Studiekompasset.dkKlasse: HTX 3. år · Fag: Matematik A
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 14. december 2016
1
HTX Matematik A
14. december 2016
htx163-MAT/A-
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne,
er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Løsning med WordMat ...................................................................................................................................... 2
Løsning med Maple™ ...................................................................................................................................... 15
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 14. december 2016
2
Løsning med WordMat
Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat som
første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 1
a)
Vi undersøger om punktet A(2,1; -1,7; 0) ligger i planen ved at indsætte punktet i ligningen for planen og
reducere:


Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion,

Punktet A opfylder planens ligning, vi kan derved konkludere, at punktet A ligger i planen .
b)
Vi bestemmer vinklen mellem planen og xy-planen ved at bestemme vinklen mellem en normalvektor til
de to planer.
Vi definerer de to normalvektorer. En normalvektor til xy-planen vil være en vektor, der kun består af en z-
koordinat. Vi vælger en tilfældig normalvektor til xy-planen:

󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍

En normalvektor til planen aflæses fra planens ligning:
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍


Vi bestemmer vinklen mellem de to normalvektorer:
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 14. december 2016
3

󰇛
󰇜

󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍

󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat.

Da v > 90°, betegner v den spidse vinkel mellem planerne.
Den spidse vinkel mellem planen og xy-planen er bestemt til 72,12° (afrundet til 2 decimaler).
c)
Vi bestemmer parameterværdien for z = 4,9, ved at indsætte værdien for z i koordinatligningen for z og
derved løse for parameterværdien t:

󰇛

󰇜

󰇛

󰇜

Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.

Vi indsætter parameterværdien og bestemmer koordinaterne for punktet P
󰇧
󰇨






Vi har vist, at koordinaterne for P er (2,27; 0; 4,9) (afrundet).
d)
Vi omskriver planen ’s ligning til normalformen:


Vi bestemmer afstanden fra punktet P til planen ved:
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 14. december 2016
4

󰇛

󰇜




Afstanden fra punktet P til planen er bestemt til 1,67 (afrundet til 2 decimaler).
Opgave 2
a)
Vi opstiller tabel med data og indtegner dataet i et passene koordinatsystem:
Tiden (timer)
0,5
1
2
3
4
5
Koncentration (mg/L)
2,5
2,1
1,5
1,0
0,74
0,50
b)
Vi har, at udviklingen sker eksponentielt, vi bestemmer derfor en forskrift for c med eksponentiel regression
af dataet:
Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 14. december 2016
5
Vi opskriver (og definerer til senere brug) en forskrift for c som funktion af tiden t:
󰇛
󰇜
 
En forskrift for c, hvor t > 0, er bestemt til ovenstående udtryk.
c)
Vi bestemmer halveringstiden for c, hvor a = 0,7001181, ved:
󰇡
󰇢

󰇛
󰇜
󰇡
󰇢

󰇛

󰇜

Halveringstiden er bestemt til 1,94 timer (afrundet til 2 decimaler).
d)
Vi har, at præparatet ikke virker smertestillende længere, når koncentrationen er faldet til 0,3 mg/L. Vi
bestemmer tidspunktet, hvor præparatet ikke længere virker smertestillende, ved at løse for t i c(t) = 0,3:
󰇛
󰇜

Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.

Ifølge modellen vil præparatet ikke virke smertestillende længere efter ca. 6,5 timer (afrundet til 1 decimal).

Opgave 3
a)
Vi tegner banekurven for t [-5 ;5] med GnuPlot:
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 14. december 2016
6
b)
Vi definerer vektorfunktionen samt definitionsmængden for t:
󰇛
󰇜
󰇧
󰇨

Dvs.:
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜
󰇧
󰇨
Vi bestemmer banekurvens skæringer med y-aksen. Vi har, at for banekurvens skæring med y-aksen er x = 0
dvs.:
󰇛
󰇜
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
 
Vi indsætter parameterværdierne i vektorfunktionen og bestemmer skæringen med y-aksen:
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 14. december 2016
7
󰇛

󰇜
󰇡

󰇢
Og:
󰇛
󰇜
󰇡

󰇢
Vi har, at banekurven skærer y-aksen i S1y(0; 0,24) og S2y(0; -0,59) (afrundet til 2 decimaler).
Vi bestemmer banekurvens skæringer med x-aksen. Vi har, at for banekurvens skæring med x-aksen er y = 0
dvs.:
󰇛
󰇜
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
 
Vi indsætter parameterværdierne i vektorfunktionen og bestemmer skæringen med y-aksen:
󰇛

󰇜

 

Og:
󰇛

󰇜

 

Vi har, at banekurven skærer x-aksen i S1x(-0,73; 0) og S2x(2,73; 0) (afrundet til 2 decimaler).
c)
En ligning for tangenten består af skæringen med y-aksen i x = 0 samt hældningen for linjen.
Hældningen for linjen kan bestemmes vha. tangentvektoren for banekurven til t = 1. Vi bestemmer
tangentvektoren til t = 1:
󰆒
󰇛
󰇜
󰇡

󰇢
Vi har, at hældningen for vektoren og dermed hældningen for linjen kan aflæses som y-koordinaten, når x-
koordinaten er lig 1, dvs. at vi dividerer med 3:
󰇡

󰇢󰇡

󰇢
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 14. december 2016
8
Vi kan aflæse hældningen for ligningen til tangenten for t = 1 til:

Vi kender nu hældningen for linjen. For at bestemme skæringen med y-aksen i x = 0 mangler vi at kende et
punkt på linjen. Vi bestemmer punktet som 󰇛󰇜 da vi ved at punktet ligger på linjen:
󰇛
󰇜
󰇡

󰇢
I dette tilfælde, kan skæringen med y-aksen aflæses direkte fra udtrykket herover, da x-koordinaten er lig 0.
Vi opskriver en ligning for tangenten:
 
En ligning for tangenten til banekurven for t = 1, er bestemt til ovenstående udtryk (afrundet til 3 decimaler).

Opgave 4
Opgave 4 relaterer sig til forberedelsesmaterialet.
a)
Rekursionsligningen, der svarer til Eulers metode for en differentialligning er generelt givet ved:

󰇛
󰇜
Vi har differentialligningen


󰇛
󰇜
 , hvor n = 0, 1, 2,… dvs.:

󰇛
󰇜

󰇛

󰇜



󰇛

󰇜
Udtrykket er identisk med udtrykket i opgaveformuleringen, vi har dermed vist, at rekursionsligningen for
Eulers metode er givet ved ovenstående udtryk.
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 14. december 2016
9
b)
Hvis
, n = 0, 1, 2,… er en løsning til rekursionsligningen, skal
, n = 0, 1, 2,… opfylde:

󰇛

󰇜


󰇛

󰇜
󰇛

󰇜
Vi har dermed vist, at
, n = 0, 1, 2,… er en løsning til rekursionsligningen.
c)
Vi har rekursionsligningen:

󰇛

󰇜
Formen for rekursionsligningen kan identificeres til:

󰇛
󰇜
Derved er samtlige løsninger givet ved:
Dvs.:
󰇛

󰇜
Vi har, at samtlige løsninger til rekursionsligningen er bestemt til ovenstående udtryk.
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 14. december 2016
10
d)
Vi har begyndelsesværdien y
0
= 1, dvs. y(0) = 1, vi har da:
󰇛

󰇜
Vi isolerer k:
Vi opskriver løsningen til rekursionsligningen, der opfylder y
0
= 1:
󰇛
󰇜
󰇛

󰇜
Løsningen til rekursionsligningen, der opfylder y
0
= 1, er bestemt til ovenstående udtryk.
Opgave 5
a)
Vi bestemmer vinkel V med WordMats trekantsløser. Vi benytter, at vinkel v svarer til halvdelen af den
stumpe vinkel i trekant PQv, da alle cirklernes centrum ligger på en ret linje.
WordMat's trekantsløser anvendes med input: VQ = 0,55, PQ = 0,8, PV = 0,55
P = 43,341758°
V = 93,316484°
Q = 43,341758°
VQ = 0,55
PQ = 0,8
PV = 0,55
Vinkel P og V findes vha. cosinusrelationer


󰇧



 
󰇨


󰇧



 
󰇨

Vi bestemmer vinkel v:
P
V
Q
VQ
PQ
PV
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 14. december 2016
11


For en god ordens skyld omregner vi vinkel v fra grader til radianer til senere brug i opgaven:




Vinkel v er bestemt til 0,814 radianer (afrundet til 3 decimaler).
b)
Vi har, at buelængden af det røde stykke består af halvdelen af omkredsen af den lille cirkel og differensen
mellem halvdelen af omkredsen af den store cirkel og buelængden som svarer til vinkel v i den store cirkel:
Vi bestemmer buelængden ved:


󰇛
󰇜


󰇛
󰇜

Ligningen løses for buelaengde vha. CAS-værktøjet WordMat.

󰇛
󰇜

Vi bestemmer halvdelen af omkredsen af den store cirkel:




Vi bestemmer halvdelen af omkredsen af den lille cirkel:



Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 14. december 2016
12
Vi har, at længden af kurven er givet ved:




󰇛
󰇜


Længden af kurven er bestemt til 1,91 m (afrundet til 2 decimaler).
c)
Vi har, at arealet af det tonede område udgøres af differensen mellem hhv. summen af arealet for to af de
store cirkler og 4 gange arealet af cirkelafsnittet PQ.
Vi beregner arealet af cirklen med en radius på 0,55 m:



Vi beregner arealet af cirkelafsnittet PQ:



󰇛
󰇜
󰇛
󰇜




󰇛

󰇜

Vi har, at arealet af de tonede område er givet ved:





Arealet af det tonede område er bestemt til 1,52 m
2
(afrundet til 2 decimaler).
(I)
Arealet af et cirkelafsnit (det gule område) kan beregnes ved:
󰇡


󰇛
󰇜
󰇢
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 14. december 2016
13
Illustration:
Opgave 6
a)
OBS: Husk at skifte til radianer, når der arbejdes med trigonometriske funktioner.
Vi definerer forskriften for f(x) samt g(x):
𝑓
(
𝑥
)
≔2 · cos
(
1,5𝑥
)
+ 2,2
𝑔
(
𝑥
)
≔2 · cos
(
1,7𝑥
)
+ 2
Bredden af klokken svarer til differensen mellem første skæringspunkt mellem grafen for f og g i hhv. 1. 2.
kvadrant. WordMat vil ikke vise de negative løsninger for skæringen mellem grafen for f og grafen for g, vi
bestemmer derfor bredden af klokken som den dobbelte længde af første skæringspunkt mellem grafen for
f og grafen for g i 1.kvadrant, funktionerne er periodiske med symmetri omkring 2.aksen:
𝑓
(
𝑥
)
=𝑔
(
𝑥
)
Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
𝑥≈2,1138814 ∨ 𝑥≈3,8433967
Vi bestemmer bredden af klokken:
𝑏
𝑘𝑙𝑜𝑘𝑘𝑒
=2,1138814 · 2
=4,2277628
Bredden af klokken er bestemt til 4,23 cm (afrundet til 2 decimaler). Vi har dermed vist at bredden af klokken
er 4,23 cm.
𝑣
𝑟
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 14. december 2016
14
b)
Den største tangent hældning til grafen for f, må være når grafen for f har en vendetangent. Vi bestemmer
vendetangenter til grafen for f i intervallet for x [-k; k] dvs. x [-2,1138814; 2,1138814].
Vi definerer definitionsmængden for x:
 
Vi bestemmer nulpunkter til den anden afledede funktion f’’. Funktionen f er periodisk med symmetri
omkring 2.aksen, dvs. der vil være to nulpunkter til den anden afledede funktion f’’, der betegner
vendetangenter til grafen for f. WordMat har igen problemer med at opgive de negative løsninger, derfor vil
den negative løsning til nedenstående udtryk også være en løsning indenfor intervallet:
󰆒󰆒
󰇛
󰇜
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

Vi har de to nulpunkter (hvoraf vi selv må opgive den negative) x = 1,0471976 og x = -1,0471979.
Vi undersøger tangent hældningen for de to nulpunkter for den anden afledede funktion:
󰆒
󰇛

󰇜
󰆒
󰇛

󰇜
Vi kan konkludere, at den største tangenthældning til grafen for f er bestemt til 3.
c)
Volumen af messing, der skal benyttes til fremstilling af klokken, er givet ved differensen mellem
omdrejningslegemet der fremkommer, når grafen for f drejes 360° omkring y-aksen i intervallet x [-k; k]
dvs. x [-2,1138814; 2,1138814], og omdrejningslegemet, der fremkommer, når grafen for g drejes 360°
omkring y-aksen i intervallet x [-k; k] dvs. x [-2,1138814; 2,1138814]:
Vi har, at både f(x) og g(x) er aftagende i intervallet x [0; 2,1138814] = [a; b], desuden ved vi, at amplituden
og bølgelængden til grafen for f er størst dvs. f > g i intervallet, dvs. at volumen af messinget til klokken er
givet ved:


󰇛
󰇜

󰇛
󰇜
 󰇛󰇜


󰇧
 󰇛󰇜


󰇨

Til fremstilling af klokken, skal der bruges et rumfang messing svarende til 6,21 cm
3
(afrunde til 2 decimaler).
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 14. december 2016
15
Løsning med Maple™
Alle opgaver er regnet med Maple, da vores erfaring viser, at det er et stærkt værktøj at anvende. Husk at
skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af Maple som første linje til
besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra Maples Gym-pakken egen
formelsamling. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!
(1.2.1)(1.2.1)
(1.2.2)(1.2.2)
(1.1.2)(1.1.2)
(1.1.3)(1.1.3)
(1.1.1)(1.1.1)
Opgave 1
a)
Vi undersøger om punktet (A2,1; -1,7; 0) ligger i planen ved at indsætte punktet i ligningen for
planen og
reducere:
Vi definerer ligningen for planen :
Vi substituerer punktet A ind i ligningen for planen og reducerer:
Vi kan konkludere, at punktet A opfylder planens ligning, og dermed ligger punktet i planen.
b)
Vi bestemmer vinklen mellem planen og xy-planen ved at bestemme vinklen mellem en
normalvektor til
de to planer.
Vi definerer de to normalvektorer. En normalvektor til xy-planen vil være en vektor, der kun
består af en
z-koordinat. Vi vælger en tilfældig normalvektor til xy-planen og definerer den:
Vi aflæser og definere en normalvektor til planen :
Vi bestemmer vinklen mellem de to normalvektorer:
(1.3.1)(1.3.1)
(1.2.3)(1.2.3)
(1.3.3)(1.3.3)
(1.3.4)(1.3.4)
(1.3.2)(1.3.2)
Da v > 90°, betegner v den spidse vinkel mellem planerne.
Den spidse vinkel mellem planen og xy-planen er bestemt til 72,12° (afrundet til 2 decimaler).
c)
Vi bestemmer parameterværdien for z = 4,9, ved at indsætte værdien for z i koordinatligningen for
z og
derved løse for parameterværdien t:
Vi definerer koordinatligningen for z:
Vi løser for t i, hvor z = 4,9:
796
Vi indsætter parameterværdien og bestemmer koordinaterne til punktet P:
Vi definerer parameterfremstillingen for linjen P:
Vi bestemmer punktet P:
Vi har vist, at koordinaterne for P er (2,27; 0; 4,9) (afrundet).
d)
Vi bestemmer afstanden fra punktet P til planen :
Vi omskriver ligningen for planen til normalformen og definerer:
(1.4.1)(1.4.1)
(1.4.2)(1.4.2)
(1.4.3)(1.4.3)
Vi aflæser og definerer en normalvektor til planen :
Vi bestemmer afstanden fra planen til punktet P:
Afstanden fra punktet P til planen er bestemt til 1,67 (afrundet til 2 decimaler).
(2.1.2)(2.1.2)
(2.1.1)(2.1.1)
(1.4.1)(1.4.1)
Opgave 2
a)
Vi opstiller og definerer lister med data og indteger dataet i et passende koordinatsystem:
b)
Vi har, at udviklingen sker eksponentielt, vi bestemmer derfor en forskrift for c med eksponentiel
regression
(2.3.1)(2.3.1)
(1.4.1)(1.4.1)
(2.2.1)(2.2.1)
af dataet:
Vi opskriver (og definerer til senerer brug) en forskrift for c som funktion af tiden t:
En forskrift for c, hvor t > 0, er bestemt til udtrykket herover.
c)
Vi definerer a som a = 0,70012:
0.70012
Vi bestemmer halverinstiden for c:
(2.3.3)(2.3.3)
(2.4.1)(2.4.1)
(2.3.2)(2.3.2)
(1.4.1)(1.4.1)
Halveringstiden er bestemt til 1,94 timer (afrundet til 2 decimaler).
d)
Vi har, at præparatet ikke virker smertestillende længere, når koncentrationen er faldet til 0,3
mg/L. Vi
bestemmer tidspunktet, hvor præparatet ikke længere virker smertestillende, ved at løse for t i c(t)
= 0,3:
69
Ifølge modellen vil præparatet ikke virke smertestillende længere efter ca. 6,5 timer (afrundet til 1
decimal).
(3.2.1)(3.2.1)
(1.4.1)(1.4.1)
Opgave 3
a)
Vi tegner banekurven for t [-5; 5]:
b)
Vi definerer vektorfunktionen:
Dvs. de stedvise koordinatfunktioner bliver:
(3.2.2)(3.2.2)
(3.2.7)(3.2.7)
(3.2.4)(3.2.4)
(1.4.1)(1.4.1)
(3.2.6)(3.2.6)
(3.2.9)(3.2.9)
(3.2.3)(3.2.3)
(3.2.5)(3.2.5)
(3.2.8)(3.2.8)
Vi bestemmer banekurvens skæringer med y-aksen. Vi har, at for banekurvens skæring med y-
aksen er x = 0
dvs.:
Vi indsætter parameterværdierne i vektorfunktionen og bestemmer skæringen med y-aksne:
Og:
Vi har, at banekurven skærer y-aksen i S1y(0; 0,24) og S2y(0; -0,59) (afrundet til 2 decimaler).
Vi bestemmer banekurvens skæringer med x-aksen. Vi har, at for banekurvens skæring med x-
aksen er y = 0
dvs.:
Vi indsætter parameterværdierne i vektorfunktionen og bestemmer skæringen med y-aksen:
Og:
Vi har, at banekurven skærer x-aksen i S1x(-0,73; 0) og S2x(2,73; 0) (afrundet til 2 decimaler).
(3.3.2)(3.3.2)
(1.4.1)(1.4.1)
(3.3.3)(3.3.3)
(3.3.1)(3.3.1)
(3.3.4)(3.3.4)
c)
En ligning for tangenten består af skæringen med y-aksen i x = 0 samt hældningen for linjen.
Hældningen for linjen kan bestemmes vha. tangentevektoren for banekurven til t = 0. Vi
bestemmer
tangentvektoren til t = 1:
Vi differentierer vektorfunktionen:
Vi definerer den differentierede vektorfunktion som k(t):
Vi bestemmer tangentenvektoren til t = 1:
Vi har, hældningen for vektoren og dermed hældningen for linjen kan aflæses som y-koordinaten,
når x-
koordinaten er lig 1, dvs. at vi dividerer med 3:
Vi kan aflæse hældningen for ligningen til tangenten for t = 1 til:
0,236 (afrundet til 3 decimaler).
Vi kender nu hældningen for linjen. For at betemme skæringen med y-aksen i x = 0 mangler vi at
kende
et punkt på linje. Vi bestemmer punktet som da vi ved at punktet ligger på linjen:
(3.3.5)(3.3.5)
(1.4.1)(1.4.1)
I dette tilfælde, kan skæringen med y-aksen aflæses direkte fra udtrykket herover, da x-
koordinaten er lig 0.
Vi opskriver en ligning for tangenten:
= 0,236 x - 0,586
En ligning for tangenten er bestemt til udtrykket herover.
(3.3.5)(3.3.5)
(1.4.1)(1.4.1)
Opgave 4
Opgave 4 relatrerer sig til forberedelsesmaterialet.
a)
Rekursionligningen, der svarer til Eulers metode for en differentialligning er generelt givet ved:
Vi har differentialligningen , hvor n = 0, 1, 2,... dvs.:
Udtrykket er identisk med udtrykket i opgaveformuleringen, vi har dermed vist, at
rekursionsligningen for
Eulers metode er givet ved ovenstående udtryk.
b)
Hvis = , n = 0, 1, 2,... er en løsning til rekursionsligningen, skal = , n = 0, 1, 2,...
opfylde:
(3.3.5)(3.3.5)
(1.4.1)(1.4.1)
Vi har dermed vist, at = , n = 0, 1, 2,... er en løsning til rekursionligningen.
c)
Vi har rekursionligningen:
Formen for rekursionsligningen kan identificeres til:
Derved er samtlige løsninger givet ved:
Dvs.:
Vi har, at samtlige løsninger er bestemt til ovenstående udtryk.
d)
Vi har begyndelsesværdien = 1, dvs. y(0) = 1, vi har da:
Vi isolerer k:
Vi opskriver rekursionligningen, der opfylder = 1:
(3.3.5)(3.3.5)
(1.4.1)(1.4.1)
Løsningen til rekursionsligningen, der opfylder = 1, er bestemt til ovenstående udtryk.
(3.3.5)(3.3.5)
(1.4.1)(1.4.1)
(5.1.1)(5.1.1)
(5.2.1)(5.2.1)
(5.1.2)(5.1.2)
(5.1.3)(5.1.3)
Opgave 5
a)
Vi bestemmer vinkel V med Maples trekantsløser. Vi benytter, at vinkel v svarer til halvdelen af
den
stumpe vinkel i trekant PQv, da alle cirklernes centrum ligger på en ret linje.
I Maples trekantsløser svarer vinkel v til 1/2 gang vinkel B.
Vi bestemmer og definerer vinkel v:
78
For en god ordens skyld omregner vi vinkel v fra grader til radianer til senere brug i opgaven:
Vinkel v er bestemt til 0,814 radianer (afrundet til 3 decimaler).
b)
Vi har, at buelængden af det røde stykke består af halvdelen af omkredsen af den lille cirkel og
differnsen
mellem halvdelen af omkredsen af den store cirkel og buelængden som svarer til vinkel v i den
store cirkel:
Vi bestemmer buelængdenv ved:
725
Vi bestemmer halvdelen af omkredsen af den store cirkel:
(5.2.4)(5.2.4)
(3.3.5)(3.3.5)
(5.2.2)(5.2.2)
(5.2.3)(5.2.3)
(1.4.1)(1.4.1)
(5.3.2)(5.3.2)
(5.3.1)(5.3.1)
Vi bestemmer halvdelen af omkredsen af den lille cirkel:
Vi har at længden af kurven er givet ved:
Længden af kurven er bestemt til 1,91 m (afrundet til 2 decimaler).
c)
Vi har, at arealet af det tonede område udgøres af differensen mellem hhv. summen af arealet for
de to
store cirkler og 4 gange arealet af cirkelafsnittet PQ.
Vi beregner arealet af cirklen med en raidus på 0,55 m:
Vi beregner arealet af cirkelafsnittet PQ (I):
(5.3.3)(5.3.3)
(3.3.5)(3.3.5)
(5.3.4)(5.3.4)
(1.4.1)(1.4.1)
Vi har, at arealet af det tonede område er givet ved:
Arealet af det tonede område er bestemt til 1,52 (afrundet til 2 decimaler).
OBS:
(I): Arealet af et cirkelafsnit (det gule område) kan beregnes ved:
Illustration:
(6.1.2)(6.1.2)
(3.3.5)(3.3.5)
(6.1.1)(6.1.1)
(1.4.1)(1.4.1)
Opgave 6
a)
OBS: Når der regnes med radianer i Maple benyttes lille sin, con og tan mm.:
Vi definerer forskriften for f(x) og g(x):
Bredden af klokken svarer til differensen mellem første skæringspunkte mellem grafen for f og g i
hhv. 1., 2. kvadrant. Vi bestemmer skæringspunkterne mellem graferne for f og g.
Trigonometriske ligninger, kan være
omstændige at løse, derfor tenger vi først graferne for f og g i et passende interval [- ; ]:
(3.3.5)(3.3.5)
(6.1.4)(6.1.4)
(1.4.1)(1.4.1)
(6.1.3)(6.1.3)
Vi kan ud fra graferne nogenlunde se, hvor graferne skærer hinanden første gang i 1. og 2.
kvadrant.
Vi løser nu analytisk for skæringspunkterne vha. fsolve :
For det første skæringspunkt i 2. kvadrant:
For det første skæringspunkt i 1. kvadrant:
28
Vi bestemmer bredden af klokken ved:
(3.3.5)(3.3.5)
(1.4.1)(1.4.1)
(6.1.5)(6.1.5)
Bredden af klokken er bestemt til 4,23 cm (afrundet til 2 decimaler).
b)
Den største tangent hældning til grafen for f, må være når grafen for f har en vendetangent. Vi
bestemmer
vendetangenter til grafen for f i intervallet for x [-k; k] dvs. x [-2,1138817; 2,1138814].
Igen har vi,
at trigonometriske ligninger, kan være omstændige at løse, derfor tegner vi først grafen for den
anden
afledede funktion f'' i et passende interval:
Vi kan ud fra graferne nogenlunde se, hvor graferne skærer hinanden første gang i 1. og 2.
kvadrant.
Vi løser nu analytisk for skæringspunkterne vha. fsolve :
(6.2.4)(6.2.4)
(6.2.3)(6.2.3)
(3.3.5)(3.3.5)
(1.4.1)(1.4.1)
(6.3.1)(6.3.1)
(6.2.2)(6.2.2)
(6.2.1)(6.2.1)
(6.1.5)(6.1.5)
For det første skæringspunkt i 2. kvadrant:
For det første skæringspunkt i 1.kvadrant:
51
Vi undersøger tangenthældningen for de to nulpunkter for den anden afledede funktion:
3.0
Vi kan konkludere, at den største tangenthældning til grafen for f er bestemt til 3.
c)
Volumen af messing, der skal benyttes til fremstilling af klokken, er givet ved differensen mellem
omdrejningslegemet der fremkommer, når grafen for f drejes 360° omkring y-aksen i intervallet x
= [-k; k]
dvs. x [-2,1138814; 2,1138814], og omdrejningslegemet, der fremkommer, når grafen for g
drejes 360°
omrking y-aksen i intervallet x = [-k; k] dvs. x [-2,1138814; 2,1138814]:
Vi har, at både f(x) og g(x) er aftagende i intervallet x = [0; 2,1138814] = [a; b], desuden ved vi
at amplituden
og bølgelængden til grafen for f er størst dvs. f > g i intervallet, dvs. volumen af messinget til
klokken er
givet ved:
Til fremstilling af klokken, skal der bruges et rumfgang messing svarende til 6,21 (afrundet til
2 decimaler).