20/november/2010
Konisk pendul
Gehad Elsankari, 3.N
Side 2 af 20
Indhold
Forord .............................................................................................................................. 3
Formål ............................................................................................................................. 3
Teori ................................................................................................................................ 3
Fremgangsmåden .......................................................................................................... 6
Målinger og resultater ................................................................................................. 8
Resultatbearbejdning ................................................................................................ 10
De teoretiske værdier .......................................................................................................................................................... 10
Fejlkilder og usikkerheder ....................................................................................... 13
Usikkerhedsberegning .............................................................................................. 14
Diskussion ................................................................................................................... 16
Konklusion .................................................................................................................. 17
Bilag ............................................................................................................................... 18
Vinkelbestemmelse ............................................................................................................................................................. 18
Bestemmelse af omløbstider .............................................................................................................................................. 19
Bestemmelse af afvigelser .................................................................................................................................................. 20
Side 3 af 20
Forord
For overskuelighedens skyld er rapporten bygget op på den måde at
udregningerne er vedlagt som bilag. Men der er dog også vist nogle
regneeksempler på hvordan man har fundet frem til de forskellige resultater.
Formål
Forsøgets formål er at sammenligne målte omløbstider med de beregnede for et
konisk pendul
Teori
1
Inden vi går i gang med forsøget vil jeg først give en redegørelse for teoretiske
del af forsøget. Jeg vil først beskrive hvilke kræfter der virker på genstanden, og
senere udlede en formel for omløbstiden (T).
Tegningen til højre viser at en
genstand som kredser rund i
en cirkelformet bane. Ved
hjælp af dette billede vil jeg
vise hvordan man kan
bestemme omløbstiden.
Genstanden (det røde prik)
bliver påvirket af to kræfter –
tyngdekraften
og
snorkraft
. Da gen-
standen bevæger sig i en cirkelformet bane vil der altså være tale om
centripetalkraften
– hvilket er lig med tyngdekraft og snorkraft. Bemærk,
at centripetalkraften altså er den resulterende kraft (
på genstanden.
1
Holck, Per mm., Orbit A HTX, systime, 2007
Side 4 af 20
Jeg kender ligning for både tyngdekraften og centripetalkraften som er
følgende:
(1)
(2)
På billedet fremgår det som en trekant, dvs. at jeg kan bestemme vinklen (
således:
(3)
Dette kan omskrives til:
(4)
Fra sætning (2) kender jeg udtrykket for
(5)
Før jeg går videre vil jeg blot vise at man ud fra tegningen kan bestemme radius
(r) således (se evt. tegningen foroven):
(6)
Jeg ved hvordan radius kan bestemmes og vil nu jeg bygge videre på sætning 5.
Jeg indsætter udtrykket for r.
(7)
Side 5 af 20
Jeg dividerer med m på begge sider af lighedstegnet, og udtrykket bliver
dermed reduceret til:
(8)
Jeg ved, at
. Jeg omskriver først ligningen, og når jeg har gjort
det, erstatter jeg cosinus med
(9)
Jeg ved igen at
, hvilket jeg får til:
(10)
Og endelig kan jeg bestemme omløbstiden (T) ved at omskrive formlen således:
(11)
Jeg har nu vist hvordan jeg kan bestemme omløbstiden (T). Denne formel skal
jeg bruge senere til mine udregninger under afsnittet resultatbearbejdning.
Side 6 af 20
Fremgangsmåden
Jeg vil kort beskrive hvordan forsøget blev udført samt hvilke og hvordan
materialerne blev målt.
Men allerførst vil jeg gør læseren opmærksom på at dette forsøg er altså opdelt i
to forsøg – altså ét forsøg med Kaspers nøgle og et andet forsøg med Peters
nøgle, og hvert forsøg er igen delt i to delforsøg. De to forskellige nøgler har
forskellige masser, og der blev brugt to forskellige snorlængder, samt to
forskellige omdrejningsbaner med to forskellige radiusser. Så alt i alt har vi fire
delforsøg med seks forskellige variabler.
Der blev brugt følgende materialer:
Materialer:
2 x nøgler
2 x snor
2 x omløbsbaner (rundformet vægt + grydelåg)
stopur
Lineal (inddelt i millimeter)
Side 7 af 20
Inden opstilling af forsøget skulle der først tages målinger på de fysiske
størrelser. De to forskellige snorlængder blev målt med en lineal – her har vi
vurderet at usikkerheden er på plus-minus 0,01 m, da linealen nemlig er inddelt
i millimeter. Det samme har vi gjort for de to omdrejningsbaner (gryde og
vægt). Vi målte deres diameter og delte det med to for at få det i radius –
usikkerheden blev vurderet til plus-minus 0,01 m. Bemærk, at vægten altså er
en rundformet genstand. Og endelig har vi målt massen de to forskellige nøgler
der blev brugt som omdrejningsgenstand – her har vi vurderet at usikkerheden
er på plus-minus 0,0001 kg.
Nu vil jeg beskrive hvordan forsøget blev udført. Vi binder en snor til et stativ i
den ene ende af snore, og binder nøglen i den anden ende. Nøglen befinder sig
nu over centrummet af omløbsbanen (grydelåg eller vægt). Nøglen sættes i
svingninger ved hjælp af håndkraften, og nøglen skal nu følge omløbsbanen så
godt som muligt. Når nøglen har svinget i fem omdrejninger skal der straks
tages tid. Tiden deles med fem for at bestemme omløbstiden for én omdrejning.
Usikkerheden på det målte tid blev vurderet til plus-minus 0,1 s for de fem
omdrejninger, som altså svarer til 0,02 s for én omdrejning.
Målinger og usikkerheder fremgår i det næste afsnit (målinger og resultater).
Side 8 af 20
Målinger og resultater
Tabel 1 (Forsøg 1 – Kaspers nøgler) viser de målinger der er taget under forsøget.
Tabellen viser desuden hvor store usikkerhederne er – dette skal jeg bruge senere
hen.
Forsøg 1
(Kaspers nøgler)
Materialer
Betegnelser
Målte
Usikkerheder
Snorlængde
L
0,53 m
Masse
(Kaspers nøgler)
m,nølger,kasper
0,01713 kg
0,0001 kg
Radius
(grydelåg)
rgrydelåg
0,1075 m
Omløbstid
(grydelåg)
Tgrydelåg
1,46 s
(én omgang)
0,02 s
Radius
(vægt)
rvægt
0,07 m
Omløbstid
(vægt)
Tvægt
1,42 s
(én omgang)
0,02 s
Side 9 af 20
Tabel 2 (Forsøg 2 – Peters nøgler) viser også de målinger vi har taget under
forsøget, blot med den forskel at snorlængden (L) og radiussen på vægten (rvægt)
er forskelligt.
Forsøg 2
(Peters nøgler)
Materialer
Betegnelser
Målte
Usikkerheder
Snorlængde
L
0,58 m
Masse
(Peters nøgler)
m,nølger,peter
0,029 kg
0,0001 kg
Radius
(grydelåg)
rgrydelåg
0,1075 m
Omløbstid
(grydelåg)
Tgrydelåg
1,53 s
(én omgang)
0,02 s
Radius
(vægt)
rvægt
0,07 m
Omløbstid
(vægt)
Tvægt
1,48 s
(én omgang)
0,02 s
Side 10 af 20
Resultatbearbejdning
Jeg vil under dette afsnit beregne den teoretiske værdi af omløbstiden for
henholdsvis Kaspers nøgler (forsøg 1) og Peters nøgler (forsøg 2). Da jeg allerede
kender de målte værdier af omløbstiden – som vi målte under forsøget – vil jeg
senere hen sammenligne de målte (som jeg kalder de praktiske) med de
teoretiske værdier af omløbstiden, og dernæst diskutere afvigelserne i det næste
afsnit. For overskuelighedens skyld er alle mellemudregningerne vedlagt som
bilag, men jeg vil dog alligevel vise et par regneeksempler.
De teoretiske værdier
Før jeg udregner den teoretiske værdi
af omløbstiden skal jeg først bestemme
vinklen () (se evt. tegningen til højre).
Da der er tale om en retvinklet trekant
kan jeg bestemme vinklen således:
Eftersom jeg både kender grydelågets radius (r) og snorlængden (L) vil jeg nu
vise et regneeksempel på hvordan jeg kan bestemme vinklen(. Senere hen vil
jeg udregne den teoretiske værdi af omløbstiden.
(Forsøg 2 – Peters nøgler med gryde som omdrejningsbane).
Bemærk, at vinklen vil være forskellig alt efter hvilke materialer vi anvender
(herunder de to forskellige snorlængder og radiussen på grydelåget samt
vægten). Bestemmelser af vinkler er vedlagt som bilag under vinkelbestemmelse.
Side 11 af 20
Da jeg nu kender vinklen kan jeg bestemme den teoretiske omløbstid således.
Jeg kender både vinklen (, snorlængden (L) og tyngdeacceleration (g):
Jeg har nu fået den teoretiske værdi af omløbstiden til 1,51 s. Jeg bruger den
samme metode til at bestemme de andre værdier af omløbstiden –
udregningerne er vedlagt som bilag under afsnittet bestemmelse af omløbstider.
Tabel 3 (teoretisk udregning) viser omløbstiden for Kaspers og Peters nøgler med
grydelåget og vægten som
omløbsbane. For eksempel; med
et grydelåg som omløbsbane vil
omløbstiden for Kaspers nøgle
være 1,47 sek., idet jeg både
kender radiussen på låget,
snorlængden og den udregnede
vinkel.
Jeg har nu udregnet de
teoretiske værdier. Eftersom jeg
både kender de teoretiske og praktiske (altså målte) værdier vil jeg nu
sammenligne og bestemme afvigelsen. Måden jeg finder afvigelsen er således:
Teoretisk udregning
Tabel 3
Omløbstid
(grydelåg)
Omløbstid
(vægt)
Kaspers
nøgler
1,44 s
1,45 s
Peters
nøgler
1,51 s
1,52 s
Side 12 af 20
Her er et regneeksempel for forsøg 2 – Peters nøgler med vægt som omløbsbane:
Udregningerne er vedlagt som bilag under afsnittet bestemmelse af afvigelser.
Tabel 4 (sammenligning) viser afvigelsen mellem den teoretiske og den praktiske
værdi af omløbstiden for begge forsøg. For eksempel; med et grydelåg som
omløbsbane vil afvigelsen mellem den praktiske og teoretiske værdi af
omløbsbane for Peters nøgler være 1,32 %.
Sammenligning
Tabel 4
Kaspers
nøgler
Peters
nøgler
Omløbstid
(grydelåg)
1,46 s
(praktisk)
1,44 s
(teoretisk)
1,38 %
(afvigelse)
1,53 s
(praktisk)
1,51 s
(teoretisk)
1,32 %
(afvigelse)
Omløbstid
(vægt)
1,42 s
(praktisk)
1,45 s
(teoretisk)
2,07 %
(afvigelse)
1,48 s
(praktisk)
1,52 s
(teoretisk)
2,63 %
(afvigelse)
Som tabellen viser, er der en del afvigelser for begge forsøg – men dog er disse
ikke særlige store. Jeg vil under afsnittet diskussion forklare hvad afvigelserne
skyldes.
Side 13 af 20
Fejlkilder og usikkerheder
Der var del små usikkerheder på målinger af de fysiske størrelser – såsom
måling af snorlængden, radius på omløbsbaner, måling på tiden osv.
Der er desuden også andre fejlkilder på forsøget. Genstanden bevæger sig ikke i
en jævn cirkelbevægelse, hvilket kan give forkerte resultater da genstanden
ikke følger banen med det givet radius. Desuden sidder stativet ikke helt fast på
bordet – stativet kan vippe, hvilket vil forstyrre genstandens bevægelse.
Side 14 af 20
Usikkerhedsberegning
For at bestemme usikkerheden på forsøget vil jeg bruge minimum-maksimum-
metoden, som kort sagt går ud på at finde den mindste og største værdi af det
ønskede størrelse. Jeg vil senere hen undersøge om de praktiske værdier
overlapper de teoretiske.
Jeg vil lave usikkerhedsbegning på kun ét af forsøgene – Kaspers nøgler med
grydelåg som omdrejningsbane. Da vi har vurderet, at usikkerheden på det målte
omløbstid er plus-minus 0,1 (se evt.. tabel 1 - Forsøg 1, Kaspers nøgler) kan vi
bruge metoden til at bestemme den mindste og største værdi for den målte
omløbstid. Den mindste og største værdi er henholdsvis til 1,42 s og 1,46 s. Se
tabel 5 forneden.
Usikkerhedsberegning for den praktiske værdi af omløbstiden
Tabel 5
Minimum for omløbstiden
Maksimum for omløbstiden
Kaspers
nøgler
(grydelåg)
Nu vil jeg lave usikkerhedsberegning for den teoretiske omløbstid – hvilket er
vist i tabel 6. Jeg bruger også den samme metode til at bestemme den mindste
og største værdi – men den her gang er det lidt mere indviklet, da jeg nu har to
formler med to variabler (radiussen (r og snorlængden (L)).
For at bestemme den mindste værdi kræver jeg en stor vinkel, da cosinus til en
stor vinkel giver en lille værdi af omløbstiden
.
Side 15 af 20
Når jeg har fundet vinklen trækker jeg 0,01 m fra snorlængden (altså L – 0,01 m)
for igen at finde den mindste værdi af omløbstiden – jeg får den mindste værdi
til
. Jeg gør omvendt for at bestemme den største værdi af
omløbstiden (altså jeg ændrer fortegn) – den største værdi får jeg til
Se evt. tabel 6.
Usikkerhedsberegning for den teoretiske værdi af omløbstiden
Tabel 6
Minimum for omløbstiden
Maksimum for omløbstiden
Kaspers
nøgler
(grydelåg)
Jeg kræver en stor vinkel (
Jeg kan nu bestemme
Jeg kræver en lille vinkel (
Jeg kan nu bestemme
Side 16 af 20
Jeg har nu lavet usikkerhedsberegning for både den praktiske og teoretisk
værdi af omløbstiden, og er nu klar til at undersøge om de ligger tæt op ad
hinanden. Jeg indsætter værdierne på x-aksen for de fire forskellige værdier jeg
har fundet frem til. Som billedet (se tegningen forneden) viser, er der en
overlapning mellem den teoretiske og praktiske omløbstid. Dette fortæller mig,
at resultaterne er rigtige på trods af, at der kan være usikkerheder på forsøget.
Diskussion
Jeg vil nu diskutere på de resultater jeg har fået. Dernæst vil jeg diskutere
hvorfor der er en afvigelse mellem den teoretiske og praktiske værdi af
omløbstiden.
Til at bestemme omløbstiden har jeg brugt formlen:
.
Ud fra formlen kan jeg se, at omløbstiden kun afhænger af snorlængden (L) og
radiussen (r) af omløbsbanen, idet resten af størrelserne er konstante. Derfor har
massen af genstanden (altså nøglen) ikke nogen betydning for omløbstiden,
hvilket man ellers ville have troet.
Tmin,prak = 1,42 s
Tmaxprak = 1,46 s
Tmin,teo = 1,43 s
Tmax,prak = 1,46 s
Figur 1 Sammenligning
Side 17 af 20
Dernæst har jeg lavet usikkerhedsberegning på ét af forsøgene hvor jeg har
brugt maksimum-minimum-metoden til at bestemme den mindste samt største
værdi af teoretisk og praktisk værdi omløbstiden (se figur 1 – sammenligning).
Afvigelsen mellem den teoretiske og praktiske værdi ganske lille – faktisk på
1,38 %. Dette fortæller mig, at forsøget er udført korrekt, og at vi ikke har haft
store usikkerheder på målinger af de fysiske størrelser.
Konklusion
Vi har udført forsøget og målt omløbstiden. Jeg har desuden bestemt den
praktiske værdi af omløbstiden vha. en formel. Og jeg har dernæst sammenlign
de to værdier med hinanden. Det har så vist sig, at der er en lille afvigelse
mellem de to værdier, hvilket skyldes de måleusikkerheder der har været på
forsøget. Endelig har jeg lavet usikkerhedsberegning på ét af forsøgene, og
resultaterne ser ud til at være fornuftige da der ikke har været en stor afvigelse
mellem den teoretiske og praktiske værdi af omløbstiden. Forsøget er derfor
blevet udført korrekt. Jeg kan hermed slutte af med at sige, at jeg nu har fået
opfyldt formålet.
Side 18 af 20
Bilag
Vinkelbestemmelse
Jeg har bestemt vinklene således eftersom jeg allerede kender radius (r) og
snorlængden (L):
Formlen jeg bruger er:
Vinkler
Kaspers nøgler
Peters nøgler
Omløbstid
(grydelåg)
Omløbstid
(vægt)
Side 19 af 20
Bestemmelse af omløbstider
Jeg har bestemt omløbstiderne således eftersom jeg allerede kender vinklen (,
snorlængden (L) og tyngdeacceleration (g):
Formlen jeg bruger er:
Teoretisk udregning for omløbstider
Kaspers nøgler
Peters nøgler
Omløbstid
(grydelåg)
Omløbstid
(vægt)
Side 20 af 20
Bestemmelse af afvigelser
Jeg har bestemt afvigelsen således eftersom jeg allerede kender den teoretiske
omløbstid (
og praktiske omløbstid (
).
Formlen jeg bruger er:
Afvigelsen
Kaspers nøgler
Peters nøgler
Omløbstid
(grydelåg)
Omløbstid
(vægt)