Studieretningsopgave [navn fjernet] 1x 29.04.10
Side 1 af 19
Lys og optiske fænomener - Snells lov og regnbuen
Lærer: Thomas Koop, Jette Mørk Nielsen og Brian D. Jørgensen
Studieretningsprojekt i fagene matematik A og fysik B
STX 2.g
STX 2.g
29/04-2010
Studieretningsopgave [navn fjernet] 1x 29.04.10
Side 2 af 19
Indhold
Indledning ................................................................................................................................................ 3
Abstract ................................................................................................................................................... 3
Brydningsloven ........................................................................................................................................ 4
Forsøg – bestemmelse af brydningsindekset for akrylplast ....................................................................... 5
Matematisk udledning af brydningsloven ................................................................................................. 7
Teorien bag regnbuen .............................................................................................................................11
Analyse af regnbuens farvespektrum ......................................................................................................16
Konklusion ..............................................................................................................................................17
Litteraturliste ..........................................................................................................................................19
Studieretningsopgave [navn fjernet] 1x 29.04.10
Side 3 af 19
Indledning
Jeg har valgt at beskæftige mig med opgaveformulering nr. 2. Det omhandler brydningsloven og
regnbuen. Vi lavede på klassen et forsøg om bestemmelse af brydningsindekset for akrylplast, og
dette forsøg skal inddrages i opgaven. Til forsøget skal der laves noget databehandling som også
skal indgå i denne opgave, hvorved der skal dokumenteres hvorvidt forsøgsresultaterne bekræfter
teorien om lysets brydning. Der skal desuden laves en matematisk udledning af Snells lov samt
teorien for regnbuen, ud fra den matematiske udledning skal der udføres en analyse af regnbuens
farvespektrum.
Abstract
This paper deals with physics and mathematics. The paper explores light and optical phenomena,
Snell’s law and the theory of rainbows. In the paper there is a mathematical discharge of Snell’s
law. The paper also looks at a test we did in physics. We examined the reflection of light in a given
material and discussed the results in the theory of the reflection of light.
The paper falls into four parts. The first section is about Snell’s law. Secondly the attempt we did in
physics. The third section deals with the mathematical discharge of Snell’s law. And finally the last
section is about the theory of the rainbow.
The paper confirms Snell’s law of reflection and how it takes effect in the nature. It determines
that a raindrop refracts light and shows us the colour of the rainbow in the range of 42, 7 and 40, 4
degrees.
Studieretningsopgave [navn fjernet] 1x 29.04.10
Side 4 af 19
Brydningsloven
Brydningsloven siger at når lyset passerer et medie til et andet, byrdes lyset i grænsefladen
mellem de to medier. Illustrationen viser vinklen i som er indfaldsviklen og vinklen b som er
brydningsvinklen. Når lysbølgerne krydser grænsefladen, bevarer bølgerne deres frekvens, men
fordi hastigheden er lavere i medie 2, bliver bølgelængden kortere. Da bølgetop og – dal
indtræffer samtidigt på begge sider af grænsefladen, forlader planbølgen grænsefalden i en
ændret vinkel b fra grænsefladens normal i. Lysets brydning opstår, fordi lysets fart ændres, lyset
har ikke samme fart i de to medier. Her gælder det, at hvis lyset brydes i medie 1, hvor
hastigheden er v
1
til det andet medie 2, hvor hastigheden er v
2
:
sin(i)
sin()
=
v
1
v
2
Brydningsforholdet:
12
=
1
2
Brydningsindeks (n):
=
=
C er lysets hastighed i vakuum.
Studieretningsopgave [navn fjernet] 1x 29.04.10
Side 5 af 19
Udledning af brydningsforholdet:
12
=
1
2
=
1
2
=
1
2
12
=
2
1
Eksempel på beregning af brydningsindeks, brydningsvinkel b og indfaldsviklen i:
Når lys bevæger sig fra luft til vand.
sin()
sin()
=
3,00 10
8
/
2,26 10
8
/
= 1,33
Brydningsindekset (n) er altså 1,33.
Hvis vi antager at indfaldsvinklen i er 50°, hvad vil brydningsvinklen være:
sin(50)
sin()
= 1,33
=
sin(50)
1,33
= sin
1
0,57597
= 35,2 °
Brydningsvinklen b vil være 35,2° hvis indfaldsvinklen i er 50°.
Hvis vi nu antager at brydningsvinklen b er 40°, hvad vil indfaldsvinklen være:
sin()
sin(40)
= 1,33
= 1,33 sin(40) = sin
1
0,854908
= 58,75°
Indfaldsvinklen i vil være 58,75°, hvis brydningsvinklen b er 40°.
Forsøg – bestemmelse af brydningsindekset for akrylplast
Jeg skal bestemme brydningsindekset for en lysstråles overgang fra luft til akryl og fra akryl til luft.
Her gælder dette sammenhæng:
sin()
sin()
= sin
= sin()
Studieretningsopgave [navn fjernet] 1x 29.04.10
Side 6 af 19
På illustrationen ses hvorfra indfaldsstrålen kommer ind med vinklen i, og der sker en brydning
idet lyset rammer grænsefladen mellem luft og akryl, hvor denne vinkel kaldes b. I selve forsøget
indtegnede jeg 6 forskellige indfaldsvinkler ud fra indfaldsloddet, med afstandene fra 10°-60° med
10° mellemrum. Derefter blev lysstrålen sendt igennem og der blev afsat punkter til at indtegne
udfaldsvinklerne, og jeg kunne derefter med en vinkelmåler måle de givne brydningsvinkler.
Databehandling:
Stråle nr.
Vinkel i
Vinkel b
Sin(i)
Sin(b)
n
1
10°
8°
0,17
0,14
1,25
2
20°
13°
0,34
0,22
1,52
3
30°
19°
0,50
0,33
1,53
4
40°
26°
0,64
0,44
1,46
5
50°
31°
0,77
0,52
1,49
6
60°
35°
0,87
0,57
1,5
Eksempel på udregning af brydningsindekset n:
sin()
sin()
=
sin(10)
sin(8)
= 1,25
Den gennemsnitlige værdi for brydningsindekset:
1,25 + 1,52 + 1,53 + 1,46 + 1,49 + 1,5
6
= 1,46
Studieretningsopgave [navn fjernet] 1x 29.04.10
Side 7 af 19
Den procentviseafvigelse af tabelværdien for brydningsindekset ved akrylplast:
(1,49 1,46)
1,49
100 = 2%
Den procentviseafvigelse fra tabelværdien er 2 %.
sin()
sin()
= sin
= sin()
Øvelsens formål var at eftervise brydningsloven. På grafen ses det at sin(i) og sin(b) er ligefrem
proportionale med brydningsindekset n som hældningskoefficient. Jeg har hermed eftervist
brydningsloven, eftersom jeg har fået en ret linje som går gennem (0,0) – og som derfor er
ligefrem proportional.
Matematisk udledning af brydningsloven
Fermats princip:
Lys bevæger sig fra A til B på kortest mulige tid. I et givet medie må det altså bevæge sig langs en
ret linje.
y = 1,4925x
R² = 0,9932
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
-0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
sin(i)
sin(b)
Brydningsloven
Studieretningsopgave [navn fjernet] 1x 29.04.10
Side 8 af 19
En lysstråle der går fra A til B, lysets hastighed under og over x-aksen er v
1
og v
2
. Lyset bevæger sig
igennem to forskellige medier, fx luft og vand.
Vinklerne i = trekant ACF og b = trekant GCB kaldes indfaldsvinkel (i) og udfaldsvinkel (b).
Den tid, det tager at nå fra punktet A til B gennem C, er bestemt ved:
=
=
||
1
+
||
2
l = hastigheden, v = hastigheden og t = tiden.
f(x)= tiden der går når lyset bevæger sig fra A til B via C.
Der er tale om to retvinklet trekanter derfor bruges Pythagoras sammensat med hastigheden
(indsat i TI-interactive):
x = c som i figuren ovenover har punktet (c; 0)
a1, a2, b1 og b2 er alle punkter fra figuren ovenover. For at kunne bestemme tiden skal
strækningen kendes derfor bruges Pythagoras.
v2
v1
G
F
D(a1,0)
E(b1.0)
A(a1.a2)
B(b1,b2)
C(x,0)
Studieretningsopgave [navn fjernet] 1x 29.04.10
Side 9 af 19
Jeg vil undersøge denne funktion og påvise at den har et minimum.
Differentielkoefficienten (TI-interactive):
Den anden afledede (TI-interactive):
Her ses at for alle x er f ” (x) > 0. Hertil kan det derfor sluttes, at f ’ (x) er en voksende funktion.
Nu beregnes f ’(a1) og f ’(b1) ses følgende (TI-interactive):
Det ses at f ’(x) er negativ i venstre endepunkt, og positiv i højre endepunkt da a1<b1.
Dertil er f ’(x) altså en kontinuert voksende funktion ved *a1;b1+ og at den har modsat fortegn i
endepunkterne, der findes altså ét tal c1 є ]a1;b1[ derfor f ’(c1) = 0.
Der er et globalt minimum for f(x) fordi f ”(c1) > 0.
Studieretningsopgave [navn fjernet] 1x 29.04.10
Side 10 af 19
Påstanden om, at lys bevæger sig på sådan en måde at det tager kortest mulig tid at nå fra punkt A
til punkt B
1
, må en lysstråle altså bevæge sig gennem punktet C(c1;0) for at komme fra A(a1;a2) til
B(b1;b2) på kortest mulig tid.
Så ved om skrivning fås:
1
= 0
1 1
1
(1 1)
2
+ 2
2
+
1 1
2
(1 1)
2
+ 2
2
= 0
1 1
1
(1 1)
2
+ 2
2
+
1 1
2
(1 1)
2
+ 2
2
1 1
(1 1)
2
1
=
1 1
(1 1)
2
2
Hertil ses trekanterne ACF og CBG at:
sin
=
1 1
(1 1)
2
+ 2
2
sin
=
1 1
(1 1)
2
+ 2
2
Udregningen fortsættes:
sin()
1
=
sin()
2
sin()
sin()
=
1
2
Hvis et materiales brydningsindeks er bestemt ved, forholdet mellem lysets hastighed i tomt rum
og lysets hastighed i det pågældende medie, vil det sige at:
n =
Dertil kan der fortsættes med to former af brydningsloven:
sin
=
sin()
sin()
=
1
2
sin()
sin()
=
2
1
sin()
sin()
=
2
1
1
Fermats princip
Studieretningsopgave [navn fjernet] 1x 29.04.10
Side 11 af 19
Brydningsloven siger, at overgangen til et ”langsommere” medie betyder, at brydningsvinklen vil
være mindre end indfaldsvinklen. Et medie er karakteriseret ved dets brydningsindeks, der angiver
forholdet mellem lysets hastighed i vakuum og i mediet. Så jo hurtigere et udbredelses medie jo
mindre vil brydningsindekset være.
2
Teorien bag regnbuen
Solen lys er hvidt, fordi lyset består af alle farver, og de enkelte farver er kendetegnet ved hver
deres bølgelængde, . Derfor må regnbuen opstå ved at opsplitte sollyset i bestemte
bølgelængder, så hver af de farver der optræder i regnbuer forekommer.
Primærbue
- En primær regnbue observeres på himlen modsat solen i en buevinkel på ca. 42°.
Buevinklen er, vinklen mellem solstrålens indfaldsretning mod Jorden og vores syns
retning.
- Har rødt lys øverst og violet nederst, hvor de mellemliggende buer består af farverne
orange, gul, grøn og blå.
- Hvis der er ekstra regnbuer under den primære bue vil de blive omtalt som interferens
buer.
Sekundærbue
- Ses over den primære bue i en buevinkel på 50°, med en mindre lys intensitet.
Farvesammensætningen er modsat den primære bue, sekundær buen har violet øverst og
rød nederst (ses også på forside billedet).
- Et mørkt område mellem den primære og den sekundære regnbue. Dette område kaldes
for Alexanders mørke bånd. Alexander (ca. år 200 e.v.t.) observerede et mørkt område,
mørkere end den omkringliggende himmel, mellem den primære og sekundære regnbue.
Hvis regnbuerne observeres igennem et par polaroid solbriller vil den øverste del af buerne
forsvinde.
3
2
http://www.norreg.dk/fysikforhvem/RegnbueKvantdec1998.pdf
3
http://www.norreg.dk/fysikforhvem/RegnbueKvantdec1998.pdf
Studieretningsopgave [navn fjernet] 1x 29.04.10
Side 12 af 19
4
Den tyske munk Theodorich foreslog i 1304, at en regnbue kan beskrives ved refleksion i en enkelt
regndråbe. Den primære regnbue kommer fra lys, der er blevet reflekteret én gang i dråben, hvor
den sekundære regnbue opstår fra lys, der er blevet reflekteret to gange. Det er først 300år efter
at Descartes indfører den samme teori. En mulig beskrivelse er med Snells lov fra 1621, hans lov
beskriver overgangen mellem to medier, med hver deres brydningsindeks. Først i 1666 opdages af
Newton, at brydningsindekset afhænger af lysets bølgelængde.
5
4
Illustration - http://www.norreg.dk/fysikforhvem/RegnbueKvantdec1998.pdf
5
http://www.norreg.dk/fysikforhvem/RegnbueKvantdec1998.pdf
Studieretningsopgave [navn fjernet] 1x 29.04.10
Side 13 af 19
Jeg vil nu beskrive regnbueteorien ved en primær regnbue, som den fremgår inden for geometrisk
optik. Der ses bort fra lysets bølgenatur og solstrålerne er rette linjer.
Den røde streg illustrer en solstråle, strålen rammer grænsefladen og brydes i punktet A, strålen
rammer punktet E hvorved det spejles (refleksion i = u), strålen fortsætter til punktet D og brydes
atter igen ved grænsefladen.
Vinklerne mellem indgående lysstråle og udgående lysstråle vABD kaldes ɸ. Indfaldsvinkel og
udfaldsvinkel kaldes i og b. Jeg vil undersøge om der er en relation mellem disse tre vinkler.
Trekant ABC:
vCAB = i fordi topvinklerne er lige store.
vABC =
2
der er to vinkler der er delt ved B.
Studieretningsopgave [navn fjernet] 1x 29.04.10
Side 14 af 19
= 180 2
Trekant AEC er ligebenet.
Vinkelsummen i trekant ABC er 180°:
+
2
+
180 2
= 180
2
= 180
180 2
2
= 2
= 4 2
i*2 for at få vinklen ved B kaldet ɸ.
Af brydningsloven fås:
sin()
sin()
= sin
=
1
sin
=
1
1
sin
Overstående udtryk sættes ind ligningen = 4 2 :
= 4
1
1
sin
2
Maximalisering af denne funktion ved hjælp af differentialregning (TI-interactive):
I håndkraft udregnes dette hvor 0 < i < π/2:
4 cos()
(sin
+ ) (sin())
2 = 0
4 cos()
(sin
+ ) (sin())
= 2
4 cos()
(sin
+ ) (sin())
= 2 4 cos
= 2 (sin
+ ) (sin())
Studieretningsopgave [navn fjernet] 1x 29.04.10
Side 15 af 19
4 cos
= 2 (sin
+ ) (sin()) 2 cos
= (sin
+ ) (sin())
2 cos
= (sin
+ ) (sin()) 4 (cos())
2
= (sin
+ ) (sin())
Ved at udregne højreside og derpå bruge idiotformlen fås:
4 4 (sin())
2
=
2
(sin())
2
4
2
= 3 (sin())
2
(sin())
2
=
4
2
3
(sin())
2
=
4
2
3
=
4
2
3
= sin
1
(
4
2
3
)
Differentielkoefficienten hvor i = udtrykket ovenover (TI-interactive):
Den anden afledede, ”tcollect” bruges til omskrivning (TI-interactive):
Den anden afledede er negativ da n > 1.
Hvis vi lader TI reducere ser det således ud:
Studieretningsopgave [navn fjernet] 1x 29.04.10
Side 16 af 19
Her ses det tydeligt at den anden afledede er negativ så derfor må:
= 4 sin
1
sin
2 1 være maksimal for =
1
(
4
2
3
)
Analyse af regnbuens farvespektrum
Af denne formel kan der nu foretages beregninger på indfaldsvinklen i, der giver den maksimale
vinkel. Indfaldsvinklen afhænger kun af vanddråbens brydningsindeks. Vi kigger på det røde og
violette lys, fordi den ydre og inderste farve hos en primær regnbue er rød og violet.
Rødt lys:
n = 1,329
sin
=
4 1,329
2
3
=
1
4 1,329
2
3
= 59,64°
Den maksimale vinkel er 59,64°.
=
1
1
sin
=
1
1
1,329
4 1,329
2
3
= 40,48°
= 4 2 =
4 40,48°
2 59,64°
= 42,7°
Brydningsvinklen b er 40,48° når indfaldsvinklen er 59,64° og vinklen ɸ er 42,7°. Regnbuens
øverste kant ligger på forbindelseslinjen mellem Solen og iagttagerens øjne. Da rød er den øverste
farve i regnbuen er regnbuens øverste kant 42,7° over horisonten.
Violet lys:
n = 1,345
sin
=
4 1,345
2
3
=
1
4 1,345
2
3
= 58,71°
Studieretningsopgave [navn fjernet] 1x 29.04.10
Side 17 af 19
=
1
1
sin
=
1
1
1,345
4 1,345
2
3
= 39,44°
= 4 2 =
4 39,44°
2 58,71°
= 40,4°
Brydningsvinklen b er 39,44° når indfaldsvinklen er 58,71° og vinklen ɸ er 40,4°. Da violet er den
nederste farve i regnbuen er regnbuens nederste kant 40,4° over horisonten.
På den måde har jeg vist at regnbuen spænder mellem vinklerne 42,7° og 40,4°.
Farve
Vakuumbølgelængde i
nm
Rød
625-740
Orange
590-625
Gul
565-590
Grøn
520-565
Cyan
500-520
Blå
450-500
Indigo
430-450
Violet
380-430
Konklusion
Jeg fik udledt to formler af brydningsloven:
sin
=
sin()
sin()
=
1
2
sin()
sin()
=
2
1
sin()
sin()
=
2
1
Derpå også teorien for regnbuen:
= 4 sin
1
sin
2 1
=
1
(
4
2
3
)
=
1
1
sin
Studieretningsopgave [navn fjernet] 1x 29.04.10
Side 18 af 19
Dertil fik jeg også vist regnbuens farver passende ligger mellem 42,7° og 40,4°. Det passer også i
overensstemmelse når vi ser på de forskellige farvers bølgelængde, at det er rød, orange-gul, grøn-
blåt og violet vi kan se når regnbuen er på himlen, fordi farvespektrummet er fra rødt som er den
yderste og har den største bølgelængde til violet som er den inderste og har den mindste
bølgelængde, derved kan vi også se de imellem liggende.
