Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30. august 2011
1
HTX Matematik A
30. august 2011
htx112-MAT/A-
Løsning med WordMat ...................................................................................................................................... 2
Løsning med Maple ......................................................................................................................................... 15
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30. august 2011
2
Løsning med WordMat
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formel-
samling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!
WordMat er blevet brugt som CAS-værktøj til løsningen af denne eksamen.
Opgave 1
a)
Linjens parameterfremstilling opstilles på følgende form:
Hvor
er et punkt på linjen, t er parameteren og
er retningsvektorens koordinater.
Vi bestemmer retningsvektorens koordinater ud fra punkt D og E.
Du skal være opmærksom på, at når du bruger WordMat til at beregne en vektor ud fra to punkter, så skal
du opstille punkterne som en vektor (Design - matrix)
Vi vælger punkt E som fast punkt på linjen og opstiller parameterfremstillingen:
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30. august 2011
3
b)
Vi bestemmer en parameterfremstilling for planet på følgende form:
Hvor er
og
er koordinaterne til to ikke-parallelle retningsvektorer på planet,
er
koordinaterne til et punkt på planet og s og t er parametre.
Punkt E benyttes som fast punkt i planet. Vi bestemmer
og
ud fra punkterne E, H og D, som
defineres:
Vektor EH bestemmes:
Vektor ED bestemmes:
Koordinaterne indsættes i ligningen. Ligningen for planet, som er en del af, er givet ved:
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30. august 2011
4
c)
Vi bestemmer en parameterfremstilling for skæringslinjen, der går igennem punkterne C og I.
Vi ændrer parameterfremstillingen for planen, der indeholder EDH, til en ligning:
Vi kan opstille følgende ligning:
Udtrykket reduceres vha. CAS-værktøjet WordMat.
For at få et punkt på skæringslinjen løses to ligninger med to ubekendte:
Ligningssystemet løses for y,z vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,
Vi har følgende koordinater til et punkt på linjen:
Vi bestemmer en retningsvektor til linje ved at beregne krydsproduktet af de to normalvektorer for
planerne:
Vi kan nu opstille parameterfremstillingen for skæringslinjen:
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30. august 2011
5
d)
Da punkt C ligger på skæringslinjen, som har retningskoordinaterne y=0 og z=0, har punkt C samme y- og z-
koordinat som fast punktet:
Punkter ligger på samme plan som punkterne A, B, D, E og F og punkt har derfor samme x-koordinat. Punkt
C har følgende koordinatsæt:
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30. august 2011
6
Opgave 2
a)
Vi benytter WordMats trekantløser.
WordMats trekantsløser anvendes med input: B = 98°, b = 8, c = 6
B = 98 °
A = 34,03799°
C = 47,96201°
b = 8,0
a = 4,521947
c = 6,0
Længden af siden a findes vha. en cosinusrelation
Længden af a er lig 4,52.
b)
Arealet af en vikårlig trekant er givet ved:
Vi indsætter størrelserne:
Arealet af trekanten er 13,43.
B
A
C
b
a
c
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30. august 2011
7
Opgave 3
a)
Vi foretager en eksponentiel regression over punktserien.
Det ses af
-værdien, som er lig 0,9869, og derved meget tæt på 1, at den eksponentielle tendenslinje
stemmer godt over ens med punktserien. Der kan derfor godt være tale om en eksponentiel udvikling i
udbyttet.
b)
Forskriften for den eksponentielle model er generet af Excel ud fra den eksponentielle tendenslinje.
Forskriften er følgende:
c)
Vi indsætter
i forskriften og beregner funktionsværdien:
y = 53,59e
0,1024x
R² = 0,9869
0
20
40
60
80
100
120
Udbytte
tid(år)
Udbytte som funktion af tiden
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30. august 2011
8
I år 1997 er udbyttet af råvildt 122000.
d)
Vores model afviger fra den faktiske model med 10,53 %
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30. august 2011
9
Opgave 4
Vi opskriver differentialligningen:
For at funktionen y(t) er en løsning til differentialligningen, skal udregningen af højre og venstre side af
ligningen være lig hinanden. WordMat benyttes til udregning af henholdsvis højre og venstre side. Vi løser
først venstre side af differentialligningen, som er , ved at differentiere funktionen .
Vi løser nu højre side ved at indsætte funktionen på s plads i differentialligningen:
Det ses at vi får samme udtryk, når vi løser henholdsvis højre og venstre side af differentialligningen. Vi har
derved vist, at funktionen y er en løsning til differentialligningen.
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30. august 2011
10
Opgave 5
a)
Grafen skærer med x-aksen når f(x)=0. Koordinaterne til skæringspunkterne med x-aksen er derved:
Grafen skærer med y-aksen når x=0. Koordinaterne til skæringspunkterne med y-aksen er derved:
b)
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30. august 2011
11
Opgave 6
a)
Vi benytter Graph, hvor vi indsætter funktionen som en parameterfunktion:
b)
Farten er lig længden af hastighedsvektoren. Vi differentierer funktionen for at bestemme
hastighedsvektoren:
Vi bestemmer forskriften for farten
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30. august 2011
12
Hvor
c)
Jeg opstiller formlen for længden af kurven og indsætter de givne grænseværdier:
Bilen har kørt 15,48 m
d)
Vi skal bestemme funktionens minimum.
Funktionen for farten defineres:
For at undersøge monotoniforholdene for bestemmes først nulpunkter for . Dette gøres ved at løse
ligningen:
Ligningen løses numerisk for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Følgende t-værdier er inde for intervallet:
Vi udregner nu fortegnet for v’ på begge sider af alle nulpunkterne:
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30. august 2011
13
+
0
-
0
+
0
-
↗
↘
↗
↘
f har lokalt minimum for
f har lokalt maksimum for
Vi bestemmer de tilførende funktionsværdier for minimum.
Bilens mindste fart er 0,9 m/s
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30. august 2011
14
Opgave 7
a)
Vi løser differentialligningen:
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion
c er en konstant.
b)
Vi indsætter startbetingelsen og løser differentialligningen:
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen k(0)=0,7
Udtrykket reduceres vha. CAS-værktøjet WordMat.
c)
Selvom spørgsmålet ikke siger det, formoder vi, at vi skal bruge løsningsfunktionen fra opgave 7b.
Vi definerer løsningsfunktionen, som vi fandt i opgave 7b:
Vi sætter funktionen lig 0,03 og isolerer for t:
Ligningen løses numerisk for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Der går 22,13 tidsenheder før forureningskoncentrationen er på 0,03 g/L.
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30. august 2011
15
Løsning med Maple
Alle opgaver er regnet med Maple, da vores erfaring viser, at det er et stærkt værktøj at anvende. Husk at
skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af Maple som første linje til
besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra Maples Gym-pakken egen
formelsamling. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!
(1.1.3)(1.1.3)
(1.1.2)(1.1.2)
(1.1.4)(1.1.4)
(1.1.1)(1.1.1)
(1.1.5)(1.1.5)
Alle beregninger er udført med Maple som CAS-værktøj . Maple bruger "." som decimaladskiller.
Opgave 1
a)
Parameterfremstillingen for linjen med E benyttet som fast punkt og med retningsvektoren
opstilles på følgende form:
Hvor t er en parameter. Vi definerer punkterne E og D, som vi af hensyn til Maple kalder :
Vi bestemmer retningsvektoren:
Vi benytter E som fast punkt og opstiller parameterfremstillingen:
Linjen gennem punkt E og D har parameterfremstillingen:
b)
(1.2.3)(1.2.3)
(1.3.1)(1.3.1)
(1.2.1)(1.2.1)
(1.3.2)(1.3.2)
(1.2.2)(1.2.2)
(1.2.4)(1.2.4)
Vi bestemmer en parameterfremstilling for planet på følgende form:
Hvor er og er koordinaterne til to ikke-parallelle retningsvektorer på planet, er
koordinaterne til et punkt på planet og s og t er parametre. Vi definerer punkt H og bestemmer :
Vi benytter E sopm fast punkt og opstiller parameterfremstillingen:
Planet, som EDH er en del af, har parameterfremstillingen:
c)
Vi bestemmer ligningen for planet, som EDH er en del af. Vi definerer punkt E,D og H:
E
(1.3.4)(1.3.4)
(1.3.8)(1.3.8)
(1.4.2)(1.4.2)
(1.3.7)(1.3.7)
(1.4.1)(1.4.1)
(1.3.6)(1.3.6)
(1.3.9)(1.3.9)
(1.3.5)(1.3.5)
(1.4.3)(1.4.3)
(1.3.3)(1.3.3)
(1.3.8)(1.3.8)
H
Vi bestemmer planet og generer en ligning for planet:
`while processing result`
`while processing result`
Vi definerer planet for tagpladen:
p2
Vi definerer skæringslinjen:
l
Warning, assume that the parameter in the parametric
equations is _t
form of the object line3d
equation of the line
Parameterfremstillingen for skæringslinjen mellem planerne er følgende:
d)
Da punkt C ligger på skæringslinjen, som kun har en parameter i x-koordinatet, kan vi aflæse y-
og z-koordinatet fra parameterfremstillingen:
Punkter ligger på samme plan som punkterne A, B, D, E og F og punkt har derfor samme x-
koordinat. Punkt C har følgende koordinatsæt:
(2.2.2)(2.2.2)
(2.1.1)(2.1.1)
(2.2.1)(2.2.1)
Opgave 2
a)
Vi benytter Maples værktøj til at bestemme størrelserne i en trekant:
Siden a er 4,52.
b)
Vi definerer trekanten:
T
69
Arealet af trekanten er 13,43.
(3.1.1)(3.1.1)
Opgave 3
a)
Vi definerer punktserien:
Vi foretager en eksponentiel regression:
Det ses af -værdien, som er lig 0,9869, og derved meget tæt på 1, at den eksponentielle
tendenslinje stemmer godt over ens med punktserien. Der kan derfor godt være tale om en
eksponentiel udvikling i udbyttet.
(3.4.1)(3.4.1)
(3.2.1)(3.2.1)
b)
Vi bestemmer forskriften for den eksponentielle model ved at aflæse tendenslinjens forskrift:
c)
Vi sætter t lig 8 i funktionsudtrykket og beregner funktionsværdien:
= 82
I år 1997 er udbyttet af råvildt 122000.
d)
Vi beregner afvigelsesprocenten:
45
Vores model afviger fra den faktiske model med 10,51 %
(4.2)(4.2)
(4.1)(4.1)
Opgave 4
Vi isolerer for y' i differentialligningen:
For at funktionen y(t) er en løsning til differentialligningen, skal udregningen af højre og venstre side
af ligningen være lig hinanden. Maple benyttes til udregning af henholdsvis højre og venstre side. Vi
=
Det ses at vi får samme udtryk, når vi løser henholdsvis højre og venstre side af differentialligningen.
Vi har derved vist, at funktionen y er en løsning til differentialligningen.
Vi anbefaler ikke at benytte Maple's CAS-værktøj i denne opgave, da ligningen skal udtrykkes på en helt specifik måde for at kunne vise at
ligningen er en løsning til differentialligningen.
(5.1.4)(5.1.4)
(5.1.2)(5.1.2)
(5.1.1)(5.1.1)
(5.1.3)(5.1.3)
Opgave 5
a)
Grafen skærer med x-aksen når f(x)=0. Koordinaterne til skæringspunkterne med x-aksen er
derved:
Grafen skærer med y-aksen når x=0. Koordinaterne til skæringspunkterne med y-aksen er derved:
b)
(6.2.1)(6.2.1)
Opgave 6
a)
Vi plotter vektorfunktionen:
b)
Vi definerer vektorfunktionen:
Farten er lig længden af hastighedsvektoren, hvor hastighedsvektoren er den afledte funktion af
vektorfunktionen r:
(6.3.3)(6.3.3)
(6.3.4)(6.3.4)
(6.3.2)(6.3.2)
(6.3.5)(6.3.5)
(6.2.2)(6.2.2)
(6.3.1)(6.3.1)
(6.4.1)(6.4.1)
c)
Vi definerer forskriften for farten:
Grænseværdierne defineres:
0
Jeg opstiller udtrykket for længden af kurven og indsætter de givne grænseværdier:
Bilen har kørt 15,48 m
d)
Vi minimere funktionen for farten i det givne interval:
106
Bilens mindste fart er 0,9 m/s
(7.2.1)(7.2.1)
(7.3.2)(7.3.2)
(7.3.1)(7.3.1)
(6.2.2)(6.2.2)
(7.1.1)(7.1.1)
Opgave 7
a)
Den fuldstændige løsning til differentialligningen er
, hvor er en konstant.
b)
Vi indsætter startbetingelsen og løser differentialligningen:
c)
Selvom spørgsmålet ikke siger det, formoder vi, at vi skal bruge løsningsfunktionen fra opgave 7b.
Vi definerer løsningen:
Vi sætter funktionen lig 0,03 og isolerer for t:
11
Der går 22,13 tidsenheder før forureningskoncentrationen er på 0,03 g/L.