Studiekompasset.dkKlasse: HTX 3. år · Fag: Matematik A
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 27. Maj 2016
1
HTX Matematik A
27. Maj 2016
htx161-MAT/A-
Løsning med WordMat ...................................................................................................................................... 2
Løsning med Maple ......................................................................................................................................... 14
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 27. Maj 2016
2
Løsning med WordMat
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 1
a)
Cirkelligningerne er på formen
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜
, hvor angiver radius og 󰇛
󰇜 er
koordinatsættet til centrum. Vi kan så aflæse koordinatsættene for og af ligningerne for de to cirkler,
hvori punkterne udgør centrum:
󰇛󰇜
󰇛󰇜
Vi definerer punkternes koordinater:





Afstanden mellem to punkter kan nu bestemmes som:
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜

b)
Skæringspunkterne kan bestemmes ved at opstille cirklernes ligninger som et system af to ligninger med to
ubekendte og løse dette:
󰇛

󰇜
󰇛

󰇜

󰇛

󰇜
󰇛

󰇜

Ligningssystemet er for svært til WordMat, så vi anvender TI-Nspire og får:
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 27. Maj 2016
3
Vha. Figur 1 og løsningen ovenfor kan vi nu opskrive skæringspunkternes koordinatsæt:
󰇛󰇜
󰇛

󰇜
c)
Da bordet er symmetrisk omkring 
, kan vi finde koordinatsættet for som spejlingen af i
denne lodrette linje. Stedvektoren for kan da bestemmes som:

󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇡
󰇢󰇡


󰇢
Cirklens radius må være den samme som for de andre cirkler, da bordet er symmetrisk omkring
. Vi
har så, at:



Vi opskriver så ligningen for cirklen med centrum i C:
󰇛

󰇜
󰇛

󰇜


Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 27. Maj 2016
4
Opgave 2
a)
Vi definerer radius samt længden af korden:


Længden af en cirkelkorde kan bestemmes som:
󰇡
󰇢
Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat.

Vinklen er således på .
b)
Arealet af bordet kan bestemmes som arealet af de tre cirkler minus arealet af 2 cirkelafsnit med
udsnitsvinklen 
Det vil sige:
󰇡


󰇛
󰇜
󰇢

Bordets areal er således på ca. 
.
c)
Omkredsen af bordet kan bestemmes som omkredsen af de tre cirkler minus arealet af 4 cirkelbuer - igen
med udsnitsvinklen .
Det vil sige:


Bordets omkreds er således på ca. .

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 27. Maj 2016
5
Opgave 3
a)
Vi definerer koordinatfunktionerne:
󰇛
󰇜
 
󰇛

󰇜
󰇛
󰇜
   󰇛󰇜
Vi definerer begrænsningen af :

Vi skitserer banekurven for 󰇟󰇠. Koordinatakserne har enheden meter.
b)
Vi definerer vektorfunktionen:
󰇛
󰇜
󰇛󰇜
󰇛󰇜
Vi bestemmer stedvektorerne for hhv. og 
󰇛
󰇜
󰇡

󰇢
󰇛

󰇜
󰇡


󰇢
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 27. Maj 2016
6
Sommerfuglens position ved henholdsvis start og slut kan altså beskrives ved følgende koordinatsæt:
󰇛󰇜
󰇛󰇜
c)
Vi bestemmer farten som længden af hastighedsvektoren til . Hastigheden som funktion af tiden
kan bestemmes ved at differentiere vektorfunktionen med hensyn til tiden. Farten bliver så:
󰆒
󰇛

󰇜

Der er anvendt meter som længdeenhed og sekunder som tidsenhed, så vi konkluderer, at farten til
 er lig med 
.
d)
Ved lokale maksima for vil banekurven have en vandret tangent. Der må så gælde, at
󰆒
󰇛
󰇜
. Vi løser
ligningen:
󰆒
󰇛
󰇜
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
 
Vi bestemmer -positionen i disse punkter og sammenligner med -positionen i intervalendepunkterne for
som udregnet i b):
󰇛

󰇜

󰇛

󰇜

Den største -værdi og dermed højde over jordoverfladen antages altså for  (se spg. b)). Det vil sige,
at den største højde over jordoverfladen er på ca. .
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 27. Maj 2016
7
Opgave 4
a)
Den generelle ligning for en kugle med centrum i 󰇛
󰇜 og radius er givet ved:
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜
Vi kender koordinatsættet for centrum og mangler således blot at bestemme radius. Punkt ligger på
kuglen, mens punkt er centrum. Radius kan da bestemmes som længden af den vektor, som går fra til
(dvs. afstanden mellem de to punkter). Vi bestemmer radius:


󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇛

󰇜

Vi anvender, at
 og opskriver så kuglens ligning vha. koordinatsættet for :
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜

b)
Vi bestemmer først længden af 
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
for alle værdier . Vi lader angive denne længde:
󰇛

󰇜
󰇛
󰇜

Vi definerer som en funktion af :
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜

Vi bestemmer 󰇛󰇜:
󰇛
󰇜

Længden af 
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
for er således
.
c)
De værdier af 󰇟󰇠, for hvilke punkt ligger inde i kuglen, er lig med de værdier af , hvor
afstanden fra til givet ved
󰇛
󰇜

󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
er strengt mindre end kuglens radius. Hvis punktet ligger på
kuglens overflade, opfattes dette altså ikke som værende inde i kuglen. Det vil sige, at 󰇛󰇜, hvor 
.
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 27. Maj 2016
8
Vi løser uligheden mht. 𝑘 i TI-nSpire CX (eller TI-nSpire CAS Student Software), da WordMat ikke er skarp til
løsning af uligheder:
Først findes den eksakte løsning og nederst ses en approksimeret løsning. Vi angiver den eksakte løsning. De
værdier af 𝑘∈[−10;10], hvor 𝐵 ligger inde i kuglen er givet ved 𝑘∈ ] − 4
√
2 + 5;10]
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 27. Maj 2016
9
Opgave 5
a)
Vi definerer funktionen og tegner et udsnit af grafen:

󰇛
󰇜

b)
En funktion siges at være voksende, når der for alle i definitionsmængden gælder, at
󰆒
󰇛
󰇜
. Vi
differentierer funktionen:
󰆒
󰇛
󰇜

Funktionen vil da være voksende, hvis alle i definitionsmængden opfylder, at:

Da alle i funktionens definitionsmængde,
󰇛
󰇜
󰇟󰇟 , opfylder, at
󰆒
󰇛
󰇜
, er funktionen
voksende.
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 27. Maj 2016
10
c)
Der må gælde, at
. Vi ved, at
, mens
. Vi vælger 2 som startgæt.
Vi opskriver den generelle rekursionsligning fra Newtons metode:

󰇛
󰇜
Hvor:
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜
󰆒
󰇛
󰇜
I vores tilfælde får vi:
󰇛
󰇜


Vi beregner de første
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜

󰇛
󰇜
󰇛

󰇜

󰇛
󰇜
󰇛

󰇜

󰇛
󰇜
󰇛

󰇜

Vi udregner en værdi vha. WordMat:


Vi kan se, at
er lig med

op til mindst 6 decimaler. Vi har således approksimeret værdien af

korrekt op til 6 decimaler vha. Newtons metode.
d)
Herunder forklares de efterspurgte trin:
2)
er nulpunktet for funktioner på formen
󰇛
󰇜
.
Vi får så:
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜
󰆒
󰇛
󰇜

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 27. Maj 2016
11
Vi indsætter dette i rekursionsligningen:


3)
Vi adskiller brøken i ligningen:



Vi foretager divisionen
for
og får så:


5)
Vi trækker
udenfor parentesen:




󰇧

󰇨

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 27. Maj 2016
12
Opgave 6
a)
Bredden svarer som det ses af figur 3 til 2 gange afstanden fra 0 til højre intervalendepunkt i
definitionsmængden:

Vi konkluderer, at .
b)
Højden svarer til to gange funktionens størsteværdi i den angivne definitionsmængde. Vi definerer
funktionen:

󰇛
󰇜



 
Vi søger evt. ekstrema ved at løse:
󰆒
󰇛
󰇜
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

Vi undersøger fortegnet for  på begge sider af nulpunktet:
󰆒
󰇛
󰇜

󰆒
󰇛
󰇜

Da funktionen går fra at være voksende 󰇛
󰆒
󰇜 til at være aftagende 󰇛
󰆒
󰇜 i , har
funktionen et lokalt maksimum i . Da dette er det eneste ekstremum i definitionsmængden, er der
desuden tale om et globalt maksimum. Vi bestemmer højden som to gange funktionsværdien i dette
maksimum:
󰇛

󰇜

Vi konkluderer, at .
c)
Vi søger volumen af omdrejningslegemet, der fremkommer ved at rotere punktmængden, som afgrænses
mellem og  i intervallet 󰇟󰇠,  om -aksen. Vi anvender, at 󰇛󰇜 󰇛󰇛󰇜󰇜󰇛󰇜
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 27. Maj 2016
13

󰇛
󰇜




Rumfanget af kagen er altså ca. 
.
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 27. Maj 2016
14
Løsning med Maple
Alle opgaver er regnet med Maple, da vores erfaring viser, at det er et stærkt værktøj at anvende. Husk at
skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af Maple som første linje til
besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra Maples Gym-pakken egen
formelsamling. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!
(1.1.2)(1.1.2)
(1.2.4)(1.2.4)
(1.2.1)(1.2.1)
(1.1.3)(1.1.3)
(1.1.1)(1.1.1)
(1.2.3)(1.2.3)
(1.2.2)(1.2.2)
Alle beregninger er udført med Maple som CAS-værktøj. Maple bruger "." som decimaladskiller.
Opgave 1
a)
Vi definerer punkternes koordinater:
For punkt :
A
For punkt :
B
Afstanden mellem 2 punkter bestemmes ved:
60
Afstanden mellem punkt og er 43,81 cm. Afrundet til 2 decimaler.
b)
Cirklernes ligninger opstilles:
For cirklen med centrum i :
CA
For cirklen med centrum i :
CB
Cirklerne skærer hinanden i punkterne D og E:
(1.3.2)(1.3.2)
(1.3.3)(1.3.3)
(1.3.1)(1.3.1)
(1.2.4)(1.2.4)
(1.3.4)(1.3.4)
Cirklene skærer hinanden i punkterne D(34,52, 52,93) og E(53,98, 28,07). Afrundet til 2
decimaler.
c)
Da bordet er symmetrisk omkring x = 61,5 = , kan vi finde koordinatsættet for som spejlingen
af i denne lodrette linje.
Stedvektoren for kan da bestemmes som:
Cirklens radius må være den samme som for de andre virkler, da bordet er symetrisk omkring
. Vi har så, at:
27
96
27
Ligningen for cirklen med centrum i kan nu opskrives:
(2.2.1)(2.2.1)
(2.1.2)(2.1.2)
(2.1.1)(2.1.1)
(2.1.3)(2.1.3)
(1.2.4)(1.2.4)
(2.3.1)(2.3.1)
Opgave 2
a)
Vi definere radius samt længden af korden:
27
31.6
Længden af en cirkelkorde kan bestemmes som:
Vinklen findes ved:
13
Vinklen er på 71,6°. Afrundet til 1 decimal.
b)
Arealet af bordet kan bestemmes som arealet af de tre cirkler minus arealet af 2 cirkelafsnit med
udsnitsvinklen
Det vil sige:
Bordets areal er således på ca. 6651,4 . Afrundet til 1 decimal.
c)
Omkredsen af bordet kan bestemmes som omkredsen af de tre cirkler minus arealet af 4
cirkelbuer - igen med udsnitsvinklen .
Det vil sige:
Bordets omkreds er således på ca. 373,98 cm. Afrundet til 2 decimaler.
(3.1.1)(3.1.1)
(3.2.2)(3.2.2)
(3.2.1)(3.2.1)
(3.1.2)(3.1.2)
(1.2.4)(1.2.4)
Opgave 3
a)
Vi definerer koordinatfunktionerne:
Vi plotter vektorfunktionen inden for begræsningen af :
b)
Vi definerer vektorfunktionen:
Vi bestemmer stedvektorene for hhv, og :
(3.3.1)(3.3.1)
(3.4.3)(3.4.3)
(3.2.3)(3.2.3)
(3.4.1)(3.4.1)
(1.2.4)(1.2.4)
(3.4.2)(3.4.2)
(3.3.2)(3.3.2)
(3.3.3)(3.3.3)
Sommerfuglens position ved henholdsvis start og slut kan altså beskrives ved følgende
koordinatssæt:
(0,5, 1) og (4,59, 2,18)
c)
Vi bestemmer farten som længden af hastighedsvektoren til t = 2,25. Hastigheden som funktion
af tiden kan bestemmes ved at differentiere vektorfunktionen med hensyn til tiden. Farten bliver
så:
Længden af af hastighedsvektoren defineres som funktion af t:
Hastigheden til tiden bestemmes:
40
Der er anvendt meter som længdeenhed og sekunder som tidsenhed, så vi konkluderer, at farten til
t = 2,25 s er med 1,70 . Afrundet til 1 decimal.
d)
Ved lokale maksima for y vil banekurven have en vandret tangent. Der må så gælde, at y'(t) = 0.
Vi løser ligningen:
Vi bestemmer nu y-positionenen i disse punkter og sammenligner med y-positionen i
intervalendepunkterne for
t som udregnet i b):
47
02
Den største y-værdi og dermed højden over jordoverfladen antages altså for t = 4,5 (se spg. b)).
Dvs.
at den største højde over jordoverfladen er på ca. 4,59 m.
(4.2.2)(4.2.2)
(4.1.5)(4.1.5)
(4.1.3)(4.1.3)
(1.2.4)(1.2.4)
(4.1.1)(4.1.1)
(4.1.2)(4.1.2)
(4.2.1)(4.2.1)
(4.1.4)(4.1.4)
Opgave 4
a)
Vi kender koordinatsættet for centrum og mangler således blot at bestemme radius. Punkt ligger
på
kuglen, mens punkt er centrum. Radius kan da bestemmes som længden af den vektor, som går
fra til
(dvs. afstanden mellem de to punkter):
Vi definerer koordinatsættet til punktet dvs. centrum for cirklen:
3
5
4
Vi bestemmer radius:
Dvs.
7
Vi kender nu cirklens radius og koordinatsæt for centrum. Vi opstiller cirklens ligning:
b)
Vi bestemmer først længden af for alle værdier . Vi lader angive denne længde:
Vi definerer som funktion af :
(4.3.1)(4.3.1)
(4.2.3)(4.2.3)
(1.2.4)(1.2.4)
Vi bestemmer :
Længden af for er således .
c)
De værdier af , for hvilker punkt ligger inde i kuglen, er lig med de værdier af ,
hvor
afstanden fra til givet ved er streng mindre end kuglens radius. Hvis punktet
ligger på
kuglens overflade, opfattes dette altså ikke som værende inde i kuglen. Det vil sige, at ,
hvor .
Vi løser uligheden med hensyn til :
Først findes den eksakte løsning og nederst ses en approksimeret løsning. Vi angiver den eksakte
løsning.
De værdier af , hvor ligger inde i kuglen er givet ved
(5.2.1)(5.2.1)
(5.2.3)(5.2.3)
(5.2.2)(5.2.2)
(5.1.1)(5.1.1)
(1.2.4)(1.2.4)
Opgave 5
a)
Vi definerer funktionen og tegner et udsnit af grafen:
b)
En funktion siges at være voksende, når der for alle x i definitionsmængden .
Vi differentierer funktionen:
Funktionen vil da være voksende, hvis alle x i definitonsmlngden opfylder, at:
Dvs.
(5.3.9)(5.3.9)
(5.3.3)(5.3.3)
(5.3.10)(5.3.10)
(5.3.2)(5.3.2)
(5.3.5)(5.3.5)
(5.3.4)(5.3.4)
(1.2.4)(1.2.4)
(5.3.6)(5.3.6)
(5.3.11)(5.3.11)
(5.3.7)(5.3.7)
(5.3.1)(5.3.1)
(5.3.8)(5.3.8)
Da alle i funktionens definitonsmængde, opfylder at , er funktionen
voksende.
c)
Der må gælde, at Vi ved, at , mens Vi vælger 2 som startgæt.
Vi opskriver den genrelle rekursionsligning fra Newtons metode:
I vores tilfælde får vi:
Funktionen defineres:
Vi beregner de første:
7
3
33
1010
441
85
3
5
33
5794
025
(5.3.13)(5.3.13)
(1.2.4)(1.2.4)
(5.4.1)(5.4.1)
(5.3.12)(5.3.12)33
Vi udregner en værdi for :
85
Vi kan se, at er lig med op til mindst 9 decimaler. Vi har således approksimeret værdien
af korrekt op til 9 decimaler vha. Newtons metode.
d)
Herunder forklares de efterspurgte trin:
2)
er nulpunktet for funktioner på formen
Vi får så:
Vi indsætter i rekursionsligningen:
3)
Vi adskiller brøken:
Vi foretager divisionen for og får så:
5)
Vi trækker udenfor parantesen:
(1.2.4)(1.2.4)
(6.2.2)(6.2.2)
(6.2.1)(6.2.1)
(1.2.4)(1.2.4)
(6.1.1)(6.1.1)
Opgave 6
a)
Bredden svarer som det ses af figur 3 til 2 gange afstanden fra 0 til højre intervalendepunkt i
definitoinsmængden:
Vi konkluderer, at
b)
Højden svarer til to gange funktionens størsteværdi i den angivne definitionsmængde 1,4
4,6. Vi definerer funktionen:
Ekstrema søges ved at løse:
87
For at undersøge om punktet rent faktisk er et maksimum foretages en funktionsundersøgelse:
(6.3.1)(6.3.1)
(1.2.4)(1.2.4)
(6.2.3)(6.2.3)
er voksende i intervallet [1,4; 3,30]
er faldende i intervallet [3,30; 4,6]
har maksimum i 3,302
Det kan konkluderes på baggrund af funktionsundersøgelsen, at 3,3022 er et maksimum i
definitionsmængden.
Vi bestemmer højden som to gange funktionsværdien i dette maksimum:
Vi konkluderer, at 3,227 cm. Afrundet til 3 decimaler.
c)
Vi søger volumen af omdrejningslegemet, der fremkommer ved at rotere punktmængden, som
afgrænses mellem og i intervallet [1,4; 4,6],
om -aksen. Vi anvender, at
Volumet beregnes ved:
Rumfanget af kuglen er altså ca. 180,4 cm . Afrundet til 1 decimal.