Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 25. maj 2011
1
HTX Matematik A
25.maj 2011
htx111-MAT/A-
Løsning med WordMat ...................................................................................................................................... 2
Løsning med Maple ......................................................................................................................................... 18
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 25. maj 2011
2
Løsning med WordMat
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formel-
samling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!
WordMat er blevet brugt som CAS-værktøj til løsningen af denne eksamen.
Opgave 1
a)
Punkt B har følgende koordinater:
Da punkt C ligger på x, y planet har punktet z-koordinatet nul. Da trekanten dannet af punkterne ABC er
ligesidet, er C’s x-koordinat det halve af sidelængden.
For at bestemme punkt C’s y-koordinat bestemmer vi højden i trekant ABC vha. WordMats trekantløser. Vi
opstiller en retvinklet trekant, som har hypotenusen AC.
WordMats trekantsløser anvendes med input: = 90°, = 7,5, = 15
A = 60°
C = 30°
= 90°
h = 12,99038
= 7,5
AC = 15
Længden af siden h findes vha. Pythagoras
60°
30°
90°
13
7,5
15
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 25. maj 2011
3
C har koordinaterne:
b)
Linjens parameterfremstilling opstilles på følgende form:
Hvor
er et punkt på linjen, t er parameteren og
er retningsvektorens koordinater.
Vi bestemmer retningsvektorens koordinater ud fra punkt B og E.
Du skal være opmærksom på, at når du bruger WordMat til at beregne en vektor ud fra to punkter, så skal
du opstille punkterne som en vektor (Design - matrix)
Vi vælger punkt B som fast punkt på linjen og opstiller parameterfremstillingen:
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 25. maj 2011
4
c)
Vi bestemmer planets ligning på normalform:
Hvor
er koordinaterne til en normalvektor på planet og
er koordinaterne til et punkt på
planet.
Punkt B benyttes som fast punkt i planet. Normalvektoren bestemmes ud fra krydsproduktet af to ikke-
parallelle vektorer i planet. Vi bestemmer
og
ud fra punkterne A, B og E, som defineres:
Vektor AB bestemmes:
Vektor AE bestemmes:
Normalvektoren bestemmes ud fra krydsproduktet af vektor AB og AE:
Normalvektorens koordinater og koordinaterne for punkt B indsættes i ligningen. Ligningen for planet, som
er en del af, er givet ved:
Udtrykket reduceres vha. CAS-værktøjet WordMat.
d)
Indtegnes medianerne i pyramidens grundflade, dannes seks ens retvinklede trekant. Se skitsen nedenfor.
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 25. maj 2011
5
Kateternes længde er lig D’s x- og y-koordinat. Kateten kaldet x er lig den halve sidelængde:
Vinkel Q er lig:
Længden af y bestemmes vha. WordMats trekantløser.
WordMats trekantsløser anvendes med input: Q = 60°, = 90°, x = 7,5
A = 30°
Q = 60°
= 90°
y = 4,330127
x = 7,5
= 8,660254
Længden af siden y findes vha. tangens
For at bestemme D’s z-koordinat opstilles en retvinklet trekant med siden AD som hypotenuse:
30°
60°
90°
4,33
7,5
8,66
x
y
Q
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 25. maj 2011
6
Vi kender længden af AD og AP og kan derved beregne længden DP.
WordMats trekantsløser anvendes med input: P = 90°, AP = 8,660254, AD = 15
A = 54,73561°
D = 35,26439°
P = 90°
DP = 12,24745
AP = 8,660254
AD = 15
Længden af siden DP findes vha. Pythagoras
Vi kan nu opstille D’s koordinater:
54,7°
35,3°
90°
12,2
8,66
15
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 25. maj 2011
7
Opgave 2
a)
Vi indsætter dataet i et koordinatsystem og foretager en regression.
Potenstendenslinjen stemmer fuldstændig overens med punktserien, da den kvadrerede R-værdi er lig 1.
Tendenslinjen har følgende forskrift:
Som er af typen:
b)
Det ses af forskriften funktionen, som viser punktseriens sammenhæng, at:
c)
Vi løser differentialligningen for c(0)=0,1:
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen c(0)=0,1
y = 330000x
2
R² = 1
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06
reaktionshastighed
Koncentration
Reaktionshastigheden som funktion af
koncentration
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 25. maj 2011
8
d)
Vi plotter løsningen:
e)
Vi definerer funktionen:
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Til tidspunktet 0,716 er koncentrationen 0,05 M.
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 25. maj 2011
9
Opgave 3
a)
Skæringspunktet med x-aksen bestemmes ved at sætte y-funktionen for lig nul.
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Flyet lander i tidspunkt:
b)
Vi bestemmer længden af hastighedsvektoren til tiden t=0,08. Hastighedsvektoren er lig den differentierede
vektorfunktion.
Farten er lig 204 km/h
c)
Vi omskriver vektorfunktionerne til almindelige funktioner. Vi isolerer t i funktionen for x for det blå fly:
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Udtrykket for t indsættes i y-funktionen:
Vi benytter samme metode for vektorfunktionen for det røde fly:
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 25. maj 2011
10
Vi bestemmer x-koordinatet til skæringen mellem de to funktioner:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi benytter højeste x-koordinatet, da det passer bedst overens med figur 2. Vi bestemmer y-
koordinatet:
P har følgende koordinat:
d)
Vi undersøger om flyene er ved skæringspunktet på samme tid. Vi bestemmer t-værdien til skæringspunktet
for det blå fly:
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi bestemmer t-værdien til skæringspunktet for det røde fly:
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Da flyene ikke er ved skæringspunktet P på samme tidspunkt, så kolliderer flyene ikke.
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 25. maj 2011
11
Opgave 4
a)
Vi skal bestemme funktionens maksimum og minimum.
R(x) defineres:
For at undersøge monotoniforholdene for r bestemmes først nulpunkter for r’. Dette gøres ved at løse
ligningen:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi udregner nu fortegnet for r’ på begge sider af alle nulpunkterne:
Vi sammenfatter dette i en monotonilinje:
-
0
+
0
-
↘
↗
↘
f har lokalt minimum for
f har lokalt maksimum for
Vi bestemmer de tilførende funktionsværdier for maksimum og minimum.
Glassets mindste radius er:
Glassets største radius er:
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 25. maj 2011
12
b)
Vi benytter følgende formel for rumfanget af en funktion f drejet om x-aksen i intervallet (a, b):
Vi har givet følgende grænseværdier i opgaven:
Vi indsætter formlen og grænseværdierne i formlen og udregner integralet vha. WordMat:
Der kan være 460,6 cm
3
cola i glasset.
c)
Vi indsætter det givne rumfang i formlen for beregning af rumfang og isolerer for slutgrænseværdien.
Ligningen løses for b vha. CAS-værktøjet WordMat.
Højden af væsken er 9,89 cm
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 25. maj 2011
13
Opgave 5
(3) Funktionen
differentieres.
(4) Funktionen y
P
(t) og den differentierede funktion y
P
’(t) indsættes på venstre side af lighedstegnet i
differentialligningen.
(5) Venstre side af differentialligningen reduceres. Parentesen opløses ved at gange 3 ind i alle led i
parentesen.
(6) Sinus-leddene og cosinus-leddene samles hver for sig i to parenteser
(7) Sinus og cosinus-faktorerne sættes uden for parentes i hvert sit led.
(8) Venstre og højre side af differentialligningen sættes lig hinanden
(9) Da højre side af ligningen giver , udledes der at den første faktor i første led er lig nul og den første
faktor i andet led er lig 1.
(10) A og B bestemmes vha. to ligninger med to ubekendte. Vi opstiller de to ligninger og giver dem numre:
Vi isolerer B i ligning II
Ligningen løses for B vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi indsætter udtrykket for B i ligning I og bestemmer A
Ligningen løses for A vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi har nu bestemt A og kan indsætte denne værdi i udtrykket for B:
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 25. maj 2011
14
Læg mærke til at i eksamenssættet er værdierne for A og B opstillet som brøker.
(11) Værdierne for A og B indsættes i funktionen y
p
(t):
(12) Den generelle løsning til differentialligningen y’(t) er følgende:
Vi indsætter y
P
(t):
Vi indsætter nu værdierne for A og B:
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 25. maj 2011
15
Opgave 6
a)
Vi benytter afstandsformlen for at bestemme for afstanden mellem to punkter:
Punkterne A og C
1
har koordinaterne:
Vi indsætter koordinaterne i formlen.
Afstanden er 2,6 dm
b)
Cirklens ligning gives på følgende form:
Hvor (a, b) er centrum C
1
og r er radius |AC
1
|. Vi opstiller ligningen:
c)
Vi benytter følgende formel til beregning af udsnitsvinklen:
Hvor v er vinklen mellem to vektorer, og
.
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 25. maj 2011
16
Vi definerer punkterne og opstiller vektorerne:
Vi indsætter vektorerne i formlen.
Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat.
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 25. maj 2011
17
Vinkel i cirkeludsnittet er 91,05
o
d)
Vi opstiller to ligninger med to ubekendte. Første ligning er afstandsformlen for afstanden mellem punkt C
3
og E.
Vi opstiller anden ligning som er afstandsformlen for afstanden mellem punkt D og C
3
Vi isolerer for x
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi indsætter udtrykket for x i den første ligning.
Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi kan ud fra figur 4 se, at det er y=2,65, som er den korrekte værdi i dette tilfælde.
C
3
har koordinaterne (11; 2,65).
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 25. maj 2011
18
Løsning med Maple
Alle opgaver er regnet med Maple, da vores erfaring viser, at det er et stærkt værktøj at anvende. Husk at
skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af Maple som første linje til
besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra Maples Gym-pakken egen
formelsamling. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!
(1.1.2)(1.1.2)
(1.2.2)(1.2.2)
(1.1.3)(1.1.3)
(1.1.4)(1.1.4)
(1.2.3)(1.2.3)
(1.2.1)(1.2.1)
(1.1.1)(1.1.1)
Alle beregninger er udført med Maple som CAS-værktøj . Maple bruger "." som decimaladskiller.
Opgave 1
a)
Punkt B har følgende koordinater:
Da punkt C ligger på x,y planet har punktet z-koordinatet nul. Da trekanten dannet af
trekantværktøj. Vi opstiller en retvinklet trekant, som har hypotenusen AC.
C har koordinaterne:
b)
Parameterfremstillingen for linjen med B benyttet som fast punkt og med retningsvektoren
opstilles på følgende form:
Hvor t er en parameter. Vi definerer punkt E:
Vi bestemmer retningsvektoren:
Vi benytter B sopm fast punkt og opstiller parameterfremstillingen:
(1.3.5)(1.3.5)
(1.3.2)(1.3.2)
(1.3.4)(1.3.4)
(1.3.3)(1.3.3)
(1.2.4)(1.2.4)
(1.3.1)(1.3.1)
Linjen gennem punkt B og E har parameterfremstillingen:
c)
Vi definerer punkterne:
A
B
E
Vi bestemmer planet og generer en ligning for planet:
`while processing result`
`while processing result`
Ligningen for planet er givet ved:
d)
Indtegnes medianerne i pyramidens grundflade, dannes seks ens retvinklede trekant. Se skitsen
nedenfor.
(1.4.3)(1.4.3)
(1.2.4)(1.2.4)
(1.4.2)(1.4.2)
(1.4.1)(1.4.1)
Q
x
y
Vinkel Q bestemmes:
Længden af y bestemmes vha. Maples værktøj til at løse trekanter.
med siden AD som hypotenuse:
(1.2.4)(1.2.4)
(1.4.5)(1.4.5)
(1.4.4)(1.4.4)
A
D
B
C
P
z
x
y
Vi kender længden af AD og AP og kan derved beregne længden DP.
Længden DP er lig 12,25. Vi kan nu opstille D's koordinater:
(2.1.2)(2.1.2)
(1.2.4)(1.2.4)
(2.1.1)(2.1.1)
Opgave 2
a)
Vi definerer punktserien og foretager en potens regression.
Potenstendenslinjen stemmer fuldstændig overens med punktserien, da den kvadrerede R-
værdi er lig 1. Tendenslinjen har følgende forskrift:
b)
Vi bestemmer koefficienterne:
(2.4.1)(2.4.1)
(1.2.4)(1.2.4)
(2.3.1)(2.3.1)
(2.2.1)(2.2.1)
(2.3.2)(2.3.2)
n er lig 2 og k er lig 330000.
c)
Vi løser differentialigningen med for c(0)=0,1:
Løsningen for startbetingelsen er:
d)
Vi definerer løsningsfunktionen:
Vi plotter løsningen:
(1.2.4)(1.2.4)
(2.5.1)(2.5.1)
(2.2.1)(2.2.1)
e)
Funktionen sættes lig 0,05 og vi bestemmer t:
877
Til tidspunktet 0,716 er koncentrationen 0,05 M.
(3.3.3)(3.3.3)
(3.1.2)(3.1.2)
(3.3.2)(3.3.2)
(3.2.1)(3.2.1)
(3.2.3)(3.2.3)
(3.3.1)(3.3.1)
(1.2.4)(1.2.4)
(3.1.1)(3.1.1)
(3.2.2)(3.2.2)
(2.2.1)(2.2.1)
Opgave 3
a)
Skæringspunktet med x-aksen bestemmes ved at sætte y-funktionen for r(t) lig nul. Vi
definerer funktionen:
Flyet lander i tidspunkt: 0,083 timer.
b)
Vi definerer vektorfunktionen for det røde fly:
Vi bestemmer længden af hastighedsvektoren til tiden t=0,08. Hastighedsvektoren er lig den
differentierede vektorfunktion.
= 84
Farten er lig 204 km/h.
c)
Vi omskriver vektorfunktionerne til y-funktioner:
Funktionen for det blå fly er
(3.3.6)(3.3.6)
(3.4.2)(3.4.2)
(3.3.5)(3.3.5)
(3.3.4)(3.3.4)
(3.4.1)(3.4.1)
(3.3.7)(3.3.7)
(1.2.4)(1.2.4)
(2.2.1)(2.2.1)
Funktionen for det røde fly er
Vi bestemmer x-koordinatet til skæringen mellem de to funktioner:
Vi benytter højeste x-koordinatet, da det passer bedst overens med figur 2. Vi bestemmer y-
koordinatet:
941
P har følgende koordinat:
d)
Vi undersøger om flyene er ved skæringspunktet på samme tid. Vi bestemmer t-værdien til
skæringspunktet for det blå fly:
Vi bestemmer t-værdien til skæringspunktet for det røde fly:
Da flyene ikke er ved skæringspunktet P på samme tidspunkt, så kolliderer flyene ikke.
(4.1.1)(4.1.1)
(4.1.3)(4.1.3)
(4.1.2)(4.1.2)
(4.3.1)(4.3.1)
(4.2.1)(4.2.1)
(1.2.4)(1.2.4)
(2.2.1)(2.2.1)
(4.2.2)(4.2.2)
Opgave 4
a)
Vi definerer funktionen:
Vi minimerer funktionen og bestemmer derved den mindste radius:
06
Den mindste radius er 2,45 cm. Vi maksimerer funktionen:
68
Den største radius er 3,9 cm.
b)
Vi benytter følgende formel for rumfanget af en funktion r drejet om x-aksen i intervallet (a,b)
:
Vi definerer grænseværdierne a og b:
0
14.5
Vi indsætter formlen og grænseværdierne i formlen og udregner integralet:
= 36
Der kan være 460,6 cola i glasset.
c)
Vi indsætter det givne rumfang i formlen for beregning af rumfang og isolerer for
slutgrænseværdien.
Højden af væsken er 9,89 cm.
(5.1.1)(5.1.1)
(5.1.3)(5.1.3)
(5.1.4)(5.1.4)
(1.2.4)(1.2.4)
(5.1.2)(5.1.2)
(2.2.1)(2.2.1)
Opgave 5
a)
(3)
Funktionen differentieres:
=
(4)
Funktionen og den differentierede funktion indsættes på venstre side af
lighedstegnet i differentialligningen.
(5)
Venstre side af differentialligningen reduceres. Parentesen opløses ved at gange 3 ind i alle led
i parentesen.
(6)
Sinus-leddene og cosinus-leddene samles hver for sig i to parenteser.
(7)
Sinus og cosinus-faktorerne sættes uden for parentes i hvert sit led.
(8)
Venstre og højre side af differentialligningen sættes lig hinanden.
(9)
Da højre side af ligningen giver cos(2t), udledes der at den første faktor i første led er lig nul
og den første faktor i andet led er lig 1.
(10)
A og B bestemmes vha. to ligninger med to ubekendte. Vi opstiller de to ligninger og giver
dem numre:
Vi isolerer B i ligning II:
Vi indsætter udtrykket for B i ligning I og bestemmer A:
Vi har nu bestemt A og kan indsætte denne værdi i udtrykket for B:
(11)
Værdierne for A og B indsættes i funktionen
(12)
(5.1.5)(5.1.5)
(1.2.4)(1.2.4)
(2.2.1)(2.2.1)
(5.1.6)(5.1.6)
Vi indsætter nu værdierne for A og B:
(6.3.2)(6.3.2)
(6.3.4)(6.3.4)
(6.3.6)(6.3.6)
(6.3.3)(6.3.3)
(6.2.2)(6.2.2)
(6.2.1)(6.2.1)
(6.1.1)(6.1.1)
(1.2.4)(1.2.4)
(6.3.1)(6.3.1)
(6.3.5)(6.3.5)
(2.2.1)(2.2.1)
Opgave 6
a)
Vi benytter afstandsformlen for at bestemme for afstanden mellem to punkter:
Vi indsætter koordinaterne:
Afstanden er 2,63 dm
b)
Cirklens ligning gives på følgende form:
Hvor (a,b) er centrum og r er radius . Vi opstiller ligningen:
c)
Vi bestemmer vinklen mellem vektor og . Punkterne defineres:
Punkt D kaldes af hensyn til Maple:
Vi kalder for a og vektor for b. Vektorerne opstilles:
Vi bestemmer vinklen mellem vektorerne:
06
(6.4.1)(6.4.1)
(1.2.4)(1.2.4)
(2.2.1)(2.2.1)
Vinkel i cirkeludsnittet er 91,05
d)
Vi opstiller to ligninger med to ubekendte. Første ligning er afstandsformlen for afstanden
mellem punkt og E og anden ligning er afstandsformlen for afstanden mellem punkt D og
Vi kan ud fra figur 4 se at det er det første koordinatsæt, som tilfører punktet . har derved
koordinaterne