Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30.august 2012
1
HTX Matematik A
30. august 2012
htx122-MAT/A-
Løsning med WordMat ...................................................................................................................................... 2
Løsning med Maple ......................................................................................................................................... 19
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30.august 2012
2
Løsning med WordMat
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formel-
samling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!
WordMat er blevet brugt som CAS-værktøj til løsningen af denne eksamen.
Opgave 1
a)
Vi benytter afstandsformlen:
Vi indsætter punkternes koordinater:
Afstanden AB er lig 7,35 meter
b)
Vi bestemmer vinklen mellem vektorerne AB og AC vha. følgende formel:
Vi definerer punkterne A, B og C:
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30.august 2012
3
Bemærk at vi definerer punkterne som matrixer, da vi senere skal beregne vektorer ud fra punkterne.
Vi bestemmer vektorerne AB og AC:
Vi bestemmer vinklen mellem linjestykkerne:
Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vinklen mellem linjestykkerne AB og AC er 48,19
o
c)
Vi bestemmer planets ligning på normalform:
Hvor
er koordinaterne til en normalvektor på planet og
er koordinaterne til et punkt på
planet.
Punkt B benyttes som fast punkt i planet. Normalvektoren bestemmes ud fra krydsproduktet af to ikke-
parallelle vektorer i planet.
Normalvektoren bestemmes ud fra krydsproduktet af vektor AB og AC:
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30.august 2012
4
Normalvektorens koordinater og koordinaterne for punkt B indsættes i ligningen. Ligningen for planet, som
er en del af, er givet ved:
Udtrykket reduceres vha. CAS-værktøjet WordMat.
d)
Vi benytter følgende formel:
Hvor
er D’s koordinater og a, b, c, d konstanter i planets ligning.
Vi definerer størrelserne:
Vi bestemmer afstanden:
Afstanden fra punkt D til planen er 5,37 meter.
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30.august 2012
5
Opgave 2
a)
Vi indsætter dataet i et koordinatsystem og foretager en eksponentiel regression:
Det ses, at den eksponentielle tendenslinje stemmer godt overens med punktserien, da linjen går igennem
alle punkter. Desuden ses det, at den kvadreret R-værdi næsten er lig 1, hvilket også er et udtryk for at
punktserien kan beskrives ved en eksponentiel model.
b)
Forskriften for f er genereret af Excel og er følgende:
c)
Vi definerer forskriften for f:
Vi sætter tiden t=0,5 og beregner funktionsværdien:
Fluorescensværdien er 2,8 til tiden 0,5 døgn.
y = 1,8452e
0,8341x
R² = 0,9992
0
5
10
15
20
25
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
f
t [døgn]
f(t)
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30.august 2012
6
d)
Opgaverne 2.d og 2.e relaterer sig til forberedelsesmaterialet.
Vi opstiller de fire Lagrangepolynomier:
Vi opstiller det interpolerede polynomium gennem punkterne:
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion,
Det interpolerede polynomium er:
e)
Vi definerer x og bruger det interpolerede polynomium:
Denne værdi ligger lidt fra den fundne værdi i opgave 2c, men denne metode skulle være mere præcis.
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30.august 2012
7
Opgave 3
a)
Afstanden mellem punkt A og B er lig kuglernes diameter:
b)
Alle siderne i trekanten ABC er lig 50 cm. Vi kan vha. disse længder bestemme vinklen A. Vi benytter
WordMats trekantsløser:
WordMats trekantsløser anvendes med input: a = 50, c = 50, b = 50
A = 60°
C = 60°
B = 60°
a = 50
c = 50
b = 50
Vinkel A og C findes vha. cosinusrelationer
Vinkel B findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
60°
60°
60°
50
50
50
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30.august 2012
8
Vinklen mellem linjestykkerne AB og AC er 60
o
c)
Vi opstiller et udtryk for beregning af højden h:
hvor r er kuglernes radius og
er højden i pyramiden ABCD.
Tegnes højderne i trekant ABC, dannes seks ens retvinklede trekanter. Se nedenstående skitse:
Vi vil gerne bestemme længden
. Vinklen
er det halve af vinkel A:
Siden
er lig det halve siden AB:
Vi kan nu beregne sidelængden
vha. WordMats trekantløser:
WordMats trekantsløser anvendes med input: A1 = 30°, H = 90°, A
1
H = 25
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30.august 2012
9
A1 = 30°
G = 60°
H = 90°
h = 14,43376
A
1
H = 25
A
1
G = 28,86751
Vinkel G findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
Længden af siden h findes vha. tangens
Længden af siden A
1
G findes vha. cosinus
Vi danner nu en retvinklet trekant i pyramiden ABCD, hvor højden h
1
er den ene katete, siden A
1
G er den
anden katete og AD er hypotenusen. Se nedenstående skitse:
Størrelsen af sidelængden AD er 50 cm. Vi har lige beregnet størrelsen af sidelængden A
1
G og kan derved
bestemme størrelsen af højden h
1
vha. WordMats trekantløser:
30°
60°
90°
14,4
25
28,9
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30.august 2012
10
WordMats trekantsløser anvendes med input: G = 90°, AG = 28,86751, AD = 50
A = 54,73562°
D = 35,26438°
G = 90°
h
1
= 40,82483
AG = 28,86751
AD = 50
Længden af siden h1 findes vha. Pythagoras
Vi kan nu bestemme den totale højde h:
Højden h er 90,82 cm.
A
D
G
h
1
AG
AD
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30.august 2012
11
Opgave 4
a)
Vi definerer funktionen:
Da B ligger på x-aksen, kan vi bestemme punktets x-koordinat ved at sætte f=0 og isolere for x:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Da B ligger på den positive side af x-aksen, benytter vi det positive resultat af x. B har følgende
koordinatsæt:
b)
Arealet af en trekant kan bestemmes vha. følgende formel:
Hvor g er grundlinje og h er højde. Grundlinjen i trekanten er lig punktet P’s x-koordinat:
Højden i trekanten er lig P’s y-koordinat:
Vi indsætter disse størrelser i formlen for arealet af en trekant:
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30.august 2012
12
c)
(4)
Størrelserne x og e
x
differentieres:
De differentierede udtryk indsættes:
Udtrykket reduceres ved at sætte
uden for parentes:
(5)
Det andet led differentieres vha. produktreglen
(6)
Størrelserne x og e
-x
differentieres:
Vi benytter reglen:
De differentierede udtryk indsættes:
(7)
Vi har:
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30.august 2012
13
Dette udtryk indsætte i ligningen.
(8)
Udtrykket reduceres ved at sætte
uden for parentes:
(9)
Det tredje led differentieres.
(10)
De differentierede led indsættes i udtrykket for A’(x)
d)
Vi bestemmer maksimum for funktionen A
A defineres:
For at undersøge monotoniforholdene for A bestemmes først nulpunkter for A’. Dette gøres ved at løse
ligningen:
Vi udregner nu fortegnet for A’ på begge sider af nulpunkterne:
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30.august 2012
14
Vi sammenfatter dette i en monotonilinje:
-
0
+
0
-
↘
↗
↘
A har maksimum i:
Det er derved den værdi a x, som gør arealet af trekanten størst. Vi bestemmer det maksimale areal ved at
udregne funktionsværdi til x
maks
:
Det maksimale areal af trekanten er 0,265. Vi bestemmer arealet af det gråtonede område vha. følgende
formel, som viser arealet under en graf afgrænset af grænseværdierne a og b:
Det gråtonede område har startgrænseværdien:
Slutgrænseværdien er lig punkt B’s x-koordinat:
Vi indsætter størrelserne og funktionen i formlen:
Arealet af det gråtonede område er 0,9. Vi beregner procentdelen:
Det maksimale areal udgør 29,4 % af det gråtonede område.
e)
Opgave 4.e relaterer sig til forberedelsesmaterialet.
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30.august 2012
15
Vi bestemmer højden af delintervallerne:
Hvor a og b er funktionens grænseværdier og n er antallet af delintervaller.
Vi benytter trapezmetoden:
Ved benyttelse af trapez-metoden bliver arealet 0,89.
Vi får stort set samme værdi for arealet under kurven, når vi benytter trapezmetoden, som når vi integrerer
vha. et CAS-værktøj. Afvigelsen skyldes, at trapezmetoden er mere upræcis, da man kun deler arealet i fire
delintervaller. Når man integrerer, deler man arealet i intervaller med , hvilket giver et fuldstændig
korrekt resultat.
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30.august 2012
16
Opgave 5
a)
Vi definerer funktionen:
Vi sætter x=0 og beregner funktionsværdien:
f skærer y-aksen i (0;-1,4)
b)
Vi benytter følgende formel for voluminet af et omdrejningslegeme drejet om y-aksen:
Vi bestemmer først voluminet af omdrejningslegemet dannet af funktionen f drejet om y-aksen.
Grænseværdierne a og b er følgende:
Da vi kun kan have et positivt areal, så er V
f
0,35186.
Vi bestemmer nu voluminet af omdrejningslegemet dannet af funktionen g drejet om y-aksen:
Vi bestemmer det samlede voluminen:
Voluminet af omdrejningslegemet er 0,52 m
3
.
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30.august 2012
17
c)
Vi beregner h:
Vi bestemmer først voluminet af et omdrejningslegeme dannet af f drejet om y-aksen:
Vi beregner
vha. Simpsons metode. Vi kalder udtrykket for m(x):
Vi benytter Simpsons metode:
Vi indsætter dette i formlen for voluminet:
Voluminet af et omdrejningslegeme dannet af f drejet om y-aksen er 0,35 m
3
Vi bestemmer nu voluminet af et omdrejningslegeme dannet af g drejet om y-aksen vha. samme metode:
Vi benytter Simpsons metode:
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30.august 2012
18
Vi indsætter dette i formlen for voluminet:
Voluminet af et omdrejningslegeme dannet af g drejet om y-aksen er 0,17 m
3
. Vi bestemmer det samlede
Voluminet af omdrejningslegemet:
Voluminet af omdrejningslegemet er 0,52m
3
, hvilket er samme resultat som i opgave 5b.
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30.august 2012
19
Løsning med Maple
Alle opgaver er regnet med Maple, da vores erfaring viser, at det er et stærkt værktøj at anvende. Husk at
skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af Maple som første linje til
besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra Maples Gym-pakken egen
formelsamling. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!
(1.2.5)(1.2.5)
(1.2.1)(1.2.1)
(1.2.3)(1.2.3)
(1.2.4)(1.2.4)
(1.1.1)(1.1.1)
(1.1.2)(1.1.2)
(1.2.2)(1.2.2)
Alle beregninger er udført med Maple som CAS-værktøj . Maple bruger "." som decimaladskiller.
Opgave 1
a)
Vi benytter afstandsformlen:
Vi indsætter koordinaterne:
Afstanden mellem A og B er 7,35 cm
b)
Vinkel bestemmes ved at beregne vinklen mellem vektor AB og vektor AC.
Punkterne defineres:
Vektorerne defineres:
Vinkel bestemmes:
(1.2.6)(1.2.6)
(1.4.2)(1.4.2)
(1.4.4)(1.4.4)
(1.4.1)(1.4.1)
(1.4.3)(1.4.3)
(1.3.1)(1.3.1)
(1.3.5)(1.3.5)
(1.3.4)(1.3.4)
(1.3.3)(1.3.3)
(1.3.2)(1.3.2)
09
Vinklen mellem linjestykkerne AB og AC er 48,19 .
c)
Vi definerer punkterne:
Vi bestemmer planet og generer en ligning for planet:
`while processing result`
`while processing result`
Ligningen for planet er givet ved:
d)
Punkt D defineres:
Plan defineres:
Afstanden bestemmes:
45
(1.2.6)(1.2.6)
(2.1.1)(2.1.1)
Opgave 2
a)
Punktserien defineres:
Vi indsætter dataet i et koordinatsystem og foretager en eksponentiel regression.
Det ses, at den eksponentielle tendenslinje stemmer godt overens med punktserien, da linjen går
igennem alle punkter. Desuden ses det, at den kvadreret R-værdi næsten er lig 1, hvilket også er et
udtryk for, at punktserien kan beskrives ved en eksponentiel model.
b)
(1.2.6)(1.2.6)
(2.4.1)(2.4.1)
(2.4.2)(2.4.2)
(2.4.4)(2.4.4)
(2.2.1)(2.2.1)
(2.4.3)(2.4.3)
(2.5.1)(2.5.1)
(2.4.5)(2.4.5)
Vi aflæser forskriften for tendenslinjen:
c)
Vi sætter tiden t=0,5 og beregner funktionsværdien:
= 01
Fluorescensværdien er 2,8 til tiden 0,5 døgn.
Opgaverne 2.d og 2.e relaterer sig til forberedelsesmaterialet.
d)
Vi opstiller de fire Lagrangepolynomier:
Vi opstiller det interpolerede polynomium gennem punkterne:
e)
Vi sætter x=0,5 i det interpolerede polynomium:
Denne værdi ligger lidt fra den fundne værdi i opgave 2c, men denne metode skulle være mere
præcis.
(1.2.6)(1.2.6)
(1.2.6)(1.2.6)
(3.3.1)(3.3.1)
(3.3.2)(3.3.2)
(3.1.1)(3.1.1)
(3.2.1)(3.2.1)
Opgave 3
a)
Afstanden mellem punkt A og B er lig kuglernes diameter:
Afstanden mellem punkt A og B er 50 cm.
b)
Alle siderne i trekanten ABC er lig 50 cm. Vi kan vha. disse længder bestemme vinklen A. Vi
benytter Maples værktøj til løsning af trekanter:
Vinklen mellem linjestykkerne AB og AC er 60 .
c)
Vi opstiller et udtryk for beregning af højden h:
hvor er kuglernes radius og er højden i pyramiden ABCD.
25
Tegnes højderne i trekant ABC, dannes seks ens retvinklede trekanter. Se nedenstående skitse:
(3.3.4)(3.3.4)
(1.2.6)(1.2.6)
(3.3.5)(3.3.5)
(3.3.3)(3.3.3)
(3.3.6)(3.3.6)
A
B
C
H
A
1
G
H
25 cm
Vi vil gerne bestemme længden . Vinklen er det halve af vinkel A:
Siden er lig det halve siden AB:
Vi kan nu beregne sidelængden . vha. Maples trekantløser:
Vi danner nu en retvinklet trekant i pyramiden ABCD, hvor højden er den ene katete, siden
er den anden katete og AD er hypotenusen. Se nedenstående skitse:
(1.2.6)(1.2.6)
(3.3.8)(3.3.8)
(3.3.7)(3.3.7)
h
1
G
A
D
B
A
D
G
h
1
50
Størrelsen af sidelængden AD er 50 cm. Vi har lige beregnet størrelsen af sidelængden og kan
derved bestemme størrelsen af højden vha. Maples trekantløser:
Vi definerer størrelsen af :
05
Vi kan nu bestemme den totale højde h:
= 05
Højden h er 90,82 cm.
(1.2.6)(1.2.6)
(4.1.3)(4.1.3)
(4.1.2)(4.1.2)
(4.2.2)(4.2.2)
(4.2.3)(4.2.3)
(4.2.1)(4.2.1)
(4.1.1)(4.1.1)
Opgave 4
a)
Funktionen defineres:
Da B ligger på x-aksen, kan vi bestemme punktets x-koordinat ved at sætte f=0 og isolere for x:
B har følgende koordinatsæt:
b)
Arealet af en trekant kan bestemmes vha. følgende formel:
Vi indsætter disse størrelser i formlen for arealet af en trekant:
c)
(1.2.6)(1.2.6)
(4)
Størrelserne og differentieres:
= 1
= e
x
De differentierede udtryk indsættes:
Udtrykket reduceres ved at sætte uden for parentes:
(5)
Det andet led differentieres vha. produktreglen.
(6)
Størrelserne x og differentieres:
= 1
Vi benytter reglen:
De differentierede udtryk indsættes:
(7)
Vi har:
=
Dette udtryk indsættes i ligningen.
(8)
Udtrykket reduceres ved at sætte - uden for parentes:
(9)
Det tredje led differentieres.
(10)
De differentierede led indsættes i udtrykket for A'(x)
d)
A defineres:
(1.2.6)(1.2.6)
(4.4.2)(4.4.2)
(4.4.4)(4.4.4)
(4.4.5)(4.4.5)
(4.5.2)(4.5.2)
(4.4.6)(4.4.6)
(4.5.1)(4.5.1)
(4.4.3)(4.4.3)
(4.4.1)(4.4.1)
Vi bestemmer det maksimale areal:
339
Det maksimale areal af trekanten er 0,265. Vi bestemmer arealet af det gråtonede område vha.
følgende formel, som viser arealet under en graf afgrænset af grænseværdierne a og b:
Det gråtonede område har startgrænseværdien:
0
97
Vi indsætter størrelserne og funktionen i formlen:
= 863
Arealet af det gråtonede område er 0,9. Vi beregner procentdelen:
Det maksimale areal udgør 29,4 % af det gråtonede område.
Opgave 4.e relaterer sig til forberedelsesmaterialet.
e)
Vi bestemmer højden af delintervallerne:
Hvor a og b er funktionens grænseværdier og n er antallet af delintervaller.
4
= 742
Vi benytter trapezmetoden:
false
(1.2.6)(1.2.6)
(4.4.1)(4.4.1)
= 855
Ved benyttelse af trapez-metoden bliver arealet 0,89.
Vi får stort set samme værdi for arealet under kurven, når vi benytter trapezmetoden, som når vi integrerer vha. et CAS-
værktøj. Afvigelsen skyldes, at trapezmetoden er mere upræcis, da man kun deler arealet i fire delintervaller. Når man
integrerer deler man arealet i intervaller med n/N, hvilket giver et fuldstændig korrekt resultat.
(1.2.6)(1.2.6)
(5.2.7)(5.2.7)
(5.2.5)(5.2.5)
(5.2.4)(5.2.4)
(5.2.3)(5.2.3)
(5.1.1)(5.1.1)
(5.2.1)(5.2.1)
(5.2.2)(5.2.2)
(5.2.6)(5.2.6)
(4.4.1)(4.4.1)
Opgave 5
a)
Vi definerer funktionen f:
Vi sætter x=0 og beregner funktionsværdien:
=
Grafen for f skærer y-aksen i -1,4.
b)
Vi benytter følgende formel for voluminet af et omdrejningslegeme dannet af en funktion h drejet
om y-aksen:
Grænseværdierne a og b er følgende:
0
0.4
Vi bestemmer først voluminet af omdrejningslegemet dannet af funktionen f drejet om y-aksen.
simplify symbolic
Da vi kun kan have et positivt areal, så er lig 0,35186 .
772
g defineres:
Vi bestemmer nu voluminet af omdrejningslegemet dannet af funktionen g drejet om y-aksen:
(1.2.6)(1.2.6)
(5.3.4)(5.3.4)
(5.2.9)(5.2.9)
(5.3.3)(5.3.3)
(5.3.2)(5.3.2)
(5.2.10)(5.2.10)
(5.2.8)(5.2.8)
(5.3.1)(5.3.1)
(4.4.1)(4.4.1)
simplify symbolic
468
assign to a name
Vi bestemmer det samlede voluminen:
Voluminet af omdrejningslegemet er 0,52 .
c)
Vi beregner h:
4
= 000
Vi bestemmer først voluminet af et omdrejningslegeme dannet af f drejet om y-aksen:
Vi beregner vha. Simpsons metode. Vi kalder udtrykket for m(x):
Integralet opstilles:
=
Vi indsætter dette i formlen for voluminet:
772
Voluminet af et omdrejningslegeme dannet af f drejet om y-aksen er 0,35 . Vi bestemmer nu
voluminet af et omdrejningslegeme dannet af g drejet om y-aksen vha. samme metode:
Integralet opstilles:
(1.2.6)(1.2.6)
(5.3.6)(5.3.6)
(5.3.5)(5.3.5)
(4.4.1)(4.4.1)
= 0000
Vi indsætter dette i formlen for voluminet:
404
Voluminet af et omdrejningslegeme dannet af g drejet om y-aksen er 0,17 . Vi bestemmer det
samlede voluminen af omdrejningslegemet:
Voluminet af omdrejningslegemet er 0,52 , hvilket er samme resultat som i opgave 5b.