Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. august 2013
1
HTX Matematik A
29. august 2013
htx132-MAT/A-
Løsning med WordMat ...................................................................................................................................... 2
Løsning med Maple ......................................................................................................................................... 15
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. august 2013
2
Løsning med WordMat
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formel-
samling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!
WordMat er blevet brugt som CAS-værktøj til løsningen af denne eksamen.
Opgave 1
a)
Vi bestemmer længden vha. afstandsformlen:
Længden AB er lig 1,50 meter
b)
Arealet af en vilkårlig trekant er givet ved følgende formel:
Vha. afstandsformlen bestemmer vi længden af siden BC, som vi kalder a, og længden af siden AC, som vi
kalder b.
Vi benytter nu WordMats trekantsløser til at bestemme vinkel C.
WordMats trekantsløser anvendes med input: b = 1,332591, a = 0,819878, c = 1,500533
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. august 2013
3
B = 62,18809°
A = 32,96863°
C = 84,84328°
b = 1,332591
a = 0,819878
c = 1,500533
Vinkel B og A findes vha. cosinusrelationer
Vinkel C findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
Vi indsætter størrelserne i formlen:
Arealet af trekant ABC er 0,54 m
2
c)
For at bestemme ligningen til planet skal vi benytte et fast punkt på planet og en normalvektor til planet.
Koordinaterne til normalvektor bestemmes ud fra krydsproduktet af to ikke-parallelle vektorer på planet.
62,2°
33°
84,8°
1,33
0,82
1,5
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. august 2013
4
Vi bestemmer vektor AB og BC
Vi definerer punktet A, B og C:
Bemærk at vi definerer punktet som en matrix (Design - matrix) for at senere kunne beregne en vektor ud
fra punktet.
Vi kan nu beregne vektor BA og BC:
Krydsproduktet af vektor AB og BC bestemmes:
Vi har nu bestemt koordinaterne til en normalvektor. Vi kan nu opstille planets ligning på følgende form:
Hvor a, b, c er normalvektorens koordinater og
er lig koordinaterne til et punkt på linjen. Vi
benytter punkt A som fast punkt og opstiller ligningen:
Planet har ligningen:
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. august 2013
5
d)
Formlen for afstand fra punktet til planen normalvektor
er følgende:
Afstand fra punktet
til planen α med ligningen
Vi aflæser størrelserne a, b, c og d i ligningen for planet
Vi definerer punkt E’s koordinater:
Vi bestemmer afstanden:
Afstanden er lig det numeriske resultat af ligningen og er derved 0,5 meter.
e)
Vinklen mellem planen og er givet ved følgende formel:
Hvor
er en normalvektor for plan ,
er en normalvektor til plan og v er vinklen mellem planerne.
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. august 2013
6
er givet ved:
Koordinaterne til normalvektor
bestemmes ud fra krydsproduktet af to ikke-parallelle vektorer på
planet.
Vi bestemmer krydsproduktet af vektor CA og CD.
Vi definerer punktet D:
Vi kan nu beregne vektor CA og CD:
Krydsproduktet af vektor CA og CD bestemmes:
Vi definerer vektorer
og indsætter størrelserne i ligningen og isolerer for vinkel v.
Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi bestemmer den stumpe vinkel:
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. august 2013
7
Den stumpe vinkel er 169,6
o
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. august 2013
8
Opgave 2
Opgave 2a, 2b og 2c er ikke medtaget, da disse opgaver relaterer sig til forberedelsesmaterialet.
Opgave 3
Opgave 3a og 3b er ikke medtaget, da disse opgaver relaterer sig til forberedelsesmaterialet.
c)
Vi indtegner punktserien og foretager en eksponentiel regression:
Vi aflæser værdien for b ud fra forskriften for den eksponentielle tendenslinje. b er lig 2100,9. Vi beregner
a:
a er lig 0,92.
d)
Vi definerer forskriften:
Vi sætter funktionen lig 800 og bestemmer x:
y = 2100,9e
-0,079x
R² = 0,9798
900
950
1000
1050
1100
1150
1200
1250
6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10 10,5
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. august 2013
9
𝑓
(
𝑥
)
=800
⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
𝑥=12,22164
Udgiften til sodavand vil være på 800 kr. pr. hustand 12,19 år efter år 2000 ifølge vores model.
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. august 2013
10
Opgave 4
a)
Cirklens ligning bestemmes på følgende form:
Hvor r er cirklens radius og (a,b) er centrums koordinater. Vi kender radius r:
Vi kender centrums y-koordinat er 0, da centrum er placeret på y-aksen. Centrums x-koordinat er lig radius.
Vi opstiller cirklens ligning:
b)
Vi bestemmer længden vha. afstandsformlen:
C har følgende koordinater:
Vi bestemmer afstanden:
Afstanden CD er 3,02 cm
c)
Buelængden l er givet ved:
Hvor v er udsnitsvinklen
og r er radius, som vi kalder
. Vi definerer radius og udsnitsvinklen.
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. august 2013
11
Vi indsætter størrelserne i formlen:
Buelængden er 2,6 cm
d)
Den samlede længde af bæltestykket er:
Hvor
er x-koordinatet for punkt E.
Vi beregner længden AC og DE vha. afstandsformlen.
Længden af buestykkerne i cirkel C og D kan udregnes ved at opstille en ligning ud fra de givet oplysninger:
Udtrykket reduceres vha. CAS-værktøjet WordMat.
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion, Faktoriser,
Vi kender summer af v
1
og v
2
Vi indsætter denne størrelse i udtrykket for l
2
:
Vi beregner den samlede længde af bæltestykket:
Den samlede længde er 26,4 cm.
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. august 2013
12
Opgave 5
a)
Vi benytter følgende formel for arealet mellem funktionen f og x-aksen i intervallet for
Grænseværdierne for arealet er:
Ud fra grafen for stamfunktionen til f aflæser vi stamfunktionen til grænseværdierne:
Arealet beregnes:
Arealet af det grå område er 6.
b)
Differentieres stamfunktionen F fås funktion f.
Vi aflæser derfor funktionsværdien for f ved x=4.
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. august 2013
13
Opgave 6
a)
Vi opskriver differentialligningen:
For at funktionen y(t) er en løsning til differentialligningen, skal udregningen af højre og venstre side af
ligningen være lig hinanden. WordMat benyttes til udregning af henholdsvis højre og venstre side. Vi løser
først venstre side af differentialligningen, som er
, ved at differentiere funktionen y.
Vi løser nu højre side ved at indsætte funktionen y på y’s plads i differentialligningen:
Det ses at vi får samme udtryk, når vi løser henholdsvis højre og venstre side af differentialligningen. Vi har
derved vist at funktionen y er en løsning til differentialligningen.
b)
Vi benytter WordMat til at plotte funktionen:
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. august 2013
14
c)
Vi opskriver den differentierede funktion, som er et udtryk for den øjeblikkelige ændring:
Vi indsætter tiden.
Den øjeblikkelige ændring for t=1 er 72,3.
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. august 2013
15
Løsning med Maple
Alle opgaver er regnet med Maple, da vores erfaring viser, at det er et stærkt værktøj at anvende. Husk at
skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af Maple som første linje til
besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra Maples Gym-pakken egen
formelsamling. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!
(1.2.2)(1.2.2)
(1.2.1)(1.2.1)
(1.4.1)(1.4.1)
(1.1.1)(1.1.1)
(1.3.2)(1.3.2)
(1.3.1)(1.3.1)
Alle beregninger er udført med Maple som CAS-værktøj . Maple bruger "." som decimaladskiller.
Opgave 1
a)
Vi bestemmer længden vha. afstandsformlen:
Vi indsætter punkternes koordinater:
Længden AB er lig 1,50 meter.
b)
Vi indlæser trekanten i Maple ved hjælp af trekantens hjørnepunkter:
ABC
Arealet beregnes:
975
Arealet af trekant ABC er 0,54
c)
Vi bestemmer planet og generer en ligning for planet:
`while processing result`
`while processing result`
Ligningen for planet er givet ved:
d)
Punkt E defineres:
E
Plan defineres:
(1.4.2)(1.4.2)
(1.5.2)(1.5.2)
(1.5.1)(1.5.1)
(1.4.3)(1.4.3)
Afstanden bestemmes:
389
Afstanden fra punkt E til planet Beta er 0,49 meter.
e)
Vi bestemmer den spidse vinkel mellem planerne:
Vi bestemmer den stumpe vinkel:
50
Den stumpe vinkel er 169,5
Opgave 2
Opgave 2a, 2b og 2c er ikke medtaget, da disse opgaver relaterer sig til forberedelsesmaterialet.
(3.1.1)(3.1.1)
(3.1.2)(3.1.2)
Opgave 3
Opgave 3a og 3b er ikke medtaget, da disse opgaver relaterer sig til forberedelsesmaterialet.
c)
Vi definerer punktserien og foretager en eksponentiel regression:
Vi aflæser værdierne for a og b ud fra forskriften for den eksponentielle tendenslinje. a er lig 0,92
og b er lig 2100,9.
(3.2.2)(3.2.2)
(3.2.1)(3.2.1)
d)
Vi definerer forskriften:
Vi sætter funktionen lig 800 og bestemmer x:
Udgiften til sodavand vil være på 800 kr. pr. hustand 12,19 år efter år 2000 ifølge vores model.
(4.1.5)(4.1.5)
(4.3.1)(4.3.1)
(4.1.2)(4.1.2)
(4.1.1)(4.1.1)
(4.1.4)(4.1.4)
(4.2.3)(4.2.3)
(4.3.2)(4.3.2)
(4.2.1)(4.2.1)
(4.1.3)(4.1.3)
(4.2.2)(4.2.2)
Opgave 4
a)
Cirklens ligning bestemmes på følgende form:
Hvor r er cirklens radius og (a,b) er centrums koordinater. Vi kender radius r:
1.3
Vi kender centrums y-koordinat er 0, da centrum er placeret på y-aksen. Centrums x-koordinat er
lig radius.
1.3
0
Vi opstiller cirklens ligning:
b)
Punkt C har følgende koordinater:
Vi bestemmer afstanden mellem punkt C og D:
62
assign to a name
CD
Afstanden CD er 3,02 cm.
c)
Kurvelængden er givet ved:
Hvor er udsnitsvinklen og er radius. Vi definerer radius og udsnitsvinklen.
1
147.02
Buelængden bestemmes:
(4.4.2)(4.4.2)
(4.4.6)(4.4.6)
(4.4.8)(4.4.8)
(4.4.3)(4.4.3)
(4.4.7)(4.4.7)
(4.4.4)(4.4.4)
(4.4.1)(4.4.1)
(4.4.5)(4.4.5)
= 67
Buelængden er 2,6 cm.
d)
Den samlede længde af bæltestykket er:
Hvor er den samlede kurvelængde af buestykkerne, som og spænder over. er
kurvelængde af buestykket, som spænder over og er E's x-koordinat.
Vi beregner længden AC og DE:
6.0
assign to a name
AC
74
assign to a name
DE
Længden af buestykkerne i cirkel C og D, kan udregnes ved at opstille en ligning ud fra de givet
oplysninger:
Vi kender summer af og
Vi indsætter denne størrelse i udtrykket for
636
Vi definerer E's x-koordinat:
11.4
Vi beregner den samlede længde af bæltestykket:
= 77
Den samlede længde er 26,4 cm
(5.1.4)(5.1.4)
(5.1.5)(5.1.5)
(5.2.1)(5.2.1)
(5.1.1)(5.1.1)
(5.1.2)(5.1.2)
(5.1.3)(5.1.3)
(5.1.6)(5.1.6)
Opgave 5
a)
Vi benytter følgende formel for arealet mellem funktionen Fog x-aksen i intervallet for x2[a,b]:
Grænseværdierne for arealet er:
Ud fra grafen for stamfunktionen til f aflæser vi stamfunktionen til grænseværdierne:
Arealet beregnes:
Arealet af det grå område er 6.
b)
Differentieres stamfunktionen F fås funktion f.
Vi aflæser derfor funktionsværdien for f ved x=4.
(6.1.4)(6.1.4)
(6.1.1)(6.1.1)
(6.1.2)(6.1.2)
(6.1.3)(6.1.3)
Opgave 6
a)
Vi opskriver differentialligningen:
For at funktionen y(t) er en løsning til differentialligningen, skal udregningen af højre og venstre
side af ligningen være lig hinanden. Maple benyttes til udregning af henholdsvis højre og venstre
side. Vi løser først venstre side af differentialligningen, som er , ved at differentiere
funktionen y.
Det ses at vi får samme udtryk, når vi løser henholdsvis højre og venstre side af
differentialligningen. Vi har derved vist at funktionen y er en løsning til differentialligningen.
b)
c)
Den afledte funktion til y er et udtryk for den øjeblikkelige ændring. t sættes til t=1:
= 2
Den øjeblikkelige ændring for t=1 er 72,3.