Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 7. december 2016
1
HF Matematik B
7. december 2016
hfe163-MAT/B-
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i
en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Delprøven uden hjælpemidler .......................................................................................................................... 2
Delprøven med hjælpemidler ........................................................................................................................... 6
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 7. december 2016
2
Delprøven uden hjælpemidler
Opgave 1
a)
Vi har, at de to trekanter er ensvinklede dvs. vi kan bestemme de resterende længder vha. størrelsesforholdet
mellem trekanterne. Vi bestemmer størrelsesforholdet mellem de to trekanter:
Vi bestemmer længden af siden A
1
C
1
ved:
Længden af siden A
1
C
1
er bestemt til 12.
Vi bestemmer længden af siden AB:
Længden af siden AB er bestemt til 4.
Opgave 2
a)
Vi har, at graferne betegner en eksponentiel udvikling, hvor tallet b betegner funktionsværdien i x = 0, dvs.
at b = 7.
For eksponentielle funktioner har vi, at hvis a > 1 så er funktionen voksende, hvis a derimod er 0 < a < 1 er
funktionen aftagende.
Med ovenstående information in mente, kan vi konkludere, at tallet a for graf 1 er mindre end 1. Vi har
derimod for graf 2, at tallet a er større end 1.
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 7. december 2016
3
Opgave 3
a)
Vi har, at udviklingen kan beskrives med en lineær funktion da promillen falder med en fast størrelse for hver
time:
f(x) betegner promillen til tiden x, hvor x > 0.
x betegner tidspunktet x timer efter målingen af promillen.
b betegner funktionsværdien i x = 0, dvs. at b er lig 1,2 da promillen ved måling er 1,2.
a betegner funktionens hældningskoefficient, dvs. a er lig 0,10 da promillen falder med 0,10 for hver time
efter måling.
Vi opskriver en model, der beskriver udviklingen i pigens promille:
En model, der beskriver udviklingen i pigens promille efter måling, er bestemt til ovenstående udtryk.
Opgave 4
a)
Vi bestemmer diskriminanten:
Diskriminanten er bestemt til 0, dvs. at andengradsligningen kun har 1 løsning. Førstekoordinaten til
toppunktet betegner løsningen til ligningen:
Løsningen til ligningen er bestemt til x = 3.
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 7. december 2016
4
Opgave 5
a)
Vi bestemmer funktionsværdien f(1):
Funktionsværdien f(1) er bestemt til 3.
Vi bestemmer differentialkvotienten f’(1). Først bestemmer vi den afledede funktion f’(x):
Vi bestemmer f’(1):
Differentialkvotienten f’(1) er bestemt til 4.
(I)
Opgave 6
a)
Vi bestemmer tallet b, ved at indsætte punktet P i f(x) og løse for b:
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 7. december 2016
5
Tallet b er bestemt til 10.
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 7. december 2016
6
Delprøven med hjælpemidler
Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat som
første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 7
a)
Modellen kan beskrives med en lineær funktion, vi bestemmer derfor tallene a og b med lineær regression.
Vi opstiller tabel med data og foretager regression:
Årstal
2009
2010
2011
2012
2013
2014
År efter år
2009
0
1
2
3
4
5
Flypassagerer
(målt i
milliarder)
2,48
2,68
2,85
2,98
3,13
3,31
Lineær regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,
Tallet a aflæses til 0,161 (afrundet til 3 decimaler), og tallet b er bestemt til 2,503 (afrundet til 3 decimaler).
b)
Tallet a betegner hældningskoefficienten for f, dvs. ifølge modellen vokser antallet af flypassagerer i verden
med 0,161 (målt i milliarder) om året i perioden
c)
Vi definerer forskriften for y som funktion af x:
Vi stemmer årstallet, hvor antallet af flypassagerer på verdensplan kommer over 4 milliarder ved at løse
uligheden f(x) > 4 for x:
Uligheden løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 7. december 2016
7
Ifølge modellen vil antallet af flypassagerer på verdensplan overstige 4 milliarder ca. 9,31 år (afrundet til 2
decimaler) efter år 2009 dvs. i år 2018.
Opgave 8
a)
Vi definerer funktionen for f(x):
Vi bestemmer koncentrationen af BAM i grundvandet 48 timer efter forsøgets start ved at bestemme f(x),
når x = 48:
Ifølge modellen er koncentrationen af BAM 48 timer efter forsøgets start 0,042 μg/L (afrundet til 3
decimaler).
Da koncentrationen 48 timer efter forsøgets start på 0,042 μg/L er mindre end 0,1 μg/L, kan vi konkludere,
at grundvandet gerne må drikkes 48 timer efter forsøgets start.
b)
Vi bestemmer tallet f’(10):
Tallet f’(10) er bestemt til -0,0568 μg/L / time (afrundet til 4 decimaler).
Tallet f’(10) = -0,0568 betyder at koncentrationen af BAM til tiden 10 timer efter forsøgets start aftager med
-0,0568 μg/L i timen.
Opgave 9
a)
Vi bestemmer længden af siden AD med WordMats trekantsløser.
WordMat's trekantsløser anvendes med input: C = 78,8°, CD = 10,3, AC = 13,6
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 7. december 2016
8
A = 41,058035°
C = 78,8°
D = 60,141965°
CD = 10,3
AD = 15,38289
AC = 13,6
Længden af siden AD findes vha. en cosinusrelation
Længden af siden AD er bestemt til 15,38 (afrundet til 2 decimaler).
b)
Vi bestemmer arealet af firkant ABCD som summen af arealet af trekant ABC og trekant ACD:
Vi bestemmer arealet af trekant ABC. Først bestemmer vi højden BH med Pythagoras’ læresætning:
Ligningen løses for BH vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi arbejder ikke med negative længder, derfor er BH = -2,9159047 ikke en løsning til opgaven.
Arealet af trekant ABC bestemmes ved:
Vi bestemmer arealet af trekant ACD med en sinusrelation:
A
C
D
CD
AD
AC
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 7. december 2016
9
Arealet af firkant ABCD er summen af arealet for de to trekanter:
Arealet af firkant ABCD er bestemt til 88,5 afrundet til 1 decimal.
Opgave 10
a)
Vi definerer forskriften for f(x):
Vi tegner grafen for f:
Vi definerer førstekoordinaten for punktet med førstekoordinaten x = 0:
Vi bestemmer en ligning for tangenten til grafen for f i punktet med førstekoordinaten x = 0:
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 7. december 2016
10
En ligning for tangenten til grafen for f i punktet x = 0 er bestemt til ovenstående udtryk.
b)
Vi bestemmer et udtryk for den afledede funktion f’:
Et udtryk for den afledede funktion f’(x) er bestemt til ovenstående udtryk.
Vi bestemmer monotoniforhold til grafen for f. Først bestemmer vi nulpunkter til den afledede funktion f’(x):
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi undersøger differentialkvotienten på begge sider af nulpunkterne for den afledede funktion:
f er aftagende i intervallet ]-∞; -1] og [1; 2,7]
f er voksende i intervallet [-1; 1] og [2,7; ∞[
Opgave 11
a)
Vi definerer funktionen v(t) samt definitionsmængden for t:
Vi bestemmer bilens hastighed efter 8 sekunder ved at bestemme v(t), når t = 8:
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 7. december 2016
11
Ifølge modellen er bilens hastighed efter 8 sekunder bestemt til 85,8 km/t (afrundet til 1 decimal).
Vi bestemmer tidspunktet, hvor bilens hastighed kommer op på 40 km/t ved at løse for t i v(t) = 40:
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Ifølge modellen, går der 3,01 sekunder (afrundet til 2 decimaler) før at bilens hastighed er 40 km/t.
b)
Vi bestemmer afstanden som bilen tilbagelægger de første 8 sekunder ved at løse udtrykket opgivet i
opgaveformuleringen, hvor K = 8:
Ifølge modellen tilbagelægger bilen 107,6 m (afrundet til 1 decimal) de første 8 sekunder.
Opgave 12
a)
Vi definerer forskriften for f samt definitionsmængden for x:
Vi bestemmer først en stamfunktion F(x) til f(x) ved at integrerer f(x):
Vi indsætter punktet (1,5) og løser for k:
Ligningen løses for k vha. CAS-værktøjet WordMat.
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 7. december 2016
12
Vi opskriver stamfunktionen hvis graf netop går igennem punktet (1, 5):
Stamfunktionen hvis graf netop går igennem punktet (1, 5) er bestemt til ovenstående udtryk.
Opgave 13
a)
Vi bestemmer klorofylkoncentrationen i vandet, når det totale kvælstofindhold er 1000 μg/L ved at løse for
y, når x = 1000 i udtrykket herunder:
Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Klorofylindholdet i vandet er bestemt til 18,63 μg/L (afrundet til 2 decimaler).
b)
Vi omskriver udtrykket til formen y = b · x
a
:
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 7. december 2016
13
Vi aflæser tallet a til 1,57 (afrundet til 2 decimaler), og tallet b aflæses til 0,000353 (afrundet til 6 decimaler).
(I) Regel for logaritme:
(II) Regel for potens:
(III) Regel for potens: