. Analyse af matematiske modeller i anvendelse af GPS-systemet
GPS-systemet anvender i høj grad matematikken ved bestemmelse af positionen på GPS-modtageren. Jeg
vil i dette afsnit udlede metoden bag positionering og vise de andre metoder der bliver anvendt. På
baggrund af dette vil jeg opstille et eksempel, hvor jeg finder koordinatet i længde- og breddegrader for en
modtager på jorden.
2.1 Positionering
Da GPS-systemet anvender tiden, det tager for radiosignalet at nå modtageren på jorden, kan man
vha. farten på radiobølgen, som, hvis man ser bort fra fejlkilder, er den samme som lysets
hastighed, beregne afstanden ved den simple formel:
(2.1)
Hvor r angiver afstanden fra satellit til GPS-modtager uden tidsforskydelse, c er lysets hastighed i vakuum, og T er tiden det tager for signalet at blive
modtaget.
Denne formel for beregning af afstanden fra satellit til GPS-modtager gælder dog kun, hvis jeg
antager at GPS-modtageren er synkroniseret med 100% nøjagtighed i forhold til GPS-tid. Jeg
antager samtidig, at der ikke er andre fejlkilder, der gør, at data afviger fra det faktiske.
På baggrund af disse antagelser, kan jeg med meget simpel rumgeometri bestemme positionen på en
GPS-modtager, ud fra kendte koordinater på GPS-satelliterne. Hvis vi forestiller os en satellit, der
udsender signaler i alle retninger i form af radiobølger, danner der sig en kugle rundt om satelliten.
Når GPS-modtageren opfanger denne radiobølge, ved den altså, at den befinder sig et givent sted på
sfæren af kuglen, i den afstand det har taget bølgen at bevæge sig fra satelliten til modtageren, som
det ses i formel (2.1) og på figur (3.a)
6
.
Dvs. at jeg med én satellit er i stand til at bestemme en lang række punkter på kuglesfæren, hvorpå
GPS-modtageren kan befinde sig. Hvis jeg nu tilføjer endnu en GPS-satellit, ser jeg, som det
fremgår på figur (3.b), en række punkter indenfor et område, hvori kuglesfærerne skærer hinanden.
Hvis jeg nu til sidst sætter endnu en satellit ind i regnestykket, se figur (3.c), får jeg kun 2 punkter,
som GPS-modtageren kan befinde sig i. Det ene punkt kan man udelukke, da det befinder sig et
godt stykke ude i rummet, og det andet punkt er derfor GPS-modtagerens position.
Pseudoafstanden
7
fra hver af satelliterne til GPS-modtageren kan derefter udregnes vha. den simple
afstandsformel for en 3D-vektor (Carstensen, s. 108):
6
Illustration fra: The Mathematics of GPS, s. 1.
7
Pseudoafstanden, er den afstand der umiddelbart er mellem modtager og satellit uden fejlkilder taget i betragtning.
Figur 3
Figuren viser ideen bag GPS-systemet,
og at der i princippet kun behøves 3
satelliter for at bestemme en positionen
på modtageren.
Page 8 of 54
(2.2)
Hvor
angiver koordinaterne for de 3 forskellige satelliter, og (x,y,z) angiver koordinaten for GPS-modtageren og
angiver længden på
vektoren fra GPS-modtager til GPS-satellit.
Basisprincippet for GPS-positionering er ovenfor vist og det virker egentligt meget håndgribeligt.
Men hvad nu hvis jeg ikke kender koordinaterne på satelliterne? I dette tilfælde danner jeg bare mit
eget referencesystem, som har centrum i den ene satellit istedet for i centrum af jorden. Dette
problem kan nemlig også løses matematisk:
For at gøre eksemplet lidt mere trivielt forestiller jeg mig problemet i 2D, som vist i figur (4)
8
. I
eksemplet ligger alle kugler i samme højde, dette er en meget god antagelse, da alle GPS-satelliter
har den samme afstand til jordens centrum som er ca. 26.600km (Dueholm, s. 27).
Metoden jeg
anvender kaldes trilateration, som beskriver sammenhængen mellem GPS-modtagerens koordinater
og radiobølgernes radius. Bemærk at P1 er min reference-satellit, altså den satellit der ligger i
punktet (0,0,0). Koordinatet for punktet B findes ved følgende:
Afstanden fra P1 til punktet B er givet ved, og behøver ingen
nærmere forklaring da dette er min referencesatellit:
(2.3)
Da x-koordinatet for punktet P2 afviger med en størrelse, d, fra vores referencesatellit trækker jeg d
fra x i formel (2.3):
(2.4)
Da punktet P3 afviger med en størrelse, i, fra x-koordinatet og samtidig afviger den med en
størrelse, j, fra y-koordinatet på vores referencesatellit, skal jeg trække henholdsvis i fra x og j fra y:
(2.5)
8
Illustration fra: Eksperimentielle Øvelser i Speciel Realtivitetsteori, 2007. Side 30
Figur 4
Figuren viser trilateration, som det bliver anvendt i GPS-
systemet, blot på et 2D plan.
Page 9 of 54
For at bestemme en formel for x-koordinatet på B, trækker jeg formel (2.4) fra (2.3), for at finde et
udtryk, for det x-koordinat hvori cirkel P1 og P2 skærer hinanden (punkt A og B på figur 4):
(2.6)
Jeg har nu et udtryk for mit x-koordinat. Jeg ønsker nu at finde et udtryk for mit y-koordinat. Jeg
trækker formel (2.3) fra (2.5), for at finde et udtryk for det y-koordinat hvori cirklerne P1 og P3
skærer hinanden. Det udtryk jeg finder for y-koordinatet her er afhængigt af x, fordi P3 afviger både
vertikalt og horisontalt fra P1:
Jeg har nu et udtryk for 2 y-koordinater, hvori det ene af y-værdierne har en tilhørende x-værdi som
tilsammen er koordinatet på punktet B i ét plan (se figur 4, hvor der er to punkter som P1 og P3
skærer hinanden i).
Hvis jeg nu lægger min værdi for x ind, som kan ses ovenfor giver det mig at:
(2.7)
Jeg har nu et udtryk for punktet B hvis det ikke er afhængigt af z-koordinatet, hvilket det egentligt
ikke er i dette tilfælde.
Hvis jeg nu ønsker en formel for z-koordinatet for punktet B også, kan det udtrykkes ved lidt simpel
omskrivning af (3.6):
Jeg indsætter værdierne for x og y:
Page 10 of 54
(2.8)
I 3D giver det mig 2 koordinater for z hvoraf det ene kan forkastes, da det ligger et godt stykke ude
i rummet.
Udledningerne er inspireret af (Øvelser i Speciel Relavivitetsteori, s. 30)
Jeg har hermed et udtryk for koordinaterne for punktet B, hvis jeg kender radius af radiobølgerne.
Det koordinat, som vi på ifølge formel (2.6), (2.7) og (2.8) finder for GPS-modtageren er altså i
forhold til referencesatelliten og ikke i forhold til jorden. Hvis vi vil bestemme et koordinat for en
GPS-modtager i forhold til jorden må vi kende positionerne på satelliterne. Det vil med andre ord
sige at jeg bliver nødt til at kende koordinatet på GPS-satelliterne.
Page 11 of 54
2.2 Bestemmelse af satellitkoordinater
Hvordan ved jeg hvor en satellit er på et givent tidspunkt? Jeg vil efter følgende afsnit
grundlæggende have besvaret spørgsmålet, og vil kunne stille et eksempel op, hvor jeg finder
positionen på en satellit ud fra nogle baneparametre vha. nogle parametre der kaldes TLE.
TLE står for ’Two-Line Element Set’ og er nogle betingelser Johannes Keppler har stillet op, der
forudsiger bevægelser i cirkulerende bevægelser omkring et massemidtpunkt. Jeg vil ikke komme
ind på udledningen i denne opgave, udledningen findes i (Seeber, s. 109-134). Udledningen går ud
på, at man til hvert et tidspunkt kan bestemme, hvor satelliten befinder sig i sin bane, hvis den ikke
er blevet forstyrret af udefrakommende parametre. GPS-systemets satellitter cirkulerer i nogle
bestemte baner omkring jorden. Disse baner kan beskrives vha. 6 Keppler-elementer (Sidi, s. 24):
a, the semimajor axis er afstanden fra ellipsens centrum til perihelium. Jorden ligger
som regel i massemidtpunktet for en satellit, denne ligger i ellipsens brændpunkt. Da GPS-satelliter
bevæger sig i en cirkelbane (Seeber, s. 213) om jorden, ved jeg at afstanden fra centrum til
perihelium er den samme for hele cirkelperifirien.
e, the eccentricity fortæller hvorvidt satellitens bane antager en ellipseform, eller en
cirkelform. Skalaen går fra 0 til 1, hvor 0 er en cirkelbane og 1 er en utroligt lang ellipse, nærmest
en streg. Eccentriciteten, viser sig i GPS-satellitternes tilfælde, at være meget tæt på 0. Jeg antager
derfor i de kommende udregninger, at e=0 (Seeber, s. 213). Dette vil med andre ord også sige, at
satellitten i cirkelbevægelse bevæger sig med en konstant fart.
i, the inclination fortæller noget om hvordan cirkelbanen hælder i forhold til
referenceplanet, eller ækvatorialplanet i vores tilfælde (se figur 5)
9
.
Ω the right ascension of the ascending node fortæller om hvor meget
koordinatsystemet er roteret i forhold til xy-planet (se figur 5).
ω ,the argument of perigee fortæller om
linjen ascending node’s vinkel på perihelium (se figur 5).
M, the mean anomaly er en parameter der
relaterer position og tid for et objekt der bevæger sig i en Keppler-orbit.
Ud fra disse parametre kan jeg bestemme en bane for en satellit. Jeg vil i mit eksempel prøve at
finde et koordinat for en satellit i en bestemt bane, hvor jeg kender afstanden fra modtageren til
9
Illustration fra (Sidi, s. 23)
Figur 5
Figuren viser grundprincipperne i Keppler-
elementer
Page 12 of 54
satellitten vha. formel (2.1). Først skal vi have bestemt baneparametrene for en typisk GPS-satellit
(Seeber, s. 213):
°
Ω °
Jeg ved at at koordinatet på en satellit uden udefrakommende forstyrrelse af baneparametrene er
givet ved (Seeber, s. 113):
Ω
Ω
Ω
Ω
(2.9)
har ingen betydning for mig, da dette afhænger af perihelium, som er ikke eksisterende i en
cirkelbevægelse. Det giver mig to ubekendte i denne formel, nemlig r og v. R er afstanden fra
jordens massemidtpunkt til satellitten. R er givet ved (Seeber, s. 113)
(2.10)
Men da jeg før antog at giver det mig at . For at finde v eller the true anomaly (se figur
5) bestemmer jeg hvor mange grader v, satellitten bevæger sig med i minuttet, dette kan jeg gøre,
fordi jeg kender satelittens omløbstid som er 12 timer:
°
°
Page 13 of 54
Jeg er nu i stand til at bestemme koordinatet på satellitten til tiden 0 vha. formel (2.9).
Dette giver mig:
Hvis jeg nu lader et minut passere og måler koordinatet på min satellit igen giver det mig et
koordinat på:
Jeg kan ud fra dette, og afstandsformlen (2.2), bestemme den afstand satellitten har tilbagelagt, og
derudfra finde farten på den:
Og da satellitten tog 1min om at tilbagelægge denne afstand giver det satellitten en fart på
. Jeg udregner nu farten på satellitten ved
. Dette giver mig en fart på:
Som det ses er farten lidt forskellig i de to eksempler. Grunden til denne afvigelse er at satellitten
tilbagelægger en større afstand når den cirkulerer i en cirkelbane. Den afstand jeg målte imellem de
to punkter, var en liniær afstand, og afveg derfor fra sandheden, som gav mig en fart der så
langsommere ud end den rigtige. For at minimere denne fejl burde jeg tage en meget lille skridt
istedet for et skridt på °.
Jeg kan nu bestemme satellit-koordinater, i et ikke-roterende koordinatsystem, hvis jeg kender
satellitternes baneparametre. Dette var lige præcis det vi manglede i afsnit [2.1] for at måle
koordinatet på en modtager i forhold til jorden, men siger det koordinattal mig noget? Hvad kan jeg
bruge koordinatet til, hvis jeg ikke, ud fra det, kan sige hvor jeg befinder mig på kloden?
Page 14 of 54
2.3 Sfæriske koordinatsystemer
Sfæriske koordinatsystemer er et tredimensionelt system, der ud fra 3 informationer kan sige noget om
længde- og breddegraden man befinder sig i. Man kan altså ud fra et (x,y,z) koordinat bestemme hvilken
længde- og breddegrad man befinder sig på, på jordens overflade. Måden systemet virker på er illustreret i
figur 6.
10
fortæller noget om latitude på jorden eller breddegraden, imens fortæller om longitude eller
længdegraden. Jeg ønsker nu at lave et eksempel, hvor jeg finder ud af, hvor på jorden jeg er, ud fra et (x,y,z)
koordinat.
Jeg antager først, at jeg befinder mig i højde med overfladen på havet. Herudfra finder jeg et tilfældigt
eksempel, hvor det gælder at:
Hvor r er jordens radius ved gennemsnitligt havniveau (hjemmeside [1], 16/12-2010).
Dette giver mig 3 tilfældige koordinater:
10
Illustrationen er tegnet selv.
Figur 6
Som det ses af figuren bevæger man sig først i urets retning omkring
jorden for at finde længdegraden. Man går det antal grader rundt
som udregnet formel (2.11). Fra dette punkt bevæger man sig det
sidste antal grader op til punktet r, hvor denne vinkel er lig med
breddegraden. Længden på r, fortæller så noget om, hvor højt man
befinder sig i forhold til jordens centrum.
Page 15 of 54
Jeg ved at længde- og breddegraden kan bestemmes ud fra (hjemmeside 2, 16/12-2010):
(2.11)
(2.12)
De sfæriske koordinater for længde- og breddegraden fås deraf til:
Hvor er længdegraden og er breddegraden.
Med det sfæriske koordinat jeg nu har udregnet på baggrund af signaler fra 4 forskellige satellitter,
hvor mit referencesystem er jordens midtpunkt. Giver mig, med disse koordinater, en lokation på
jordkloden. Jeg plotter længde- og breddegraden ind i Google Maps og får tilfældigvis Kolding
Gymnasium, som stedet jeg befinder mig på (se figur 7).
Jeg kan nu på baggrund af hele afsnit 2 bestemme, hvor min satellit befinder sig, hvor jeg befinder
mig i forhold til satellitten, og hvor jeg befinder mig på jorden ud fra afstanden til satellitterne.
Men disse målinger er uden fejlkilder og jordens rotation taget i betragtning, men hvor stor en
indflydelse har fejlkilderne på positioneringen af GPS-modtageren, og hvilke fejlkilder er der?
Figur 7
Kortet viser mig, hvor min GPS-modtager befinder
sig på givne tidspunkt. I dette tilfælde, ved Kolding
Gymnasium.
Page 16 of 54
3. Fejlkilder for GPS-systemet
Der er rigeligt med fejlkilder at beregne på når det kommer til GPS-systemet. Jeg vil i følgende
afsnit behandle nogle af de primære fejlkilder der kan skyldes afvigelser på GPS-modtagerens
koordinat. Hvis jeg skal prøve at liste nogle af dem op, er det bl.a. urfejlen; ’Sagnac-effekten’;
forskellige atmosfærelag, der forstyrrer bølgesignalet; samt relativistiske fejl.
3.1 Relativitiske effekter
Jeg vil under dette afsnit komme ind på to fænomener der kaldes tidsforskydelse og
længdeforkortelsen, derefter vil jeg kort nævne en sidste effekt, der siger at gravitationskræfterne
også har en effekt på urenes gang. Samtidig vil jeg give et realistisk bud på, hvor stor en effekt
fejlkilderne har på GPS-systemet ved at indrage et eksempel. Jeg vil i dette afsnit ikke udlede
relativitetsteorien, men blot vise konsekvenserne og grundlæggende forklare fænomenerne.
Relativitetsteorien siger, at hvis man betragter et ur fra to forskellige inertialsystemer, hvor uret
befinder sig i det ene inertialsystem, og observatøren i et andet inertialsystem. De to
inertialsystemer har imidlertidigt en fart relativt i forhold til hianden. Observatøren i hvile, vil se
uret i bevægelse, som gående langsommere sammenhængen er givet ved (Eksperimentielle Øvelser
i Speciel Relativitetsteori, s. 28):
(3.1)
Hvor
er tiden set fra inertialsystemet hvori uret er i hvile, og T er uret set fra et bevægende inertialsystem. V er hastigheden for det bevægende
inertialsystem.
Et andet fænomen hedder længdeforkortelse. Princippet er det samme, her gælder det bare at
længden på en stang set i hvile, bliver kortere hvis man observere den fra et inertialsystem i
bevægelse. Sammenhængen mellem staven set i hvile og i bevægelse er givet ved (Young, s. 1416):
(3.2)
Hvor
er længden på objektet i hvile, l er længden på objektet set fra et bevægende inertialsystem. V er hastigheden på det bevægende
inertialsystem.
Jeg vil ikke udregne størrelsen af længdeforkortelsen, da den har en mindre betydning end
tidsforskydelsen, men jeg har indraget den i dette afsnit, for at vise, at den eksisterer og har en,
omend minimal, effekt for positioneringen.
Page 17 of 54
For at beregne størrelserne af den relativistiske tidsforskydende effekt på GPS-systemet må vi først
lave nogle antagelser. Vi ved at satelliter kredser i en cirkelbevægelse om jorden i en højde på
20.200km over jordoverfladen, med en omløbstid på 12 timer (Dueholm, s. 27). Samtidig indrages,
at jordens radius er 6371km (hjemmeside [1], 17/12-2010). Jeg vil måle den tid der bliver fejlmålt
på et døgn imellem modtageren og satellitten:
Jeg indsætter mine værdier i formel (3.1) og får at:
Altså en tidsforskel på . Jeg beregner nu den afstandsforskel dette giver i afstand:
En afstandsfejl på 1230m i døgnet, en fejl der altså også skal tages højde for.
En sidste effekt som også har meget stor betydning er gravitationskræfternes effekt på urenes gang.
Effekten skyldes at jo tættere et ur er på et objekt med en høj tyngdeacceleration, jo langsommere
går uret, effekten er givet ved (hjemmeside [5], 19/12-2010):
(3.3)
Hvor
er den korrekte tid,
er koordinattiden mellem observør og objekt,
og r er afstanden fra observatør til objekt.
Jeg beregner nu den urfejl der i satelittens tilfælde vil komme til at finde sted på et døgn, på
baggrund af gravitationskræfternes effekt
11
:
Hvilket giver mig:
Altså en forskel på på et døgn. Dette er med andre ord den relativistiske effekt der har aller
størst betydning for urenes gang ombord på satellitten.
11
Data inputs til formlen er taget fra (hjemmeside [1], 16/12-2010).
Page 18 of 54
For at kompensere for de relativistiske effekter, lader man uret i satellitten slå med en lavere
frekvens end uret i GPS-modtageren. GPS-satellitternes ure slår med en frekvens på (Ashby, s. 16)
10,5453Hz istedet for de 10,23Hz som GPS-modtagernes ure slår med. På denne måde
korrigerer man for relativistiske effekter en gang for alle.
3.2 Urfejl
Urfejlen, som finder sted ved positionering er en fejl der sidder i
GPS-modtagerens ur. Urfejlen kan fremkomme, hvis urene ikke
går med den frekvens de skal, der skal derfor under indstilling af
urene også tages højde for relativistiske effekter. GPS-satelliternes
ure er meget præcise, de afviger kun med helt ned til ca.
af
et sekund over en periode på en dag. Dette giver et udslag på 8-17
nanosekunder pr dag (El-Rabbany, s. 31). Denne fejl bliver der
løbende korrigeret for fra nogle GPS-centraler, så GPS-satelliternes
tider ikke afviger betydeligt fra det faktiske. Denne tidsfejl der
opstår, fremkommer altså i modtageren. Derfor har det store
konsekvenser om modtageren er synkroniseret præcist efter GPS-tid, hvis positioneringsprincippet
skal kunne fungere efter henseende. Urfejlen er illustreretpå figur 8.
12
GPS-modtagerne er som
standard korrigeret således, at de har en afvigelse fra GPS-tid med en tidsforskel på nogle
nanosekunder, da større værdier ville give alt for store udsving i positionsbestemmelsen (El-
Rabbany, s. 31).
Hvis jeg kigger på urproblemet konstaterer jeg først, at formel (2.1) er lig med formel (2.2) da de
begge giver et udtryk for afstanden fra satellit til GPS-modtager. Dette giver mig at:
(3.4)
Dette udtryk er igen uden urfejlen i systemet. Hvis jeg indrager denne fejl, som er illustreret i figur
(8), i ligningen får jeg at:
(3.5)
Hvor r er afstanden mellem satellit og modtager og hvor dT er tids-offsettet (urfejlen).
12
Illustration fra: The Mathematics of GPS, side 2.
Figur 8
Figuren viser den tidforskydelse GPS-
modtageren skal korrigere for, hvis den
skal vise en position der er præcis.
Page 19 of 54
Dette giver mig at afstanden fra satellit til GPS-modtager er givet ved (Dueholm, s. 53):
(3.6)
I formlen fremkommer der nu 4 ubekendte, nemlig: , istedet for de 3 i formel (2.2).
Dette vil med andre ord sige at der er brug for endnu en pseudorange-måling fra en fjerde satellit.
Dvs. at ved positionering af en GPS-modtager, skal der anvendes mindst 4 satelliter for at
bestemme den eksakte position.
Lad mig stille to eksempler op, hvor jeg bruger den teori jeg har fået fra trilaterationen, for at se,
hvor stor en afstandsforskel tidsoffsettet egentligt gør. Så jeg har ét eksempel med, og ét uden
urfejl, for at sætte det hele i et perspektiv. I eksemplerne arbejder jeg ud fra 3 satelliter. Jeg
beregner først afstanden uden synkroniserede ure, og derefter lægger jeg 1ms på, for at antage at jeg
på den måde korrigerer for urfejlen - for derved at se den målte fejlafstand. Jeg antager, at jeg i
disse eksempler ikke kender satellitkoordinaterne, men kun afstanden fra satelliterne til modtageren,
og afstanden imellem satelliterne.
Jeg bruger nu nogle tilfældige værdier for r
1
, r
2
, r
3
, d, j og i. Ud fra dem, beregner jeg koordinatet
for GPS-modtageren, først med urfejl og derefter korrigeret for urfejlen.
Derved findes 3 koordinater for GPS-modtageren vha. formel (2.6), (2.7), og (2.8):
Koordinatet for GPS-modtageren uden korrigeret tidsfejl er altså (2050;-5410;28417.1)
13
.
13
Udregnet i: Bilag 1.
Page 20 of 54
Jeg ved at min urfejl giver et udslag i afstanden, r, fra det faktiske. Derfor lægger jeg et offset til
hver r-værdi, for at korrigere for min tidsfejl.
Jeg omskriver formel (2.6), (2.7) og (2.8) så afstanden bliver korrigeret med urfejlen. Dette giver
mig at:
(3.12)
(3.13)
=
(3.14)
Hvor o er offsettet eller urfejlen som går igen ved alle målinger.
Jeg udregner mit offset, hvis jeg sætter dT til 1ms:
Vha. offsettet beregner jeg nu GPS-modtagerens faktiske position, hvis der i førnævnte koordinat,
manglede en korrektion af GPS-tiden på 1ms:
Hvilket giver mig et faktisk koordinat på GPS-modtageren på (2020;-5928;28622.9)
14
. For at sætte
de to koordinater i perspektiv med hinanden, så man kan måle den tredimensionelle fejlmåling 1ms
offset gør, anvender jeg afstandsformlen, som også er vist i formel (2.2):
Nu er dette blot et eksempel, men det viser os, at der kan være fejlmålinger på omkring 300km (som
også ses i tidsoffsettet), i radius fra faktiske position, hvis GPS-modtageren afviger 1ms fra GPS-
tiden. En fejl der altså skal korrigeres meget nøje overfor.
14
Udregnet i: Bilag 1.
Page 21 of 54
3.3 Sagnac-effekten
En effekt som også har en betydning for
præcisionen af GPS-systemet skyldes jordens
rotation. Problemet er afbilledet i figur 9.
15
Det
betyder, at sender man en lysstråle rundt om
jorden, hvis vi antager, at jorden står stille, tager
lysstrålen 0,133526s om at nå tilbage til samme
punkt igen:
Hvis vi så derimod siger at jorden roterer imod strålen, der samtidig bliver sendt rundt om jorden er
tiden, som lyset tager om at tilbagelægge omkredsen af jorden, givet ved:
(3.15)
Og tiden det tager for strålen der går i samme retning som den roterende jord er givet ved:
(3.16)
Dette giver mig et udtryk der siger at (Eksperimentielle Øvelser i Speciel Relativitetsteori, s. 29):
(3.17)
Hvis . Hvor er vinkelhastigheden for vinklen på figur 9. Og A er arealet af jordens tværsnit ved ækvatorialplanet.
Effekten man oplever svarer til gennemsnittet af den samlede tidsforskel,
, hvilket svarer til
207,4ns (Eksperimentielle Øvelser i Speciel Relativitetsteori, s. 29). Glemmer man at jorden roterer,
virker positioneringen altså ikke.
Jorden roterer 1,0027379 gange om jeg selv i løbet af 24 timer, da vi anvender universaltid istedet
for siderisk omløbstid (hjemmeside [3], 18/12-2010).
Jeg prøver nu at opstille eksemplet fra formel (3.1), hvor der er taget højde for sagnac effekten:
Ved at multiplicere dette med lysets hastighed får jeg:
Dette er en yderligere afstandsfejl på om dagen udover den
relativistiske tidsfejl blot pga. sagnac-effekten.
15
Illustrationen er fra (Eksperimentielle Øvelser i Speciel Relativitetsteori, s. 28).
Figur 9
Sagnac-effekten. På billdet til venstre ses lyssignalet bevæge sig om
en stillestående jord, hvorimod lyset på billedet til højre bevæger
som en roterende jord.
Page 22 of 54
3.4 Atmosfærelagenes betydning
Indtil videre har jeg antaget at lys bevæger sig med lysets hastighed i vakuum. Dette viser sig også
at være en dårlig antagelse, da det ikke er realistisk. Imens lyset bevæger sig igennem
atmosfærelagene bliver lysbølgen nemlig langsommere, dette gør at modtageren tror den er længere
væk fra satellitten end den egentlig er. Korrektion for atmosfærelagenes bremsning af lysets
hastighed er svær umiddelbart at lave en matematisk løsning på, da densiteten af partikler i
ionosfæren konstant ændres.
Figur 10
Figuren viser solpletaktiviteten til forskellige årstal, hvilket virkeligt
godt afbilleder, hvor meget partikeldensiteten konstant ændres.
Sammenhængen mellem solpletaktiviteten og fejlbidrag til GPS-målingen er, at jo højere
solpletaktiviteten er, jo større er fejlbidragene (se figur 10).
16
Solpletaktiviteten varierer cyklisk med
en bølgelængde på ca. 11 år (Dueholm, s. 40).
Størrelsen af forstyrrelsen gennem ionosfæren, og dermed afvigelsen i pseudorangemålingen, er
givet ved (Dueholm, side 39):
(3.18)
Hvor d er afstandskorrektionen igennem ionosfæren, f er frekvensen på navigationssignalet og
er elektrondensiteten i ionosfæren.
På figur 10 ses det tydeligt, hvor meget elektrondensiteten, og dermed lysets hastighed igennem
ionosfæren, konstant varierer, hvilket gør det svært at korrigere overfor.
Da ionosfæreforsinkelen er omvendt proportional med kvadratet på frekvensen giver det mig at man
på bærebølgen L1 skal lave en korrektion, der er givet ved (Dueholm m.fl., side 41):
(3.19)
Hvor f er frekvenserne på L1 og L2 bølgerne, r er de målte pseudorangemålinger på hver af bølgerne og d er afstandskorrektionen på L1.
16
Figuren er fra (Dueholm, s. 40)
Page 23 of 54
Jeg vil nu prøve at udregne afstandkorrektionen ud fra et eksempel, hvor pseudorange-målingen er
udført på baggrund af de to bærebølger, L1 og L2, som giver mig to forskellige afstande:
Lad os sige at de to målte afstande fra de to forskellige bølger er henholdsvis:
og
. De to bølgefrekvenser kender jeg i forvejen (Dueholm, s. 31), hvilket giver
mig at:
Altså en korrektion man skal huske at tage højde for
Man kan ud fra måling af elektrondensiteten i ionosfæren udregne hvor meget ens radiobølge vil
blive bremset, og ud fra formel (3.19) beregne den afstandkorrektion man skal foretage for at ens
måling klarer sig pålideligt igennem ionosfæren.
Udover bremsningen og brydningen af lyset gennem ionosfæren er der også forhindringer ved at
komme igennem troposfæren. Korrektionen man skal tage højde for er givet ved (Dueholm, s. 42):
Hvor:
Hvor T er temperaturen ved GPS-antennen. P er trykket i millibar. e er der partielle tryk for vanddamp i millibar. elv er elevationsvinklen.
er breddegraden. H er højde over havniveau i km.
Der skal altså laves forskellige korrektioner for radiobølgens gang igennem de forskellige
atmosfærelag.
Page 24 of 54
3.5 Multipath
Et fænomen der er utroligt svært at tage højde for er multipath. Multipath er et fænomen der kan
gøre, at GPS-modtageren bruger et signal, der er blevet reflekteret i en høj bygning eller lignende,
og tror dette er det direkte signal. Problemet er illustreret på figur 11
17
.
GPS-modtagerne er opbygget således, at de tager det stærkeste signal, der bliver sendt fra GPS-
satelitten (antennen på billedet). På baggrund af
dette virker multipath umiddelbart ikke som et
problem, men hvis jeg nu bygger en mur, der
blokerer for ”Line og Sight Signal” (Se figur 11), er
det stærkeste signal GPS-modtageren modtager, signalet, der er blevet reflekteret ind i bygningen.
Derfor tror GPS-modtageren, at den er længere væk fra satelliten, end den egentligt er. Dette er et
stort problem inde i større byer. Her korrigerer GPS-modtagerne i biler, ved at ”snyde” sig til at
sige, at man kun er i stand til at køre på vejene, der er i det integrerede kort i modtageren. Derfor
’kører man automatisk på den vej man er tættest på’. Dette er selvfølgelig en problematisk
opfattelse i sig selv, da man sagtens kan befinde sig på en mindre vej, tæt på den vej GPS-
modtageren viser, som ikke findes i modtagerens integrerede kort. Afstandsforskellen der
fremkommer ved multipath er helt afhængig af situationen, og afstandsforskellen er helt banalt givet
ved formel (2.1), da det tager lyset længere tid at tilbagelægge afstanden ned til GPS-modtageren.
17
Illustration er fra (hjemmeside [8], 14/12-2010)
Figur 11
Figuren viser multipath fænomenet, hvor antennen er en
satellit i vores tilfælde.
Page 25 of 54
3.6 Doppler-effekt
Den sidste fejlkilde jeg vil komme ind på kaldes ’Doppler-effekten’ og er kendt fra
folkeskolefysikken, ved eksemplet med ambulancen der ændrer frekvens, alt efter om den bevæger
sig mod en eller væk fra en. Det samme gælder for GPS-satellitter i rummet. Jo mere satellitten
bevæger sig mod modtageren, jo højere bliver frekvensen, og jo længere den bevæger sig modsat
modtagerens retning jo lavere bliver frekvensen. Problemet er illustretet på figur 12.
18
Dette er et problem, fordi GPS-modtagere, som tidligere nævnt, læser afstanden fra satellit til
modtager vha. nogle koder, der fortæller noget om, hvor mange bølger navigationssignalet har
været undervejs, og det antal bølger navigationssignalet har været undervejs ændres altså i forhold
til frekvensen. For at korrigere for doppler-effekten, har MCS et par faststående antenner på jorden,
der sender konstante frekvenser ud til satellitterne. Der sidder så en modtager i satellitterne, der
aflæser doppler-forskydningen, og derefter ændrer det signal de transmittere til GPS-modtagerne, så
GPS-modtagerne er i stand til at korrigere for doppler-effekten (Seeber, s. 183). Doppler-ligningen,
for en elektromagnetisk bølge er givet ved (Seeber, s. 183):
er frekvensen sendt fra satelliten.
er frekvensen der bliver modtaget. V er farten på satellitten. er vinklen mellem hastighedsvektoren på
satellitten og linien imellem modtageren og satellitten. R er afstanden mellem modtager og satellit.
18
Illustrationen er fra (hjemmeside [6], 14/12-2010).
Figur 12
Dopper-effekten, og hvordan den har en indflydelse på GPS-
systemet. Som det ses i toppen er billedet er frekvensen på
signalet højere når satelitten nærmer sig modtageren, og
lavere når den har passeret modtageren.
Page 26 of 54
Jeg beregner nu et eksempel, hvor jeg finder ud af hvor meget forskel det giver i frekvensen hvis
satellitten er lige ovenover os. Hvis satelliten er lige over modtageren giver det mig at .
Frekvensen på navigationssignalet, sendt fra satellitten, er 50,42hz med en bølgelængde på 5950km
(Dueholm, s. 33). Prøver jeg nu at beregne frekvens, der bliver modtaget af GPS-modtageren får
jeg:
Altså en forskel på
. Hvis jeg nu omregner frekvensen til den forskel det giver for
bølgelængden på navigationssignalet:
En forskel i bølgelængden på 4,1km fra det udsendte, pr bølge. Og da der er mere end en bølge fra
satellit til modtager, kan det give en fejlmåling på adskillige kilometer. Doppler-effekten er altså
også en stor fejlkilde.
3.7 Opsummering af fejlkilder
Hvor store er fejlkilderne så alt i alt? Og hvor meget skal vi stole på vores GPS-modtagere? I figur
13 er der opsummeret på alle fejlene, som finder sted på GPS-modtagere
19
:
Fejlkilderne kan selvfølgelig godt værre større, hvis man befinder sig i en større by og der
forekommer en stor multipath fejl. Men gennemsnitligt set er fejlmålingerne som på figuren.
19
Figuren er fra (Seeber, s. 299)
Figur 13
Primære fejlkilder, der kan give fejlmåling ved GPS-positionering.
Page 27 of 54
4. Baneberegning for en satellit
For at lave en baneberegning for en satellit, bliver jeg først nødt til at kende Keppler-parametrene.
Jeg bruger de samme som i afsnit 2.2, som er standard for GPS-satellitter (Seeber, s. 213). Jeg
antager også i dette afsnit at der ikke er nogle udefrakommende parametre, der gør at satellitten
kommer ud af banen. Omløbstiden er som standard for GPS-satelliter 12 timer i siderisk tid. Jeg vil
i følgende beregne en pseudorange-måling imellem satellitten og modtageren på et døgn, med nogle
små tidsintervaller. Der hvor afstanden mellem modtager og satellit ændres mest på et interval, er
der hvor satellitten har den maksmiale hastighed i forhold til modtageren. Ud fra denne hastighed
kan jeg måle størrelsen af relativistiske effekter i punktet. Jeg bruger i udregningerne koordinatet
for modtageren, som jeg brugte i afsnit (2.3).
Jeg illustrerer problemet i figur 14
20
:
For at beregne afstanden mellem modtageren og satellitten skal vi først vide at, i jordens
referencesystem er koordinatet på GPS-modtageren, der står et bestemt sted på jorden, uafhængig af
tiden, da koordinatsystemet netop roterer samtidig med jorden. Dette medvirker til at GPS-
modtagerkoordinatet, ikke ændrer sig over tid. Derfor skal man huske at tage jordens rotation med i
betragtning, når man skal bestemme satellitpositioner. Jordens rotation påvirker Ω (the right
ascension of the ascending node), fordi jorden roterer I xy-planet med 1,0027379 gange 360˚ i
døgnet. Dette gør at Ω bliver ændret som funktion af tiden, og hele koordinatsystemet roterer
derfor.
20
Illustrationen er tegnet selv.
Figur 14
Jeg ønsker at finde punktet hvor
er størst. Da dette er min
maksimale relative hastighed imellem satellit og modtager
Page 28 of 54
Jeg beregner rotationen der finder sted pr minut:
Jeg omregner til radianer, da det regneark jeg har lavet i excel (se bilag 2), regner med radianer.
Resten af mine keppler-elementer regner jeg også om til radianer:
Grunden til jeg har valgt lige præcis 240˚ ved
21
, er fordi dette giver mig et resultat, hvor
længden af den relative hastighed imellem modtager og satellit er størst på et tidsskridt. Dette har
jeg fundet ud af, ved at ændre d_Ω i intervaller af 60˚, eller 1,1 radianer
22
.
R(x-x_s) er lig afstanden imellem satellit og modtager, og d_R(x-x_s) er den forskel i afstanden R,
der fremkommer efter et spring på 1min, altså den relative hastighed.
Til sidst er der det antal grader satellitten bevæger sig med i minuttet, hvis den skal have en
omløbstid på 12 timer. Det gælder nemlig at :
Koordinaterne udregnes vha. formel (2.9). Den værdi for Ω jeg bruger i dette tilfælde, er med
jordens rotation taget i betragtning. Jeg har kaldt den Ω_relativ, og sagt den er givet ved:
Hvor er det samme som antal radianer passeret
23
21
Se Bilag 2
22
Se Bilag 2
Page 29 of 54
Grunden til at jeg trækker jordens rotation fra i regnestykket er fordi satellitten roterer i samme
retning som jorden
24
. Dette gør, at den ikke ændrer koordinat så hurtigt, og har dermed ikke en lige
så høj fart, som hvis den havde gået modsat jordens retning, hvor jeg dér skulle have adderet
rotationen. Jordens rotation bevirker altså at satellitten og modtageren, får en lavere relativ
hastighed imellem hinanden.
Som det fremgår i bilag 2, er dér hvor den relative hastighed mellem modtager og satellit er størst,
befinder satelitten sig 25901,97km fra modtageren. Afstanden imellem modtager og satellit, ,
ændres dér med 54,3541
, som er den relative hastighed imellem GPS-modtageren og satellitten.
Ud fra oplysningen om længden af den relative hastighed imellem GPS-modtager og GPS-satellit
kan jeg nu beregne den relativistiske effekts betydning for urenes gang (formel 3.1):
Der er altså en afvigelse fra det faktiske på 0,4 millisekunder, pr. døgn på grund af tidsforskydende
effekt ved ure i bevægelse, i det punkt, hvor GPS-satellitten bevæger sig hurtigst, i forhold til GPS-
modtageren. Dette er en stor afvigelse, da jeg ved at 1ms afvigelse giver en fejlafstand på 300km fra
afsnit 3.2.
Modsat er dér, hvor
er mindst, har den en værdi på
.
25
Denne fart er så utrolig lille
at den ikke har nogen betydning for urenes gang ombord på satelliten. Den relative hastighed,
,
afviger altså dynamisk med i døgnet. Dette gør at doppler-effekten hele tiden varierer,
og det kan være svært at vide, hvornår modtageren skal korrigere, for hvilken doppler-forskydning.
Man skal altså korrigere for doppler-effekten, ud fra hvor satellitten befinder sig i forhold til
modtageren, og hvilken relativ hastighed de har imellem hinanden.
23
Se Bilag 2
24
GPS-satelitterne har en inclination på 55˚. Ifølge (hjemmeside [7], 20/12-2010) bevæger objekter, med en
inclination mellem 0˚ og 90˚, sig i samme retning, som rotationen på legemet, der er massemidtpunktet. I dette
tilfælde jorden.
25
Se Bilag 2, hvor tiden er lig 246min.
Page 30 of 54
Konklusion
GPS-systemet er opbygget af ialt 24 satelliter som kredser i 6 forskellige baner. For at positionen
på en modtager kan bestemmes skal der minimum være 4 synlige GPS-satelliter, helst alle med
direkte syn til modtageren. GPS-systemet anvender nogle koder med bestemte frekvenser, som
GPS-modtagerne opfanger, for at bestemme, hvor længe navigationssignalet har været undervejs.
Ud fra radius på 4 forskellige navigationssignaler, er modtageren i stand til selv at beregne sin
position. Grunden til at der minimum skal anvendes 4 satelitter, skyldes en urfejl imellem satellit
og modtager. Noget der spiller en stor rolle ved positioneringen er fejlkilderne, og størrelsen af
samme. Der findes et utal af forskellige fejlkilder til systemet, men nogle af de primære er:
brydning af navigationssignal igennem de forskellige atmosfærelag; multipath effekt samt urfejl.
Jeg ved at GPS-satellitter kredser i en cirkelbevægelse omkring om jorden, og at GPS-satellitterne
til ethvert tidspunkt af døgnet kender deres egenposition. De sender denne position, via en kode,
ned til GPS-modtageren, som er i stand til at tolke dens egenposition i forhold til
satellitkoordinaterne. I disse satellitbaner gælder der nogle Keppler-parametre, der gør at man er i
stand til at forudsige satellittens bevægelse. På baggrund af doppler-effekten, skal man korrigere
ens modtager, således at doppler-effekten bliver minimeret, ud fra hvor hurtig satellitten bevæger
sig relativt i forhold til modtageren. Dette korrigerer man løbende for via nogle antenner på
jorden, som sender faste frekvenser op til satellitterne, der dermed kennder deres doppler-
forskydning i forhold til antennen. Denne forskydning er så en del af det signal de sender ned til
GPS-modtagerne, som derefter skal korrigere for dette.
Perspektivering
Til videre arbejde kunne det være rigtigt spændene at arbejde arbejde med fejl i satellitbanerne,
der gør at GPS-satellitterne lige pludseligt ikke kender deres eksakte koordinat. Dette kan skyldes
vindmodstande, tilkrækning fra andre planeter osv. Det kunne også være spændene at arbejde
med nyere navigationssystemer, samt deres opbygning. Et godt eksempel på dette er GALILEO-
systemet, som er et europæisk system man regner med er oppe at køre omkring 2014.
Page 31 of 54
Litteraturliste
Bøger
Carstensen, Jens,. m.fl. MAT A3. 1. Udgave 2. Oplag. Århus: Systime A/S, 2008.
Dueholm, Keld,. m.fl. GPS. 3. Udgave 1. Oplag. København: Nyt Teknisk Forlag, 2005.
El-Rabbany, Ahmed. GPS – The . 1. Title. 2. Series. Norwood: Artech
House Inc, 2002.
Seeber, Günther. Satellite Geodesy. 2
nd
edition. De Gruyter, 2003.
Sidi, Marcel J. Spacecraft Dynamics and Control – A Practical Engineering Approach. 1. Title. 2.
Series. Cambridge: Cambridge University Press, 1997.
Wertz, James R. Spacecraft Attitude Determination and Control. 2. Title. 3. Series. Dordrecht: D.
Redidel Publishing Company, 1980.
Young, Hugh D. Univeristy Physics. 11
th
edition. Addison-Wesley, 2006.
Internetmateriale
[1]: http://en.wikipedia.org/wiki/Earth
[2]: http://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_coordinate_system#Geographic_coordinates
[3]: http://en.wikipedia.org/wiki/Sidereal_day
[4:] http://en.wikipedia.org/wiki/GPS
[5]: http://en.wikipedia.org/wiki/Gravitational_time_dilation
[6]: http://www.dmu.dk/Dyr_planter/Dyr_satellitsporing/Positionering_dyr_Argos/
[7]: http://en.wikipedia.org/wiki/Inclination
[8]: http://home.pacbell.net/ray2288/antenna.html
Langley, B. Richard. The Mathematics of GPS. University of New Brunswick. 7/8.1991,
http://gauss.gge.unb.ca/gpsworld/EarlyInnovationColumns/Innov.pdf
Ashby, Neil. Relativity in The . Living reviews, 2003,
http://www.emis.ams.org/journals/LRG/Articles/lrr-2003-1/download/lrr-2003-1BW.pdf (9/12-2010)
Eksperimentielle Øvelser I Speciel Relativitetsteori. Uge 36, 2007,
http://www.phys.au.dk/~ulrik/Exp_spec_rel_2007.pdf (9/12-2010).
Andet hjælp
Mathias Benn. Ph. D Grad. DTU – Insitut for Rumforskning og –Teknologi. URL:
Christensen, Thorbjørn Helvig. Ph. D studerende. DTU – Institut for Rumforskning og –Teknologi. URL:
Page 32 of 54
Bilag 1
Udregninger til afstandsmåling.
Jeg har i starten bestemt nogle forskellige værdier for radius a, som jeg gerne vil have i runde tal.
Derfor finder jeg de tider radiobølgerne har været undervejs, ved at sige
. Dette
giver mig nogle resultater der ser således ud:
Jeg ”beregner” med disse værdier, 3 forskellige værdier for radius af cirklerne:
Værdierne for j, i og d er bestemt på samme måde og har værdierne:
Jeg indsætter tallene i (3.9), (3.10) og (3.11) og får:
Dette giver mig et koordinat på (2050;-5820;28335,6) uden tidsoffset.
Page 33 of 54
Jeg korrigerer nu for en tidsfejl som jeg har bestemt til at være 1milisekund.
Dette giver mig et offset på
Jeg beregner nu x, y og z ud fra formlerne (3.12), (3.13) og (3.14):
Jeg benytter afstandsformlen (Carstensen, s. 108), til at finde forskellen i afstanden:
Jeg har hermed vist et eksempel for, hvor stor en afstandsforskel 1 milisekunds offset gør.
Page 34 of 54
Bilag 2
Keppler-parametre:
Koordinat på GPS-modtager (konstant):
e
0
x_modtager
5179.37
i
89
radianer
y_modtager
864.35
a
26600
km
z_modtager
3607.87
d_Ω
05
radianer
tidsskridt
1
min
max d_R
56
(km/min)
v
46
radianer/min
min d_R
-
(km/min)
Koordinat på satellit ud fra formel (2.9)
Afstand, satellit til modtager:
Tid (min)
radianer
passeret
Ω_relativ
x
y
z
R(x-x_s)
d_R(x-x_s)
0
0
-13300
-
0
41
1
46
4.188752
-
4
-
99
34
-40.2861
2
93
-
5
-
93
11
-40.5582
3
39
-
3
-
91
7
-40.8284
4
85
-
3
-
22
12
-41.0966
5
31
-
4
-
48
38
-41.3627
6
78
-
7
-
08
53
-41.6269
7
24
-
9
-
57
63
-41.8889
8
7
-
3
-23508.53
05
76
-42.1489
9
16
-
-
02
01
-42.4067
10
63
-
1
-
09
52
-42.6625
11
09
-
9
-
93
42
-42.9161
12
55
4.188332
-
8
-
36
88
-43.1675
13
01
-
2
-
3
08
-43.4168
14
48
-
6
-
8
22
-43.6639
15
94
-
5
-
05
53
-43.9087
16
4
-
5
-
42
25
-44.1513
17
86
-
4
-
42
65
-44.3916
18
33
-
9
-
75
01
-44.6296
19
79
-
7
-
28
65
-44.8654
Page 35 of 54
20
25
-
8
-
09
89
-45.0988
21
71
-
1
-
46
09
-45.3298
22
18
-
6
-
92
6
-45.5585
23
64
4.187912
-
4
-
18
84
-45.7848
24
1
-
6
-
23
21
-46.0086
25
56
-
4
-
29
14
-46.2301
26
03
-10010.81
-
86
11
-46.449
27
49
-
3
-24170.47
71
57
-46.6655
28
95
-
7
-
88
05
-46.8795
29
42
-
2
-
72
05
-47.091
30
88
-
6
-
87
13
-47.2999
31
34
-
2
-
31
85
-47.5063
32
8
-
8
-
33
8
-47.71
33
27
-
9
-
56
6
-47.9112
34
73
4.187492
-
3
-24248.56
98
88
-48.1097
35
19
-
5
-
92
29
-48.3056
36
65
-
4
-24254.36
11
51
-48.4988
37
12
-
6
-
62
25
-48.6893
38
58
-
9
-
93
23
-48.877
39
04
-
9
-
92
2
-49.062
40
5
-
4
-
89
93
-49.2443
41
97
-
8
-
55
22
-49.4237
42
43
-
2
-
04
87
-49.6003
43
89
-
7
-
94
73
-49.7741
44
35
-
1
-
31
67
-49.9451
45
82
4.187072
-
8
-24189.61
64
57
-50.1131
46
28
-
2
-24173.25
91
33
-50.2782
Page 36 of 54
47
74
-
6
-
58
9
-50.4404
48
2
-
4
-
61
23
-50.5997
49
67
-
4
-24113.2
45
31
-50.7559
50
13
-
1
-
07
13
-50.9092
51
59
4.186843
-
1
-
98
73
-51.0594
52
06
-
4
-24036.73
2
16
-51.2066
53
52
-
5
-
3
5
-51.3507
54
98
-
2
-
42
84
-51.4917
55
44
-
6
-
72
32
-51.6295
56
91
4.186652
-
3
-
5
09
-51.7642
57
37
-
-
27
32
-51.8958
58
83
-
1
-23834.75
25
2
-52.0241
59
29
-
9
-23794.76
77
97
-52.1492
60
76
-
2
-
19
87
-52.2711
61
22
-
2
-
93
18
-52.3897
62
68
4.186423
-
2
-23664
49
19
-52.505
63
14
-
9
-
41
22
-52.617
64
61
-
3
-
33
64
-52.7256
65
07
-
6
-
93
8
-52.8308
66
53
-
3
-
96
1
-52.9327
67
99
4.186232
-3857.802
-23410.32
24
98
-53.0311
68
46
-
8
-
67
88
-53.1261
69
92
-
9
-
19
27
-53.2176
70
38
-
6
-
86
66
-53.3056
71
84
-
6
-
75
57
-53.3901
72
31
-
7
-
06
55
-53.471
73
77
4.186003
-
-
03
18
-53.5484
74
23
-
6
-
97
06
-53.6221
Page 37 of 54
75
69
-
-
3
82
-53.6922
76
16
-
6
-
47
11
-53.7587
77
62
-
3
-
05
61
-53.8215
78
08
-
8
-
66
03
-53.8806
79
55
-
1
-
1
-53.9359
80
01
-
4
-
87
58
-53.9875
81
47
-
9
-
13
24
-54.0353
82
93
-
-
72
91
-54.0793
83
4
-
1
-
68
4
-54.1195
84
86
4.185583
-
9
-
13
6
-54.1558
85
32
-
8
-
25
37
-54.1882
86
78
-
4
-
33
64
-54.2167
87
25
-
9
-
74
35
-54.2413
88
71
-
9
-
92
46
-54.2619
89
17
-
9
-
43
95
-54.2785
90
63
-
2
-
88
86
-54.2911
91
1
5
-
99
22
-54.2996
92
56
4
-
57
1
-54.3041
93
02
1
-
51
6
-54.3045
94
48
9
-
8
84
-54.3008
95
95
4.185163
4
-
52
96
-54.2929
96
41
1
-
84
14
-54.2808
97
87
-
02
58
-54.2646
98
33
2
-
42
5
-54.2441
99
8
6
-
49
15
-54.2193
100
26
6
-
78
81
-54.1903
101
72
4
-
94
77
-54.157
102
19
3
-
7
37
-54.1194
103
65
8
-
9
96
-54.0774
104
11
4
-
49
9
-54.0311
105
57
8
-20085.15
48
62
-53.9803
106
04
4.184743
7
-
02
52
-53.9251
107
5
-
35
07
-53.8655
108
96
6
-
8
73
-53.8013
109
42
7
-
8
01
-53.7327
110
89
7
-
91
44
-53.6596
111
35
8
-
75
56
-53.5819
Page 38 of 54
112
81
8
-
07
95
-53.4996
113
27
4
-
74
2
-53.4127
114
74
5
-
69
94
-53.3213
115
2
4
-
8
-53.2251
116
66
4
-
82
46
-53.1243
117
12
4.184323
4233.89
-
44
6
-53.0189
118
59
1
-
22
93
-52.9087
119
05
6
-
67
2
-52.7937
120
51
9
-18146.44
37
15
-52.674
121
97
4
-
03
57
-52.5496
122
44
-
46
25
-52.4203
123
9
5
-17720.61
59
02
-52.2862
124
36
4
-
46
72
-52.1473
125
82
3
-
21
21
-52.0035
126
29
9
-
1
37
-51.8548
127
75
6
-
49
1
-51.7013
128
21
4.183903
7
-
88
33
-51.5428
129
68
2
-
85
99
-51.3793
130
14
1
-
12
05
-51.2109
131
6
9
-
5
47
-51.0376
132
06
5
-
94
26
-50.8592
133
53
-16215.94
48
43
-50.6758
134
99
-
3
-50.4874
135
45
4
-
69
01
-50.294
136
91
5
-
03
53
-50.0955
137
38
-
85
63
-49.8919
138
84
9
-
78
41
-49.6832
139
3
4.183483
8
-15253.69
57
95
-49.4695
140
76
5
-
09
38
-49.2506
141
23
4
-
34
83
-49.0266
142
69
3
-
41
43
-48.7974
143
15
4
-
54
35
-48.5631
144
61
2
-
06
73
-48.3236
145
08
-
45
76
-48.079
146
54
2
-
29
62
-47.8291
147
1.282817
1
-
28
49
-47.5741
148
46
-
26
57
-47.3139
149
93
-
16
08
-47.0485
150
39
4.183063
6
-
07
22
-46.7779
151
85
9
-
16
2
-46.502
152
32
4
-
76
25
-46.2209
153
78
2
-
3
6
-45.9347
154
24
9
-
33
47
-45.6431
155
7
6
-12492.79
54
08
-45.3464
156
17
6
-
74
68
-45.0444
157
63
5
-
85
49
-44.7372
158
09
9
-
91
74
-44.4247
159
55
2
-
12
66
-44.1071
Page 39 of 54
160
02
3
-
76
47
-43.7842
161
48
4.182643
8
-
26
39
-43.4561
162
94
6
-
16
65
-43.1227
163
4
5
-
14
44
-42.7842
164
87
6
-
97
-42.4405
165
33
7
-
66
44
-42.0915
166
79
11427.7
-10451.76
16
02
-41.7374
167
25
6
-
68
9
-41.3781
168
72
6
-10069.89
52
23
-41.0137
169
18
3
-
1
17
-40.6441
170
64
1
-9684.992
96
85
-40.2693
171
1
3
-
79
38
-39.8895
172
57
4.182223
3
-
39
87
-39.5045
173
03
8
-
67
41
-39.1145
174
49
2
-
7
06
-38.7194
175
95
2
-8710.267
66
87
-38.3192
176
42
6
-
84
85
-37.914
177
88
2
-
68
02
-37.5038
178
34
7
-
74
33
-37.0887
179
81
3
-
7
75
-36.6686
180
27
8
-
38
2
-36.2436
181
73
4
-
7
56
-35.8136
182
19
2
-
74
7
-35.3789
183
66
4.181803
4
-
68
46
-34.9392
184
12
4
-
84
62
-34.4948
185
58
6
-
66
96
-34.0457
186
04
4
-
7
2
-33.5918
187
51
3
-
67
04
-33.1332
188
97
-
39
11
-32.6699
189
43
2
-
79
04
-32.2021
190
89
6
-
96
39
-31.7296
191
36
1
-
1
69
-31.2527
192
82
7
-
52
41
-30.7713
193
28
3
-
68
-30.2854
194
74
4.181383
1
-
16
83
-29.7952
195
21
2
-
66
25
-29.3006
196
67
9
-
53
-28.8017
197
13
6
-
14
92
-28.2986
198
59
6
-
16
58
-27.7913
199
06
5
-
26
64
-27.2799
200
52
9
-
76
17
-26.7645
201
98
5
-
12
16
-26.245
202
45
1
-
91
58
-25.7216
203
91
4
-
85
29
-25.1943
204
37
6
-
74
13
-24.6632
205
83
4.180963
5
-
54
84
-24.1283
206
3
3
-
33
12
-23.5897
207
76
3
-
3
6
-23.0475
Page 40 of 54
208
22
7
-
76
81
-22.5018
209
68
-
16
25
-21.9526
210
15
5
-
07
32
-21.3999
211
61
9
-
16
36
-20.844
212
07
9
-
26
63
-20.2847
213
53
2
-
28
32
-19.7223
214
7
-
29
53
-19.1568
215
46
2
-484.6153
45
3
-18.5882
216
92
4.180543
9
-
06
56
-18.0167
217
38
8
-
54
19
-17.4424
218
85
3
9
41
98
-16.8652
219
31
5
2
34
61
-16.2854
220
77
9
8
09
71
-15.7029
221
23
1
8
57
8
-15.1179
222
7
6
7
78
32
-14.5305
223
16
2
7
85
63
-13.9407
224
62
6
4
03
98
-13.3486
225
08
7
4
69
56
-12.7544
226
55
5
8
3
43
-12.1581
227
01
4.180123
1
8
48
58
-11.5598
228
47
8
6
94
91
-10.9597
229
94
7
6
5
22
-10.3577
230
4
3
2
12
2
-9.75402
231
86
1
2
85
47
-9.14873
232
32
6
4
88
53
-8.54194
233
79
6
7
49
8
-7.93373
234
25
8
4
1
59
-7.32421
235
71
1
8
21
12
-6.71348
236
17
5
5
46
49
-6.10163
237
64
3
59
73
-5.48876
238
1
4.179703
2
46
75
-4.87498
239
56
6
6
03
36
-4.26039
240
02
4
37
28
-3.64508
241
49
6
1
67
11
-3.02917
242
95
1
1
22
37
-2.41275
243
41
4
4
44
45
-1.79592
244
87
4
7
82
67
-1.17878
245
34
8
21
-0.56145
246
8
2
3
69
19
0.055978
247
26
1
7
74
59
0.673402
248
72
1
07
31
1.290719
249
19
4.179283
2
9
75
14
1.907825
250
65
1
8
91
76
2.524618
251
11
2
9
8
75
3.140995
252
58
2
8
8
6
3.756854
253
04
8
5
35
7
4.372092
254
5
9
3
02
31
4.986609
255
96
5
48
61
5.600302
Page 41 of 54
256
43
6
9
49
68
6.21307
257
89
4
6
9
49
6.824814
258
35
1
4
7
92
7.435433
259
81
2
8
94
75
8.044827
260
28
4.178863
8777.824
78
65
8.652897
261
74
4
7
49
19
9.259546
262
2
8
9
42
87
9.864675
263
66
2
4
02
06
10.46819
264
13
4
3
84
05
11.06999
265
59
5
4
52
03
11.66998
266
05
6
8
1
12.26807
267
51
9
9
51
27
12.86417
268
98
8
5
57
44
13.45817
269
44
7
5
99
44
14.05
270
9
2
7
88
99
14.63955
271
36
4.178443
9
8
43
74
15.22675
272
83
6
5
92
24
15.81149
273
29
3
7
74
94
16.3937
274
75
8
3
33
23
16.97329
275
21
3
4
25
4
17.55017
276
68
9
8
13
65
18.12425
277
14
1
9
68
12
18.69547
278
6
1
6
72
84
19.26372
279
07
5
4
13
78
19.82894
280
53
4
87
83
20.39104
281
99
3
2
78
20.94996
282
45
4.178023
2
1
66
38
21.5056
283
92
6
7
05
28
22.0579
284
38
7
6
47
06
22.60678
285
84
5
5
3
23
23.15217
286
3
4
3
97
24
23.69401
287
77
8
6
03
45
24.23221
288
23
4.177794
1
4
06
18
24.76672
289
69
8
8
75
65
25.29747
290
15
8
9
86
03
25.82439
291
62
8
7
19
45
26.34742
292
08
7
5
67
95
26.8665
293
54
4.177603
5
7
24
51
27.38156
294
2.565634
4
7
96
07
27.89256
295
47
6
9
93
49
28.39943
296
93
3
33
6
28.90211
297
39
1
7
41
16
29.40056
298
85
5
7
49
87
29.89471
299
32
4.177374
1
8
93
4
30.38453
300
78
7
19
36
30.86996
301
24
2
3
77
3
31.35094
302
71
4
9
25
75
31.82745
303
17
5
9
27
17
32.29942
Page 42 of 54
304
63
6
7
5
99
32.76682
305
09
1
7
72
59
33.22961
306
56
2
4
42
33
33.68774
307
02
5
4
3
51
34.14118
308
48
5
3
2
39
34.58988
309
94
9
98
21
35.03382
310
41
4.176954
6
4
07
17
35.47296
311
87
3
4
45
43
35.90726
312
33
2
2
61
13
36.3367
313
79
2
9
58
37
36.76124
314
26
6
8
91
23
37.18086
315
72
7
4
64
75
37.59552
316
18
8
1
31
96
38.00521
317
64
5
5
94
86
38.4099
318
11
3
4
04
41
38.80956
319
57
5
55
58
39.20417
320
03
4
8
89
3
39.59372
321
49
4.176534
3
4
92
47
39.97817
322
96
7
3
93
40.35753
323
42
7
8
62
76
40.73176
324
88
5
3
11
62
41.10086
325
34
4
3
92
43
41.46481
326
81
8
3
98
02
41.82359
327
27
1
56
22
42.1772
328
73
9
2
33
84
42.52562
329
2
9
9
31
69
42.86885
330
66
9
1
87
57
43.20688
331
12
7
9
72
26
43.53969
332
58
4.176114
3
6
88
55
43.86729
333
05
6
6
71
22
44.18967
334
51
4
86
03
44.50682
335
97
5
5
29
78
44.81874
336
43
6
8
23
22
45.12544
337
9
6
1
18
12
45.4269
338
36
3
92
25
45.72314
339
82
5
5
46
39
46.01414
340
28
8
09
31
46.29991
341
75
6
1
28
77
46.58047
342
21
8
3
75
57
46.8558
343
67
4.175694
4
42
48
47.12591
344
13
3
1
42
29
47.39081
345
6
9
3
05
8
47.65051
346
06
2
5
8
81
47.90501
347
52
7
3
12
48.15432
348
98
6
8
36
57
48.39845
349
45
5
2
93
97
48.6374
350
91
8
09
17
48.8712
351
37
7
1
02
01
49.09984
Page 43 of 54
352
84
4
8
05
35
49.32334
353
3
9
7
57
07
49.54172
354
76
4.175274
7
08
05
49.75498
355
22
8
1
48
18
49.96313
356
69
4
9
22
38
50.1662
357
15
9
5
91
58
50.3642
358
61
5
4
93
72
50.55714
359
07
6
3
99
75
50.74503
360
54
5
7
2.66953E-12
65
50.9279
361
7
6
-99
4
51.10575
362
46
9
-93
02
51.27862
363
92
5
23046.37
-91
52
51.44651
364
39
3
9
-22
96
51.60944
365
85
4.174854
1
-48
39
51.76743
366
31
7
9
-08
89
51.9205
367
77
2
3
-57
56
52.06867
368
24
4
8
-05
51
52.21196
369
7
4
5
-02
9
52.35039
370
16
5
4
-09
87
52.48397
371
62
8
7
-93
61
52.61274
372
09
7
7
-36
32
52.73671
373
55
4
9
-3
22
52.8559
374
01
5
9
-8
56
52.97034
375
47
4
3
-05
6
53.08004
376
94
4.174434
8
2
-42
62
53.18503
377
4
2
4
-42
96
53.28533
378
86
4
1
-75
92
53.38097
379
33
1
6
-28
88
53.47196
380
79
2
3
-09
22
53.55834
381
25
6
7
-46
33
53.64011
382
71
3
6
-92
65
53.71732
383
18
3
6
-18
63
53.78998
384
64
8
9
-23
74
53.85811
385
1
7
5
-29
49
53.92175
386
56
5
7
-86
4
53.98091
387
03
4.174014
3
7
-71
01
54.03562
388
49
6
1
-88
91
54.0859
389
95
4
6
-72
69
54.13178
390
41
7
9
-87
97
54.17329
391
88
9
-31
41
54.21044
392
34
7
9
-33
68
54.24327
393
8
4
8
-56
48
54.2718
394
26
9
1
-98
54
54.29605
395
73
5
2
-92
6
54.31606
396
19
1
7
-11
44
54.33184
397
65
2
4
-62
86
54.34342
398
11
4.173594
7
2
-93
7
54.35084
399
58
1
1
-92
8
54.3541
Page 44 of 54
400
04
4
2
-89
05
54.35325
401
5
9
-55
34
54.3483
402
97
9
7
-04
62
54.33928
403
43
5
-94
84
54.32622
404
89
6
7
-31
97
54.30914
405
35
7
5
-64
04
54.28807
406
82
6
5
-91
07
54.26303
407
28
4
7
-58
13
54.23406
408
74
9
6
-61
31
54.20117
409
2
4.173174
1
4
-45
71
54.1644
410
67
6
7
-07
48
54.12377
411
13
4
2
-98
78
54.0793
412
59
6
8
-2
8
54.03102
413
05
2
3
-3
76
53.97896
414
52
1
9
-42
91
53.92314
415
98
8
8
-72
5
53.8636
416
44
2
4
-5
84
53.80034
417
9
4
2
-27
25
53.73341
418
37
1
8
-25
07
53.66282
419
83
5449.494
-77
68
53.58861
420
29
4.172754
5
6
-19
47
53.51079
421
75
9
-93
86
53.42939
422
22
3
9
-49
31
53.34445
423
68
7
-41
29
53.25598
424
14
5
6
-33
3
53.16401
425
6
6
3
-93
86
53.06856
426
07
8
8
-96
53
52.96967
427
53
4
-24
88
52.86735
428
99
1
-67
51
52.76163
429
46
4
7
-19
05
52.65254
430
92
6
5
-86
16
52.5401
431
38
4.172334
7
8
-75
5
52.42434
432
84
3
-06
77
52.30528
433
31
-03
71
52.18294
434
77
7
3
-97
07
52.05736
435
23
6
-3
62
51.92855
436
69
8
1
-47
16
51.79654
437
16
7
8
-05
51
51.66136
438
62
4
-66
53
51.52302
439
08
5
4
-
09
51.38156
440
54
3
-87
09
51.237
441
01
5
8
-13
44
51.08936
442
47
4.171914
3
7
-72
1
50.93866
443
93
6
1
-68
04
50.78494
444
39
9
9
-13
25
50.62821
445
86
6
5
-25
74
50.46849
446
32
3
1
-33
57
50.30582
447
78
9
3
-74
78
50.14022
Page 45 of 54
448
24
5
5
-92
49
49.9717
449
71
7
6
-43
78
49.8003
450
17
2
3
-88
82
49.62603
451
63
1
7
-99
74
49.44892
452
1
9
9
-57
73
49.269
453
56
4.171494
-
5
9
-51
01
49.08627
454
02
-
6
3
-8
79
48.90078
455
48
-
4
-52
33
48.71254
456
95
-
9
8
-84
9
48.52157
457
41
-
3
2
-02
81
48.3279
458
87
-
6
5
-42
36
48.13155
459
33
-
9
6
-49
91
47.93254
460
8
-
4
5
-78
81
47.7309
461
26
-
2
5
-94
45
47.52664
462
72
-
7
8
-7
25
47.3198
463
18
-
8
-9
63
47.11038
464
65
4.171074
-
5
2
-49
05
46.89842
465
11
-
8
4
-48
98
46.68393
466
57
-
2
3
-02
92
46.46694
467
03
-
4
9
-35
39
46.24747
468
5
-
3
9
-8
93
46.02554
469
96
-
5
7
-8
11
45.80117
470
42
-
3
3
-91
5
45.57439
471
88
-
6
1
-75
71
45.34521
472
35
-
8
6
-07
38
45.11366
473
81
-
4
3
-74
14
44.87976
474
27
-
9
9
-69
67
44.64353
475
73
4.170654
-
3
2
-
65
44.40499
476
2
-
3
9
-82
81
44.16416
477
66
-
4
2
-44
87
43.92106
Page 46 of 54
478
12
-
7
1
-22
58
43.67571
479
59
-
1
8
-67
72
43.42814
480
05
-
2
6
-37
09
43.17837
481
51
-
1
9
-03
5
42.92641
482
97
-
2
3
-46
78
42.67228
483
44
-
1
4
-59
79
42.41601
484
9
-
4
8
-46
41
42.15762
485
36
-
4
4
-21
53
41.89712
486
82
4.170234
-
4
1
-1
08
41.63455
487
29
-
1
9
-49
99
41.36991
488
75
-
4
1
-88
21
41.10322
489
21
-
5
7
-85
72
40.83451
490
67
-
1
-12
53
40.5638
491
14
-
1
6
-5
64
40.29111
492
6
-
6
9
-94
09
40.01646
493
06
-
3
5
-48
95
39.73985
494
52
-
1
1
-3
28
39.46133
495
99
-
2
5
-69
18
39.1809
496
45
-
4
6
-03
76
38.89858
497
91
4.169814
-
6
3
-85
16
38.6144
498
37
-
3
7
-78
54
38.32837
499
84
-
2
-57
06
38.04052
500
3
-
7
4
-09
91
37.75085
501
76
-
2
1
-34
31
37.4594
502
23
-
7
-41
49
37.16618
503
69
-
3
6
-54
69
36.8712
504
15
-
2
4
-06
18
36.57449
Page 47 of 54
505
61
-
1
8
-45
24
36.27607
506
08
-
6
5
-29
19
35.97595
507
54
-
2
4
-28
34
35.67415
508
4.169394
-
5
2
-26
05
35.3707
509
46
-
7
2
-16
65
35.06561
510
93
-
7
2
-07
55
34.7589
511
39
-
6
5
-16
13
34.45058
512
85
-
1
3
-76
81
34.14068
513
31
-
5
9
-3
02
33.82921
514
78
4.169165
-
6
6
-33
22
33.5162
515
24
-
5
9
-54
87
33.20165
516
7
-
1
3
-74
47
32.8856
517
16
-
6
5
-85
52
32.56805
518
63
-
8
9
-91
54
32.24902
519
09
4.168974
-
4
5
-12
08
31.92854
520
55
-
-76
7
31.60662
521
01
-
1
3
-26
98
31.28328
522
48
-
3
2
-16
5
30.95853
523
94
-
4
8
-14
9
30.63239
524
4
-
2
-
78
30.30489
525
86
4.168745
-
5
-66
82
29.97603
526
33
-
3
8
-16
66
29.64585
527
79
-
7
5
-68
29.31434
528
25
-
2
8
-52
54
28.98154
529
72
-
9
-1
99
28.64745
530
18
4.168554
-
3
-96
1
28.3121
531
64
-
6
3
-79
61
27.97551
532
1
-
9
7
-39
29
27.63768
533
57
-
4
-67
94
27.29865
Page 48 of 54
3
534
03
-
2
8
-7
35
26.95842
535
49
-
9
-66
36
26.61701
536
95
4.168325
-
1
5
-84
79
26.27444
537
42
-
3
2
-68
52
25.93072
538
88
-
3
7
-74
4
25.58588
539
34
-
6
8
-7
33
25.23993
540
8
-
2
-38
22
24.89289
541
27
-
9
3
-7
98
24.54477
542
73
-
6
8
-74
57
24.19559
543
19
-
4
5
-68
94
23.84537
544
65
-
5
4
-84
07
23.49412
545
12
-
9
2
-66
93
23.14187
546
58
-
9
8
-7
56
22.78862
547
04
4.167905
-
9
6
-67
95
22.4344
548
5
-
2
4
-39
17
22.07922
549
97
-
4
3
-79
27
21.72309
550
43
-
8
-96
31
21.36604
551
89
-
6
6
-1
39
21.00809
552
36
-
-52
63
20.64923
553
82
-
3
-68
14
20.28951
554
28
-
5
3
-16
06
19.92892
555
74
-
4
1
-66
54
19.56749
556
21
-
7
-
78
19.20523
557
67
-
7
6
-14
94
18.84216
558
13
4.167485
-
5
8
-16
24
18.4783
559
59
-
5
7
-26
9
18.11366
560
06
-
9
6
-76
15
17.74825
561
52
-
2
-12
26
17.38211
Page 49 of 54
4
562
98
-
4
1
-91
48
17.01523
563
44
-
6
4
-85
12
16.64764
564
91
-
7
3
-74
47
16.27935
565
37
-
5
-54
84
15.91038
566
83
-
1
-33
59
15.54074
567
29
-
2
3
-3
04
15.17046
568
76
-
3
-76
59
14.79954
569
22
4.167065
-
8
-16
59
14.42801
570
68
-
7
6
-07
47
14.05587
571
14
-
1
2
-16
62
13.68315
572
61
-
5
9
-26
49
13.30987
573
07
-
4
2
-28
51
12.93602
574
53
-
4
3
-29
16
12.56165
575
99
-
3
3
-45
9
12.18675
576
46
-
9
6
-06
25
11.81134
577
92
-
1
3
-54
7
11.43545
578
38
-
8
9
-41
78
11.05908
579
85
-
3
-
-34
03
10.68226
580
31
4.166645
-
6
-
-09
02
10.30499
581
77
-
1
-
-57
32
9.927297
582
23
-
2
-
-78
51
9.549193
583
7
-
4
-962.6105
-85
21
9.170696
584
16
-
1
-
-03
03
8.791819
585
62
-
2
-
-69
61
8.41258
586
08
-
3
-
-3
6
8.032994
587
55
-
4
-
-48
68
7.653076
588
01
-
5
-
-94
52
7.272842
Page 50 of 54
589
47
-
5
-
-5
83
6.892308
590
93
-
7
-
-12
32
6.51149
591
4
4.166225
-
3
-
-85
72
6.130404
592
86
-
8
-
-88
79
5.749064
593
32
-
5
-
-49
27
5.367487
594
78
-
-
-1
96
4.985688
595
25
-
1
-
-21
64
4.603683
596
71
-
5
-
-46
13
4.221488
597
17
-
-
-59
25
3.839118
598
63
-
7
-
-46
84
3.456589
599
1
-
5
-
-03
76
3.073917
600
56
-
8
-
-37
87
2.691117
601
02
-
8
-
-67
08
2.308204
602
49
4.165805
-
8
-
-22
27
1.925195
603
95
-
4
-
-44
38
1.542105
604
41
-
2
-
-82
33
1.15895
605
87
-
8
-
-
07
0.775745
606
34
-
1
-
-69
58
0.392506
607
8
-
9
-
-74
83
0.009248
608
26
-
3
-
-07
81
-0.37401
609
72
-
4
-
-75
55
-0.75726
610
19
-
4
-
-91
07
-1.14048
611
65
-
6
-
-8
41
-1.52366
612
11
-
6
-
-8
64
-1.90677
613
57
4.165385
-
7
-
-35
83
-2.28981
614
04
-
7
-
-02
06
-2.67277
615
5
-
3
-
-48
45
-3.05561
616
96
-
-7731.46
-49
12
-3.43833
Page 51 of 54
4
617
42
-
8
-
-9
2
-3.82092
618
89
-
8
-
-7
85
-4.20335
619
35
-
5
-
-94
24
-4.58561
620
81
-
1
-
-78
55
-4.96769
621
27
-
1
-
-49
99
-5.34957
622
74
-
9
-
-42
76
-5.73123
623
2
-
2
-
-02
1
-6.11266
624
66
4.164965
-
7
-
-84
25
-6.49384
625
12
-
1
-
-52
49
-6.87477
626
59
-
4
-
-8
08
-7.25541
627
05
-
7
-
-51
32
-7.63576
628
51
-
1
-
-57
53
-8.01579
629
98
-
9
-
-99
02
-8.39551
630
44
-
3
-
-88
14
-8.77488
631
9
-
-
-43
25
-9.15389
632
36
-
3
-
-92
72
-9.53253
633
83
-
1
-
-74
93
-9.91079
634
29
-
2
-11188.03
-33
3
-10.2886
635
75
4.164545
-
3
-
-25
24
-10.6661
636
21
-
6
-
-13
18
-11.0431
637
68
-
2
-
-68
59
-11.4196
638
14
-
2
-
-72
92
-11.7957
639
6
-
-
-13
66
-12.1713
640
06
-
-
-87
32
-12.5463
641
53
-
9
-
-
4
-12.9209
642
99
-
2
-
-66
44
-13.295
643
45
-
7
-12818.05
-05
98
-13.6685
644
91
-
-
-47
59
-14.0414
Page 52 of 54
3
645
38
-
-
-3
84
-14.4137
646
84
4.164125
-
8
-
-97
34
-14.7855
647
3
-
-
-03
69
-15.1567
648
76
-
8
-
-06
52
-15.5272
649
23
-
7
-
-75
47
-15.897
650
69
-
2
-
-86
21
-16.2663
651
15
-
9
-
-19
4
-16.6348
652
62
-
5
-
-67
74
-17.0027
653
08
-
9
-
-24
94
-17.3698
654
54
-
1
-
-96
72
-17.7362
655
-
-
-93
82
-18.1019
656
47
-
9
-
-33
99
-18.4668
657
93
4.163705
-
9
-
-41
02
-18.831
658
39
-
6
-
-49
68
-19.1943
659
85
-
3
-
-93
79
-19.5569
660
32
-
7
-
-19
16
-19.9186
661
78
-
4
-
-77
63
-20.2795
662
24
-
3
-
-25
06
-20.6396
663
7
-
2
-
-27
32
-20.9987
664
17
-
1
-
-5
29
-21.357
665
63
-
2
-
-72
88
-21.7144
666
09
-
7
-
-42
01
-22.0709
667
55
-
8
-
-3
61
-22.4264
668
02
4.163285
-
1
-
-2
64
-22.781
669
48
-
1
-
-98
07
-23.1346
670
94
-
3
-
-07
88
-23.4872
671
4
-
6
-17342.37
-45
08
-23.8388
672
87
-
-
-61
69
-24.1894
Page 53 of 54
7
673
33
-
6
-
-58
74
-24.5389
674
79
-
4
-
-91
29
-24.8874
675
25
-
2
-
-64
41
-25.2349
676
72
-
2
-
-31
19
-25.5812
677
18
-
8
-
-94
73
-25.9265
678
64
-
5
-
-04
15
-26.2706
679
11
4.162865
-
8
-
-55
58
-26.6136
680
57
-
4
-
-89
2
-26.9554
681
03
-
-
-92
16
-27.296
682
49
-
4
-
-93
66
-27.6355
683
96
-
7
-
-62
9
-27.9738
684
42
-
9
-
-11
11
-28.3108
685
88
-
1
-
-92
53
-28.6466
686
34
-
6
-
-98
42
-28.9811
687
81
-
7
-
-56
06
-29.3144
688
27
-
9
-
-33
73
-29.6463
689
73
-
8
-
-31
75
-29.977
690
19
4.162445
-
9
-
-87
44
-30.3063
691
66
-
-
-72
16
-30.6343
692
12
-
-
-88
27
-30.9609
693
58
-
7
-
-71
14
-31.2861
694
04
-
3
-
-86
18
-31.61
695
51
-
7
-20411.36
-29
8
-31.9324
696
97
-
3
-
-23
45
-32.2534
697
43
-
3
-
-18
56
-32.5729
698
89
-
1
-
-92
61
-32.8909
699
36
-
3
-
-46
1
-33.2075
700
82
-
-
-09
52
-33.5226
Page 54 of 54
4
701
28
4.162025
-
1
-
-28
4
-33.8361
702
75
-
1
-
-75
29
-34.1481
703
21
-
4
-
-42
74
-34.4585
704
67
-
9
-
-42
33
-34.7674
705
13
-
5
-
-05
67
-35.0747
706
6
-
5
-
-8
36
-35.3803
707
06
-
1
-
-3
05
-35.6843
708
52
-
5
-21709.75
-36
38
-35.9867
709
98
-
2
-
-93
04
-36.2873
710
45
-
6
-
-09
7
-36.5863
711
91
-
3
-
-02
07
-36.8836
712
37
4.161605
-
-
-05
9
-37.1792
713
83
-
4
-
-57
91
-37.473
714
3
-
4
-
-08
89
-37.765
715
76
-
7
-
-48
6
-38.0553
716
22
-
5
-
-22
87
-38.3437
717
68
-
8
-
-91
5
-38.6304
718
15
-
7
-
-93
35
-38.9152
719
61
-
6
-22591.95
-99
27
-39.1981
720
07
-
6
-
-5.33906E-12
14
-39.4791