Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 28.august 2015
1
HTX Matematik A
28. august 2015
htx152-MAT/A-
Løsning med WordMat ...................................................................................................................................... 2
Løsning med Maple ......................................................................................................................................... 14
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 28.august 2015
2
Løsning med WordMat
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formel-
samling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!
WordMat er blevet brugt som CAS-værktøj til løsningen af denne eksamen.
Opgave 1
a)
Vi benytter afstandsformlen:
Længden AB er 32,9 meter.
b)
Parameterfremstillingen opstilles på følgende form:
Hvor
er et punkt på linjen og
er koordinaterne til retningsvektoren .
Vi definerer punkterne A og B:
Bemærk, at vi definerer punkterne som matrixer, da vi senere skal bestemme en vektor ud fra punkterne.
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 28.august 2015
3
Vi bestemmer retningsvektoren ud fra punkterne:
Vi benytter punkt A som fast punkt og opstiller parameteerfremstillingen:
c)
Vi bestemmer vektor AC:
Vi bestemmer vinklen mellem de to vektorer vha. følgende formel:
Hvor er og
er
.
Vi indsætter vektorernes koordinater og isolerer for :
Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat.
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 28.august 2015
4
Vinklen v er 80,3
o
d)
Opgave 1d medtages ikke, da den relaterer sig til forberedelsesmaterialet.
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 28.august 2015
5
Opgave 2
a)
Det ses af grafen, at h er lig g(x) når x=0. Vi definerer funktionen og sætter den lig nul.
Højden h er 1,44 meter.
b)
Vi bestemmer planets ligning på normalform:
Hvor
er koordinaterne til en normalvektor på planet og
er koordinaterne til et punkt på
planet.
Punkt B benyttes som fast punkt i planet. Normalvektoren bestemmes ud fra krydsproduktet af to ikke-
parallelle vektorer i planet. Vi bestemmer
og
ud fra punkterne A, B og C, som defineres:
Vektor AB bestemmes:
Vektor AC bestemmes:
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 28.august 2015
6
Normalvektoren bestemmes ud fra krydsproduktet af vektor AB og AC:
Normalvektorens koordinater og koordinaterne for punkt B indsættes i ligningen. Ligningen for planet, som
er en del af, er givet ved:
Udtrykket reduceres vha. CAS-værktøjet WordMat.
Opgave 2c og 2d medtages ikke, da den relaterer sig til forberedelsesmaterialet.
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 28.august 2015
7
Opgave 3
a)
Vi danner en retvinklet trekant med r og h som kateter og s som hypotenuse.
Vi benytter os af Pythagoras til at bestemme sidelængden s:
Ligningen løses for s vha. CAS-værktøjet WordMat.
S er lig 5,4 meter.
b)
Formlen for overfladearealet af en kegle er:
Vi indsætter størrelserne:
Overfladearealet af teltet er 33,84 m
2
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 28.august 2015
8
c)
Voluminet af en kegle kan bestemmes ud fra følgende formel:
Da vi kender keglens volumen, kan vi bestemme et udtryk for h.
Ligningen løses for h vha. CAS-værktøjet WordMat.
vha. Pythagoras kan vi bestemme et udtryk for s, da s kan ses som hypotenusen i en retvinklet trekant med
kateterne h og r:
Vi kan nu indsætte udtrykket for s i formlen for overfladeareal af en kegle:
Da r er en variable, kan følgende funktion opstilles:
d)
Vi foretager en monotoniundersøgelse for at finde funktionens minimum:
A defineres:
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 28.august 2015
9
For at undersøge monotoniforholdene for A bestemmes først nulpunkter for A’. Dette gøres ved at løse
ligningen:
Ligningen løses for r vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi udregner nu fortegnet for A’ på begge sider af alle nulpunkterne:
Vi sammenfatter dette i en monotonilinje:
+
0
-
0
+
↗
↘
↗
A har minimum i r=2,42. Teltets radius skal derved være 2,42 meter for at overfladearealet bliver mindst
muligt.
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 28.august 2015
10
Opgave 4
a)
Vi opskriver differentialligningen:
For at funktionen v(t) er en løsning til differentialligningen, skal udregningen af højre og venstre side af
ligningen være lig hinanden. WordMat benyttes til udregning af henholdsvis højre og venstre side. Vi løser
først venstre side af differentialligningen, som er
, ved at differentiere funktionen v.
Vi løser nu højre side ved at indsætte funktionen v på v’s plads i differentialligningen:
Det ses at vi får samme udtryk, når vi løser henholdsvis højre og venstre side af differentialligningen. Vi har
derved vist at funktionen v(t) er en løsning til differentialligningen.
b)
Vi benytter GnuPlot til at plotte funktionen:
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 28.august 2015
11
c)
Differentialligningen beskriver den øjeblikkelige hastighedsændring. Vi sætter =4 og løser ligningen:
Den øjeblikkelige hastighedsændring er 6,544 meter pr. sekund.
d)
Vi sætter funktionen v lig 10 og isolerer for tiden t:
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Det tager 2,19 sekunder før hastigheden er 10 meter pr. sekund.
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 28.august 2015
12
Opgave 5
a)
Vi opstiller trekant ABD og benytter WordMats trekantløser til at bestemme længden BC.
WordMats trekantsløser anvendes med input: A = 98°, AD = 7,5, AB = 4,5
A = 98°
B = 53,26096°
D = 28,73904°
BD = 9,267912
AD = 7,5
AB = 4,5
Længden af siden BD findes vha. en cosinusrelation
BD er 9,27 meter.
b)
Arealet af en trapez er følgende:
Hvor a og b er længderne af de parallelle sider og h er højden mellem de parallelle sider. Da vi kender
længderne af de parallelle sider og arealet af vinduespartiet, kan vi bestemme højden h:
Ligningen løses for h vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi kan nu opstille en retvinklet trekant med højden h som katete og siden BD som hypotenuse. Vha.
WordMats trekantløser bestemmer vi vinkel :
WordMats trekantsløser anvendes med input: B’ = 90°, h = 4,25, BD = 9,27
A
B
D
BD
AD
AB
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 28.august 2015
13
D = 27,288°
B = 62,712°
h = 4,25
BD = 9,27
Vinkel B findes vha. sinus
Vinklen B, som i opgaven er lig vinkel , er lig 27,3
o
.
c)
Vi benytter WordMats trekantløser.
WordMats trekantsløser anvendes med input: = 27,28831°, BD = 9,27, BC = 8,5
= 27,28831°
C = 86,59925°
D = 66,25145°
CD = 4,237462
BD = 9,27
BC = 8,5
Længden af siden CD findes vha. cosinusrelationen:
Længden CD er 4,26 meter.
B
D
h
BD
B
C
D
CD
BD
BC
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 28.august 2015
14
Løsning med Maple
Alle opgaver er regnet med Maple, da vores erfaring viser, at det er et stærkt værktøj at anvende. Husk at
skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af Maple som første linje til
besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra Maples Gym-pakken egen
formelsamling. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!
(1.2.5)(1.2.5)
(1.1.2)(1.1.2)
(1.2.4)(1.2.4)
(1.2.1)(1.2.1)
(1.1.1)(1.1.1)
(1.2.2)(1.2.2)
(1.2.3)(1.2.3)
HTX Matematik A - 28. august 2015
htx152-MAT/A-
Alle beregninger er udført med Maple som CAS-værktøj . Maple bruger "." som decimaladskiller.
Opgave 1
a)
Vi benytter afstandsformlen:
Vi indsætter punkternes koordinater:
30
Længden AB er 32,9 meter.
b)
Parameterfremstillingen gennem punktet og retningsvektoren opstilles på følgende form:
Hvor t er en parameter. Vi definerer punkterne A og B:
Vi bestemmer retningsvektoren:
Vi benytter A sopm fast punkt og opstiller parameterfremstillingen:
(1.3.3)(1.3.3)
(1.2.6)(1.2.6)
(1.3.1)(1.3.1)
(1.3.2)(1.3.2)
(1.3.4)(1.3.4)
c)
Vi bestemmer vinklen mellem vektor AB og AC. C defineres:
Vi bestemmer vektorerne:
Vinklen mellem vektorerne beregnes:
61
Vinklen v er 80,3
Opgave 1d medtages ikke, da den relaterer sig til forberedelsesmaterialet.
(2.2.3)(2.2.3)
(2.2.5)(2.2.5)
(1.2.6)(1.2.6)
(2.2.2)(2.2.2)
(2.1.2)(2.1.2)
(2.1.1)(2.1.1)
(2.1.3)(2.1.3)
(2.2.1)(2.2.1)
(2.2.4)(2.2.4)
Opgave 2
a)
Det ses af grafen, at h er lig g(x) når x=0. Vi definerer funktionen og sætter den lig nul.
Vi definerer intervallet:
Højden h er 1,44 meter.
b)
Vi definerer punkterne:
Vi bestemmer planet og generer en ligning for planet:
p
Opgave 2c og 2d medtages ikke, da den relaterer sig til forberedelsesmaterialet.
(3.1.2)(3.1.2)
(1.2.6)(1.2.6)
(3.1.4)(3.1.4)
(3.1.1)(3.1.1)
(3.1.3)(3.1.3)
(3.2.1)(3.2.1)
Opgave 3
a)
Vi danner en retvinklet trekant med og som kateter og som hypotenuse.
s
h
r
s
h
r
Vi definerer størrelsen af og
5
2
Vi benytter pythagoras til at bestemme sidelængden s:
07
En længde kan kun være positiv. er derved lig 5,4 meter.
b)
Formlen for overfladearealet af en kegle med radius og sidelængden er:
Teltets krumme overfladeareal er 33,84
c)
Voluminet af en kegle kan bestemmes ud fra følgende formel:
(3.3.8)(3.3.8)
(3.3.1)(3.3.1)
(3.3.2)(3.3.2)
(3.3.5)(3.3.5)
(1.2.6)(1.2.6)
(3.3.7)(3.3.7)
(3.3.3)(3.3.3)
(3.3.6)(3.3.6)
(3.3.9)(3.3.9)
(3.3.4)(3.3.4)
Da vi kender keglens volumen, kan vi bestemme et udtryk for h.
assign
vha. Pythagoras kan vi bestemme et udtryk for s, da s kan ses som hypotenusen i en retvinklet
trekant med kateterne h og r:
Udtrykket for indsætter i udtrykket for :
assign to a name
s
Vi kan nu indsætte udtrykket for i formlen for overfladeareal af en kegle:
Da nu er en variable af overfladearealet A, kan følgende funktion opstilles:
Vi forkorter brøken:
d)
Vi benytter følgende værktøj til at bestemme A's minimum:
(1.2.6)(1.2.6)
Funktionen har lokalt minimum i intervallet til følgende værdier af r:
Da radius r er en længde, kan vi kun benytte den positive værdi. Når r er lig 2,42 meter er
teltets krumme overfladeareal mindst muligt.
(4.1.3)(4.1.3)
(1.2.6)(1.2.6)
(4.1.4)(4.1.4)
(4.1.2)(4.1.2)
(4.1.1)(4.1.1)
Opgave 4
a)
Vi opskriver differentialligningen:
For at funktionen er en løsning til differentialligningen, skal udregningen af højre og
venstre side af ligningen være lig hinanden. WordMat benyttes til udregning af henholdsvis
højre og venstre side. Vi løser først venstre side af differentialligningen, som er , ved at
differentiere funktionen .
Vi løser nu højre side ved at indsætte funktionen på plads i differentialligningen:
Det ses at vi får samme udtryk, når vi løser henholdsvis højre og venstre side af
differentialligningen. Vi har derved vist at funktionen er en løsning til
differentialligningen.
b)
(4.3.1)(4.3.1)
(1.2.6)(1.2.6)
(4.3.2)(4.3.2)
(4.4.1)(4.4.1)
c)
Differentialligningen beskriver den øjeblikkelige hastighedsændring. Vi sætter v=4 og løser
ligningen:
4
Den øjeblikkelige hastighedsændring er 6,544 meter pr. sekund.
d)
Vi sætter funktionen lig 10 og isolerer for tiden t:
Det tager 2,19 sekunder før hastigheden er 10 meter pr. sekund.
(5.1.2)(5.1.2)
(5.1.4)(5.1.4)
(5.1.1)(5.1.1)
(5.1.3)(5.1.3)
(1.2.6)(1.2.6)
(5.2.1)(5.2.1)
Opgave 5
a)
Vi opstiller trekant ABD og benytter cosinusrelationen til at bestemme længden af BD:
D
A
B
AB
BD
AD
7.5
4.5
98
39
BD er 9,27 meter.
b)
Arealet af en trapez er følgende:
Hvor a og b er længderne af de parallelle sider og h er højden mellem de parallelle sider. Da vi
kender længderne af de parallelle sider og arealet af vinduespartiet, kan vi bestemme højden h:
(5.2.8)(5.2.8)
(5.2.4)(5.2.4)
(5.3.1)(5.3.1)
(5.2.2)(5.2.2)
(1.2.6)(1.2.6)
(5.2.7)(5.2.7)
(5.2.6)(5.2.6)
(5.2.3)(5.2.3)
(5.2.5)(5.2.5)
34
7.5
8.5
00
assign to a name
h
Vi bestemmer størrelsen af ved at opstille en retvinklet trekant med højden h som katete og
siden BD som hypotenuse.
B
C
A
D
X
h = x
Y
v
Z
69
Vinkel er lig 27,3
c)
Vi bestemmer længden af CD ved at opstille trekanten BCD:
B
C
D
8.5
(5.2.2)(5.2.2)
(1.2.6)(1.2.6)
(5.3.2)(5.3.2)
Længden af CD er 4,26 meter.