Matematik Notater 2.d
HTX 2. år
Indholdsfortegnelse
Optimering – Differential regning (s.136) ......................................................................................................... 3
Stamfunktioner .................................................................................................................................................. 5
Bestemmelse af arealer med Integralregning ................................................................................................... 6
Areal og stamfunktion ....................................................................................................................................... 6
Areal og det bestemte integrale ........................................................................................................................ 8
Arealbestemmelse vha. stamfunktion .............................................................................................................. 8
Eksempel: .......................................................................................................................................................... 9
Bestemte integrale ............................................................................................................................................ 9
Eksempel: ........................................................................................................................................................ 10
Indskudsreglen ................................................................................................................................................ 10
Sætning: ....................................................................................................................................................... 10
Bevis:............................................................................................................................................................ 10
Integralers fortegn ........................................................................................................................................... 11
Graf over og under x-aksen ......................................................................................................................... 11
1) Graf under x-aksen: ......................................................................................................................... 11
2) Graf både over og under x-aksen. ................................................................................................... 12
Areal mellem grafer. S.
Vektor regning ................................................................................................................................................. 13
Vektorregning i planen .................................................................................................................................... 14
Definition af vektordifferens ........................................................................................................................... 15
Regneregler for vektorer ................................................................................................................................. 15
Geometrisk konstruktion af vektorsum .......................................................................................................... 15
Punkter og Vektorer ........................................................................................................................................ 17
Vektorer mellem Punkter ................................................................................................................................ 18
Indskudsregelen/-sætning ............................................................................................................................... 19
Anvendelse af sted vektorer og indskudsregel: .............................................................................................. 20
1. Midtpunkt af en side i en trekant. ................................................................................................... 20
2. Medianernes skæringspunkt. .......................................................................................................... 21
Opløsning i komposanter ................................................................................................................................ 21
Def. Prikprodukt/skalarprodukt. ............................................................................................................. 21
Regneregler for prik-/skalarprodukt, s.100. .................................................................................................... 22
Geometri/rumlige figurer ................................................................................................................................ 22
Vektorers retningsvinkel (s. 265-267. rød bog) ............................................................................................... 23
Enhedvektor .................................................................................................................................................... 23
Projektion af vektor på vektor ......................................................................................................................... 23
Bevis ................................................................................................................................................................. 24
Tværvektor til en vektor: ......................................................................................................................... 25
Determinanten: ....................................................................................................................................... 26
Optimering – Differential regning (s.136)
Eksempel:
Et rektangel har omkredsen 40m, vi ønsker at bestemme sidelængderne i rektanglet så arealet er størst
muligt. Arealet, A, skal optimeres.
A=x*Y
Omkredsen, O=2x+2y=40
Vi isolerer den ene variabel, y i ligningen for O.
, 0<x<20!
A´(x)=-2x+20=0
x=10
X
Y Y
x
Fortegnslinje:
x 0 10 20
+ 0 -
A´(x)
A(x)
Arealfunktionen A(x) har maksimumssted i x=10 og A(10)=100
Eksempel 9, s. 141læsebogen.
Maks
2,5km
m
3 km
Bil: 40km/t
Båd: 20km/t
<- X ->
3-X
S
L
Stamfunktioner
Enhver kontinuer funktion har en stamfunktion.
Eks. Vis at
jeg benytter integrationsprøven på højre side:
Hyppigt anvendte stamfunktioner:
Eksempel: bestem den stamfunktion til
Hvis graf går gennem punktet (3;27)
jeg finder en vilkårlig stamfunktion:
=F(x)
F(3)=27
Bestemmelse af arealer med
Integralregning
Areal og stamfunktion
Definition På en arealfunktion A(x):
Krav: Givet en funktion f, hvor f er kontinuer i et interval (graf sammenhængende), f er voksende og
funktionsværdier er ikke negative (graf ligger ikke under x-aksen).
Så definerer vi arealfunktionen A(x), som arealet mellem grafen for f og x-aksen fra a til x.
f
A(x)
a x
T(sekunder)
S(t)
s(t) = stedfunktion
s’(t) = v(t) hastighedsfunktion
v’(t)=a(t)=accelerationsfunktion
sætning: Arealfunktion, A(x) for en kontinuer, ikke negative, funktion f(x) er differentiabel med den
afledede funktion f(x) dvs: A’(x)=f(x) og A’(x
0
)=f(x
0
.
Dvs. A(x) er en stamfunktion til f(x).
Bevis: Betingelser f er voksende og h>0
Når vi skal vise at A(x) er differentiabel benytter vi 3-trinsreglen.
Opskriv differenskvotienten:
Finde en evt. grænseværdi for
Dvs.
a x
0
x
0
+h
a x
0
x
0
+h
a x
0
x
0
+h
Areal og det bestemte integrale
Arealbestemmelse vha. stamfunktion
Sammenhængen mellem A(x) og f(x): A’(x)=f(x)
Sammenhængen mellem 2 stamfunktioner, A(x) og F(x), til f(x): F(x)=A(x)+k
f(x)
A(b)
a b
Sætning: Hvis f er kontinuert og ikke negativ i [a,b] så kan arealet A, mellem grafen for f og x-aksen i [a,b]
beregnes ved: A=F(b)-F(a)
Hvor F er en vilkårlig stamfunktion til f.
Eksempel:
Bestem arealet i [0,2] mellem grafen for f og x-aksen.
Bestemte integrale
Definition: Venstre side
lad f være en kontinuert funktion med stamfunktionen F.
Det bestemte integrale af f i [a,b]
Skrives og beregnes således:
Højre side
Eksempel:
Beregning af areal mellem grafen for
og x-aksen i [1,4]
Indskudsreglen
Sætning:
Givet f er kontinuert i et interval I, hvor a, b, c I
Uanset c’s beliggenhed i forhold til a og b gælder:
Bevis:
Integralers fortegn
Graf over og under x-aksen
1) Graf under x-aksen:
hvordan kan g(x) beskrives vha. f(x)?
=
, . æ, ,
å
b
a
2) Graf både over og under x-aksen.
Ønsker man at bestemme arealet mellem en graf of x-aksen er man nødt til at opdele arealberegningerne i
flere integraler, nemlig et nyt integral hver gang grafen skærer x-aksen.
Det samlede areal: A+B+C=
Det bestemte integral:
Areal mellem grafer. S. 210-211.
Areal mellem grafer for 2 kontinuerte funktioner kan beregnes direkte differensen mellem funktionerne,
når funktionerne ikke skærer hinanden.
Hvis funktionerne ikke er positive gælder reglen også.
d
c
b
a
A
a
B
C
f(x)
½
Vektor regning
Definition af vektor
En vektor er beskrevet af en længde(størrelse/afstand) og en retning.
Repræsentation i et koordinatsystem.
, så kan
b
a
A
Længden af en vektor
Vektorregning i planen
Definition på vektorsum
Givet
Definition på vektorskalering
Vektor ganget med tal.
Givet
og , så er produktet/vektorskalering=
Vektorregninger i planen
Givet en vektor
Definition af vektordifferens
givet
Differensen
Regneregler for vektorer
Kommutative regel (omskifte):
Assocative regel (tilknyttet):
Distributive regel (fordele):
. Bevis:
Distributive regel :
Geometrisk konstruktion af vektorsum
Def. På vektorsum
Def. På
vektorskalering
Distributive lov for
tal
Def. På vektorsum
NB: Den ENE diagonal i parallelogrammet svarer til
.
Geometrisk konstruktion af vektordifferens
NB: Den ANDEN diagonal i parallelogrammet svarer til
.
Punkter og Vektorer
Def. Af en stedvektor
-
Hvis P(x,y) er et punkt og O(0,0) er origo, kalder vi vektoren,
ved begyndelses punkt 0 og endepunkt i P
for stedvektoren til punktet.
dvs. man altid starter i origo, så alle punkter har en stedvektor.
NB. Stedvektoren
og P har samme koordinater.
Eksempel på stedvektor til punktet B(2;3):
Stedvektor
Vektorer mellem Punkter
1) Hver vektor kan repræsenteres ved en pil fra begyndelsespunkt(A) til et endepunkt(B).
2) Omvendt bestemmer 2 punkter A og B i et koordinatsystem en pil fra A til B.
Denne vektor kaldes den forbindende vektor mellem A og B:
Eksempel på beregning af koordinatsæt til et punkt givet nogle vektorer
Bestem koordinatsættet til punktet P, når
Da stedvektoren
har de samme koordinater fås P(14;-12)
Indskudsregelen/-sætning
For 3 vilkårlige punkter A, B og C gælder at
Sætning: Hvis
DVS endepunktets koordinater minus begyndelsespunktets koordinater.
Bevis:
Indskudsregelen. Et punkt Def. For vektordifferens
og en stedvektor
til det punkt har
samme koordinater.
Anvendelse af sted vektorer og indskudsregel:
1. Midtpunkt af en side i en trekant.
Vi bestemmer midtpunkt af AB, M.
M
Indskudsregel. Skalering.
2. Medianernes skæringspunkt.
Opløsning i komposanter
Vektor
komposanter.
Def. Prikprodukt/skalarprodukt.
givet:
L
M
Regneregler for prik-/skalarprodukt, s.100.
Bevis for at
Def. Skalarprodukt.
Beregning af en vinkel mellem 2 vektorer
.
Eksempel:
Geometri/rumlige figurer
En regulær polygon er en n-kant med lige store sider og lige store vinkle, der kan opdeles i n ligebenede
trekanter. Alle vinkler u hjørnerne er lige store.
u
v
Vektorers retningsvinkel (s. 265-267. rød bog)
Den vinkel, v, vektoren danner med x-aksens positive del kaldes vektorens retningsvinkel.
Enhedvektor
Def: En vektor af længden én kaldes en enhedsvektor.
Projektion af vektor på vektor
Def. Givet 2 vektorer
og
så kan projektionen af
på
illustreres grafisk ved at sørge for at
og
har
fælles begyndelsespunkt, dernæst projiceres (vinkelret)
’s endepunkt ned på
eller en linje parallel med
.
Hvis og er egentlige vektorer, er projektionen af på :
Bevis
Som vi kan se på figuren er der også en vektor .
er altså gældende.
Idet at er parallel med kan vi sige hvor x er en passende værdi.
Da og er ortogonale, er deres skalarprodukt 0.
Vi kan derfor sætte følgende op.
Ved at bruge en regel der gælder inden for vektorregning som siger at kan vi gøre
følgende.
Indsættes dette i vores ligning får vi vores endelig resultat.
Eksempel
Vi har følgende 2 vektorer og skal finde projektionen af på .
,
Skalarproduktet udregnes først
Herefter længden
Dette ganges nu med
Altså har projektionen koordinaterne:
Som det kan ses stemmer resultatet meget pænt overens med billedet.
Tværvektor til en vektor:
Def: tværvektoren til en egentlig (har en længde og retning) vektor
defineres:
(a hat)
Geometrisk:
Determinanten:
Determinanten af et vektorpar
hvor
og
skrives og beregnes:
det= determinanten
Eksempel:
hvor
og
Def. På normalvektor,
: en normalvektor til en ret linje er en vektor
sin er vinkelret på L
L
Def. På en retningsvektor, : en retningsvektor for en linje L, er en vektor der er parallel med linjen L.
Sammenhæng mellem
:
.
.
Sætning: en linjes ligning kan bestemmes hvis man kender: en normalvektor til L,
og et punkt
på linjen L.
Bevis: Givet
og
Bestemmer en retningsvektor for linjen L:
Vi ved at:
: