Studiekompasset.dkKlasse: HHX 3. år · Fag: Dansk A, Matematik A, SOP
Studieretningsprojekt
Det gyldne snit
2012
1
Abstract
This project investigates the golden section in the mathematical aspect and its use in paintings. It
provides an explanation of the Fibonacci sequence, in which each element is equal to the sum of
the two preceding numbers, in order to identify the coherence between the sequence and the
golden ratio. To this purpose, a number of mathematical proofs are drawn up. Afterwards the
project focuses on the Danish artist Kurt Trampedach and his works. Through an analysis of three
of his paintings, the project determines whether he has been using the golden section as a
compositional principle or not. In continuation of this, the using of the golden section in picture
analysis in general is to be considered.
The study indicates that there is a significant relationship between the golden section and the
numeric value , which is calculated by

. Additionally it is shown that the numeric value has
some admirable mathematical functions, among them when the golden ratio on a line segment is
to be determined.
The study also points to a coherence between the golden section and the Fibonacci sequence.
Through various calculations it is shown that the ratios of successive Fibonacci numbers are
convergent to the numerical value , thus it is also related to the golden ratio.
Through an interpretation of the works of Kurt Trampedach it is ultimately shown how he uses the
golden section as a compositional principle in order to emphasize meaningful elements in his
pictures.
2
Indholdsfortegnelse
Indledning .................................................................................................................................................................. 3
Det gyldne snit ........................................................................................................................................................... 3
Teorien bag ............................................................................................................................................................ 4
Definition og egenskaber ...................................................................................................................................... 5
Det gyldne snit – en kort sammenfatning ............................................................................................................. 8
Fibonaccifølgen .......................................................................................................................................................... 9
Liber abaci – en praktisk problemstilling ............................................................................................................... 9
Definition ............................................................................................................................................................. 10
Sammenhængen mellem og Fibonaccifølgen ................................................................................................. 11
Binets formel ....................................................................................................................................................... 13
Fibonaccifølgen – en kort sammenfatning .......................................................................................................... 16
Kurt Trampedach ..................................................................................................................................................... 16
Det første selvportræt ............................................................................................................................................. 17
Frigørelsen af baggrunden .................................................................................................................................. 18
Det gyldne snit i værket ....................................................................................................................................... 19
Et kig mod fremtiden ........................................................................................................................................... 20
Trampedachs frie fald .............................................................................................................................................. 20
Det, der kommer indefra, kan jeg ikke holde ude ................................................................................................... 21
Et selvportræt af en anden .................................................................................................................................. 22
Det illusionistiske rum bliver brudt ..................................................................................................................... 23
Det gyldne snit i værket ....................................................................................................................................... 23
Den depressive Medusa ...................................................................................................................................... 24
En ny start ................................................................................................................................................................ 25
Flugten til Amerika................................................................................................................................................... 26
Den lille maler ...................................................................................................................................................... 27
Et nyt farvespekter .............................................................................................................................................. 28
Det gyldne snit i værket ....................................................................................................................................... 29
Tre perioder – én helingsproces .......................................................................................................................... 30
Kurt Trampedach – en kort sammenfatning ........................................................................................................... 31
Det gyldne snits anvendelighed ............................................................................................................................... 31
Konklusion ............................................................................................................................................................... 32
3
Indledning
Det gyldne snit er igennem adskillige århundreder blevet anvendt i såvel kunst som i arkitektur, da
det af mange betragtes som den ideelle måde at komponere et værk. Da man fik kendskab til det
gyldne snit som en talværdi forårsagede det en enorm omvæltning i de græske matematikeres
verdensbillede, da de aldrig før havde stået ansigt til ansigt med en aldrig afsluttet, aldrig
gentagende decimaludvikling. Enkelte gik endda så vidt at give det navnet ”det guddommelige
snit”.
Spørgsmålet er så, hvor meget sandhed der ligger i alt dette. Er det gyldne snit virkelig den ideelle
måde at komponere kunst og arkitektur? Er det gyldne snit, matematisk betragtet, så vigtigt et
forhold, at det var i stand til at skabe en omvæltning i matematikernes verdensbillede? Er der i det
hele taget noget guddommeligt over det? Dette vil blive undersøgt i følgende opgave, hvor
matematiske beregninger og gennemgående billedanalyser tjener til en større forståelse af det
gyldne snit i sin helhed.
I det følgende vil der matematisk blive redegjort for det gyldne snit. Derefter vil der blive gjort
rede for Fibonaccifølgen med henblik på at identificere sammenhængen mellem denne og det
gyldne snit. Til dette formål vil der blive udarbejdet en række centrale beviser i forbindelse med
Fibonaccifølgen. Herefter vil opgaven fokusere tre malerier af Kurt Trampedach, hvori hans brug af
det gyldne snit som kompositorisk princip vil blive fremdraget med henblik på en nærmere
analyse. Slutteligt vil det gyldne snits anvendelighed i forbindelse med billedanalyse generelt blive
vurderet, og i forlængelse heraf vil der blive taget stilling til dets anvendelse i forbindelse med Kurt
Trampedachs værker.
4
Det gyldne snit
Når der tales om det gyldne snit, er der ikke altid skelnet imellem, hvorvidt det er
- en måde at dele et linjestykke på
- nogle linjer/snit i en billedflade
- en form på et rektangel
- et tal
1
Uagtet hvilken af disse opfattelser, man ønsker at bestemme, kan man i dag regne sig frem til det
ved hjælp af formler. Dog har det gyldne snit optrådt i såvel kunst og arkitektur som i naturen,
længe før man var bekendt med det som et egentligt fænomen. Vi vil sande, at det gyldne snit er
kendetegnet ved ikke alene at have nogle beundringsværdige matematiske funktioner, men
deslige påstås at have en række særlige, harmoniske kvaliteter i billedkomposition og naturen
2
.
Teorien bag
Normalvis tilskrives det gyldne snit grækerne. En anekdote
3
fortæller, at Eudoxos (420-355 f. Kr.),
der var matematiker og elev af Platon, en gang gik rundt med en stok i hånden og bad
forbipasserende om at sætte et mærke i stokken på det sted, hvor de mente, at den blev delt på
den mest harmoniske måde. Efter tilblivelsen af tilpas mange mærker på stokken skulle det vise
sig, at de samlede sig om ét punkt – nemlig det, der senere blev kendt som det gyldne snit.
Selve betegnelsen ”det gyldne snit” antages dog først benyttet i 1835 af den tyske matematiker
Martin Ohm, der angiveligt skulle have blandet begreberne ”regula aurera” (den gyldne regel) og
”secho devina” (guddommeligt snit)
4
. Ikke desto mindre er begrebet i dag kendt som ’det gyldne
snit’ i Tyskland og Norden, medens det andre steder kaldes ’den guddommelige brøk’
5
.
1
Frandsen, Jesper: De(t) gyldne snit, p. 7
2
Livio, Mario: Det gyldne snit, p. 8
3
Frandsen, Jesper: De(t) gyldne snit, p. 7
4
Frandsen, Jesper: De(t) gyldne snit, p. 8
5
Frandsen, Jesper: De(t) gyldne snit, p. 8
5
Definition og egenskaber
Vi indleder med en definition af det gyldne snit:
Definition
6
Hvis det om linjestykket AB på figur 1 gælder, at det er delt af punktet C, så
+
=
siges C at dele linjestykket AB i det gyldne snit
Hvilket lidt mere populært udtrykkes således:
hele linjestykket
det største stykke
=
det største stykke
det mindste stykke
Hvis vi antager, at = 8,09 cm, = 5 cm og + = 13,09 cm, så bliver brøkerne
+
=
13,09
8,09
= 1,618 og
=
8,09
5
= 1,618
I dette tilfælde deler C altså linjestykket AB i det gyldne snit, jf. definitionen.
Det forekomne tal noteres ved (phi), hvilket angiveligt skyldes, at den græske billedhugger
Phidias hyppigt gjorde brug af det gyldne snit i sine skulpturer
7
. Tallet udregnes som følger:
󰡆 =
1
2
(1 +
5)
Det er derfor rimeligt at antage følgende:
6
Frandsen, Jesper: De(t) gyldne snit, p. 8
7
Frandsen, Jesper: De(t) gyldne snit, p. 10
6
Sætning 1
8
C deler linjestykket AB, se fig. 3, netop når
=
±
Med udgangspunkt i definitionen er det givet, at
+
=
 +
=

= 0
Eftersom vi hverken skal bestemme a eller b, men derimod forholdet
, isolerer vi først
,
hvorefter vi multiplicerer udtrykket med 4:

= 0
 =
4
4 = 4
Ved at addere
på begge sider af lighedstegnet kan vi omskrive udtrykket til en kvadratsætning:
4
4 +
= 4
+
(
2
)
= 5
Vi vil nu isolere a, til hvilket formål vi først finder kvadratroden. Dernæst subtraherer vi med b på
begge sider, for til sidst at dividere udtrykket med 2:
(
2
)
= 5
2 =
5
2 = +
5
=
+ 5
2
Vi ønsker nu at kunne sætte b uden for parentes, men for at kunne gøre dette, skal vi først
eliminere b i radikanden:
=
+ 5
2
=
+
5
2
=
(
5 + 1)
2
Idet det er forholdet
, vi tilstræber at finde, divideres udtrykket slutteligt med b:
8
Frandsen, Jesper: De(t) gyldne snit, p. 9
7
=
1 +
5
2
= 1,618034 =
Hermed er det bevist, at såfremt punktet C deler linjestykket AB i det gyldne snit, da vil forholdet
mellem det længste linjestykke og det korteste linjestykke være lig =

= 1,618034.
Bemærk i øvrigt, at da
=

, er iflg. definitionen

=

Vi vil nu bestemme det reciprokke forhold
, og får
=

=
5 1
2
= 0,618034
Ved dette resultat er det værd at bemærke, at når der er tale om et gyldent snit, er decimalerne i
og
identiske, eller mere præcist, at
1 =
Vi vil nu undersøge, hvorvidt der er andre tal, der opfylder dette, og vi sætter derfor =
:
1 =
1
I ligningen ønsker vi at isolere x. Dette gøres ved først at multiplicere udtrykket med x, for derefter
at subtrahere 1 på begge sider. Udtrykket vil da være reduceret til en enkel andengradsligning:
1 =
1
= 1
1 = 0 =
1 ±
5
2
Løsningerne til ligningen kommer altså til udtryk ved og , som er indikeret ved:
=

= 1,168034 og
󰆒
=

= 0,618034
8
Ud fra ovenstående kan vi altså ikke alene konkludere, at og  er de eneste tal med den
egenskab, at man kan subtrahere 1 og få det reciprokke tal. Vi kan også konkludere, at kun og 
er løsninger til ligningen på formen
1 = 0. Det bliver ligeledes bekræftet ved brug af et
CAS-værktøj:
Idet
= er linjerne i figur 4
9
iflg. sætning 1 begge delt i det gyldne snit, eftersom den korte del
er anbringelig i begge ender:
Ved hjælp af scenariet på figuren kan vi beregne, hvor langt inde på et linjestykke det gyldne snit
ligger. Dette er således svarende til den brøkdel, 1 udgør af hele linjestykkets længde, nemlig +
1:
1
+ 1
=
1
2,6180
= 0,382 38 %
Det gør sig således gældende, at et linjestykkes gyldne snit ligger 38 % inde på linjestykket.
Det gyldne snit – en kort sammenfatning
Vi har set, at der er en klar forbindelse mellem den harmoniske inddeling af et linjestykke og tallet
, som et givet ved =

= 1,618034. Samtidig er vi nu bekendt med det faktum, at tallet
besidder nogle beundringsværdige matematiske funktioner, både når det kommer til at
identificere det reciprokke tal , og når vi skal fastlægge det gyldne snit på et linjestykke.
9
Frandsen, Jesper: De(t) gyldne snit, p. 11
9
Fibonaccifølgen
De såkaldte Fibonaccital kommer fra den italienske matematiker og handelsmand Leonardo da
Pisa, som opdagede talrækken. Dog var han bedst kendt under navnet Leonardo Fibonacci, som
betyder ”søn af Bonacci” eller ”godmodigheds søn”
10
, og den betegnelse vil vi fremover gøre brug
af. Fibonacci skrev i 1202 bogen Liber abaci, i hvilken han introducerede arabertallene og
decimalsystemet
11
. Han menes endvidere at have indført brøkstregen
12
.
Liber abaci – en praktisk problemstilling
Det omfattende værk Liber abaci på 459 sider var inddelt i 15 kapitler, og var i høj grad henvendt
til mennesker, der skulle udføre praktiske beregninger
13
. Værket indeholder således en række
praktiske problemstillinger og de dertilhørende løsninger. Problemstillingen omhandlende
kaninavl, der senere skulle vise sig at danne baggrund for Fibonaccifølgen, lyder som følger:
”En kaninbestand består fra begyndelsen af et kønsmodent par. Hvert kønsmodent par føder et
nyt par hver måned, og kaninerne bliver kønsmodne en måned efter fødslen. Hvordan vokser
antallet af kaninpar efterhånden som månederne går?”
14
Vi illustrerer problemstillingen i følgende tabel:
Måned nr.
Kaninpar
Nye par
Par i alt
0
0
1
1
1
2
2
1
3
3
2
5
4
3
8
5
5
13
.
.
.
.
.
.
10
Livio, Mario: Det gyldne snit, p. 81
11
Frandsen, Jesper: De(t) gyldne snit, p. 92
12
Frandsen, Jesper: De(t) gyldne snit, p. 92
13
Frandsen, Jesper: De(t) gyldne snit, p. 92
14
Frandsen, Jesper: De(t) gyldne snit, p. 92
10
Vi noterer os, at kolonnen ”nye par” efter den første måned vokser med talrækken 1 - 1 - 2 - 3 - 5,
for hvilken det gælder, at ethvert tal i rækken er summen af de to foregående. Det er denne følge
af tal, der kaldes Fibonaccifølgen, medens de enkelte tal kaldes for Fibonaccital. Om end
illustrationen kun går til 5. måned
15
, udvikler talrækken sig efterfølgende efter samme princip.
Definition
Vi indleder med en definition af Fibonaccifølgen:
Definition
16
Ved Fibonaccifølgen forstås den følge af tal
,
,
, … ,
, … , hvor
=
= , og det for
>
gælder, at

=

+
kaldes det n’te Fibonaccital
Talrækken kaldes for en rekursiv talfølge, idet et ethvert element der optræder i talfølgen er udtrykt ved de
foregående elementer.
Om end ovenstående måde at frembringe Fibonaccitallene er den historisk korrekte
17
, er den ikke
videre kompatibel med bestemmelsen af populationers udvikling, idet der ikke tages højde for
fejlkilder så som degeneration, forurening og mangel på føde mm. Fibonaccifølgen menes ikke kun
at være brugbar i forhold til populationers udvikling, men også i forbindelse med eksempelvis
elementer i naturen og lysstråleoptik
18
.
15
I værket Liber abaci er problemstillingen angivet for de første 12 måneder
16
Frandsen, Jesper: De(t) gyldne snit, p. 93
17
Frandsen, Jesper: De(t) gyldne snit, p. 93
18
Livio, Mario: Det gyldne snit, p. 85
11
Sammenhængen mellem og Fibonaccifølgen
I afsnittet om det gyldne snit definerede vi talværdien af det gyldne snit , og vi vil nu undersøge,
om der er en sammenhæng mellem denne og Fibonaccifølgen. Indledningsvis vil vi betragte
Fibonaccifølgen
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …,
Efterfølgende tager vi i rækkefølge Fibonaccitallene og dividerer med det nærmest foregående
element i talfølgen. Som det ses i følgende tabel, konvergerer forholdet mellem to på hinanden
følgende Fibonaccital mod værdien af :
n
1
1
2
1
3
2
4
3
5
5
6
8
7
13
8
21
9
34
10
55
11
89
12
144
13
233
14
377
15
610
12
Som et kuriosum kan det nævnes, at


=


= 1,87, hvilket
stemmer overens med de første 10 decimaler i
19
.
synes altså at figurere som grænseværdien, hvilket også fremgår af følgende sætning:
Sætning 1
20
Idet
er det n’te Fibonaccital, gælder det, at

for
Eftersom > 1 og 1 <  < 0 gør følgende sig gældende:
for og 
0 for
Dette giver følgende grænseværdier:
lim



= 0 og lim




= 0
Jf. forudgående definitioner kan vi omskrive ovenstående til følgende udtryk, der herefter
reduceres ved hjælp af den basale viden, at to identiske faktorer i henholdsvis tælleren og
nævneren udligner hinanden:

=
1
5
(
󰆒
)
1
5
(

󰆒

)
=




=


1



Vi vil nu substituere det sidste udtryk med de fundne grænseværdier:

0
1 0
for
19
Livio, Mario: Det gyldne snit, p. 72
20
Frandsen, Jesper: De(t) gyldne snit, p. 96
13

1
for

for
Og det ønskede er hermed vist.
Det kan heraf konkluderes, at der er en klar sammenhæng mellem talværdien for og
Fibonaccifølgen – nemlig at forholdet mellem to på hinanden følgende tal konvergerer mod , jo
længere frem vi kommer i talrækken.
Binets formel
Når vi skal bestemme et givent Fibonaccital i talrækken, eksempelvis

, kan dette gøres på to
måder. Man kan vælge at gøre det rekursivt ved den metode, vi fandt i definitionen for
Fibonaccifølgen, som en smule omskrevet lyder:
=

+

. Her manifesterer problemet
sig ved, at vi som udgangspunkt heller ikke kender

eller

, hvorfor den rekursive metode
ikke er til megen nytte.
Der er der også en anden metode, hvori man tager Binets formel i anvendelse. Med denne kan
man bestemme det n’te Fibonaccital, og den lyder som følger:
=
1
5
[(
1 +
5
2
)
(
1
5
2
)
]
21
Formlen kan bevises direkte ved brugen af induktion, men vi vil gøre det under anvendelse af en
hjælpesætning. Idégrundlaget til denne sætning får vi ved at udtrykke
:
= + 1
= 2 + 1
= 3 + 2
21
Frandsen, Jesper: De(t) gyldne snit, p. 95
14
= 5 + 3
= 8 + 5
Det er givet, at alle koefficienter i udtrykkene for
er nabo-Fibonaccital
22
, og netop dette danner
grundlaget for den hjælpesætning, vi vil gøre brug af. Den samme sammenhæng gør sig gældende
for , og da vi i afsnittet om det gyldne snit fandt, at kun og  er løsninger til ligningen
=
+ 1, formuleres hjælpesætningen således:
Sætning 1
23
Når
= + , og
er det n’te Fibonaccital, gælder det for > , at
=
+

Vi ønsker at lave et induktionsbevis, hvori vi antager at udsagnet er sandt for alle naturlige tal. For
= 2, som er begyndelsesværdien, er sætningen sand, fordi
=
+
= + 1
For = 3 får vi
=
=
(
+ 1
)
=
+ = + 1 + = 2 + 1 =
+
Vi antager nu, at formlen er sand for . Således antager vi også, at
=
+

Vi vil nu udregne formlen for + 1:

=
=
(
+

)
=
+

=
(
+ 1
)
+

= (
+

) +
=

+
Formlen gør sig således også gældende for + 1.
22
Frandsen, Jesper: De(t) gyldne snit, p. 116
23
Frandsen, Jesper: De(t) gyldne snit, p. 116
15
Vi vender nu for en stund tilbage til Binets formel, der jo lød:
=
1
5
[(
1 +
5
2
)
(
1
5
2
)
]
Rødderne i ligningen
= + 1, som vi fandt i afsnittet om det gyldne snit var og , betegner
vi med u og v, således at
=
1 +
5
2
og =
1
5
2
Efter sætning 1 gælder så, at
=
+

og
=
+

Vi trækker den sidste ligning fra den første og får så
=
+

+

=
=
( )
Det reducerede udtryk omskriver vi nu til følgende:
=
Idet vi ved, at =


=
5, får vi så
=
5
=
1
5
(
)
Slutteligt erstatter vi u og v med deres oprindelige værdier og får
=
1
5
[(
1 +
5
2
)
(
1
5
2
)
]
Og det ønskede er hermed vist.
Vi kan notere os, at da 1 <
󰆒
< 0, vil det sidste led i Binets formel være stort set ubetydeligt for
bestemmelsen af det n’te Fibonaccital. Fibonaccifølgens n’te led fås derfor med god tilnærmelse
ved formen
16
1
5
(
1 +
5
2
)
=
1
5
Vi kan altså slutte, at Fibonaccifølgen udvikler sig efter en eksponentiel udvikling, som lyder
(
)
=
1
5
0,4472 1,6180
Ud fra vores kendskab til fremskrivningsfaktoren = 1,6180 kan det altså ses, at hvert led i
Fibonaccifølgen er cirka 62 % større end det foregående
24
.
Fibonaccifølgen – en kort sammenfatning
Vi har set, at Fibonaccifølgen er – om ikke fuldstændig, så delvist – anvendelig, når det kommer til
at beskrive fænomener i naturen, herunder eksempelvis hvad angår populationers udvikling.
Endvidere kan vi konstatere, at Fibonaccifølgen er garant for nogle overraskelser af matematisk
karakter, blandt andet idet at forholdet mellem to på hinanden følgende tal konvergerer mod , jo
længere frem vi kommer i talrækken, og vi kan således også identificere en sammenhæng mellem
talrækken og .
I det følgende vil jeg se nærmere på tre værker af danske Kurt Trampedach. Gennemgående vil jeg
fremdrage hans brug af det gyldne snit i forbindelse med betydningsbærende elementer, dette
med henblik på at klargøre et given holdning, Trampedach ønsker at udtrykke.
Kurt Trampedach
Kurt Trampedach er en dansk maler, grafiker og skulptør, der er født i 1943 i Hillerød. I sine
billeder har han alle dage taget udgangspunkt i sin egen psyke, i sit eget sind og – ikke mindst – i
sit eget fysiognomi
25
. I tilfældet Kurt Trampedach lader værk og liv sig altså ikke skille ad, hvorfor
der er tale om en række figurationer med en rød tråd gennem dem – en livslinje, så at sige. Han fik
24
For en eksponentiel regression og dertilhørende graf, se da bilag 1 og 2
25
Wivel, Mikael: Kurt Trampedach, p. 8
17
sit første værk antaget i 1962 på Kunstnerens Efterårsudstilling
26
, og dette skulle vise sig at blive
begyndelsen på en lang karriere på både godt og ondt.
Det første selvportræt
Det føromtalte værk, der cementerede Kurt Trampedachs debut på den danske kunstnerscene, er
et selvportræt af 1962. Maleriet er sammensat af olie på lærred, og det har en størrelse på 23
23 cm
27
.
26
Wivel, Mikael: Kurt Trampedach, p. 301
27
Wivel, Mikael: Kurt Trampedach, fig. 1 p 37
18
Et gennemborende blik
Genren af maleriet er selvsagt et portrætmaleri. Der er tale om et figurativt billede med
Trampedachs eget fysiognomi i fokus. Trampedach beskæftigede sig udelukkende med sig selv og
den verden, han havde bygget op omkring sig
28
, og da motivet efter alt at dømme befinder sig
indendørs, er det ikke utænkeligt, at der er tale om Trampedachs egen, mørke stue.
Idet Kurt Trampedach som nævnt ligeledes tog sit udgangspunkt i sindet og psyken, er det
nærliggende at kigge nærmere på de nonverbale tegn, motivet udsender, da disse menes at spille
en central rolle hvad angår fysiognomik. Såvel gestik som positur udebliver i sagens natur fra
billedet grundet beskæringen, men mimikken er til gengæld uundgåelig at kaste sine øjne på.
Motivets stålsatte, gennemborende blik efterlader unægtelig et spørgsmål om, hvad motivet
beskuer. Det lukkede ansigtsudtryk, der ingen følelser lækker overhovedet, synes ikke at besvare
dette spørgsmål. Tværtimod vækker det en vis nysgerrighed omkring motivet, og vi som beskuere
fristes nu endvidere til at spørge: ”Hvem er denne mand?”
Frigørelsen af baggrunden
Hvad angår dybdekompositionen i billedet, så kommer rummet i billedet til udtryk ved repoussoir
og den overlapning, der udgøres af motivet og væggen bagved. Af billedet fremgår det tydeligt, at
Trampedach hverken har gjort brug af farvekontraster eller linearperspektiv som rumskabende
virkemidler. Netop denne mangel på farvekontraster gør, at motivet går en anelse i ét med
baggrunden. Dette efterlader et indtryk af, at motivet netop er ved at vriste sig fri af denne.
Farverne i billedet befinder sig utvivlsomt på den dunkle skala, hvor det i høj grad er
jordfarverne, der dominerer. Trampedachs anvendelse af meget ens farver giver billedet et præg
af ro og harmoni, og dette sammenholdt med den lave dybdeskarphed øger fokus på motivet.
Det er tydeligt, at der ikke er nogen linjer, som dominerer i billedfladen. På den baggrund kan
man således hverken erklære billedet for statisk eller dynamisk præget. Symmetrien omkring
28
Wivel, Mikael: Kurt Trampedach, p. 26
19
billedets midterakse og billedets beskæring antyder dog, på lige fod med anvendelsen af farverne,
en vis ro i billedet.
Det gyldne snit i værket
Som et led i analysen af fladekompositionen vil jeg nu undersøge, hvorvidt det gyldne snit er en
del af det kompositoriske princip. Først indsættes de gyldne snit i værket:
Efter tilblivelsen af de gyldne snit ses det hurtigt, at de fire brændpunkter alle er at finde i
motivets ansigt. Dog skiller et af dem sig ud – nemlig det, som er udgjort af det højre lodrette og
det øverste vandrette gyldne snit. Her ses det, at motivets næseryg næsten følger den højre
lodrette linje, samtidig med at øjnene tilnærmelsesvis ligger på den øverste horisontale linje.
20
Således er det gyldne snit opfyldt i to retninger, og derfor er det også helt naturligt dette punkt,
beskueren retter sin opmærksomhed mod.
Der kan altså ikke herske nogen tvivl om, at det føromtalte stålfaste blik spiller en central rolle og
er et vigtigt element i billedet.
Et kig mod fremtiden
Som nævnt lader Kurt Trampedach ikke sine værker og sit liv skille ad, hvorfor hans malerier
figurerer som et middel til selvudfoldelse. Et givent budskab hænger således uløseligt sammen
med den sindstilstand, han har befundet sig i under udarbejdelsen af maleriet.
Som det allerede er blevet benævnt, cementerede dette værk Kurt Trampedachs indtræden på
den danske kunstnerscene. Han var på dette tidspunkt blot 19 år og havde hele livet og karrieren
foran sig. Denne sindsro, han har befundet sig i på pågældende tidspunkt, har således sat sine spor
på selvportrættet, der må siges at være meget statisk præget og indbegrebet af harmoni.
Manglen på farvekontraster i billedet giver det indtryk, at motivet, Trampedach selv, er ved at
vriste sig fri af baggrunden og ud i lyset – eller, forstået på en anden måde, ved at markere sin
indtræden på den danske kunstnerscene. Og netop dette indtryk giver anledning til at besvare
spørgsmålet om, hvad det stærke blik i maleriet kigger på: Fremtiden.
Trampedachs frie fald
Kurt Trampedachs karriere fik en flyvende start, og hans værker var snart repræsenteret i stor til i
de danske museer – og endnu større i de danske hjem. Også i det private så han ud til at have
fundet lykken, da han havde giftet sig med Annette Aller, fået to søde børn og købt en ejendom på
strandvejen, hvor der var rigeligt med plads til at udfolde sin kreativitet
29
.
29
Wivel, Mikael: Kurt Trampedach, p. 100
21
Lykken varede dog ikke ved. I takt med at han var blevet trukket ind i et mondænt miljø, blev
afstanden til hans egen oprindelse for stor. Dette effektuerede således kvaliteten af hans malerier
og blev ligeledes begyndelsen på hans alkoholmisbrug
30
. Ægteskabet med Annette begyndte at
smuldre, og han var faret vil i sin egen motivverden. Da han til sidst følte, at det ikke længere var
besværet værd, pakkede han kufferterne og drog mod Baskerlandet, hvor han indlogerede sig i et
afsides hus kaldet Chilardico Borda
31
.
Det, der kommer indefra, kan jeg ikke holde ude
Efter Trampedach var gået i isolation, kunne han påbegynde den på mange måder destruktive
selvransagelse. Denne selvransagelse bundede i hans danske fortid og nogle følelser, han
modvilligt tog med sig til Baskerlandet. Igen lod han kunsten forblive intakt med sindet, og
resultatet af dette blev en række selvportrætter, hvor de bagvedliggende aggressioner ikke lod sig
skjule. Et af disse kaldte han ”Det, der kommer indefra, kan jeg ikke holde ude
32
”. Dette
selvportræt blev til i 1980 og udarbejdet ved hjælp af blyant, vandfarve og papir og måler 41 29
cm.
30
Wivel, Mikael: Kurt Trampedach, p. 100
31
Wivel, Mikael: Kurt Trampedach, p. 164
32
Wivel, Mikael: Kurt Trampedach, fig. 113 p. 196
22
Et selvportræt af en anden
Mange elementer fra det første billede går igen i dette. Der er således stadig tale om et
portrætmaleri med Kurt Trampedachs eget fysiognomi i fokus. Denne gang er motivet dog ikke at
finde i noget specifikt lokale. I stedet har Trampedach benyttet en ramme i billedet for på den
måde at fremhæve fremstillingen som scenisk. Grundet de materialer, Trampedach har taget i
anvendelse til at male billedet, tilhører farverne igen den dunkle farveskala. For dette billede
gælder dog, at det ikke længere er jordfarverne, der dominerer billedet, men snarere nogle
grålige, tunge og mørke toner. Dog anvendte Trampedach mere end blot blyant, vandfarve og
papir under udfærdigelsen af billedet. Han har nemlig valgt at hæfte regnorme fast til billedfladen
– som mementoer
33
. Disse regnorme er med til at udgøre motivets filtrede hår, og er foruden
dette også at finde på og omkring billedrammen. Under billedrammen ses billedets titel, samt hvor
og hvornår det er udarbejdet.
33
Wivel, Mikael: Kurt Trampedach, p. 167
23
Der er dog en ting, der har ændret sig markant fra Trampedachs første selvportræt af 1962 og til
dette – nemlig mimikken. Det stålsatte, undersøgende blik er blevet erstattet med et opgivende
udtryk. Den selvsikkerhed, der før blev udstrålet, er lige så svær at finde i billedet, som det er at
finde en af primærfarverne: En umulighed. Mest af alt fristes man til at postulere, at det ganske
enkelt ikke er den samme kunstner, der står bag de to selvportrætter. Og det var det da heller ikke
– i sindet, om ikke andet.
Det illusionistiske rum bliver brudt
Rummet i billedet er også her skabt ved overlapning, hvilket er bedst eksemplificeret ved de
regnorme, der på må og få er blevet hæftet fast til billedfladen. Den minimale dybdekomposition
er således skabt ved de samme rumskabende virkemidler, Trampedach gjorde brug af i de tidlige
år som maler.
Billedet har, til forskel fra Trampedachs første selvportræt, et betydeligt større dynamisk præg.
Denne dynamik kommer ikke alene til udtryk ved ormene – noget ”levende” – der er hæftet fast til
billedet, men ligeledes ved de diagonale linjer, de udgør. Og som om at dette ikke skulle være nok,
så har Trampedach også valgt at lede enkelte af ormene stikke ud af det illusionistiske rum, han i
første omgang skabte ved at indsætte en billedramme.
Det gyldne snit i værket
Som det vigtigste element i fladekompositionen vil jeg igen inddrage Kurt Trampedachs brug af det
gyldne snit, som indsættes her:
24
Denne gang er de fire brændpunkter alle at finde i og omkring motivets filtrede hår, der – som
nævnt – deslige er udgjort af vedhæftede regnorme. Der er ingen af de gyldne snit, der skiller sig
synderligt ud, idet ingen af dem er opfyldt i mere end én retning. Det er således også naturligt, at
beskueren retter sin opmærksomhed mod håret i sin helhed. Der er altså belæg for at påstå, at
netop håret og regnormene spiller en central rolle i såvel billedet som i budskabet.
Den depressive Medusa
Som allerede benævnt blev dette værk udarbejdet under en personlig krise for Kurt Trampedach.
Hverken hans kone eller de danske kunstentusiaster ville vide af ham, og han var begyndt at
drikke. Ligeledes var han begyndt at ane konturerne af den depressivitet, han havde arvet fra sin
fader
34
. Aggressionerne og hadet blev løsladt med en malerpensel i hånden, og billedet er på den
led blevet et udtryk for den sindstilstand, han befandt sig i på pågældende tidspunkt. Og netop
denne sindstilstand har da også sat sine spor i selvportrættet, der må siges at have et meget
dynamisk præg, og ingenlunde at være indbegrebet af harmoni.
34
Wivel, Mikael: Kurt Trampedach, p. 18
25
Som det ses af billedet følger udviklingen af håret læseretningen med diagonallinjen fra øverste
venstre til nederste højre hjørne. Ormenes placering kontra hårets placering i billedet efterlader et
indtryk af, at motivet førhen havde normalt hår, men at der nu i stedet gror orme ud, og dette kan
meget vel være Trampedachs måde at udtrykke den depression, han langsomt, men usvigeligt
sikkert, nærmer sig.
Billedet giver også associationer til den græske myte
35
omhandlende Medusa. Denne var
oprindelig en ung, smuk kvinde, men grundet erotiske udskejelser i Athenes tempel forvandlede
gudinden hende til et gruopvækkende uhyre, med et hår der var filtret sammen af giftige slanger,
og med et blik der forstenede enhver, som så hende i øjnene. Til slut lykkedes det helten Perseus
at hugge Medusas hoved af. Af denne grund fremstilles Medusa kun som et i luften frit svævende
hoved – akkurat som Trampedach fremstiller sig selv i dette selvportræt. Denne kritiske
selvfremstilling er meget sigende for, hvordan han havde det i denne periode.
En ny start
Perioden først i 1980erne udgjorde den mest alvorlige krise i Trampedachs turbulente karriere.
Således oplevede han i 1982 sin første alvorlige depression
36
, der efterlod ham handlingslammet i
adskillige måneder, hvilket var et incitament for ham til at genoptage drikkeriet. Trampedach, der i
øvrigt også var begyndt at få professionel hjælp ved en psykiater
37
, havde nået bunden.
En ganske særlig dag besøgte han sin fader på et plejehjem. Denne var blevet ramt af en
hjerneblødning og efterladt hjælpeløs i en rullestol. Denne ganske særlige dag gjorde synet af sin
fader så stort indtryk på Trampedach, at han fra da af aldrig drak igen
38
. Denne beslutning skulle
vise sig at blive vendepunktet.
35
http://www.britannica.com/EBchecked/topic/372807/Medusa
36
Wivel, Mikael: Kurt Trampedach, p. 175
37
Wivel, Mikael: Kurt Trampedach, p. 175
38
Wivel, Mikael: Kurt Trampedach, p. 176
26
Flugten til Amerika
Kort efter at Trampedach havde besluttet, at han aldrig ville drikke igen, erhvervede en
amerikansk forretningsmand to af hans skulpturer. Disse blev dog beskadiget under transporten,
hvorfor Trampedach selv måtte tage til New York for at reparere dem. Da han ankom til byen, der
aldrig sover, øjnede han ikke alene et stort potentiale, men også muligheden for at lægge afstand
til alt det, der plagede ham derhjemme. Han valgte derfor resolut at smide sin returbillet i
papirkurven og flyttede først ind hos forretningsmanden, for derefter at leje et regulært loft, hvor
han indrettede sit eget atelier
39
. Bruddet med hans ekskone blev endegyldigt, og en enorm byrde
faldt fra hans skuldre. Og da han samtidig var holdt op med at drikke, blev hans billeder langt
lysere i farven. Det virkede, som om han ikke længere følte sig fanget af den mørke tone, der hidtil
havde præget hans værk, og at han nu mestrede hele farvespektret.
Motiverne i hans billeder ændrede sig også markant. Om end billederne stadig var udpræget
selvbiografiske, indgik der langt flere elementer og variationer i dem. Således begyndte Kurt
Trampedach at inddrage nye figurer i form af levende dyr og børn. Dette blev tendensen for den
række malerier, han producerede i sin tid i New York. Et af disse malerier kaldte han meget
passende ”Flugten til Amerika
40
”, og dette blev han færdig med i 1985/1986. Hvad angår materiale
var Trampedach atter tilbage til anvendelsen af olie og lærred, som han var det i sine første,
optimistiske år som kunstner. Maleriet måler 120 80 cm.
39
Wivel, Mikael: Kurt Trampedach, p. 177
40
Wivel, Mikael: Kurt Trampedach, fig. 150 p. 266
27
Den lille maler
Der er denne gang tale om et figurativt billede af et malende barn – en slags stedfortræder
41
- der
er placeret centralt i billedet. I sin venstrehånd har det, ligesom den kejthåndede Trampedach
selv, en malerpensel. I højre hånd har det tre flag: Det danske, det amerikanske og det baskiske.
Barnet er flankeret af to søjler, der bærer en siddende mand og en siddende kvinde.
Motivets mundering samt de bagvedliggende figurationer giver en vis indikation af, at billedets
handlings ikke lader sig udspille i samtiden. Idet billedet – som de fleste af Trampedachs –
overvejende er af selvbiografisk karakter, er det ikke utænkeligt, at det er en form for minde fra de
unge dage, hvor han jævnligt gik sig en tur rundt om Frederiksborg Slot for at komme i den rette
41
Wivel, Mikael: Kurt Trampedach, p. 226
28
stemning til at male
42
. Og det til trods for, at barnet ikke ligner Trampedach det mindste, heller
ikke da han selv var barn
43
.
Idet billedet er malet i halvtotal, er det muligt at se nærmere på de nonverbale tegn gennem
posituren. Her star barnet med penslen løftet som et draget sværd, afventende og tålmodigt.
Samtidig kan det nævnes, hvordan de tre flag i højre hånd snarere hænger end flagrer. Posituren
kommer dog med i billedet på bekostning af mimikken, idet denne ikke længere er mulig at
bestemme på en sådan afstand.
Et nyt farvespekter
På billedet ses det hurtigt, at Kurt Trampedach i høj grad har ændret sin holdning til anvendelse af
primærfarverne. Han er ikke længere låst fast på de dunkle jordfarver og mørke toner, men tager
nu også de mere livlige farver i brug. Dette har dannet en varm farveharmoni, som gør billedet
væsentligt mere betagende at beskue. Men det er ikke det eneste: De nytilkomne farver er også
med til at danne den farvekontrast, som skaber rummet i billedet.
Der er såvel vertikale som horisontale linjer at finde i billedet. Det oprejste barn udgør i sig selv en
lodret linje, mens også de flankerende søjler gør det. Penslen, den lille maler holder i venstre
hånd, holdes mere eller mindre vandret, og er således med til at danne en vandret linje. Disse
linjers dominans er med til at give billedet et statisk præg. Endvidere synes der at være symmetri
omkring billedfladens midterakse, hvilket ligeledes giver en indikation af ro i billedet.
42
Wivel, Mikael: Kurt Trampedach, p. 20
43
Wivel, Mikael: Kurt Trampedach, p. 226
29
Det gyldne snit i værket
Det ses her, at de fire brændpunkter – som forventeligt – er centreret om den lille maler. Dog
skiller ét af disse sig ud, nemlig det som udgøres at det venstre vertikale og nederste horisontale
gyldne snit. Her er malerens højre hånd, der holder de tre flag, anbragt. Således er det gyldne snit
her opfyldt i to retninger, hvorfor det også helt naturligt er dette punkt, der først fanger
beskuerens opmærksomhed. Samtidig følger malerens venstre arm det højre vertikale gyldne snit,
og følgelig er det den venstre arm – og hånd – beskueren retter sin opmærksomhed mod
efterfølgende. Dette giver anledning til at forvente, at penslen og flagene spiller en central rolle i
billedet og udgør en vigtig del af dets budskab.
30
Tre perioder – én helingsproces
Som det er blevet benævnt blev ”Flugten til Amerika” udarbejdet, da Kurt Trampedach kom ud af
sin personlige krise. Byrden på hans skuldre i form af det smuldrende ægteskab var forsvundet,
vinen var blevet lagt på hylden, og Trampedach selv befandt sig New Yorks kunstnermiljø, klar til
at ride om kap med de hurtige heste. Den nyligt fundne frihed gav Trampedach en indre fred og en
sindsro, der i den grad smittede af på lærredet. Ganske vist trådte farvekontrasterne ind i billedet,
men lige så gjorde de varme og harmoniske farver. Disse farver sammenholdt med de meget
kontrollerede linjer giver i høj grad billedet et præg af harmoni – som Trampedach var det. Billedet
peger i sin statuariske komposition tilbage på hans første selvportræt, hvor han ligeledes besad en
indre fred, og det er således nærliggende at tro, at han igen havde fundet frem til denne.
Billedets mest fremtrædende elementer er penslen og flagene. Det ses, at penslen bliver holdt
som et draget sværd, som om maleren er klar til kamp med stoffet. Da Kurt Trampedach kort
forinden var handlingslammet som følge af sin depression, kan dette ses som et udtryk for, at han
for alvor er klar til at male igen, nu hvor han har genfundet sig selv. Men hvad er det helt præcist
der gør, at han har genfundet sig selv? Svaret på dette kan meget vel lægge i motivets højre hånd,
som ligger i et af de fire brændpunkter. Her ses det danske, amerikanske og baskiske flag. Hver i
sær udtrykker de en del af den helingsproces, Kurt Trampedach har gennemgået. Som bekendt var
det på et plejehjem i Danmark, han besluttede sig for at lade vinen forblive på vinhylden, hvilket
alene ændrede Trampedachs syn på såvel kunsten som livet. I Baskerlandet fandt han et afsides
men idyllisk hjem, i hvilket han planlægger at bo resten af livet. Det var her, han søgte tilflugt, da
både karrieren og det private herhjemme stod allerværst til. Slutteligt er der Amerika, hvor det
blev Trampedach muligt for alvor at lægge afstand til alt det, der havde gået ham på – og imod – i
såvel Danmark som i Sare. Disse tre perioder har til sammen udgjort den helingsproces, der har
gjort, at Trampedach kom igennem den svære periode, og dette med ovenstående maleri til
resultat.
31
Kurt Trampedach – en kort sammenfatning
Det, der gør Kurt Trampedach til en unik kunstner, er den røde tråd, der går gennem hans værker.
Således danner de sammen en fortælling – en fortælling om hans liv og den udvikling, han som
kunstner og menneske har gennemgået. Uagtet for fortællende og illustrerende det enkelte
billede er, så får man altid et lille kig ind i Trampedachs sind og psyke. Således udgør det enkelte
billede en slags brik i et puslespil eller en livslinje, og først når alle brikkerne er faldet på plads,
føler man, at man kender ham.
Det gyldne snits anvendelighed
Det er en kendsgerning, at man, bevidst eller ubevidst, tiltrækkes af steder i billedfladen, hvor de
gyldne snit ligger, og dermed især af de fire punkter hvor disse skærer hinanden. Det giver de
elementer, der er anbragt disse steder, større betydningsindhold.
Når en kunstner komponerer sit værk, er det de samme mekanismer, der – igen bevidst eller
ubevidst – gør, at de fleste vedkender sig en anvendelse af det gyldne snit som kompositorisk
princip. Det gyldne snit er således også ofte anvendeligt i en billedanalyse, hvad enten man ønsker
at bruge det til at belyse betydningsbærende elementer eller som formskabende element.
Dette betyder dog ikke, at man uden videre kan forvente, at det gyldne snit netop er blevet brugt
som et kompositorisk princip i et givent værk. Et eksempel herpå er i tiden efter 1960, hvor den
fremherskende marxistiske ideologi blandt kunstnere ikke opererede med tidløse æstetiske
værdier. Det gyldne snit blev, sammen med andre klassiske kompositionsprincipper, opfattet som
borgerskabets forsøg på at bestemme, hvad der er god smag, og som modsvar til dette valgte
mange kunstnere bevidst ikke at tage sådanne i anvendelse.
Når det kommer til Kurt Trampedachs værker, kan man langt fra sige, at en billedanalyse hviler på
det gyldne snit alene. Da han netop tager udgangspunkt i sig selv og sit eget sind er det essentielt
32
at have kendskab til dette, før man begiver sig ud i en analyse af hans værker. Denne nødvendige
forudsætning kommer for så vidt også til udtryk i de tre billeder, der nu er blevet behandlet.
Kigger man nærmere Kurt Trampedachs selvportræt af 1962, ”Det, der kommer indefra, kan jeg
ikke holde ude” og ”Flugten til Amerika”, er det da også kun i to af dem, at et særligt element er
placeret i et af de fire brændpunkter, om end det gyldne snit spillede en væsentlig rolle i analysen
og fortolkningen af dem alle.
Konklusion
Vi har i den matematiske redegørelse for det gyldne snit set, at der er en klar forbindelse mellem
den harmoniske inddeling af et linjestykke og tallet , som er givet ved =

= 1,618034. I
forlængelse heraf blev vi bekendt med det faktum, at tallet besidder en lang række
beundringsværdige matematiske funktioner. Vi har i redegørelsen for Fibonaccifølgen kunnet
konstatere, at forholdet mellem to på hinanden følgende elementer i talrækken konvergerer mod
netop , jo længere frem vi kommer i talrækken, og således kom sammenhængen mellem de to til
udtryk. Afslutningsvis blev det vist, at kunstneren Kurt Trampedach har vedkendt sig en
anvendelse af det gyldne snit i tre af hans værker, hvori det som kompositorisk princip spillede en
væsentlig rolle i henhold til bestemmelse af fortolkningen. I forlængelse heraf har vi dog også
måttet konstatere, at det i tilfældet Kurt Trampedach ikke gør sig gældende, at en billedanalyse
kan hvile på det gyldne snit alene grundet hans udgangspunkt i sit eget sin og sin egen psyke.
33
Bilag 1
Følgende regression er udarbejdet i et CAS-værktøj. Ændringen af værdierne a og b skyldes som
bekendt, at det sidste led i Binets formel er udeladt i omskrivningen. Dog kan vi notere os, at da
korrelationskoefficienten
> 0,99 er der tale om meget nøjagtig regression.
34
Bilag 2
Følgende punktplot og grafanalyse giver et praj om, hvor eksplosivt talværdierne i Fibonaccifølgen
udvikler sig:
35
Litteraturliste
Bøger:
Carstensen, Jens: Talfølger og rækker. 1. udg. Systime, 1997.
Carstensen, Jens: Talteori. 1. udg. Systime, 1997.
Carstensen, Jens m.fl.: Matematiske essays. 1. udg. Matematiklærerforeningen,
1995.
Frandsen, Jesper: De(t) gyldne snit: i kunst, natur og matematik. 3. udg. Systime,
2010.
Huntley, H. E.: The divine proportion. 1. udg. Dover Publications, 1970.
Livio, Mario: Det gyldne snit. 1. udg. Nyt Teknisk Forlag, 2004.
Læssøe, Rolf: Kurt Trampedach. 1. udg. Fogtdal, 1990.
Wivel, Mikael: Dansk kunst i det 20. århundrede. 1. udg. Gyldendal, 2008.
Wivel, Mikael: Kurt Trampedach. 1. udg. Aschehoug, 2001.
Databaser:
Britannica Online Encyclopedia. Udgivet af Encyclopedia Britannica inc.
Internetadresse: www.britannica.com - Besøgt d.
Artikler:
Skaarup, Bjørn: Matematik: Det gyldne snit. I: Infomedia, , s. 1-2