Projektopgave
HTX 2. år
2009
Ülvi Imanov
Lærer: Frits Edslev
10/27/2009
Projektopgave
2
Indholdsfortegnelse
Indledning ............................................................................................................................................ 3
Teori ..................................................................................................................................................... 4
Pythagoras ........................................................................................................................................ 4
Cirklens ligning ................................................................................................................................. 5
Afstandsformlen ............................................................................................................................... 6
Linjens ligning ................................................................................................................................... 7
2. Gradsligning .................................................................................................................................. 8
2 ligninger med 2 ubekendte ......................................................................................................... 10
De lige store koefficienters metode .......................................................................................... 11
Determinantmetoden: ............................................................................................................... 12
Vinklen imellem to linjer ................................................................................................................ 12
Trigonometri ................................................................................................................................... 13
Sinusrelationen .......................................................................................................................... 13
Cosinusrelationen ...................................................................................................................... 14
Løsningsmodeller ............................................................................................................................... 14
Opgave 1 ......................................................................................................................................... 14
Opgave 2 ......................................................................................................................................... 14
Opgave 3 ......................................................................................................................................... 15
Opgave 4 ......................................................................................................................................... 15
Opgave 5 ......................................................................................................................................... 15
Opgave 6 ......................................................................................................................................... 16
Dokumentation .................................................................................................................................. 16
Opgave 1 ......................................................................................................................................... 16
Opgave 2 ......................................................................................................................................... 17
Opgave 3 ......................................................................................................................................... 20
Opgave 4 ......................................................................................................................................... 20
Opgave 5 ......................................................................................................................................... 25
Opgave 6 ......................................................................................................................................... 26
Konklusion .......................................................................................................................................... 28
Bilag .................................................................................................................................................... 28
Projektopgave
3
Indledning
Denne projektopgave handler om en rundkørsel. Jeg vil i opgaven løse en række plangeometriske
opgaver, som tager udgangspunkt i koordinatsystemet der er angivet i bogen (s.208).
Jeg vil i opgaverne udefra min viden om plangeometri, ligninger og cirkler løse opgaverne.
Projektopgave
4
Teori
Pythagoras
Når man snakker om retvinklede trekanter kan man regne med mange formler. Den nemmeste og
den som man allerede lærer i skolen er Pythagoras’ læresætning:
Man kan kun bruge Pythagoras læresætning til at beregne siderne af retvinklede trekanter og man
skal mindst kende 2 af siderne. Når man bruger denne skal c altid være hypetenusen:
Bevis:
Det samlede areal er givet ved: T
samlet
= (a+b)(a+b)
Arealet af trekanter er givet ved: T
trekanter
= 4½ab
Arealet i midten er givet ved: T
midten
= cc
Vi kan derfor opskrive følgende, ud fra en arealbetragtning:
T
samlet
= T
trekanter
+ T
midten
Vi indsætter nu i ligningen: (a+b)(a+b) = 4½ab + cc
Og forkorter: cc = aa + bb =
B
Hypotenusen
c
a
b
A
C
Kateter
Projektopgave
5
Eksempel:
Hvis man har en trekant hvor man kender side a som er 10
og side b som er 5 kan man bruge Pythagoras for at finde
side c:
10
2
+ 5
2
= 125
2
.
Dvs. siden c er 11,18 lang.
Cirklens ligning
Jeg vil starte med at udlede cirklens ligning:
Når man skal bestemme cirklens ligning skal man
betragte at cirklen har centrum C i (a,b) og
cirkelperiferien består netop af de punkter P, hvis
afstand til centrum C er radius r. Hvis man
betegner et punkt P på periferien med
P (x,y), gælder det at:
Ligningen for cirklen hedder så
, men for
at forstå ligningen skal man kunne forstå
Pythagoras, jeg vil prøve at udlede ligningen:
r=
Nu har vi fået afstands formlen og den kan vi
omskrive til:
10
5
C
B
A
c
a
b
Projektopgave
6
Lidt anderledes forklaret så skal man danne en retvinklet trekant i cirklen med hypotenusen der
går fra centrum C i cirklen ud til cirkel periferien som også er længden på radius. Og ved hjælp af
Pythagoras sætningen, skrive en ligning til cirklen.
Afstandsformlen
Afstandsformlen går ude på at bestemme afstanden imellem 2 punkter
. Og det kan man gøre
ved at danne en retvinklet trekant som hjælp:
Man skal finde afstanden imellem punkterne A til B, som også er hypotenusen af den dannede
trekant. Og pga. det er en retvinklet trekant man får dannet kan man bruge Pythagoras’ sæningen:
, og for at få den til at passe med den trekant som jeg har dannet skriver jeg
Pythagoras om til:
=
I
2
=
=
Ved hjælp af pythagoras’ sætning har jeg bevist hvordan man finder afstanden mellem 2 punkter.
Projektopgave
7
Linjens ligning
En ret linje har i koordinatsystemet en ligning
af typen:
y og x svarer til et punkt på linjen.
a= er hældningskoefficienten. Den svarer til
det, som y vokser eller aftager med, når x
vokser med én. Hvis: a=0 er linjen parallel
med x-aksen. a<0 er linjen aftagende. a>0 er
linjen voksende. Hvis a er enten større eller
mindre end nul, gælder de følgende forhold:
Man finder a ved at tage to punkter på linjen. Derefter subtraherer man disse først y-værdier og
bagefter x-værdier. Så dividerer man den endelige y-værdi med den endelige x-værdi, som vist:
Bevis:
b= er skæringspunktet i y-aksen.
Fordi hvis x=0
y=b
Projektopgave
8
2. Gradsligning
En given andengradsligning er bygget op om formen:
ax
2
+ bx + c = 0
Det som hindrer os i direkte at kunne regne den ligning ud med vores regneregler er, at x indgår i 2
led, hvoraf x er kvadreret i det ene.
Fidusen er at omskrive ax
2
+ bx + c = 0 til formen a
2
+ b
2
+ 2ab, fordi:
a
2
+ b
2
+ 2ab = (a+b)
2
Hvis vi får ax
2
+ bx + c = 0 omskrevet til (a+b)
2
er vi i stand til at regne værdien ud af x fordi x kunne
indgår i et led.
Vi starter derfor med at gange i gennem med a for at få det første led kvadreret.
a
2
x
2
+ abx + ac = 0
a
2
+ 2ab + b
2
= 0
Det første led kan nu omskrives til:
a
2
x
2
= (ax)
2
Det andet led abx er det dobbelte produkt.
Hvis abx skal være det dobbelte produkt og ax skal være det ene led vil det andet led nødvendigvis
være ½b.
2 • ax • ½b = abx
Derfor lægger vi (½b)
2
til på begge sidder af lighedstegnet.
a
2
x
2
+ abx + ac + (½b)
2
= (½b)
2
Og trækker ac fra på begge sidder af lighedstegnet.
a
2
x
2
+ abx + (½b)
2
= (½b)
2
– ac
Udtrykket a
2
x
2
+ abx + (½b)
2
kan nu omskrivet til:
a
2
x
2
+ abx + ½b = (ax + ½b)
2
Projektopgave
9
Det sætter vi ind I vores ligning:
(ax + ½b)
2
= (½b)
2
– ac
Nu har vi fået omskrevet udtrykket således at x kun indgår i et led.
Næste trin er blot at isolere x.
Vi tager kvadratroden på begge sidder af lighedstegnet:
Når vi tager kvadratroden skal vi huske at der bade er en negativ og positiv værdi, og derfor
indsættes +-.
y- x y x
2
ac -(½b) - ½b ax
2
Dernæst trækker vi ½b fra på begge sidder af lighedstegnet.
ac -(½b) -½b- ax
2
Dividerer med a på begge sidder af lighedstegnet.
a
ac -(½b) -½b-
x
2
Nu har vi et udtryk for x, men det kan gøres pænere endnu.
Vi ganger udtrykket
a
ac -(½b) -½b-
2
igennem med 2.
Inde i kvadratroden skal vi gange med 4, fordi:
24
Samtidig skal vi huske at:
2
(½b)
= b
2
/4
Den endelige ligning bliver dermed:
2a
4ac -b -b-
a
ac -/4b -½b-
x
22
Projektopgave
10
2a
4ac -b -b-
x
2
For at sætte en andengradsligning inde i formlen og regne ud skal man gøre følgende:
Et eksempel på en andengradsligning:
Her er:
a=2, b=8, c=6
Man finder ud af a b og c ved at sammenligne med denne ligning:
ax
2
+ bx + c = 0
Når man så kender a, b og c sætter man dem inde i formlen:
2a
4ac -b -b-
x
2
Og udregner resultatet.
2 ligninger med 2 ubekendte
Der er 3 måder at løse 2 ligninger med 2 ubekendte på:
Den første metode er erstatningsmetoden:
Hvis man f.eks. skal løse ligningsystemet:
1.
2.
Så isoler man x i den øversteligning:
Det indsætter man ind i den anden ligning, i x’s plads:
Nu hvor den nederste ligning er blevet til en ligning med en ubekendt som nemt kan regnes ud:
Projektopgave
11
Nu hvor vi kender y skal vi finde x. Ovenfor da vi isolerede x i den første ligning kan vi
bruge nu og indsætte y, nu hvor vi kender de:
Dvs. x=1 og y=2
De lige store koefficienters metode:
Denne metode går ud på at få den ene variabel til at forsvinde, så man kun ender med én ligning
med én ubekendt.
Et eksempel:
Meningen er at koefficienter foran den ene variabel er den samme i begge ligninger. Og ved at
gange nederste ligning med 2 vil x have samme koefficient i begge ligninger:
Og når man har det trækker man den nederste ligning fra den øverste og får:
Nu hvor vi har fundet y sætter vi det inde i en af ligningerne for at finde x:
Projektopgave
12
Determinantmetoden:
Den sidse metode er determinantmetoden. Denne metode er i virkeligheden ligesom de lige
koefficienters metode. Pga. det er rigtig svært at få skrevet eksempel op med denne metode, og
fordi jeg alligevel ikke har brugt denne metode i min rapport har jeg valgt at droppe udledningen
af denne metode.
Vinklen imellem to linjer
I figuren nedenfor som jeg har taget fra bogen (s.184) kan man se to linjer og deres hældningstal.
Der kan være 2 situationer: Vinkler større eller mindre end 90.
Vinklen imellem imellem den enkelte linje og x-aksen kan findes ved at betragte de retvinklede
trekanter, som viser stigningstallet. Et stigningstal kan også beskrives som en vinkel.
Vinklen
finder man sådan her:
a = hældningskoefficienten i ligningen. 1 hen og a op.
Og vinklen imelem de to linjer er i situation 1 på tegningen differensen imellem de to linjers
vinkler med x-aksen. I den situation kan man bestemme sådan her:
Men i situation 2 er vinklen lig med summen af de to fundne vinkler, dvs.:
Projektopgave
13
Vinklen mellem linjerne
og
a
m
= A’s tangents hældning
a
1
= C’s tangents hældning
Trigonometri
Da jeg også har gjort lidt brug af trigonometri i denne rapport vil jeg kort skrive om det, uden at gå
i dybden af den som jeg gjorde i sidste projekt opgave.
Når man har en retvinklet trekant kan man bruge grundrelationerne for en retvinklet trekant og
udregne de forskellige sider og vinkler:
Sinusrelationen
Men hvis trekanten ikke er retvinklet og man kender tre stykker kan man bruge sinus relationen.
Det eneste man skal kunne er tre stykker som: 2 sider og en vinkel, to vinkler og en side. De eneste
tidspunkter man ikke kan bruge sinusrelationen er hvis man kun kender 3 sider eller hvis man kun
kender 3 vinkler.
For vilkårlige trekanter gælder:
)sin()sin()sin( C
c
B
b
A
a
eller
c
C
b
B
a
A )sin()sin()sin(
Projektopgave
14
Cosinusrelationen
Der er tilfælder, hvor sinusrelationerne ikke kan anvendes, som jeg skrev tidligere hvis f.eks. vi kun
kender 3 af siderne i trekanten og ikke kender andet. Derfor findes der cosinusrelationerne man
kan bruge. Cosinus kan bruges i alle tilfælder undtagen hvis der kun er angivet 3 vinkeler.
Cosinusrelationerne ofr den vilkårige trekant:
eller
eller
eller
Løsningsmodeller
Opgave 1
I denne opgave har jeg brugt cirklens ligning for at beregne opgaven:
(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
Opgave 2
Først bruger jeg cirklens ligning og sætter kordinaterne af A og B ind i cirklens ligning:
Da jeg kender koordinaterne til x og y sætter jeg dem ind i ligningen og mangler så kun a og b som
er cirklens midtpunkt, og det er det jeg skal bruge.
Og der bliver dannet 2 ligninger med 2 ubekendte. Bruger kvadrat sætningerne for at åbne
parenteserne.
Ved hjælp af erstatningsmetoden regner jeg ligningerne ud indtil jeg ender med en
andengradsligning. Og den løser jeg ved hjælp af:
2a
4ac -b -b-
x
2
Og finder svaret.
Projektopgave
15
Opgave 3
Jeg bruger formlerne:
og isolerer t da det er tiden jeg skal finde:
Og til at finde cirklens omkreds:
D = diameter
60 sek = 1 min
60 min = 1 time
1000 m = 1 km
Opgave 4
Ved hjælp af 2 ligninger med 2 ubekendte, 2. Gradsligninger, måden at finde hældnings
koefficienten a på har jeg beregnet de forskellige punkters koordinater ud:
Hældningskoefficienten:
Har brugt min viden om trigonometri og cirkler til at beregne vinklerne.
Jeg kunne have brugt en anden metode for at finde koordinaterne til punkterne da jeg allerede
vidste koordinaten til midtpunktet af cirklen:
Men da jeg var lidt usikker på denne metode valgte jeg at beregne opgaverne ud som jeg har
beskrevet i starten.
Opgave 5
Her har jeg ved hjælp af afstandsformlen fundet afstanden imellem punktet P og midterpunktet af
rundkørslen:
Projektopgave
16
Og derefter trukket afstanden 20 m fra det hele da 20 m er fra der hvor bilisten står og til
midterpunktet. Og resultatet er afstanden imellem bilisten og punktet P.
Opgave 6
Her har jeg ved hjælp af trigonometri og ligningen fundet skæringen på y-aksen.
Og punkterne linjeføringen rammer har jeg lavet på samme måde som i opgave 4 med ligninger.
Og i denne opgave har jeg også brugt oplysninger fra opgave 4, nogle af svarene.
Jeg kunne igen have brugt en anden metode til at beregne koordinaterne på:
Dokumentation
Opgave 1
Jeg ved at cirklen med centrum i C (a,b) og radius r har ligningen: (x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
Da koordinatsystemet skal anbringes i rundkørslens midte, har centrum C koordinaterne (0,0). Og
da jeg også har fået oplyst at radius af den inderste cirkel er 15 meter, kan jeg sætte tallene ind i
formlen og finde cirklens ligning:
Projektopgave
17
Opgave 2
Cirklens ligning for den yderste cirkel, der går igennem punkterne A (3,38) og B (26,25) i det
indlagte koordinatsystem:
For at bestemme cirklens ligning skal man først kende cirklens centrum koordinater (a,b). For at
finde koordinaterne for cirklens centrum C. Da vi kender to punkter A (3,38) og B (26,25) som
cirklen går igennem og da vi også kender cirklens radius som er 15 m + 10 m = 25 m, kan vi
omkring de to kendte punkter tegne en cirkel med radius 25 m. Det vil give 2 cirkler som krydser
hinanden 2 steder, hvoraf det ene vil være centrum af den yderste cirkel.
Jeg vil bruge cirklens ligning, sætte Punkterne A og B ind:
Cirklens ligning:
Punktet A sættes ind:
Punktet B sættes ind:
Så åbner jeg parenteserne (bruger kvadrat sætningerne)
1.
2.
Så sætter jeg dem lig med 0:
3.
4.
Så sætter jeg dem lig med hinanden:
5.
Så går
ud med hinanden:
6.
Ligger dem sammen:
7.
Isolerer a:
8.
9.
Nu dividerer jeg det hele med 2 og får:
10.
Nu hvor jeg har a benytter jeg mig af erstatningsmetoden for at finde b. Jeg sætter a i
Projektopgave
18
anden ligning jeg har skrevet i linje 4 af udregningerne som er
:
11.
Så åbner jeg parentesen:
12.
Så sætter jeg det hele under den samme brøk til venstre:
13.
Så regner jeg den ud:
14.
Så isolerer jeg den øverste del af brøken:
15.
16.
Nu har jeg en andengradsligning og jeg vil starte med at udregne D som er
:
17.
Så bruger jeg denne ligning for at regne resten af ligningen ud:
Først finder jeg D:
18.
Nu sætter jeg alle tallene ind i formlen og finder b:
19.
20.
eller anden løsning:
21.
Nu hvor jeg kender b sætter jeg det inde i formlen fra linje 10 (
Jeg har beholdt alle decimalerne for at få mest rigtig resultat, jeg vil runde af til sidst:
22.
23.
Og med den anden løsning:
24.
25.
Jeg er kommet frem til at koordinaterne enten er:
(24,94;49,98) eller (4,06;13,02)
Når man kigger på de koordinater jeg har fået og tegningen af rundkørslen i bogen med de 2
angivne punkter kan koordinaterne (4,06;13,02) kan ikke passe. Dvs. det er (24,94;49,98) vi skal
kigge på. Men for at være helt sikker vil jeg sætte begge ligninger i graf program og se på dem:
Projektopgave
19
Ude fra mine resultater og tegningen ovenfor (blå cirkel er den rigtige cirkel) er cirklens ligning for
den yderste cirkel i rundkørslen dette:
Projektopgave
20
Opgave 3
Hvor lang tid det vil tage at køre en hel tur midt i rundkørslen med en anbefalet max hastighed på
30 km/t:
Først finder jeg omkredsen. Jeg har fået opgivet at radius er 10 m + 15 m = 25 m men pga. man
skal køre i midten af rundkørslen dividerer jeg 10 m: 2 = 5 m og radius er så:
mm
m
40215
2
10
Så finder jeg omkredsen af køreturen:
Regner det om til km da jeg skal angive hastigheden i km/t:
For at se hvor lang tid turen tager, siger jeg:
I minutter:
I sekunder:
Turen rundt i rundkørslen med en max hastighed på 30km/t vil tage 15,12 sekunder.
Opgave 4
Bestemmelse af koordinaterne til punkterne C og D.
Først finder jeg koordinaterne til punktet C:
Først finder jeg hældningen af linjen der går igennem A og midtpunktet:
Projektopgave
21
Så tager jeg tan
-1
af for at finde vinklen imellem linjen der går igennem punktet A og
midtpunktet og den vandrette linje jeg har tegnet:
Hældningen af linjen der går igennem Punktet C og midtpunktet:
Så sætter jeg hældningen ind i formlen:
og bruger cirklens ligning, så jeg har 2 ligninger
med 2 ubekendte:
1.
2.
Jeg finder så resultaterne på samme måde som jeg gjorde i opgave 2. Da det fylder meget har jeg
valgt at droppe nogle af mellemregningerne:
Løsning 1:
Projektopgave
22
Løsning 2:
For at det skal passe med tegningen er C’s koordinater løsning 2:
x=37,3
y=28,24
Nu vil jeg på samme måde som før med punktet C bestemme koordinaterne til punktet D:
Først finder jeg hældningen på linjen som går igennem B og midtpunktet:
Derefter finder jeg vinklen imellem linjen som går igennem B og midtpunktet og linjen som går
vandret igennem midtpunktet:
Projektopgave
23
Jeg har valgt at kalde den vandrette linje jeg har tegnet som går igennem midtpunktet for linje L.
Fra L til linjen som går igennem B og Midtpunktet er der -87,57 . Fra linjen L til punktet C var der
(91+28,64-180) = -60,36:
Vinklen imellem linjen L og punktet D:
Så finder jeg hældningen på den linje som går igennem punktet D og midtpunktet:
Så sætter jeg hældningen ind i formlen
og bruger cirklens ligning, så jeg har 2 ligninger
med 2 ubekendte:
1.
2.
Og igen pga. det er besværligt at få skrevet hele mellemregningen ned har jeg valgt at droppe
noget af det:
Løsning 1:
Løsning 2:
For at det skal passe med tegningen af rundkørslen er det løsning 2 der passer. Dvs. koordinaterne
til punktet D er:
x=45,90
y=36,36
Projektopgave
24
Nu finder jeg vinklen imellem tangenterne til A og C:
hældningMidpunktesogApunktigennemgårsomLinjen
hældningsApunktettilTagenten
1
:'
Tangenten til C’s hældning:
a
m
= A’s tangents hældning
a
1
= C’s tangents hældning
Projektopgave
25
Vinklen imellem tangenterne B og D:
Tangenten til B’s hældning:
Tangenten til D’s hældning:
Vinklen imellem de to tangenter:
Opgave 5
Den korteste afstand imellem en bilist midt på vejbanen i rundkørslen og den ventende blå bils
midtpunkt P (43,30).
Først vil jeg bruge afstandsformlen for at finde afstanden imellem punktet P og midtpunktet.
Afstandsformlen:
Så sætter jeg tallene ind:
Og radius af midtercirklen er 15 meter + 5 meter som er fra midten af vejen hvor bilisten står til
siden = 20 meter. Dvs. hvis jeg trækker 20 meter fra hvad hele afstanden mellem punktet P og
midterpunktet får jeg afstanden imellem punktet P til midt på vejen:
Projektopgave
26
Opgave 6
Du skal nu projektere en ny vej, hvis linjeføring skal ”ramme” rundkørslen fra nordøstlig retning.
Du skal bestemme denne linjeførings rette linje, bestemme punktet hvor linjeføringen rammer
den yderste cirkel, samt de 2 anløbspunkter ved vejens side, der tangerer den yderste cirkel i
rundkørslen. Du skal antage, at denne nye vej ankommer til rundkørslen som Kalundborgvej.
Bestemmelse af linjeførings rette linje:
Nordøst ligger lige præcis 45 fra linjen der går igennem cirklen vandret, den jeg kalder linje L:
Hældningen:
Skæringen på y-aksen:
Koordinaterne til punktet hvor linjeføringen rammer den yderste cirkel:
1.
2.
Har igen valgt at droppe det meste af udregningerne:
Løsning 1:
Løsning 2:
Den rigtige løsning der passer til opgaven er:
x=7,26
y=67,66
I opgave 4 har jeg fundet vinklen imellem linjen som går igennem C og midtpunktet og linjen som
går igennem B og midtpunktet er
Projektopgave
27
Koordinaterne til de 2 anløbspunkter som jeg har valgt at kalde E og F.
Første anløbspunkt E:
Hældningen imellem E og midtpunktet:
Koordinaterne:
1.
2.
Løsning 1:
Løsning 2:
Vælger løsning 1´s koordinater da de passer bedst til opgaven:
x=1,14
y=57,621
Andet anløbspunkt F:
Hældningen imellem F og midtpunktet:
Koordinaterne:
1.
2.
Løsning 1:
Løsning 2:
Vælger løsning 1´s koordinater da de passer bedst til opgaven: x=17,31 y=73,79
Projektopgave
28
Konklusion
Det har været en svær opgave. Da udregningerne fyldte meget var det også lidt forvirrende og
man kunne nemt komme til at lave en fejl. Men jeg synes at det var godt, jeg fik læst kapitlet om
analytisk plangeometri igennem en gang til og forstod bedre de forskellige formler og hvordan
man bruger dem.
Jeg mener at jeg har fået de forventede resultater, men det kan godt være at jeg et eller andet
sted er kommet til at bytte rundt på nogle resultater og regnet videre med det forkerte resultat da
det var lidt forvirrende.
Bilag
Pythagoras bogen s. 133.
Tegning lavet i Geometer
Projektopgave
29
Fra bogen.
Projektopgave
30
Lavet i programmet Microsoft Math
Lavet i programmet Microsoft Math
Projektopgave
31
Lavet i programmet Microsoft Math
Lavet i programmet Graph
Lavet i programmet Graph.
Projektopgave
32
Lavet i programmet Graph.
Lavet i programmet Graph.
http://www.dot.ca.gov/dist1/d1projects/wa_roundabout.jpg