Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 27.maj 2010
1
HTX Matematik A
27. maj 2010
htx101-MAT/A-
Løsning med WordMat ...................................................................................................................................... 2
Løsning med Maple ......................................................................................................................................... 21
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 27.maj 2010
2
Løsning med WordMat
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formel-
samling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!
WordMat er blevet brugt som CAS-værktøj til løsningen af denne eksamen.
Opgave 1
a)
Det ses af opgaveteksten at funktionen f består af to funktioner, som skærer hinanden i x=x
A
Vi sætter de to funktioner lig hinanden og isolerer for x.
Vi brugte TI-nSpire til at beregne denne opgave, da det ikke var muligt at foretage beregningen med
WordMat.
b)
Vi benytter følgende formel for arealet under en funktion afgrænset af x-aksen og grænseværdierne a og b:
Vi udregner arealet under funktionerne g og h hver for sig:
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 27.maj 2010
3
Arealet under g er 48,8 cm
2
Arealet under h er 12,27 cm
2
. Vi bestemmer det samlede arealet:
Det samlede areal af det gråtonede område er 61,1 cm
2
c)
Vi benytter følgende formel for voluminet af et omdrejningslegeme drejet om x-aksen og afgrænset af
værdierne a og b:
Vi bestemmer voluminet af omdrejningslegeme for g og h hver for sig:
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 27.maj 2010
4
Det samlede volumen af lampefoden er:
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 27.maj 2010
5
Opgave 2
a)
Arealet af en cirkel bestemmes ud fra følgende formel:
Vi indsætter størrelsen for radius:
Arealet af det cirkulære hul er 19,6 cm
2
b)
Vi udregner arealet af femkanten vha. følgende formel:
Hvor n er antallet af kanter og b er sidelængden.
Arealet af femkanten er 84,3 cm
2
Vi beregner arealet af pladeresten:
Vi kan nu beregne procentdelen:
Femkantens areal udgør 58,5 % af pladerestens areal.
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 27.maj 2010
6
c)
Da punkt E ligger på x-aksen, og vi kender femkantens sidelængde er punktets koordinater:
Vinkel O i de fem ligebenede trekanter, som femkanten kan deles op i, kan bestemmes ud fra følgende
formel:
Hvor n er antal kanter.
Koordinatsættet til C bestemmes ud fra de længder, som vises på nedenstående skitse:
For at bestemme koordinaterne til punkt C bestemmes først højden i trekant AEO. Længden x er det halve
af femkantens sidelængde:
Derudover kender vi vinklen, kaldet G på skitsen, som er lig det halve af vinkel O:
Vi benytter WordMats trekantløser til at bestemme længden af h:
WordMats trekantsløser anvendes med input: G = 36°, H = 90°, x = 3,5
x
y
G
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 27.maj 2010
7
A = 54°
G = 36°
H = 90°
h = 4,817337
x = 3,5
AG = 5,954556
Vinkel A findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
Længden af siden AG findes vha. cosinus
Længden af siden h findes vha. tangens
Punkt C’s y-koordinat er lig summen af længden af h og længden OC. H er lig 4,82 cm. Længden OC er lig
længden AG, som er lig 5,95 cm. Y-koordinatet til punkt C er derfor lig:
Punkt C har følgende koordinatsæt:
Koordinaterne til D bestemmes ud fra længderne tegnet på nedenstående skitse:
A
G
H
h
x
AG
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 27.maj 2010
8
Vinkel E i trekant EDI bestemmes:
Da vi kender længden ED, vinkel E og vinkel I i trekant EDI, kan vi vha. WordMats trekantløser bestemme
alle størrelserne i trekanten:
WordMats trekantsløser anvendes med input: E = 72°, I = 90°, ED = 7
E = 72°
D = 18°
I = 90°
ID = 6,657396
EI = 2,163119
ED = 7
Vinkel D findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
Længden af siden ID findes vha. sinus
E
D
I
ID
EI
ED
i
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 27.maj 2010
9
Længden af siden EI findes vha. cosinus
Længden ID er lig D’s y-koordinat. x-koordinatet er lig summen af femkantens sidelængde og længden EI:
D har følgende koordinatsæt:
d)
Cirklens ligning gives på følgende form:
Hvor (a,b) er cirklens centrums koordinater og r er radius. O’s koordinater er det halve af femkantens
sidelængde og længden h, som er beregnet tidligere i opgaven:
Radius er givet i opgaven. Vi opstiller ligningen:
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 27.maj 2010
10
Opgave 3
a)
Punkterne , og har følgende koordinatsæt:
Vi bestemmer planets ligning på normalform:
Hvor
er koordinaterne til en normalvektor på planet og
er koordinaterne til et punkt på
planet.
Punkt G benyttes som fast punkt i planet. Normalvektoren bestemmes ud fra krydsproduktet af to ikke-
parallelle vektorer i planet. Normalvektoren bestemmes ud fra krydsproduktet af vektor AE og AG. er
centrum i koordinatsystemet, så
og
er blot givet ved stedvektorerne for hhv. og . Vi får så:
Normalvektorens koordinater og koordinaterne for punkt B indsættes i ligningen. Ligningen for planet, som
er en del af, er givet ved:
Udtrykket reduceres vha. CAS-værktøjet WordMat.
Ligningen for planet α er givet ved:
b)
Vinkel på tegningen måles i et punkt . Punkterne og har følgende koordinatsæt:
Vinkel er vinklen mellem vektorerne
og
. Vi definerer vektorerne vha. de opskrevne punkters
koordinater:
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 27.maj 2010
11
Vinklen mellem vektorerne bestemmes vha. følgende formel:
Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vinkel er 116,56
o
c)
Vi opstiller parameterfremstilingen på følgende form:
Hvor t er en parameter,
er et punkt på linjen og
er linjens retningsvektor.
Vi kender punkt H, som ligger på linjen. Normalvektoren til planet AEG er linjens retningsvektor, da den star
vinkelret på planet. Vi opstiller parameterfremstillingen:
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 27.maj 2010
12
Opgave 4
Opgave 4 relaterer sig til forberedelsesmaterialet.
a)
Vi opskriver ulighederne:
Vi sætter højre og venstre side af ulighederne lig hinanden og isolerer for y:
Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi har nu tre forskrifter for linjer, som vi indsætter i et koordinatsystem:
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 27.maj 2010
13
b)
Vi definerer kriteriefunktionen:
Vi bestemmer niveaulinjer for kriteriefunktionen til voksende værdier af z:
Vi sætter z til 1:
Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi sætter z til 2:
Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi sætter z til 3:
Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi sætter z til 4:
Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi indtegner niveaulinjerne:
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 27.maj 2010
14
Vi bestemmer det det punkt i polygonområdet, hvor niveaulinjen for kriteriefunktionen kommer ind i
polygonområdet. Den mindste værdi er punktet, hvor den blå linje og den orange linje skærer hinanden. Vi
sætter funktionerne lig hinanden og isolerer for x:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi indsætter x-værdien i forskriften for en af linjerne:
Punktet P har følgende koordinater:
Den mindste værdi bestemmes:
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 27.maj 2010
15
Den mindste værdi er 3,21.
c)
Vi definerer kriteriefunktionen og isolerer for y:
Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Det ses her, at dette er en linje med hældningskoefficienten −a. Der ses nu på de to følgende funktioner og
hældning a aflæses i begge:
Hvis P skal være en optimal løsning til optimeringsproblemet, så skal a altså være inden for det følgende
interval:
Ud fra dette kan det også konkluderes, at a's størst mulige værdi må være:
Hvis a kommer over denne værdi, vil punktet P ikke være den optimale løsning mere, men i stedet punktet
som ligger i skæringen mellem den røde og den lilla funktion.
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 27.maj 2010
16
Opgave 5
a)
Formlen for buelængde er følgende:
Hvor v er udsnitsvinklen, som vi skal bestemme, og r er radius. Vi indsætter de størrelser i formlen, som vi
kender:
Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vinklen v er 152,8
o
b)
Arealet af et cirkelafsnit kan bestemmes vha. følgende formel:
Hvor r er radius og v er udsnitsvinklen. Vi indsætter størrelserne:
Arealet af det gråtonede område er 0,62 m
2
c)
Vi skal først bestemme funktionens maksimum, og vi laver derfor en monotoniundersøgelse:
A defineres:
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 27.maj 2010
17
For at undersøge monotoniforholdene for A bestemmes først nulpunkter for A’. Dette gøres ved at løse
ligningen:
Ligningen løses numerisk for r vha. CAS-værktøjet WordMat.
Bemærk at der regnes med radianer i denne opgave.
Vi udregner nu fortegnet for A’ på begge sider af alle nulpunkterne:
Vi sammenfatter dette i en monotonilinje:
+
0
-
↗
↘
A har maksimum i r=0,64.
Vi bestemmer det størst mulige tværsnitsareal:
Det størst mulige areal er 0,64 m
2
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 27.maj 2010
18
Opgave 6
a)
b)
Vi foretager en eksponentiel regression:
Det ses af forskriften for tendenslinjen at konstanterne a og b er:
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
Koncentration af A(mol/liter)
Tid(timer), t
C(t)
y = 0,2452e
-0,093x
R² = 0,9941
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
Koncentration af A(mol/liter)
Tid(timer), t
C(t)
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 27.maj 2010
19
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 27.maj 2010
20
Opgave 7
Opgave 7 relaterer sig til forberedelsesmaterialet.
a)
Først opstilles kriteriefunktionen for fortjenesten: I skemaet på side 8 i opgavekompendiet ses det, at
paraplyer beskrives som x og parasoller som y. Paraplyer koster pr. stk. 3 kr. og parasoller pr. stk. 40kr.
Kriteriefunktionen for fortjenesten er derfor:
Ulighederne opstilles. Som det ses i skema 2 i opgavekompendiet, så beskriver x paraplyer og y parasoller.
Til begge to bruges et tidsrum, som er opgivet i minutter pr. stk., til henholdsvis syning, montering og til
pakning. Til de tre processer opstilles uligheder.
Syning:
Negativt halvplan, da der maks. er 2500 minutter til rådighed.
Montering:
Negativt halvplan, da der maks. er 1000 minutter til rådighed.
Pakning:
Negativt halvplan, da der maks. er 700 minutter til rådighed.
Vi regner kun i 1. kvadrant, da man ikke kan have en negativ fortjeneste derfor defineres også ulighederne:
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 27.maj 2010
21
Løsning med Maple
Alle opgaver er regnet med Maple, da vores erfaring viser, at det er et stærkt værktøj at anvende. Husk at
skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af Maple som første linje til
besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra Maples Gym-pakken egen
formelsamling. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!
(1.1.1)(1.1.1)
(1.2.1)(1.2.1)
(1.1.2)(1.1.2)
(1.1.3)(1.1.3)
(1.2.2)(1.2.2)
Alle beregninger er udført med Maple som CAS-værktøj . Maple bruger "." som decimaladskiller.
Opgave 1
a)
Det ses af opgaveteksten at funktionen f består af to funktioner, som skærer hinanden i x=xA
Vi sætter de to funktioner lig hinanden og isolerer for x.
Det ses at
b)
Vi benytter følgende formel for arealet under en funktion afgrænset af x-aksen og
grænseværdierne a og b:
Det samlede areal er derved:
Vi indsætter grænseværdierne og bestemmer arealet:
Det samlede areal af det gråtonede område er 61,1
c)
(1.3.1)(1.3.1)
(1.3.2)(1.3.2)
Vi benytter følgende formel for voluminet af et omdrejningslegeme drejet om x-aksen og
afgrænset af værdierne a og b:
Det samlede volumen er derved:
Vi indsætter grænseværdierne:
Volumen af lampefoden er 1270,58 .
(2.2.2)(2.2.2)
(2.2.5)(2.2.5)
(2.2.1)(2.2.1)
(2.1.1)(2.1.1)
(2.2.4)(2.2.4)
(2.2.3)(2.2.3)
Opgave 2
a)
Arealet af en cirkel bestemmes ud fra følgende formel:
Vi definerer radius og bestemmer arealet:
2.5
= 09
Arealet af det cirkulære hul er 19,6
b)
Vi udregner arealet af femkanten vha. følgende formel:
hvor n er antallet af kanter og b er sidelængden. Vi indsætter størrelsen af n og b i formlen:
60
Arealet af femkanten er 84,3 Vi bestemmer arealet af pladeresten:
Vi kan nu beregne procentdelen:
Femkantens areal udgør 58,5% af pladerestens areal.
c)
Da punkt E ligger på x-aksen, og vi kender femkantens sidelængde er punktets koordinater:
(2.3.3)(2.3.3)
(2.3.4)(2.3.4)
(2.3.1)(2.3.1)
(2.3.2)(2.3.2)
Vinkel O i de fem ligebenede trekanter, som femkanten kan deles op i, kan bestemmes ud fra
følgende formel:
hvor n er antal kanter.
Koordinatsættet til C bestemmes ud fra de længder, som vises på nedenstående skitse:
E
D
C
B
A
x
y
O
G
h
For at bestemme koordinaterne til punkt C bestemmes først højden i trekant AEO. Længden x er
det halve af femkantens sidelængde:
Derudover kender vi vinklen, kaldet G på skitsen, som er lig det halve af vinkel O:
(2.3.5)(2.3.5)
(2.3.6)(2.3.6)
(2.3.7)(2.3.7)
(2.3.8)(2.3.8)
(2.3.9)(2.3.9)
(2.3.1)(2.3.1)
Vi bestemmer længden af h vha. Maples trekantløser:
OC er lig længden AG, som er lig 5,95 cm. Y-koordinatet til punkt C er derfor lig:
Punkt C har følgende koordinatsæt:
Koordinaterne til D bestemmes ud fra længderne tegnet på nedenstående skitse:
E
D
C
B
A
x
y
O
I
Vinkel E i trekant EDI bestemmes:
Da vi kender længden ED, vinkel E og vinkel I i trekant EDI, kan vi vha. Maples trekantløser
bestemme alle størrelserne i trekanten:
(2.4.2)(2.4.2)
(2.4.3)(2.4.3)
(2.4.1)(2.4.1)
(2.3.10)(2.3.10)
(2.3.11)(2.3.11)
(2.4.5)(2.4.5)
(2.3.12)(2.3.12)
(2.3.1)(2.3.1)
(2.4.4)(2.4.4)
længden EI:
63
D har følgende koordinatsæt:
d)
Cirklens ligning gives på følgende form:
femkantens sidelængde og længden h, som er beregnet tidligere i opgaven:
3.5
4.82
Radius er givet i opgaven.
2.5
Vi opstiller ligningen:
(3.1.1)(3.1.1)
(3.2.4)(3.2.4)
(2.3.10)(2.3.10)
(3.1.5)(3.1.5)
(3.1.2)(3.1.2)
(3.2.2)(3.2.2)
(3.2.3)(3.2.3)
(3.2.1)(3.2.1)
(3.1.4)(3.1.4)
(3.1.3)(3.1.3)
(2.3.1)(2.3.1)
Opgave 3
a)
Vi definerer punkterne:
A
E
G
Vi bestemmer planet og generer en ligning for planet:
`while processing result`
`while processing result`
Ligningen for planet er givet ved:
b)
Vinkel v på tegningen måles i et punkt:
Koordinaterne punkt C defineres:
Koordinaterne til punkt G defineres:
Vinklen v er lig vinklen mellem vektorerne VG og VC. Vektorerne bestemmes:
(3.2.5)(3.2.5)
(2.3.10)(2.3.10)
(3.3.1)(3.3.1)
(3.3.2)(3.3.2)
(2.3.1)(2.3.1)
(3.2.6)(3.2.6)
Vinklen mellem vektorerne bestemmes:
25
Vinkel v er 116,56
c)
Parameterfremstillingen for linjen m opstilles på følgende form:
Hvor t er en parameter, er et punkt på linjen og er linjens retningsvektor. Vi kender punkt
H, som ligger på linjen. Normalvektoren til planet AEG er linjens retningsvektor, da den star
vinkelret på planet. Vi opstiller parameterfremstillingen:
(3.2.5)(3.2.5)
(4.1.6)(4.1.6)
(4.1.4)(4.1.4)
(2.3.10)(2.3.10)
(4.1.1)(4.1.1)
(4.1.5)(4.1.5)
(4.1.3)(4.1.3)
(4.1.2)(4.1.2)
(2.3.1)(2.3.1)
Opgave 4
Opgave 4 relaterer sig til forberedelsesmaterialet.
a)
Vi opskriver ulighederne:
Vi sætter højre og venstre side af ulighederne lig hinanden og isolerer for y:
Vi har nu tre forskrifter for linjer, som vi indsætter i et koordinatsystem:
(4.2.2)(4.2.2)
(3.2.5)(3.2.5)
(4.2.1)(4.2.1)
(2.3.10)(2.3.10)
(4.2.3)(4.2.3)
(4.2.4)(4.2.4)
(2.3.1)(2.3.1)
b)
Vi definerer kriteriefunktionen:
Vi bestemmer niveaulinjer for kriteriefunktionen til voksende værdier af z:
Vi sætter z til 1:
Vi sætter z til 2:
Vi sætter z til 3:
(4.2.7)(4.2.7)
(4.2.5)(4.2.5)
(3.2.5)(3.2.5)
(4.2.6)(4.2.6)
(4.2.8)(4.2.8)
(2.3.10)(2.3.10)
(2.3.1)(2.3.1)
Vi sætter z til 4:
Vi indtegner niveaulinjerne:
Vi bestemmer det det punkt i polygonområdet, hvor niveaulinjen for kriteriefunktionen kommer
ind i polygonområdet. Den mindste værdi er punktet, hvor den røde linje og den blå linje skærer
hinanden. Vi sætter funktionerne lig hinanden og isolerer for x:
842
assign to a name
x
Vi indsætter x-værdien i forskriften for en af linjerne:
(4.3.2)(4.3.2)
(4.3.5)(4.3.5)
(4.3.4)(4.3.4)
(2.3.10)(2.3.10)
(4.2.9)(4.2.9)
(4.3.7)(4.3.7)
(3.2.5)(3.2.5)
(4.3.8)(4.3.8)
(4.3.6)(4.3.6)
(4.3.1)(4.3.1)
(4.3.3)(4.3.3)
(4.2.10)(4.2.10)
(2.3.1)(2.3.1)
assign
Punktet P har følgende koordinater:
Den mindste værdi bestemmes:
16
Den mindste værdi er 3,21.
c)
Vi definerer kriteriefunktionen og isolerer for y:
Det ses her, at dette er en linje med hældningskoefficienten -a. Vi ser på de to følgende funktioner
og hældningen a aflæses i begge:
Hvis P skal være en optimal løsning til optimeringsproblemet, så skal a altså være inden for det
følgende interval:
Ud fra dette kan det også konkluderes, at a's størst mulige værdi må være:
Hvis a kommer over denne værdi, vil punktet P ikke være den optimale løsning mere, men i stedet
punktet som ligger i skæringen mellem den blå og grønne funktion.
(5.3.1)(5.3.1)
(5.1.3)(5.1.3)
(2.3.10)(2.3.10)
(5.1.1)(5.1.1)
(5.2.1)(5.2.1)
(5.2.2)(5.2.2)
(3.2.5)(3.2.5)
(5.3.2)(5.3.2)
(5.2.3)(5.2.3)
(2.3.1)(2.3.1)
(5.1.2)(5.1.2)
Opgave 5
a)
Formlen for buelængde er følgende:
Hvor v er udsnitsvinklen, som vi skal bestemme, og r er radius. Vi indsætter de størrelser i
formlen, som vi kender:
54
Vinklen v er 152,8
b)
Arealet af et cirkelafsnit kan bestemmes vha. følgende formel:
Hvor r er radius og v er udsnitsvinklen. Vi indsætter størrelserne:
742
Arealet af det gråtonede område er 0,62
c)
A defineres:
Vi optimerer funktionen vha. følgende kommando:
Det størst mulige areal er 0,64
(3.2.5)(3.2.5)
(2.3.10)(2.3.10)
(2.3.1)(2.3.1)
(3.2.5)(3.2.5)
(2.3.10)(2.3.10)
(6.1.1)(6.1.1)
(2.3.1)(2.3.1)
Opgave 6
a)
Vi definerer punktserien:
Vi plotter punkterne:
b)
Vi foretager en eksponentiel regression af punktserien:
(3.2.5)(3.2.5)
(6.2.1)(6.2.1)
(2.3.10)(2.3.10)
(2.3.1)(2.3.1)
Koefficienterne a og b er:
(7.1.9)(7.1.9)
(2.3.10)(2.3.10)
(7.1.8)(7.1.8)
(7.1.4)(7.1.4)
(7.1.6)(7.1.6)
(7.1.7)(7.1.7)
(7.1.2)(7.1.2)
(3.2.5)(3.2.5)
(7.1.1)(7.1.1)
(7.1.5)(7.1.5)
(2.3.1)(2.3.1)
(7.1.3)(7.1.3)
Opgave 7
Opgave 7 relaterer sig til forberedelsesmaterialet.
a)
Først opstilles kriteriefunktionen for fortjenesten: I skemaet på side 8 i opgavekompendiet ses det,
at paraplyer beskrives som x og parasoller som y. Paraplyer koster pr. stk. 3 kr. og parasoller pr.
stk. 40kr.
Kriteriefunktionen for fortjenesten er derfor:
Ulighederne opstilles. Som det ses i skema 2 i opgavekompendiet, så beskriver x paraplyer og y
parasoller. Til begge to bruges et tidsrum, som er opgivet i minutter pr. stk., til henholdsvis
syning, montering og til pakning. Til de tre processer opstilles uligheder.
Syning:
Negativt halvplan, da der maks. er 2500 minutter til rådighed.
Montering:
Negativt halvplan, da der maks. er 1000 minutter til rådighed.
Pakning:
Negativt halvplan, da der maks. er 700 minutter til rådighed.
Vi regner kun i 1. kvadrant, da man ikke kan have en negativ fortjeneste derfor defineres også
ulighederne: