Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30.august 2010
1
HTX Matematik A
30.august 2010
htx102-MAT/A-
Løsning med WordMat ...................................................................................................................................... 2
Løsning med Maple ......................................................................................................................................... 16
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30.august 2010
2
Løsning med WordMat
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formel-
samling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!
WordMat er blevet brugt som CAS-værktøj til løsningen af denne eksamen.
Opgave 1
a)
Vi ser på den retvinklede trekant med kateten
og hypotenusen CB. Vinklen mod centrum kalder vi
.
Denne vinkel beregnet vha. følgende udtryk:
Hvor n er antallet af kanter i den ottekantet polygon:
Den korte katete i trekanten er lig det halve af sidelængden AB.
Vi benytter nu disse informationer til at beregne
vha. WordMats trekantløser:
WordMats trekantsløser anvendes med input: H = 90°, C = 22,5°, HB = 90
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30.august 2010
3
H = 90°
C = 22,5°
B = 67,5°
CB = 235,1813
HB = 90
h
c
= 217,2792
Vinkel B findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
Længden af siden CB findes vha. cosinus
Længden af siden h
c
findes vha. tangens
Længden af højden
er 217,3mm.
b)
Vi bestemmer arealet af trekant ABC vha. følgende formel:
Hvor g er grundlinje og h er højde.
Vi har:
H
C
B
CB
HB
h
c
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30.august 2010
4
Vi beregnede højden i trekanten i forrige opgave. Vi indsætter størrelserne i formlen:
Da grundfladen består af 8 af disse trekanter, ganger vi det fundne areal med 8:
Arealet af grundfladen er 156441 mm
2
c)
Vi bestemmer arealet af de trapezer, som lampen består af. Arealet af en trapez bestemmes vha. følgende
formel:
Hvor a og b er længderne af de parallelle sider, som er givet i opgaven. h er højden mellem de parallelle
sider. Vi ser på den øverste grundflade og bestemme højden
, som er tegnet på nedenstående skitse:
Vi benytter samme fremgangsmåde, som ved bestemmelsen af
, i opgave 1a.
Den korte katete i trekanten er lig det halve af grundfladens sidelængde.
Vi benytter nu disse informationer til at beregne
vha. WordMats trekantløser:
WordMats trekantsløser anvendes med input: I = 90°, D = 22,5°, IG = 140
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30.august 2010
5
I = 90°
D = 22,5°
G = 67,5°
DG = 365,8376
IG = 140
hd = 337,9899
Vinkel G findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
Længden af siden DG findes vha. cosinus
Længden af siden hd findes vha. tangens
Længden af højden
er 337,9899mm.
Vi danner nu en retvinklet trekant, som vist på nedenstående skitse:
I
D
G
DG
IG
hd
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30.august 2010
6
Længden af den korte katete bestemmes:
Da vi kender længden af KJ, som er lig højden i den ottekantende pyramidestub, kan vi beregne højden h i
trapezen vha. Pythagoras:
Ligningen løses for h vha. CAS-værktøjet WordMat.
Da en længde kun kan være positiv, benytter vi det positive resultat af h. Vi bestemmer nu arealet af
trapezen:
Da overfladearealet består af otte trapezer, ganger vi resultatet med otte.
Overfladearealet af figuren vist på figur 1 er 1126121 mm
2
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30.august 2010
7
Opgave 2
a)
Arealet af rektanglet bestemmes:
Arealet af halvcirklen bestemmes:
Det samlede areal af pladen bestemmes:
Arealet af pladen er 0,9 m
2
b)
Vi bestemmer den samlede længde af de tre sider i rektanglet:
Vi bestemmer omkredsen af halvcirklen:
Vi bestemmer den samlede omkreds:
Omkredsen af pladen er 3,8 meter.
c)
Vi opstiller et udtryk for omkredsen af pladen.
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30.august 2010
8
For at få omkredsen udtryk kun for variablen d, opstiller vi et udtryk for h vha. formel for arealet af pladen:
Vi sætter arealet lig 1 og isolerer for h:
Ligningen løses for h vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi indsætter nu dette udtryk for h i udtrykket for omkredsen:
Forskriften for omkredsen som funktion af d er:
Udtrykket reduceres vha. CAS-værktøjet WordMat.
d)
Vi bestemmer funktionens minimum:
Ligningen løses for d vha. CAS-værktøjet WordMat.
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30.august 2010
9
Vi undersøger, hvilken af de to værdier, som er minimum:
Vi kan konkludere at den mindste d-værdi er:
Vi bestemmer den tilsvarende h-værdi:
d er 1,06 meter og h er 0,53 meter for den mindst mulige omkreds.
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30.august 2010
10
Opgave 3
a)
Vi definerer funktionen og det gældende interval:
Det ses af figur 4 at a og b er henholdsvis funktionens anden og tredje skærings med x-aksen. Vi sætter
funktionen lig nul og isolerer for x:
Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi har derved:
b)
Vi definerer funktionen og intervallet:
For at undersøge monotoniforholdene for f bestemmes først nulpunkter for f’. Dette gøres ved at løse
ligningen:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi udregner nu fortegnet for f’ på begge sider af alle nulpunkterne:
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30.august 2010
11
Vi sammenfatter dette i en monotonilinje:
+
0
-
0
+
0
-
↗
↘
↗
↘
Vi kan dermed konkludere følgende monotoniforhold for f i intervallet [a,b]
f er voksende i intervallerne og
f er aftagende i intervallerne og
f har lokalt maksimum for
f har lokalt minimum for
c)
Vi benytter følgende formel for voluminet af omdrejningslegemet dannet af f drejet om y-aksen inden for
intervallet [a,b]:
Vi indsætter funktionen og intervallet:
Voluminet af omdrejningslegemet er 169,6.
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30.august 2010
12
Opgave 4
Opgave 4 er ikke medtaget, da delopgaverne relaterer sig til forberedelsesmaterialet.
Opgave 5
a)
Vi indsætter dataet i et koordinatsystem og foretager en eksponentiel regression:
Det ses, at den eksponentielle tendenslinje stemmer godt overens med punktserien, da den kvadreret R-
værdi ligger meget tæt på 1. Der er derfor tale om en eksponentiel udvikling.
b)
Vha. Excel har vi fået genereret følgende forskrift for c:
c)
Vi sætter funktionen lig 0,07 mg og isolerer for t:
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
y = 8,9777e
-0,173x
R² = 0,9994
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
Mængde af THC i mg
Tiden t i døgn
c(t)
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30.august 2010
13
Efter 28,1 døgn kan personen betragtes værende stoffri.
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30.august 2010
14
Opgave 6
a)
Vi definerer funktionen:
Vi bestemmer skæringen med y-aksen:
Funktionen skærer y-aksen i (0,6)
Vi bestemmer skæringen med x-aksen:
Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Funktionen skærer x-aksen i (11,18; 0)
b)
Vi bestemmer B’s koordinater ved at indsættes B’s x-koordinat i funktionen.
B har koordinatsættet:
Vi gør det samme med punkt C:
C har koordinatsættet:
c)
Da B ligger i x,y-planet har B z-koordinatet nul. Vi benytter afstandsformlen til at bestemme afstanden BE:
Linjestykket BE er 4,61
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30.august 2010
15
d)
Vi opstiller vektor EB og vektor EC:
Vi benytter følgende formel til at bestemme vinklen mellem vektorerne:
Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vinklen mellem de to linjestykker er 25 grader.
Opgave 7
Opgave 7 er ikke medtaget, da delopgaverne relaterer sig til forberedelsesmaterialet.
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30.august 2010
16
Løsning med Maple
Alle opgaver er regnet med Maple, da vores erfaring viser, at det er et stærkt værktøj at anvende. Husk at
skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af Maple som første linje til
besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra Maples Gym-pakken egen
formelsamling. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!
(1.1.5)(1.1.5)
(1.2.1)(1.2.1)
(1.1.2)(1.1.2)
(1.1.6)(1.1.6)
(1.1.1)(1.1.1)
(1.1.3)(1.1.3)
(1.1.4)(1.1.4)
Alle beregninger er udført med Maple som CAS-værktøj . Maple bruger "." som decimaladskiller.
Opgave 1
a)
Vi ser på den retvinklede trekant med kateten og hypotenusen CB. Vinklen mod centrum kalder
vi . Denne vinkel beregnet vha. følgende udtryk:
hvor n er antallet af kanter i den ottekantede polygon.
45
2
00
Den korte katete i trekanten er lig det halve af sidelængden AB.
90
Vi benytter nu disse informationer til at beregne vha. Maples trekantløser:
06
Længden af højden er 217,3mm.
b)
Vi bestemmer arealet af trekant ABC vha. følgende formel:
hvor g er grundlinje og h er højde. Grundlinjen er lig længden af AB og højden er lig Vi
beregner arealet:
(1.3.1)(1.3.1)
(1.2.3)(1.2.3)
(1.2.2)(1.2.2)85
Da grundfladen består af 8 af disse trekanter, ganger vi det fundne areal med 8:
Arealet af grundfladen er 156441
c)
Vi bestemmer arealet af de trapezer, som lampen består af. Arealet af en trapez bestemmes vha.
følgende formel:
Hvor a og b er længderne af de parallelle sider, som er givet i opgaven. h er højden mellem de
parallelle sider. Vi ser på den øverste grundflade og bestemme højden , som er tegnet på
nedenstående skitse:
D
1
h
d
(1.3.2)(1.3.2)
(1.3.3)(1.3.3)
(1.3.5)(1.3.5)
(1.3.4)(1.3.4)
(1.3.7)(1.3.7)
(1.3.6)(1.3.6)
Vi benytter samme fremgangsmåde, som ved bestemmelsen af , i opgave 1a.
Den korte katete i trekanten er lig det halve af grundfladens sidelængde.
140
Vi benytter nu disse informationer til at beregne vha. Maples trekantløser:
86
Længden af højden er 337,9899mm.
Vi danner nu en retvinklet trekant, som vist på nedenstående skitse:
D
h
d
C
I
h
J
K
Længden af den korte katete bestemmes:
80
Da vi kender længden af KJ, som er lig højden i den ottekantende pyramidestub, kan vi beregne
højden h i trapezen vha. Pythagoras:
600
(1.3.10)(1.3.10)
(1.3.11)(1.3.11)
(1.3.9)(1.3.9)
(1.3.8)(1.3.8)
(1.3.12)(1.3.12)
Da en længde kun kan være positiv, benytter vi det positive resultat af h.
38
Vi bestemmer nu arealet af trapezen:
assign to a name
Da overfladearealet består af otte trapezer, ganger vi resultatet med otte.
Overfladearealet af figuren vist på figur 1 er 1126121
(2.1.3)(2.1.3)
(2.1.4)(2.1.4)
(2.2.1)(2.2.1)
(2.1.5)(2.1.5)
(2.1.1)(2.1.1)
(2.2.3)(2.2.3)
(2.2.2)(2.2.2)
(2.1.2)(2.1.2)
Opgave 2
a)
Arealet af rektanglet bestemmes:
0.7
Arealet af halvcirklen bestemmes:
500
assign to a name
Det samlede areal af pladen bestemmes:
Arealet af pladen er 0,9
b)
Vi bestemmer den samlede længde af de tre sider i rektanglet:
2.7
Vi bestemmer omkredsen af halvcirklen:
29
Vi bestemmer den samlede omkreds:
Omkredsen er af pladen er 3,8 meter.
c)
Vi opstiller et udtryk for omkredsen af pladen.
(2.3.3)(2.3.3)
(2.3.1)(2.3.1)
(2.4.2)(2.4.2)
(2.3.2)(2.3.2)
(2.3.7)(2.3.7)
(2.3.5)(2.3.5)
(2.3.6)(2.3.6)
(2.3.4)(2.3.4)
(2.4.1)(2.4.1)
For at få omkredsen udtryk kun for variablen d, opstiller vi et udtryk for h vha. formel for arealet
af pladen:
Vi sætter arealet lig 1 og isolerer for h:
assign to a name
h
Vi indsætter nu dette udtryk for h i udtrykket for omkredsen:
=
simplify
Forskriften for omkredsen som funktion af d kaldes "localO" af hensyn til Maple:
d)
Vi bestemmer funktionen( ) 's minimum:
d's mindste værdi er:
1154427
Vi bestemmer den tilsvarende h-værdi ved at indsætte værdien af d i udtrykket for h:
= 051
d er 1,06 meter og h er 0,53 meter for den mindst mulige omkreds.
(2.3.1)(2.3.1)
(3.1.4)(3.1.4)
(3.1.1)(3.1.1)
(3.1.5)(3.1.5)
(3.1.2)(3.1.2)
(3.1.3)(3.1.3)
Opgave 3
a)
Funktionen defineres:
Det ses af figur 4 at a og b er henholdsvis funktionens anden og tredje skærings med x-aksen. Vi
sætter funktionen lig nul og isolerer for x:
Vi har derved:
48
68
b)
Vi laver en funktionsundersøgelse med følgende kommando:
(2.3.1)(2.3.1)
(3.3.1)(3.3.1)
Vi kan udlede følgende monotoniforhold for f i intervallet [a,b]:
c)
Vi beregner volumet af omdrejningslegemet vha. følgende kommando:
72
Voluminet af omdrejningslegemet er 169,6
(2.3.1)(2.3.1)
Opgave 4
Opgave 4 er ikke medtaget, da delopgaverne relaterer sig til forberedelsesmaterialet.
(2.3.1)(2.3.1)
(5.1.1)(5.1.1)
Opgave 5
a)
Vi definerer punktserien:
Vi indsætter dataet i et koordinatsystem og foretager en eksponentiel regression:
Det ses, at den eksponentielle tendenslinje stemmer godt overens med punktserien, da den
kvadreret R-værdi ligger meget tæt på 1. Der er derfor tale om en eksponentiel udvikling.
b)
Vi aflæser forskriften, som Maple har genereret:
(2.3.1)(2.3.1)
(5.2.1)(5.2.1)
(5.3.1)(5.3.1)
c)
Vi sætter funktionen lig 0,07 mg og isolerer for t:
Efter 28 døgn kan personen betragtes værende stoffri.
(2.3.1)(2.3.1)
(6.3.1)(6.3.1)
(6.3.3)(6.3.3)
(6.2.1)(6.2.1)
(6.3.2)(6.3.2)
(5.2.1)(5.2.1)
(6.4.1)(6.4.1)
(6.1.2)(6.1.2)
(6.1.1)(6.1.1)
(6.2.2)(6.2.2)
Opgave 6
a)
Vi definerer funktionen:
Vi bestemmer skæringen med y-aksen:
= 6.
Funktionen skærer y-aksen i (0,6). Vi bestemmer skæringen med x-aksen:
Funktionen skærer x-aksen i (11,18;0)
b)
= 92
B har koordinatsættet:
Vi gør det samme med punkt C:
= 72
C har koordinatsættet:
c)
Da B ligger i x,y-planet har B z-koordinatet nul. Vi definerer punkt B og E:
B
E
Vi bestemmer afstanden mellem punkterne:
17
Linjestykket BE er 4,61
d)
Vi definerer punkt C:
C
Vi definere linjestykerne BE og CE:
(6.4.2)(6.4.2)
(2.3.1)(2.3.1)
(6.4.3)(6.4.3)
(5.2.1)(5.2.1)
(6.4.4)(6.4.4)
BE
CE
Vinklen bestemmes:
17
Vinklen mellem de to linjestykker er 25,9 grader.
(2.3.1)(2.3.1)
(5.2.1)(5.2.1)
Opgave 7
Opgave 7 er ikke medtaget, da delopgaverne relaterer sig til forberedelsesmaterialet.