Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 31. august 2010
1
HF Matematik B
31. august 2010
hfe102-MAT/B-
Delprøven uden hjælpemidler .......................................................................................................................... 2
Delprøven med hjælpemidler ........................................................................................................................... 6
Studiekompasset.dk Matematik B den 31. august 2010 hfe102-MatB-
Opgave nr. 1 (uden hjælpemidler).
(a) Den lille radius a isoleres:
A = π ·c · (a + b)
m
A
π · c
= (a + b)
m
A
π · c
− b = a
m
a =
A
π · c
− b
a kan isoleres således, at
a =
A
π · c
− b.
Opgave nr. 2 (uden hjælpemidler).
(a) Diskriminanten d kan bestemmes som (jf. formel 39)
d = b
2
− 4ac = 2
2
− 4 · 1 · (−3) = 4 − (−12) = 16
Diskriminanten er således bestemt til
d = 16
.
Da d = 16 > 0 har ligningen to løsninger. Disse to er givet ved (jf. formel 39)
x =
−b −
√
d
2a
og x =
−b +
√
d
2a
Først bestemmes den ene løsning
x =
−2 −
√
16
2 · 1
=
−2 − 4
2
= −3
dernæst bestemmes den anden løsning
x =
−2 +
√
16
2 · 1
=
−2 + 4
2
= 1 .
Løsningsmængden til andengradsligningen er således
L = {−3, 1} .
2
Studiekompasset.dk Matematik B den 31. august 2010 hfe102-MatB-
Opgave nr. 3 (uden hjælpemidler).
(a) Pulsen ved 31
◦
C kan bestemmes som
P
31
◦
C
= 155 + 2 · (31 − 21) = 175.
Ved samme træning ved 31
◦
C stiger pulsen ifølge Chris MacDonald til 175 slag pr.
minut.
En mere generel formel for beregning af pulsen P ved denne form for træning,
når temperaturen ligger x
◦
C over 21
◦
C kan opstilles som
P = P
21
◦
C
+ 2x = 155 + 2x
,
hvor x er antal grader, som temperaturen overstiger 21
◦
C.
Pulsen målt i slag pr. minut ved x
◦
C højere end 21
◦
C kan altså bestemmes som
P (x) = 2x + 155.
Opgave nr. 4 (uden hjælpemidler).
(a) Da x og y er proportionale må forholdet (jf. formel 5)
k =
y
x
være konstant uanset hvilket x, y par der vælges. Først bestemmes denne proportio-
nalitetsfaktor ud fra det kendte par
k =
9
6
= 1, 5.
Nu kan de manglende værdier bestemmes ud fra sammenhængen (jf. formel 5)
y = k · x.
Der haves
3 = 1, 5 · x ⇔ x =
3
1, 5
= 2
og
y = 1, 5 ·5 = 7, 5.
Nu kan tabellen udfyldes med de manglende data:
x 2 5 6
y 3 7
1
2
9
3
Studiekompasset.dk Matematik B den 31. august 2010 hfe102-MatB-
Opgave nr. 5 (uden hjælpemidler).
(a) Først bestemmes alle stamfunktioner til f .
Z
f(x) dx =
Z
(e
x
+ 10x) dx
(jf. formel 89)
=
Z
e
x
dx +
Z
10x dx
(jf. formel 88)
=
Z
e
x
dx + 10
Z
x dx
(jf. formel 81 og 84)
= e
x
+ k
1
+ 10 ·
1
2
x
2
+ k
2
= e
x
+ 5x
2
+ k
Således fås at
F (x) = e
x
+ 5x
2
+ k
for ét reelt tal k. Da grafen for F (x) indeholder punktet (0, 2) løses nu ligningen
F (0) = 2 for k.
F (0) = 2
m
e
0
+ 5 · 0
2
+ k = 2
m
1 + 0 + k = 2
m
k = 1
Med værdien for k bestemt, kan det nu konkluderes, at den stamfunktion F til f, der
går gennem punktet (0, 2), har forskriften:
F (x) = e
x
+ 5x
2
+ 1
Opgave nr. 6 (uden hjælpemidler).
(a) Følgende giver et fingerpeg om, hvordan en mulig graf for f kan forløbe:
• Koefficienten a til andengradsleddet er positiv, hvilket betyder, at grafen for f
(en parabel) vender benene opad.
• Koefficienten b til førstegradsleddet er interessant med hensyn til dets fortegn,
idet fortegnet (i dette tilfælde +) viser hvorvidt tangenten til grafen for f i
skæringspunktet med y-aksen er stigende eller faldende.
Da b i dette specifikke tilfælde er positiv, betyder det, at tangenten til grafen
for f i skæringspunktet med y-aksen er stigende, hvilket kun er tilfældet, hvis
parablens toppunkt ligger i anden eller tredie kvadrant.
• Konstanten c er andenkoordinaten til skæringspunktet med y-aksen.
4
Studiekompasset.dk Matematik B den 31. august 2010 hfe102-MatB-
Det kan konkluderes, at grafen for f har toppunkt i anden eller tredie kvadrant og
parablen vender benene opad.
På baggrund af det kan en mulig graf tegnes
Til eksamen tegnes i hånden en skitse, da det er en opgave uden hjælpemidler. Herover
er der dog anvendt TI-nspire CAS.
5
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 31. august 2010
6
Delprøven med hjælpemidler
Alle løsninger er foretaget med CAS-værktøjet WordMat, med mindre andet er angivet.
Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat som første
linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 7
a)
Modellen kan beskrives vha. af en lineær funktion, vi bestemmer derfor tallene a og b med lineær regression.
Vi opstiller tabel med data og foretager regression.
År
2002
2003
2004
2005
2006
År efter år 2002
0
1
2
3
4
Antal
84
123
191
259
308
Lineær regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,
𝑦=58,4𝑥+76,2
Tallet a er bestemt til 58,4, og tallet b er bestemt til 76,2.
b)
Ifølge modellen er den årlige vækst i antallet af fangede laks i Skjern Å bestemt 58 laks (afrundet ned til hel
laks).
c)
Vi bestemmer antallet af fangede laks i Skjern Å år i 2007 ved at bestemme y, når x = = 5.
𝑦=58,4·5+76,2
=368,2
Ifølge modellen er antallet af fangede laks i år 2007 bestemt til 368 (afrundet ned til hel laks).
Vi bestemmer antallet af fangede laks i Skjern Å i år 2008 ved at bestemme y, når x = = 6.
𝑦=58,4·6+76,2
≈426,6
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 31. august 2010
7
Ifølge modellen er antallet af fangede laks i år 2008 bestemt til 427 (afrundet op til hel laks).
Vi kommenterer modellen.
Sammenligner vi det faktiske antal af fangede laks i Skjern Å i år 2007 på 399 laks med modellens på 368, står
det klart, at allerede 1 år efter modellens gyldighedsperiode er modellen upræcis med hensyn til at forudsige
antallet af fangede laks i Skjern Å. Ydermere ser vi, at det faktiske antal af fangede laks i Skjern Å i år 2008 på
878 afviger meget mere end fra bare året før med hensyn til antallet af fangede laks forudsagt af modellen i
samme år på 427 laks. Vi kan konkludere, at modellen er upålidelig uden for gyldighedsområdet, og
umiddelbart bliver mere og mere upålidelig.
Opgave 8
a)
Vi bestemmer arealet af trekant ABC med en sinusrelation.
Arealet af trekant ABC er bestemt til 10,43 (afrundet til 2 decimaler).
b)
Vi bestemmer siden |AB| med WordMats trekantsløser.
WordMats trekantsløser anvendes med input: C = 35,4°, BC = 4,0, AC = 9,0
A = 21,984729°
B = 122,61527°
C = 35,4°
BC = 4
AC = 9
AB = 6,1895718
Længden af siden AB findes vha. en cosinusrelation
Længden af siden |AB| er bestemt til 6,19 (afrundet til 2 decimaler).
A
B
C
BC
AC
AB
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 31. august 2010
8
c)
Vi bestemmer vinkel A med WordMats trekantsløser.
WordMats trekantsløser anvendes med input: C = 35,4°, BC = 4,0, AC = 9,0
A = 21,984729°
B = 122,61527°
C = 35,4°
BC = 4
AC = 9
AB = 6,1895718
Længden af siden AB findes vha. en cosinusrelation
Vinkel B findes vha. en cosinusrelation
Vinkel A findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
Vinkel A er bestemt til 22,0° (afrundet til 1 decimal).
Opgave 9
a)
Vi definerer forskriften for f(x) og g(x).
Vi bestemmer førstekoordinaterne til skæringspunkterne mellem graferne for f og g ved at løse ligningen f(x)
= g(x) for x.
A
B
C
BC
AC
AB
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 31. august 2010
9
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi bestemmer anden koordinaterne.
Koordinatsættene til skæringspunkterne mellem graferne for f og g er bestemt til (1, 6) og (4, 3).
b)
Vi tegner området som graferne for f og g afgrænser.
Området afgrænset af graferne for f og g i intervallet [1; 4] (dvs. skæringspunkterne bestemt i opg a)). Vi
indser vha. graferne at f < g intervallet [1; 4], vi bestemmer arealet af området ved:
Arealet af området afgrænset af graferne for f og g er bestemt til 1,5.
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 31. august 2010
10
Opgave 10
a)
Vi bestemmer afstanden mellem spærene for et 8,0 meter bredt tag ved at bestemme y, når x = 8,0.
Ifølge modellen er afstanden mellem spærene 0,73 m (afrundet til 2 decimaler).
b)
Vi definerer tallet -2,5 som a og væksten for bredden af taget for typehus A som r
x
.
Vi bestemmer, hvor mange procent mindre spærene på typehus A er mindre end typehus B ved at løse for r
y
i nedenstående udtryk.
Ligningen løses for r_y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Ifølge modellen skal spærene på typehus A være 42,76 % (afrundet til 2 decimaler) mindre end på typehus
B.
Opgave 11
a)
Vi definerer en forskrift for f samt definitionsmængden for x.
Vi bestemmer ekstrema for f og monotoniforhold for f. Vi bestemmer nulpunkter for den afledede funktion
f’.
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 31. august 2010
11
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunktet for den afledede funktion f’.
Grafen for f har ekstrema i x = 1.
f er er aftagende i intervallet ]0; 1]
f er voksende i intervallet [1; ∞[
b)
Vi definerer en forskrift for tangenten y.
Vi bestemmer førstekoordinaten til røringspunkterne mellem graferne for f og y ved at løse for x i y(x) = f(x).
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi bestemmer anden koordinaten.
Koordinatsættet til røringspunktet mellem grafen for f og grafen for y er bestemt til (2, 18).
Opgave 12
a)
Vi har, at arealet af et rektangel generelt er givet ved:
Dvs. arealet af rektanglet på figuren er lig:
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 31. august 2010
12
Et udtryk for arealet af rektanglet som funktion af x er bestemt til ovenstående udtryk. Vi har dermed gjort
rede.
Vi definerer udtrykket for arealet af rektanglet samt definitionsmængden for x.
Vi bestemmer arealet af rektanglet, når x = 1,5, ved at bestemme A(1,5).
Arealet af rektanglet, når x = 1,5 er bestemt til 2,188 (afrundet til 3 decimaler).
b)
Vi bestemmer det størst mulige areal for rektanglet ved at optimere A(x). Vi bestemmer nulpunkter til den
afledede funktion A’(x).
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunkterne for den afledede funktion.
Vi indser, at x = 0,5 er et minimum, og at x = 1,3660254 er et maksimum.
Vi bestemmer det størst mulige arealet for rektanglet ved at bestemme A(1,3360254).
Det størst mulige areal for rektanglet er bestemt til 2,25 (afrundet til 2 decimaler).