Side 1 af 132
Matematik eksamen A 2010 -
kompendium
Indhold
Indledning ................................................................................................................................................... 8
Tal og algebra .............................................................................................................................................. 8
Regningsarternes hierarki ............................................................................................................ 8
Regning med parenteser: ............................................................................................................. 8
Regning med brøker: ................................................................................................................... 8
Potensregning: ............................................................................................................................ 8
Rodregning: ................................................................................................................................ 9
Ligninger og uligheder (s. 31 – 74 teknisk matematik 2) ............................................................................... 9
Regneregler ................................................................................................................................. 9
Grundmængde ............................................................................................................................. 9
Ligningsløsning i mathcad......................................................................................................... 11
Løsning i forhold til 0 i mathcad................................................................................................ 11
Indsættelsesmetoden (2 ligninger med 2 ubekendte) .................................................................. 11
Lige store koefficienters metode (2 ligninger med 2 ubekendte) ................................................ 12
Determinant-metoden (2 ligninger med 2 ubekendte) ................................................................ 13
Løsning af ligning i mathcad (2 ligninger med 2 ubekendte) ...................................................... 13
3 ligninger med 3 ubekendte...................................................................................................... 13
2 . gradsligninger....................................................................................................................... 14
Udledning af løsningsformlen ............................................................. 14
Kamuflerede 2. Gradsligninger .................................................................................................. 15
Kombinationer .......................................................................................................................... 16
Ligninger hvor den ubekendte er under rodtegn ......................................................................... 16
Numeriske ligninger .................................................................................................................. 16
Regneregler for uligheder .......................................................................................................... 16
Fortegnsbestemmelse ................................................................................................................ 17
Geometri (s. 73 – 93 teknisk matematik 2) ..................................................................................................18
Vinkler ...................................................................................................................................... 18
Normaler ................................................................................................................................... 18
Parallelle linjer .......................................................................................................................... 18
Side 2 af 132
Cirklen ...................................................................................................................................... 18
Vinkelsummen i en trekant ........................................................................................................ 20
Forskellige trekanter .................................................................................................................. 21
Højder i en trekant og trekantens areal ...................................................................................... 22
Medianer i en trekant................................................................................................................. 23
Vinkelhalveringslinjer i en trekant ............................................................................................. 23
Trekantens indskrevne og omskrevne cirkel .............................................................................. 24
Firkanter ................................................................................................................................... 25
Polygoner .................................................................................................................................. 27
Formel oversigt ......................................................................................................................... 28
Trigonometri...............................................................................................................................................31
Enhedscirklen samt definitionen på Sinus og Cosinus................................................................ 31
Definition af tangens ud fra enhedscirklen ................................................................................. 32
Funktionsværdi til vinkel og fra vinkel til funktionsværdi .......................................................... 32
Udledning af formler til beregning af sider og vinkler i den retvinklede trekant ......................... 33
Tjek eksempel 4.1 på side 103-104 i P. Madsen: teknisk Matematik (den brune) ................... 34
Sinus og cosinus i en vilkårlig trekant ....................................................................................... 34
Udtryk til at beregne sider og vinkler i vilkårlige trekanter (sinus- og cosinusrelationen)
UDLEDNING! .......................................................................................................................... 36
Sinusrelationen ...................................................................................................................... 36
Eksempel 4.3 og 4.4, se side 109-111 i P. Madsen: Teknisk Matematik ................................. 37
Cosinusrelationen .................................................................................................................. 37
Eksempel 4.5, se side 114 i P. Madsen: Teknisk Matematik .................................................. 37
Arealbestemmelse af vilkårlige trakanter via trigonometri ......................................................... 38
Analytisk plangeometri ...............................................................................................................................39
Afstandsformlen ........................................................................................................................ 39
Et linjestykkes midtpunkt .......................................................................................................... 39
Areal ......................................................................................................................................... 40
Stigningstal ............................................................................................................................... 42
Vinkel mellem to linjer.............................................................................................................. 42
Opstilling af linjen ligning ......................................................................................................... 43
Parallelle linjer .......................................................................................................................... 43
Linjer vinkelret på hinanden ...................................................................................................... 44
Cirklen ...................................................................................................................................... 45
Opsummering (formler) ............................................................................................................ 46
Funktioner ..................................................................................................................................................47
Side 3 af 132
Definitionsmængde ................................................................................................................... 47
Monotoniforhold ....................................................................................................................... 47
Maksimums- og minimumspunkter ........................................................................................... 48
Lineære funktioner .................................................................................................................... 48
Potensfunktioner ....................................................................................................................... 48
Funktioner af 2. grad ................................................................................................................. 48
Stykkevise funktioner ................................................................................................................ 48
Sammensatte funktioner ............................................................................................................ 49
Omvendte funktioner................................................................................................................. 49
Eksponentielle funktioner ...........................................................................................................................50
10-talslogaritme funktionen ....................................................................................................... 50
Regneregler for logaritmer ........................................................................................................ 50
Den naturlige logaritmefunktion ................................................................................................ 51
Regneregler for naturlige logaritmer .......................................................................................... 51
Eksponentielle vækstfunktioner ................................................................................................. 51
Fordoblings- og halveringskonstant ........................................................................................... 51
Rentesregning ........................................................................................................................... 51
Trigonometriske funktioner ........................................................................................................................53
Trigonometriske grundligninger ................................................................................................ 54
Andre trigonometriske ligninger ................................................................................................ 54
Svingninger ............................................................................................................................... 54
Vektorer i planet og rummet.......................................................................................................................58
Vektor i planet .......................................................................................................................... 58
Angivelse af vektor ................................................................................................................... 58
Find vektor ved opgivne punkter ............................................................................................... 58
Stedvektor: ................................................................................................................................ 58
Forstørrelse eller formindskelse ................................................................................................. 59
Modsatrettede vektore ............................................................................................................... 59
Vektor addition ......................................................................................................................... 59
At trække fra ............................................................................................................................. 60
Ligevægt ................................................................................................................................... 60
Komposanter ............................................................................................................................. 60
Enhedsvektoren ......................................................................................................................... 61
Skalarproduktet ......................................................................................................................... 62
Tværvektor ................................................................................................................................ 63
Side 4 af 132
Projektion.................................................................................................................................. 63
Normalvektor ............................................................................................................................ 65
Afstand fra punkt til linje .......................................................................................................... 65
Projekt Hjerting kirke ................................................................................................................ 66
Delopgave a .......................................................................................................................... 66
Delopgave b .......................................................................................................................... 66
Delopgave c .......................................................................................................................... 66
Delopgave d .......................................................................................................................... 67
Delopgave e .......................................................................................................................... 67
Delopgave f ........................................................................................................................... 67
Delopgave g .......................................................................................................................... 67
Delopgave h .......................................................................................................................... 68
Delopgave i ........................................................................................................................... 68
Delopgave j ........................................................................................................................... 69
Delopgave k .......................................................................................................................... 69
Delopgave l ........................................................................................................................... 69
Vektorer i rummet ..................................................................................................................... 69
Punkt i rummet .......................................................................................................................... 69
Afstandsbestemmelse ................................................................................................................ 70
Enhedsvektoren ......................................................................................................................... 70
Skalarproduktet ......................................................................................................................... 71
Projektion: ................................................................................................................................ 72
Linjens ligning på parameterform .............................................................................................. 72
Skæring mellem linjer ............................................................................................................... 73
Eks 6 side 26 ......................................................................................................................... 73
Parameterfremstillingen af et plan ............................................................................................. 74
Planets ligning på normalform ................................................................................................... 75
Skæring mellem to planer .......................................................................................................... 75
Eks 10 side 38 ....................................................................................................................... 75
Vinklen mellem planer Eks 10 b ............................................................................................ 76
Skæring mellem linje og plan .................................................................................................... 76
Eks 11 ................................................................................................................................... 77
Afstand mellem punkt og plan ................................................................................................... 77
Afstand mellem punkt og linje................................................................................................... 78
Differentialregning 1(K 13 side 339 bog 1) ..................................................................................................79
Side 5 af 132
Regne regler .............................................................................................................................. 82
Maksimums- og minimumspunkter ........................................................................................... 89
Sammensatte funktioner ............................................................................................................ 91
Differentialkvotienten af højere orden ....................................................................................... 92
Integralregning (Bog 1) ...............................................................................................................................94
Det ubestemte integral ............................................................................................................... 94
Det bestemte integral ................................................................................................................. 94
Regneregler ............................................................................................................................... 94
Arealberegning .......................................................................................................................... 94
Arealberegning mellem kurver .................................................................................................. 94
Den naturlige logaritme ............................................................................................................. 94
Opsummering............................................................................................................................ 95
Integralregning (Bog 2) ...............................................................................................................................96
Regneregler for integraler .......................................................................................................... 96
Integrationsteknikker ................................................................................................................. 96
Integration ved substitutionsmetoden ..................................................................................... 96
Partiel integration / Delvis integration ................................................................................... 97
Volume omkring x-aksen .......................................................................................................... 98
Volume omkring y-aksen .......................................................................................................... 98
Vektorfunktioner ......................................................................................................................................100
Parameterfremstillingen .......................................................................................................... 100
Ret linje som vektorfunktion ................................................................................................... 100
Cirklen som vektorfunktion ..................................................................................................... 101
Ellipse som vektorfunktion ...................................................................................................... 101
Andre kurver ........................................................................................................................... 102
Archimedes spiral ................................................................................................................ 102
Cykloiden ............................................................................................................................ 102
Differentiation af vektorfunktionen ......................................................................................... 103
Skitsering af kurver ................................................................................................................. 103
Skæringspunkt med akser .................................................................................................... 103
Vandret tangent ................................................................................................................... 103
Lodret tangent ..................................................................................................................... 103
Banekurven, hastighedsvektor og accelerationsvektor ............................................................. 104
Opstilling af vektorfunktionen som sammensat bevægelse ...................................................... 104
Funktioner af 3. Grad og funktionsundersøgelse .......................................................................................106
Side 6 af 132
Indledning ............................................................................................................................... 106
At finde nulpunktet af 3. Grads polynomier (side. 77-80 i den hvide bog) ............................... 106
Polynomisk division ............................................................................................................ 106
se eksempel 21 på side 79 i hvide bog. ................................................................................ 107
Bisektionsmetoden (se side 81 -82 i hvide bog) ................................................................... 107
Newton-Raphson-metoden .................................................................................................. 109
Asymptoter ............................................................................................................................. 110
lodret asymptote .................................................................................................................. 110
Vandret asymptote............................................................................................................... 111
Se eksempel 22 ! på side 88-89 i den hvide bog, for at se eksempel på vandret- og
lodretasymptote. .................................................................................................................. 111
Skrå asymptote .................................................................................................................... 111
Se eksempel 25 ! for at se undersøgelse af skrå asymptote i den vide bog på side 95 – 96. ... 111
Differentialregning 2 (s. 101 – 118) ...........................................................................................................112
Differentialkvotient af brøk ..................................................................................................... 112
Differentialkvotient af e
x
......................................................................................................... 112
Differentialkvotient af ln(x) ..................................................................................................... 112
Differentialkvotient af log x .................................................................................................... 113
Differentialkvotient af a
x
......................................................................................................... 113
Implicit differentiation ............................................................................................................ 113
Skrå vendetangenter ................................................................................................................ 114
Differantialligninger (K 8 side 161 bog 2) ...................................................................................................115
Differentialligninger af typen y´= g(x)..................................................................................... 115
Differentialligninger af typen y´´=g(x) .................................................................................... 116
Differentialligninger af typen y´= h(x)*g(y) – seperationsmetoden. ......................................... 116
Differentialligninger af typen y´= k * y. .................................................................................. 116
Differentialligningen af typen y´=g(y) ..................................................................................... 117
Differentialligninger af typen y´=y(b-ay) ................................................................................. 117
Taylorpolynomier .....................................................................................................................................119
Nulte- og førstegradspolynomier ............................................................................................. 119
Approksimerende polynomier af højere grad ........................................................................... 119
Bestemmelse af ............................................................................................................. 119
Fejl-funktioner ........................................................................................................................ 120
Komplekse tal supplerende stof ................................................................................................................121
Omskrivning fra sumform til produkt form .............................................................................. 122
Side 7 af 132
Omskrivning fra produktform til sumform ............................................................................... 123
Trigonometrisk form ............................................................................................................... 123
Eulers Form ............................................................................................................................ 123
Regneregler for komplekser .................................................................................................... 123
Addition og subtraktion ........................................................................................................... 124
Multiplikation af komplekse tal ............................................................................................... 124
Kompleks konjugerede tal ................................................................................................... 124
Division af komplekse tal ........................................................................................................ 124
Potensopløftning af komplekse tal ........................................................................................... 125
Roduddragning af komplekse tal ............................................................................................. 125
Lineær programmering .............................................................................................................................126
Uligheder ................................................................................................................................ 128
Bevis for krydsproduktet i rummet ...........................................................................................................131
Teoretisk bevisførelse ............................................................................................................. 131
Praktisk eksempel ................................................................................................................... 131
Side 8 af 132
Indledning
Er i rækkefølge efter undervisningsbeskrivelse. Man skal anvende begge bøger for at anvende
kompendiet, da der er henvisninger til eksempler.
Tal og algebra
Regningsarternes hierarki
I rækkefølge:
x / + -
Regning med parenteser:
Første leds kvadrat plus andet leds kvadrat plus/minus det dobbelte produkt.
Regning med brøker:
Potensregning:
Side 9 af 132
Rodregning:
Ligninger og uligheder (s. 31 – 74 teknisk matematik 2)
Regneregler
For at kunne løse en ligning har man behov for nogle regneregler.
Lighedstegnet skal opfattes som en vægt. Vægten skal være i ligevægt.
1. Du må lægge det samme tal til begge sider af lighedstegnet.
2. Du må trække det samme tal fra på begge sider af lighedstegnet.
Du må flytte et led fra den ene siden af lighedstegnet til den anden ved at skifte fortegn på leddet.
3. Du må gange med samme tal på begge sider af lighedstegnet – dog ikke med 0.
4. Du må dividere på begge sider at lighedstegnet med samme tal – dog ikke med 0.
5. Nul reglen: Et produkt er 0, hvis mindst en af faktorerne er 0.
Eks.
6. Består ligningen af en brøk på hver side af lighedstegnet, kaldes ligningen et proportion. I en
proportion må man gange over kors.
Eks.
Grundmængde
Grundmængden kan opfattes som de tilladelige værdier af x, som kan benyttes som løsning til en
ligning.
Eks.
Side 10 af 132
Løsningsmængden L er lig med: Mængden af elementer x tilhørende R (de reelle tal), hvor hvilket
det gælder at 3x + 8 = 5
I langt de fleste tilfælde vil grundmængden være lig med R, men der kan være tilfælde hvor der er
indskrænkninger.
Eks.
tallet 5 vil ikke indgå i grundmængden. Nævneren vil blive 0, og man får en brøk som ikke er
defineret. Betegnes grundmængden med G:
Eks.
Indsættes et mindre tal end 2, får man en negativt tal under rodtegn, det går ikke. Grundmængden
må derfor bestå af alle tal, der er større eller lig med 2.
Når man skal bestemme grundmængden:
1. Indgår der en brøk, så undersøg nævnerne. Udeluk de værdier, der gør nævneren lig med 0.
2. Indgår der rod størrelser, så udeluk de værdier, der gør værdierne under rodtegnet negative.
Eks.
Grundmængden bestemmes og der løses I forhold til x.
Ubekendte indgår i nævneren. Der skal bestemmes hvilke x-værdier der gør nævneren lig med 0.
Dette gøres ved at tage de 3 nævneren hver for sig og sætte dem lig med 0
1
og derefter løse
ligningerne:
Hermed har du fundet de tal, som ikke må indgå i grundmængden.
Ligningsløsning:
Man skal starte med at finde en fællesnævner, men inden skal man undersøge, om nævneren kan
opløses i faktorer. Det kan den første nævner. Det bliver:
1
Dette kan også gøre i mathcad. Eksempler følger.
Side 11 af 132
Du skal nu bestemme fællesnævneren, som kommer til at se således ud:
Ligningen skal opstilles på følgende måde:
Fællesnævneren kan nu ”fjernes”
Ligningsløsning i mathcad
Den valgte ligning som ønskes løst skrives ind i mathcad, vælg solve, x og ligningen løses:
Eks.
Eks.
Løsning i forhold til 0 i mathcad
Eks.
Indsættelsesmetoden (2 ligninger med 2 ubekendte)
x og y skal bestemmes i ligningerne
I: II:
Du vælger ligning I hvor du nemmest kan udtrykke x eller y. Her løser du den mht. y.
4x 2( ) x 1( )
4
x 1( ) x 2( )
2
4x
2
20
8
solve x 1
8 9 6x 3( ) 2 4x 5( )
solve x
float 2
0.76
10x 5 0
solve x
float 2
0.5
Side 12 af 132
Dette udtryk for y er dit ”erstatningsudtryk”, som indsættes på y’s plads i ligning II. Det bliver så
ligningen med en ubekendt.
Du skal have bestemt y, og det gøres ved at indsætte x = 1 i y = 4 + x:
Løsningen er hermed x = 1 og y = 5
Lige store koefficienters metode (2 ligninger med 2 ubekendte)
Metoden går ud på at sørge for, at enten x eller y leddene i de to ligninger får lige store
koefficienter.
x og y skal bestemmes:
I: II:
Man vælger selv om det er x eller y leddene som skal gøre lige store i de to ligninger. Her vælges x
leddene. Ligningerne løses mht. x leddene:
I: II:
Der ganges med 4 i alle led i ligning I og så tilsvarende måde med 6 i ligning II:
I: II:
Vi har nu fået lige store koefficienter til x, nemlig 24. Der kan nu dannes en ny ligning af de to
”højre-sider”.
Du mangler x-værdien. Du kan nu gå tilbage til beregningsforløbet og vælge den ligning, hvor du
nemmest kan finde x. Her vælges y = 6 i ligning II: 4x = 64 – 8y:
Løsningen bliver: x = 4 og y = 6
Side 13 af 132
Determinant-metoden (2 ligninger med 2 ubekendte)
Metoden går ud på det samme som lige store koefficienters metode, men metoden bygger på at
ligningerne bliver stillet op i en ganske bestemt orden og rækkefølge.
Eks.
x og y skal bestemmes i ligningerne:
I: II:
For at kunne benytte metoden skal du skrive leddene i ligningerne op i en bestemt rækkefølge.
I: II:
Determinanterne kan nu bestemmes:
Nu skal x og y bestemmes:
Løsning: x = -2 og y = -3,5
Løsning af ligning i mathcad (2 ligninger med 2 ubekendte)
Eks.
3 ligninger med 3 ubekendte
Princippet er det samme som før, dog flere led at holde styr på. Man kan vælge at kombinere f.eks.
på følgende måde når ligningerne skal udregnes: Ligning I og ligning II, Ligning I og ligning III og
ligning II og ligning III. Du skal så vælge hvilken af de ubekendte du vil udtrykke og her kunne
f.eks. vælges at løse ligningen mht. x. For at se eksempel s. 49 eksempel 2.15 teknisk matematik 2.
For at udregne i mathcad benyttes samme metode som før.
given
4y 5x 12 0
3y 1.5x 12 0
find x y( )
4.0
2.0
Side 14 af 132
2 . gradsligninger
Ligninger på formen:
, som kaldes den ordnet 2.gradsligning. Ordnet betyder at
først kommer leddet med
derefter x-leddet til sidst c. At ligningen er af 2.grad betyder at den
ubekendte x har 2 med største eksponent.
Der findes forskellige typer 2.gradsligninger og den første er den type hvor c-leddet er lig med 0.
Eks.
Løs ligningen
Du kan omskrive ligningen til et produkt ved at sætte x uden for en parentes:
For første gang kan du benytte nul reglen, der siger at når et produkt er 0, er mindst en af faktorerne
lig med 0. Der er gange tegn mellem x og (x + 8) og der kan derfor skrives:
x = 0 eller x + 8 = 0
og dermed løsningerne:
x = 0 eller x = -8
En anden type 2.gradsligning får du når b = 0 i det oprindelige udtryk for 2.gradsligningen:
Kommer til at se således ud:
Udledning af løsningsformlen
Udtrykket under rodtegnet
kaldes diskriminant og betegnes med bogstavet d:
Alt afhængig af værdien af d har 2.gradsligningen følgende løsningsmuligheder:
Hvis d = 0 har ligningen en rod
Hvis d > 0 har ligningen to rødder
Hvis d < 0 har ligningen ingen rødder
Udgangspunktet er den ordnede 2.gradsligning:
Du dividerer igennem med a i alle led:
Side 15 af 132
Du flytter
leddet over på højre siden. Samtidig udfører lægger du
til på begge sider af
lighedstegnet:
Venstre side kan du omskrive på baggrund af:
Højre side forberedes til en fælles brøkstreg:
Kvadratroden kan nu uddrages på begge sider af lighedstegnet:
Løsningen bliver:
Kamuflerede 2. Gradsligninger
Møder du ligninger som f.eks.
eller
Eller ligninger med samme opbygning som den ordnede 2. gradsligning kan du starte med at løse
dem som 2. gradsligninger i det du indsætter:
i den første ligning og på tilsvarende måde
i den anden ligning.
Eks.
Ligningen
indsættes og får ligningen:
Side 16 af 132
Den kan så løses f.eks. i mathcad så løsningen bliver:
z = 4 eller z = 1
Kombinationer
Du kan møde ligninger der både består af 1. og 2. gradsligninger. Fremgangsmåden vil være dem
samme som benyttes ved indsættelses metoden og udtrykker en af de ubekendte i 1. grads ligningen
og derefter indsætter dette udtryk i 2. gradsligningen.
Ligninger hvor den ubekendte er under rodtegn
Reglen siger:
Du må kvadrere på begge sider at lighedstegnet:
Reglen har en ulempe, idet den kan trække en falsk rod med igennem ligningssystemet:
Her er ligningen, der ikke stemmer, men hvis man benytter reglen:
Numeriske ligninger
Ser du på en tallinje er den numeriske værdi af et tal lig med dets afstand fra 0 punktet.
Eks.
Den numeriske værdi af 2 er 2.
Den numeriske værdi af -3 er 3.
Skrives symbolsk |2| = 2 og |-3| = 3
Det var med udgangspunkt i givne tal. Den numeriske værdi defineres på følgende måde:
Skal du løse en ligning, hvori der indgår en numerisk værdi må du starte med at definere den
numeriske værdi, således at du kan få bestemt intervallet inden for grundmængden.
Se eksempel 2.23 s. 59 i teknisk matematik 2.
Regneregler for uligheder
Løsningsprincipperne afviger ikke meget fra det at løse ligninger, men der er et par undtagelser.
1. Du må flytte et led fra den ene siden af ulighedstegnet til den anden side ved at skifte fortegn.
2. Du må gange med samme positive tal på begge sider af ulighedstegnet.
3. Du må dividere med samme positive tal på begge sider af ulighedstegnet.
Side 17 af 132
4. Du må gange med samme negative tal på begge sider af ulighedstegnet når du vender
ulighedstegnet.
5. Du må dividere med samme negative tal på begge sider af ulighedstegnet når du vender
ulighedstegnet.
Som du kan se er det de samme regler for løsning af en ligning, bortset fra at regel 2 og 3 kun
gælder for positive tal.
Eks.
Du skal løse uligheden
Benytter regnereglerne og får:
Dette kan også illustreres ved at vise løsningen på en tallinje.
Fortegnsbestemmelse
Møder du uligheder der f.eks. indeholder brøker, er det en fordel at du udføre fortegnsbestemmelse
af det givne udtryk, da du kan aflæse løsningen af fortegnsbestemmelsen.
Vi har brøken:
Du skal på tallinjen markere for hvilket tal brøken er positiv, og for hvilke tal brøken er negativ. Du
har derfor behov for at bestemme overgangspunkterne på tallinjen. Dvs. hvilke tal der gør brøken
lig med 0 og endvidere for hvilke tal er brøken ikke defineret.
Du har at brøken er lig 0 når tælleren er lig med 0 skal du derfor sætte a = 0. Du har også at brøken
ikke er defineret når brøkens nævner er lig med 0, du skal derfor sætte b = 0.
Du får på denne måde nogle tal, som du kan afsætte på tallinjen. Tallinjen bliver på denne måde
inddelt i nogle intervaller og for hvert interval skal du afgøre om brøken er positiv eller negativ.
Du har at en brøk er positiv, når tæller og nævner har samme fortegn. Du har også at en brøk er
negativ, når tæller og nævner har modsat fortegn.
Se eksempel 2.28 s. 65 i teknisk matematik 2
Side 18 af 132
Geometri (s. 73 – 93 teknisk matematik 2)
Vinkler
Skæringspunktet mellem de to linjer kaldes vinklens toppunkt.
Drejes en vinkles venstreben en hel omgang, således at venstre benet dækker højre ben. Den vinkel,
du får er 360˚
Drejer du venstre ben en halv omgang fås en vinkel på 180˚
Drejer du venstre ben en kvart omgang får du en vinkel på 90˚ som også er en ret vinkel.
- En vinkel mindre end 90˚ er en spidsvinkel
- En vinkel der er større end 180˚ er en stump vinkel
To vinkler der tilsammen er 90˚ er komplementvinkler.
To vinkler der tilsammen er 180˚ er supplementvinkler.
To linjer der skærer hinanden, danner fire vinkler. Vinkler der ligger over for hinanden er lige store.
Normaler
Givet er linjen m, og du har en anden linje n. Vinklen mellem de to linjer er 90˚. Linjen n er normal
til m.
Du kan også møde udtrykket en midtnormal:
Du har linjestykket AB. Du halverer linjestykket AB og får midtpunktet M. Gennem M tegnes en
normal til AB. Denne normal er midtnormalen.
Parallelle linjer
Møder du to rette linjer, der overalt har samme afstand er de parallelle. Møder du en linje der skærer
to parallelle linjer, kalder du den transversallinje.
Cirklen
R: Radius er længden fra centrum til et punkt på cirklenperiferien.
D: Diameter = 2R. Diameteren går gennem centrum og forbinder to punkter på cirklenperiferien.
K: Korde er et linjestykke, der forbinder to punkter på cirklenperiferien.
b: Cirkelbue er en del af cirklens omkreds
t: Tangent er en linje der rører cirklen i et punkt. Tangenten står vinkelret på radius i røringspunktet.
Denne egenskab skal du bemærke dig, da det er ”nøglen” til løsningen i mange opgaver netop tager
udgangspunkt i denne sammenhæng.
Selve kurven for cirklen benævnes cirkelperiferien.
Side 19 af 132
Side 20 af 132
Vinkelsummen i en trekant
Side 21 af 132
Forskellige trekanter
Side 22 af 132
Højder i en trekant og trekantens areal
Side 23 af 132
Medianer i en trekant
Vinkelhalveringslinjer i en trekant
Side 24 af 132
Trekantens indskrevne og omskrevne cirkel
Side 25 af 132
Firkanter
Side 26 af 132
Side 27 af 132
Polygoner
Side 28 af 132
Formel oversigt
Side 29 af 132
Side 30 af 132
Side 31 af 132
Trigonometri
Trigonometri og geometri er to emner som ligger meget op af hinanden. Via trigonometriske teori
og beregninger vil man få mulighed for at beregne manglende vinkler eller sidelængder i forskellige
trekanter.
Enhedscirklen samt definitionen på Sinus og Cosinus
I et koordinatsystem tegnes en cirkel med centrum i (0,0) og har en radius på en (betegnes
enhedscirklen):
Først ser vi på første kvadrant her finder man nemlig Sinus og Cosinus:
Der afsættes en vilkårligvinkel, hvor det ene ben er sammenfaldende med x-aksen og hvor det andet
skærer enhedscirklen i punktet D. der tegnes nu en vinkelret linje ned på x-aksen fra punkt D, som
danner punkt E.
Bestemmelser:
Længden DE = sinus til vinklen v = sin(v)
Længden fra punktet (0,0) til E = cosinus til vinklen v = cos(v)
Hvis man ønsker en talværdi for sin sinus eller cosinus, så er talværdien for sin(v) vidst ved
projektionen fra punkt D vinkelret ind på y-aksen og talværdien for cos(v) kan man direkte aflæse
på x-aksen.
Side 32 af 132
Eksempel:
Vinklen bestemmes til 30 grader:
Sinus og cosinus-værdierne måles (kan også beregnes) til følgende:
Sin(30) = 0,5
Cos(30) = 0,87
Definition af tangens ud fra enhedscirklen
Der anvendes samme princip til at finde tangens, som ved sinus og cosinus, man anvender første
kvadrant i enhedscirklen:
Der sættes en vinkelret linje fra skæringspunktet mellem x-aksen og enhedscirklen i punkt (1,0) og
op på linjen for den vilkårlige vinkel.
Bestemmelse:
Længden fra skæringen med x-aksen i punkt (1,0) til skæring med vinkel linjen =Tangens til vinkel
v = tan(v).
Funktionsværdi til vinkel og fra vinkel til funktionsværdi
Når du har en funktionsværdi og du ønsker at finde vinklen kan man med rette bruge sin
-1
(funk.v.)
til at finde vinklen. Hvis du derimod har vinklen med ønsker at finde funktionsværdien kan man
med rette bruge sin(v).
Side 33 af 132
Udledning af formler til beregning af sider og vinkler i den retvinklede trekant
Ved hjælp af den nedenstående illustration, hvor vi har de tidligere definitioner af sin, cos og tan
samt en retvinklet trekant, kan man finde beregningsmetoder til at finde ukendte længder og vinkler
i den retvinklede trekant:
Hvis man nøje ser på illustrationen kan man se tre trekanter, hvor det for dem alle gælder at de har
vinklen A tilfælles:
(mindste)Den første trekant er inden i selve enhedscirklen og som har hypotenusen som er lig 1.
(mellem)Den anden trekant afgrænses af tan(A) og det vandrette stykke har længden 1.
(største) Den tredje trekant ABC har siderne a, b og c.
Side 34 af 132
Alt efter hvilke oplysninger man har, skal man bruge 2. Enten to sider for at finde vinklen eller en
side og en vinkel for at finde en ukendt side. Man kan også finde anvende Pythagoras’s
læresætning:
Tjek eksempel 4.1 på side 103-104 i P. Madsen: teknisk Matematik (den brune)
Sinus og cosinus i en vilkårlig trekant
For at kunne beregne sinus og cosinus i en vilkårlig trekant skal man bruge nye formler og nyt teori.
Først ser man på 1. Kvadrant og 2. Kvadrant i enhedscirklen for at danne sig et overblik over den
vilkårlige trekant:
Man kan se ved aflæsning af sinus uanset hvad er positiv, da den aflæses på y-aksen. Hvorimod
cosinus er negativ.
Eks:
Side 35 af 132
Det er simpelt med cosinus, men når det angår sinus kan det være mere problematisk, da man ved
sinus til funktionsværdien 0,75 vil få to løsninger:
Side 36 af 132
Udtryk til at beregne sider og vinkler i vilkårlige trekanter (sinus- og
cosinusrelationen) UDLEDNING!
Sinusrelationen
Side 37 af 132
Eksempel 4.3 og 4.4, se side 109-111 i P. Madsen: Teknisk Matematik
Cosinusrelationen
Cosinusrelationen er bedst anvendelig når man har alle sider og ingen vinkler oplyst.
Altså:
Men den er nemmere at håndtere regneteknisk på denne form:
Eksempel 4.5, se side 114 i P. Madsen: Teknisk Matematik
Side 38 af 132
Arealbestemmelse af vilkårlige trekanter via trigonometri
Side 39 af 132
Analytisk plangeometri
2
Afstandsformlen
3
Man kan bestemme afstanden mellem punkt A(x1 ; y1) og punkt B(x2 ;y2) ved at tage
udgangspunkt i Pythagoras læresætning.
Et linjestykkes midtpunkt
4
Da linjestykkets midtpunkt (M) ligger midt på linjen AB, hvor punkt A er (x1 ; y1) og punkt B er
(x2 ;y2), kan man finde koordinaterne dertil ved at finde midten af linjerne AC og BC. Midtpunktet
betegnes som M(x,y)
2
S. 189 ”Teknisk Matematik” (Gul bog)
3
S. 189 ”Teknisk Matematik” (Gul bog)
4
S. 191 ”Teknisk Matematik” (Gul bog)
Side 40 af 132
Ved at addere x-værdierne og dividere med 2 finder man midten af linjen AC. Således har man x-
koordinatet til punkt M. Samme princip gør sig gældende for y-koordinatet.
Areal
5
For at bestemme arealet af et vilkårligt polygon, kan følgende metode anvendes.
Polygonet indlægges i et koordinatsystem. Her er et eksempel hvor polygonets hjørner har følgende
koordinater;
Arealet af rektanglet bestemmes, hvorefter arealet af trekanterne 1, 2, 3 og 4 trækkes fra:
Hvis vinklerne i polygonet skal bestemmes, kan man starte med at beregne vinklerne for de
retvinklede trekanter. Vinklen i polygonet ved punkt A kan derved bestemmes:
5
S. 192 ”Teknisk Matematik” (Gul bog)
Side 41 af 132
Skal man bestemme arealet af en trekant, hvor man kender hjørnepunkternes koordinater, kan man
også anvende en determinantformel.
Punkterne D og E er blevet indlagt for at kunne danne et trapez. Ideen er nu først at bestemme
arealet for trapezet:
Dernæst trækkes de to retvinklede trekanter fra.
Arealet trekant ABC må derfor være:
Eksempelvis kan stykket BD udtrykkes ved hjælp af koordinater:
Dette kan de andre linjestykker også. Koordinaterne sættes nu ind i udtrykket for arealet af trekant
ABC:
Dette forkortes:
Der sættes numerisk tegn om udtrykket, da hjørnepunkterne kan tages i en rækkefølge, der vil
medføre et negativt tal. Som det kan ses af udtrykket for arealet, er dette faktisk den samme
regnemetode, som hvis det havde stået i en matrix.
Side 42 af 132
Stigningstal
6
Stigningstallet a kan bestemmes ud fra to punkter på en linje. Punkterne er (x1,y1) og (x2,y2)
Ud fra reglerne omkring udregning af tangens:
kan følgende bestemmes
Vinkel mellem to linjer
7
Som det kan ses i koordinatsystemet må vinkel v være lig:
6
S. 200 ”Teknisk Matematik” (Gul bog)
7
S. 200 ”Teknisk Matematik” (Gul bog)
Side 43 af 132
Som tidligere bekendt kan vinklerne udregnes fra hældningstallet:
Ligger linjer dog således:
Skal vinklerne naturligvis blot adderes i stedet for subtraheres
Opstilling af linjen ligning
8
Vi forestiller os at vi kender hældningstallet a og et punkt (x1,y1). Disse værdier indsættes i linjens
ligning:
Dette udtryk løses med hensyn til b. Ligeledes gør grundudtrykket.
Disse to udtryk sættes nu lig hinanden:
Dette udtryk kan nu omskrives til følgende:
Dette udtryk for linjens ligning kan med fordel anvendes, når man kender stigningstallet a og et
punkt (x1,y1) på linjen.
Parallelle linjer
9
Er stigningstallene (a) ens, er linjerne parallelle.
8
S. 202 ”Teknisk Matematik” (Gul bog)
9
S. 204 ”Teknisk Matematik” (Gul bog)
Side 44 af 132
Linjer vinkelret på hinanden
10
Linje 1 og 2 er begge rette linjer, der står vinkelret på hinanden. Ved at betragte dette
koordinatsystem kan følgende udtryk opstilles:
Vinkelsummen i en trekant er som bekendt 180
o
, og vinkel B kan derfor beskrives således:
Udtrykkene for z og D indsættes:
10
S. 205 ”Teknisk Matematik” (Gul bog)
Side 45 af 132
Nu betragtes følgende illustration. a1 og a2 er udtryk for linjernes hældningstal. Der står naturligvis
minus foran a2, da linjen er faldende. Højden af de to trekanter sættes lig 1. Følgende udtryk kan
derved opstilles:
Husk på at B = v. Derfor skrives udtrykket som følgende:
De to udtryk sættes lig hinanden:
Udtrykket omskrives nu:
Når to linjer står vinkelret på hinanden, er produktet af deres stigningstal -1
Cirklen
11
Cirklens centrumsligning kan opstilles ud fra Pythagoras læresætning:
(a,b) er centrums koordinater
(x,y) er koordinater til et punkt i periferien
r er radius.
11
S. 208 ”Teknisk Matematik” (Gul bog)
Side 46 af 132
Opsummering (formler)
12
12
S. 213 ”Teknisk Matematik” (Gul bog)
Side 47 af 132
Funktioner
En funktion er en forskrift f, hvor der til ethvert element x i en mængde kan knyttes
et og kun et tal y.
x-værdier kaldes også de uafhængige variable, mens y-værdierne kaldes de afhængige variable.
Forstået på den måde at man vælger en x-værdi og derefter beregner y-værdien til den valgte x-
værdi vha. forskriften.
Også kaldet funktionsværdien i x.
Også kaldet funktionsværdien i 5.
Definitionsmængde
En definitionsmængde er den mængde indenfor x er defineret for en forskrift f.
13
Man definerer normalt definitionsmængden så stor som muligt, altså som R (de reelle tal). Men man
kan støde på regneforskrifter som udelukker nogle tal i definitionsmængden. Som f.eks.:
Da nævneren ikke må være 0 betyder det selvfølgelig at definitionsmængden ikke kan være R.
Definitionsmængden må i dette tilfælde ikke være lig med 3. Dette skrives således:
Et andet eksempel kunne være:
Her må tallet under rodtegnet ikke være negativt. Derfor er definitionsmængden:
Monotoniforhold
13
Min egen definition
Side 48 af 132
Maksimums- og minimumspunkter
Lineære funktioner
Lineære funktioner ser ud efter følgende grundudtryk:
Hvor er a er linjes stigningstal/hældningskoefficient og hvor b er konstantleddet (den forskyder
funktionen op eller ned på y-aksen).
Potensfunktioner
Potensfunktioner ser ud efter følgende grundudtryk:
Eksponenten a kan være alle hele tal, dvs.:
Hvor tallene 0 og 1 er lidt specielle. Idet at ethvert tal opløftet i 0 er lig med 1:
Og idet at ethvert tal opløftet i 1 er lig med tallet selv:
Funktioner af 2. grad
Funktioner af 2. grad ser ud efter følgende grundudtryk:
Hvis du undrer dig over tegnet så er det den matematiske notation for ”og”.
Stykkevise funktioner
I langt de fleste tilfælde vil grafen for en funktion være en uafbrudt linje, men du kan møde
funktioner, hvis grafer har en forskydning og er sammensatte af flere dele.
Side 49 af 132
Overstående figur er sådan et eksempel. Funktionen kan beskrives således:
Et andet eksempel på en stykvis funktion kunne være en funktion med brugen af et numerisk
udtryk.
Hvilket er lig med.
Sammensatte funktioner
Rigtig mange af de funktioner som du vil støde på er sammensatte funktioner. Det betyder ikke
noget specielt for ligningsløsning men har konsekvenser ved f.eks. differentiering. Et eksempel på
en sammensat funktion kunne være.
Denne funktion kan opdeles i 2 funktioner:
Så den sammensætte funktion kan skrives således:
Omvendte funktioner
Når man skal finde en funktions omvendte funktion bytte du alle x’er og y’er med hinanden og
løses med hensyn til y.
Side 50 af 132
Eksponentielle funktioner
Den generelle forskrift for en eksponentiel funktion ser således ud:
10-talslogaritme funktionen
Logaritmen til et tal er den eksponent, du skal give 10 for at få tallet.
Den eksponentielle funktion
har R (de reelle tal) som definitionsmængde og alle de positive
reelle tal som værdimængde.
Logaritmefunktionen
er det omvendt. Den har alle de positive reelle tal som
definitionsmængde og alle de reelle tal som værdimængde.
Regneregler for logaritmer
Side 51 af 132
Den naturlige logaritmefunktion
Den naturlige eksponentialfunktion har tallet som grundtal og forskriften ser således
ud:
Den omvendte funktion til den naturlige eksponentialfunktion kaldes den naturlige
logaritmefunktion og betegnes således:
Den naturlige eksponentialfunktion
har R (de reelle tal) som definitionsmængde og alle de
positive reelle tal som værdimængde.
Den naturlige logaritmefunktion
er det omvendt. Den har alle de positive reelle tal som
definitionsmængde og alle de reelle tal som værdimængde.
Regneregler for naturlige logaritmer
Eksponentielle vækstfunktioner
Grundregneforskriften for en eksponentiel vækstfunktion ser således ud:
En eksponentiel vækstfunktion er voksende ved og den er aftagende ved .
Fordoblings- og halveringskonstant
For eksponentielle vækstfunktioner kan der også bestemmes en fordoblings og en
halveringskonstant. De er defineret således.
Hvor
er fordoblingskonstanten og
er halveringskonstanten.
Rentesregning
Man kan beregne et beløb efter n terminer ved en given rente vha. følgende renteformel:
Hvor
Side 52 af 132
Side 53 af 132
Trigonometriske funktioner
Vi ved via alm. Trigonometri at følgende gælder.
Overført til enhedscirklen må det betyde:
Følgende fortegnsvariation gælder for de 4 kvadranter for de 3 trigonometriske funktioner.
Omløbsretningen i enhedscirkelen er ALTID mod uret.
Hvis du får en negativ vinkel har lommeregneren taget den ”nemme” vej, med uret.
Side 54 af 132
Trigonometriske grundligninger
Andre trigonometriske ligninger
Når man skal løse trigonometriske ligninger som adskiller sig fra grundligningerne kan du få brug
for andre typer af trigonometriske formler.
Først har vi additionsformlerne:
Der findes nogen formler der giver dig sammenhænge mellem en vinkel og den dobbelte vinklen.
Svingninger
Vi har set at sinus og cosinus er periodiske. Indenfor f.eks. fysik kan du også møde fænomener som
kan beskrives eller bearbejdes vha. en sinus- eller cosinusfunktion. Det kaldes også en harmonisk
funktion som kan beskrives således:
Hvor
Side 55 af 132
Side 56 af 132
Side 57 af 132
Side 58 af 132
Vektorer i planet og rummet
Vektor i planet
Angivelse af vektor
A B
Længden:
Regnes som
Find vektor ved opgivne punkter
Find punkt B
Dette medfører at man finder punktet ved at lægge de to sammen.
Stedvektor:
En vektor der har udgangspunkt i origo og pilpunkt i punkt A = (x,y), og derfor har samme
koordinater som punkt A.
A(x
1
,y
1
)
B(x
2
,y
2
)
y
2
-y
1
x
2
-x
1
Side 59 af 132
Forstørrelse eller formindskelse
Hvis tallet n er positivt, har den nye vektore samme retning som den originale
Hvis tallet n er negativt, har den nye vektore modsat retning end originalen
Modsatrettede vektore
’s modsatrettede vektor hedder
’s modsatrettede vektor hedder
Vektor addition
Vektorer adderes ved at de grafisk sættes i halen af hinanden
Resultanten regnes ved:
Og da
er rækkefølgen på vektorerne ligegyldig
Ved mere end 2 vektorers addition er fremgangsmåden den samme. Da
er fra startpunkt P til den
sidste vektors pilpunkt:
Trigonometri anvendes til beregning af vinklen mellem vektorerne. Her er det dog længderne der
anvendes til beregning som sidelængder.
x
y
n * x
n * y
Sumvektoren/resultaten =
P
Side 60 af 132
At trække fra
Ligevægt
To modsatrettede vektorer har samme størrelse og retning og er derfor i ligevægt.
Hvis du har mere end 2 vektorer, er de i ligevægt hvis afbildingen af dem giver et lukket polygon.
Altså:
Komposanter
Når en resultant skal opløses til de vektorer der danner den. Disse vektorer kaldes komposanter.
Bestemme koordinater til komposanter
er nu sumvektor, hvilket medfører
For at finde
skal
ganges med en konstant for at bestemme forskydningen
Denne konstant beregnes som s
’s konstant betegnes t
Disse værdier indsættes i ligningen
Dette kan opdeles i 2 ligninger
Komposanter =
og
Findes ved at parallelforskyde linjer
gennem pilpunktet
Side 61 af 132
Dette løses som to ligninger med to ubekendte med hensyn til s og t
Nu kan koordinaterne bestemmes udfra ligningerne
og
Enhedsvektoren
Udfra de ensvinklede trekanter kan følgende forhold opstilles:
Disse ganges over kors og løses medhensyn til x
e
og y
e
Enhedsvektoren i koordinatsystem
Enhedsvektoren er henholdsvis x og y-aksen
x = i y = j
Dette medfører koordinaterne for enhedsvektorerne
Vektorer opgivet som enhedsvektor i koordinatsystemet
x
e
y
e
x
y
Side 62 af 132
Skalarproduktet
Udledning ved eksempel med arbejde.
Et objekt trækkes over en overflade over strækningen
med kraften
, som opløses i to
komposanter
og
Fra fysik kendes formlen for arbejde:
For at beregne vinklen mellem v kendes fra trigonometrien
Dette indsættes i formlen for arbejde
Arbejdet bliver til en skalar, fordi der indsættes et tal, som ikke er en vektor, hvilket giver
vektorproduktet.
er et symbol for skalarproduktet
Ved en vinkel på 90 grader er prikproduktet lig 0, da cos(90)=0
Ved en spids vinkel, vil cosinus være i første kvadrant, og derfor vil prikproduktet være positivt
Ved en stump vinkel, vil cosinus være i 2. kvadrant, og derfor vil prikproduktet være negativt
- Jævnfør enhedscirklen
v
F
y
F
x
s
+
+
-
-
Side 63 af 132
Ved opgivede koordinater
Lyder skalarproduktet
Dette giver det samlede skalarprodukt:
Skalarproduktet kan anvendes til at beregne vinklen mellem vektorerne
Tværvektor
Projektion
Hvis man skal bestemme størrelsen af den projekterede vektor, parallelforskydes vektoren, som vist
ovenfor, hvorved der fremkommer retvinklede trekanter.
Ved at tegne en ny vektor vinkelret
på
mod uret med samme længde
findes tværvektoren.
-y
y
x
x
Side 64 af 132
Hvis
har samme retning som den vektor som den projekteres ned på, vil den projektionsvektoren
også have samme retning.
Har projektionsvektoren modsat regning end den vektor den er projekteret ned på, vil vinkel v være
stump, og ligge udenfor trekanten.
Hvis
og vinklen er kendt, kan længden af den projektionsvektoren bestemmes:
Der kan også tages udgangspunkt i skalarproduktet:
Da vi kender definitionen for længden af projektionsvektoren, kan ledet på højre side erstattes af
Koordinaterne til projektionsvektoren beregnes:
Her er
enhedsvektoren for
Side 65 af 132
Normalvektor
Udtrykket for linjens ligning:
Dette medfører at
Afstand fra punkt til linje
Leddet
består af koordinaterne fra
b
Side 66 af 132
Projekt Hjerting kirke
Klasse: 3.X
Delopgave a
Følgende punkter er aflæst af figur 128 og figur 129.
Delopgave b
For at finde længden mellem 2 punkter bestemmes vektoren mellem disse punkter således.
Herefter findes længden af denne fundne vektor.
Her vises dette med punkterne E, F.
Samme fremgangsmetode foretages med punkterne E, T og F, T
Delopgave c
For at bestemme vinklen mellem to vektorer benyttes skalarproduktet som løses med hensyn til
vinkel .
Side 67 af 132
Denne samme metode udføres på vektorerne
og
.
Delopgave d
Delopgave e
Delopgave f
For at bestemme en forskrift for et plan findes krydsproduktet mellem de 2 vektorer som udspænder
dette plan. Herefter opstilles forskriften på baggrund af krydsproduktet og et punkt som ligger i
planet.
I nedenstående forskrift repræsenterer a, b og c henholdsvis x, y og z fra krydsproduktet. Her
repræsenterer
og
henholdsvis og for et punkt i planet.
Denne fremgangsmetode anvendes med vektorerne
og
.
Delopgave g
Side 68 af 132
Delopgave h
Delopgave i
Side 69 af 132
Delopgave j
Vinklen mellem to planer er repræsenteret som vinklen mellem deres normalvektorer da disse står
vinkelret på planerne.
Hernæst løses skalarproduktet mellem 2 vektorer med hensyn til vinkel .
Denne fremgangsmetode udføres for vinklen mellem flade ABEF og EFT.
Delopgave k
Delopgave l
Vektorer i rummet
Punkt i rummet
Et punkt i rummet består af P(x,y,z)
Vektoren i rummet:
Side 70 af 132
Afstandsbestemmelse
En afstand bestemmes ved, at beregne længden af den vektor der ligger på den afstand.
Vektoren
ligger i planet, og vektoren
ligger i rummet
Ved at reducere denne får vi
Ved punkter A(x
1
,y
1
,z
1
) og B(x
2
,y
2
,z
2
) opgivet lyder vektoren:
Længden bestemmes ved
Enhedsvektoren
Enhedsvektoren på akserne kaldes:
O
P
A
Side 71 af 132
Længden af vektor
Enhedsvektoren regnes ved:
Skalarproduktet
Definition fra vektorer i planet:
Ved skalarproduktet i rummet tilføres z koordinaten som en ekstra dimension
Løses ligningen med hensyn til cos(v)
Hvis
og
står vinkelret på hinanden vil det betyde at
Og derved
Eller:
Side 72 af 132
Projektion:
Hvis vi ser på skalarproduktet, og dividere med
medfører det:
Da
kan leddet
erstattes
Linjens ligning på parameterform
v
v
O
x
y
z
P
0
P
Side 73 af 132
En ret linje går gennem punktet P
0
(x
0
,y
0
,z
0
), som har en retningsvektor givet ved
På vektorform kan punkt P(x,y,z) derfor beskrives
Eller
Den rette linje ved hjælp af koordinater:
Skæring mellem linjer
For at linjer skal have skæringspunkt, skal de ikke være parallelle skal de have forskellige
retningsvektorer. Dog kan de have forskellige retningsvektorer, og alligevel ikke skære hinanden –
disse kaldes vindskæve.
Eks 6 side 26
Linjer a og b er givet ved parameterfremstilling
Da man ud fra parameterfremstillingen kan konstatere at retningsvektorerne er forskellige, kan der
opstilles 3 ligninger med 2 ubekendte, som anvendes til løsningen
Ligning I og II løses som to ligninger med to ubekendte
Ligning I løses med hensyn til t
1
Udtrykket for t
1
indsættes i ligning II og løses
Side 74 af 132
Værdien for t
2
indsættes i udtrykket for t
1
Værdierne for både t
1
og t
2
indsættes i ligning III
Da disse værdier er ens, kan vi konstatere at linjerne skærer. For at finde skæringspunktet indsættes
en af værdierne for enten t
1
eller t
2
i den tilhørende parameterfremstilling
Dette medfører skæringspunktet P(-1,10,-6)
Parameterfremstillingen af et plan
Givet punkt A(x
0
,y
0
,z
0
,) og B(x
1
,y
1
,z
1
) og C(x
2
,y
2
,z
2
). Linjestykkerne opfattes som vektorer
og
. Et vilkårligt punkt P, som ligger i planet a, giver endnu en vektor
, og derved kan denne
vektor opløses ved:
I forhold til koordinatsystemets begyndelsespunkt, kan punktet P angives:
Dette er planet a på vektorform. Ved at indføre koordinaterne fås:
Og Parameterformen kan opstilles
Side 75 af 132
Planets ligning på normalform
Normalvektoren
står vinkelret på planet a
Punkterne P(x,y,z) og P
0
(x
0
,y
0,
z
0
)
giver vektoreren P
0
P på ligger i planet a
Da de to vektorer står vinkelret på hinanden, vil skalarproduktet være 0
Der dannes et udtryk for d
Dette medfører udtrykket for planets ligning på normalform
Skæring mellem to planer
Eks 10 side 38
Ved bestemmelsen af skæringen mellem to planer skal man indføre en parameter, t. Denne
parameter kan indføres i stedet for enten x, y eller z. I dette tilfælde x = t.
Ligningerne løses nu med hensyn til z, og multipliceres, så z er ens defineret.
Disse sættes lig hinanden og løses med hensyn til y
Side 76 af 132
Dette udtryk indsættes nu i
Vi har nu oplysninger til at opstille en parameterfremstilling
Skæringen går altså gennem punktet P(0,-2,-3)
Og har en retningsvektor på
Retningsvektoren er fundet ved at krydse de to normalvektorer, og forkorte.
Vinklen mellem planer Eks 10 b
Normalvektorerne aflæses fra ligningerne til planerne
Skalarproduktet anvendes med hensyn til Cos(v)
Værdierne indsættes
Skæring mellem linje og plan
Hvis skalarproduktet
og punktet P ikke er beliggende i planet a, er linjen k parallel med
planet, og skære derfor ikke.
Hvis
og punktet P er beliggende i planet, er linjen k beliggende i planet.
Side 77 af 132
Eks 11
Ved at indsætte udtrykkende for x,y og z i planets ligning kan den løses med hensyn til t:
t-værdien kan nu indsættes i parameterformen for linjen for at finde punktet
P(9,19,18)
Afstand mellem punkt og plan
Afstanden mellem et punkt og et plan kan udtrykkes ved
Afstanden kan også skrives således, da
er a’s normalvektor
Da tælleren er et udtryk for skalarproduktet, som også kan udtrykkes
, derfor
kan udtrykket omformuleres til:
e
v
v
P
P
0
Definitionen kommer af:
Side 78 af 132
Afstand mellem punkt og linje
Afstanden mellem punkt P
0
(x
0
,y
0
,z
0
) og linje k kan udtrykkes som følgende:
Hvor
er linjen k’s retningsvektor og punktet P er et punkt på linjen k
Ved hjælp af kryds produktet
Kan vi udtrykke
Da vi har definitionen på e, kan dette indsættes på venstre side af lighedstegnet
k
P
P
0
e
v
Side 79 af 132
Differentialregning 1(K 13 side 339 bog 1)
Infinitesimalregning er en fælles regnemetodik for regneoperationerne differentialregning og
integralregning. Differentialregning og integralregning er modsatrettet ligesom + og -.
Historie
Er en regnemetodik der blev opfundet i det 17. Århundrede af blandt andet Newton. Man manglede
et ”værktøj” til at analysere bevægelser. Har hjulpet til at bestemme Newtons love omkring
bevægelse og tyngdekræft. I dag bruges metoden overalt da den er fundet anvendelig til andre ting,
end bare at analysere bevægelse.
Differentialregning
Er en metode hvorpå man finder stigningstallet for en kurve. Den mere formelle definition er:
differentialregning bestemmer et hældningstal i et givent punkt.
Differentialregning er altså en metode hvorpå man kan bestemme hvordan tangenten varierer.
Differentialkvotient
Det er let at bestemme stigningstallet for en linje. Dog giver det langt større problemer at bestemme
stigningstallet for en parabel – når du bestemmer differentialkvotienten bestemmer du også
stigningstallet for tangenten i et bestem punkt. Vi skal se på følgende figur for at kunne forstå
hvordan differentialregning
fungere.
Side 80 af 132
Linjen mellem P og Q kaldes en sekant. Man kan ud fra figurens benævnelser bestemme
stigningstallet for linjen mellem P og Q.
Vi kender dette fra Tan(v)=a da Tan(v) = a/b.
Dette stigningstal kaldes for funktionens differenskvotient i x.
Med differenskvotienten som udgangspunkt kan man bestemme differentialkvotienten. Dette gøres
ved at lade gå mod 0. Hvis man ser på tegningen vil dette betyde at Q nærmer sig P. Dette
skrives som følgende:
Differentialkvotienten kan også skrives som f´(x). Tangenten, der går gennem punktet P, har
stigningstallet f´(x).
For at vende tilbage til udtrykket for differentialkvotienten så går gå mod 0. Hvilket vil betyde at
punkt Q kommer til at lægge oven i punktet P så man nærmest har et punkt. Dog bliver det aldrig
nul og dette er det smarte ved differentialregning man kan beregne er uedelig små.
Når differentialkvotienten skal bestemmes følger man 3-trins-reglen.
Får man et udtryk for grænseværdien har man et udtryk for differentialkvotienten af x.
Se eksempel 13.1 side 342 for brug af tre trins regel.
Andre betegnelser for differentialkvotienten
Især dy/dx bruges meget. Fordelen ved denne skrivemåde er at den fortæller hvilke variabler der
differentieres i forhold til og er også derfor det mest anvendte udtryk.
Side 81 af 132
Kontinuitet og differentiabilitet
En kurve er kontinuerte når de kan tegnes uden af løfte blyanten fra papiret. En kurve hvor man
bliver nød til at løfte blyanten er diskontinuerte.
Nu skal vi se på når differentiable kurver. For at en kurve skal kunne være differentiabilitet skal den
være ”blød”. I overstående kan man se at den første har differentiabilitet hvor resten har knæk eller
stopper fuldstændigt.
En funktions kontinuitet kan også bestemmes:
En funktion er kontinuert i et punkt a, hvis:
Dette kan skrives på følgende måde:
A
+
og A
-
symboliserer at man bevæger sig fra henholdsvis højre og venstre side.
Se eksempel 13.2 side 346
kontinuerte
diskontinuerte
Ikke
differe
ntiabilit
et
differentiabilitet
Side 82 af 132
Regne regler
Følgende regneregler er taget direkte fra bogen.
Side 83 af 132
Side 84 af 132
Vi ser lige på en metode mere nemlig metoden hvor to funktioner adderes.
Side 85 af 132
Vi ser nu på regnereglen for differentialkvotienten af et produkt
Side 86 af 132
Side 87 af 132
Flere regneregler med trigonometriske funktion
Side 88 af 132
Side 89 af 132
Maksimums- og minimumspunkter
Vi skal i følgende lære hvordan man analyse en funktion – finder dens maksimums og
minimumspunkt.
vi ser på figur 13.15 den er monotomt stigende op mod sit lokale maksimum. I det lokale
maksimum er stigningstallet lig 0. Herefter falder kurven (monotomt faldende) indtil den når sit
lokale minimumspunkt hvor stigningstallet når nul og igen stiger kurven (monotomt stigende).
Under grafen kan man se en figur der vise fortegnsvariationen. Når differentialkvotienten ændre
fortegn fra + til – har man passeret et lokalt maksimum og hvis fortegnet ændre sig fra – til + har
man passeret et lokalt minimumspunkt.
På figur 13.16 har vi en lidt anderledes fortegnsvariation. Ved punkt C og E går grafen henholdsvis
fra + til 0 og stiger herefter igen og på samme måde fra – til 0 og igen til -.
Igen kan vi have steder hvor differentialkvotienten ikke kan bestemmes på grund af diskontinuitet.
En funktion kan let have flere maks og min punkter disse punkter kaldes under et for:
Ekstremumspunkter.
Side 90 af 132
Side 91 af 132
Sammensatte funktioner
Side 92 af 132
Differentialkvotienten af højere orden
Side 93 af 132
Side 94 af 132
Integralregning (Bog 1)
Det ubestemte integral
Stam funktion er lig det ubestemte integral af f(x)
Det bestemte integral
Regneregler
Integralet af en sum er lig med summen af de enkelte leds integraler:
Integralet af en differens er lig med differensen mellem de enkelte integraler:
Omskrivning af potenser og rod:
Arealberegning
Arealberegning mellem kurver
Man skal naturligvis huske at hvis kurverne skærer hinanden indenfor intervallet, skal dette dages i
betragtning. Skæringen findes, hvorefter at man integrerer den over 2 omgange.
Den naturlige logaritme
Side 95 af 132
Opsummering
Side 96 af 132
Integralregning (Bog 2)
Regneregler for integraler
Funktion
f(x)
Stamfunktion
Eksponentialfunktioner
Logaritmefunktion
Integrationsteknikker
Integration ved substitutionsmetoden
14
Dette vises bedst ved et eksempel
Substitutionsmetoden:
Udtrykket 2x+5 substitueres nu
2x+5 differentieres og løses med hensyn til dx:
dx erstattes:
u kan nu substitueres tilbage igen:
Kontrol (integrationsprøven):
Vi differentierer nu udtrykket tilbage igen:
14
S. 134 ”Teknisk matematik 3”
Side 97 af 132
Det stemmer altså!
Partiel integration / Delvis integration
15
Regnereglen tager udgangspunkt i et produkt:
Bevis:
Der tages udgangspunkt i produktet
Differentialkvotienten bliver
(Jævnført ”Teknisk matematik 2”)
Ved integration fås:
Vi ved at
og
Derved kan følgende udtryk opskrives:
Ved at omflytte leddene fås:
Eksempel:
Bestem
Vi prøver at sætte
Vi indsætter i formlen:
Dette var et uheldigt valg, da det nye integral faktisk er mere besværligt at håndtere end det gamle.
Vi prøver derfor at omdefinere u(x) og v(x):
15
S. 141 ”Teknisk matematik 3”
Side 98 af 132
Vi prøver nu igen:
Det var meget bedre!
Volume omkring x-aksen
16
Arealet under f(x) kan som bekendt findes ved integralet:
Hvis man forestiller sig at en lille arealstrimmel med tykkelsen x drejes 360 grader om x-aksen,
vil der fremkomme en skive, hvis rumfang kan bestemmes af:
Lades hele arealet (fra a til b) drejes om x-aksen, fremkommer et omdrejningslegeme, hvis rumfang
kan bestemmes således:
sættes uden for integraltegnet og vi får formlen:
Volume omkring y-aksen
17
Har vi et areal, der afgrænses af grafen for en funktion f, linjerne x = a og x = b og x-aksen, og
drejer dette areal om y-aksen, fremkommer et ringformet legeme, hvis rumfang kan bestemmes af
formlen:
Dette kan eftervises ved at tage udgangspunkt i integrationsprøven som siger, at
Lad os dog starte med at se på strimlen, der er beliggende i afstanden x fra y-aksen, og som har
bredden x:
16
S. 147 ”Teknisk matematik 3”
17
S. 152 ”Teknisk matematik 3”
x
x
y = f(x)
Side 99 af 132
Rumfanget af strimlen når den drejes om y-aksen:
(Den lille cylinder trækkes fra den store cylinder)
π og y sættes uden for en parentes:
Den inderste parentes udregnes:
Der divideres igennem med x:
Vi lader x 0og får
Og da y = f(x), kan vi udtrykke differentialkvotienten således:
Vi er nu tilbage.
Side 100 af 132
Vektorfunktioner
Parameterfremstillingen
En parameter t indføres, så x(t) og y(t) kaldes koordinatfunktioner.
I arbejdet med bevægelser repræsenterer parameteren t tiden, og kurven kaldes partiklens banekurve
En stedvektor
anvendves til at bestemme endepunkt på banekurven
Ret linje som vektorfunktion
En ret linje er bestemt ved punktet P
0
, og hældningen bestemt ved retningsvektoren
gennem
enten koordinater eller vinkel.
Punktet P kan bestemmes ved hjælp af stedvektoren.
Koordinaterne til
Koordinaterne til
P
0
(x
0
,y
0
)
P(x,y)
a
b
v
Side 101 af 132
Der må findes et tal t, der multipliceres med retningsvektorens koordinaterne til
.
Derfor kan den rette linje skrives som:
Givet ved vinkel:
Cirklen som vektorfunktion
En cirkel med centrum i (0;0) med radius r, vil et punkt (x,y) på cirkelperiferien beskrives som en
vektorfunktion med parameter t:
Med cirklens centrum i (a,b) lyder vektorfunktionen
Ellipse som vektorfunktion
Ellipsen som er symmetrisk omkring x og y aksen med centrum i (0,0).
Med figurens betegnelser har storeaksen = 2a og ligeledes har lilleaksen = 2b.
Skæringspunktet mellem ellipsen og siderne i den retvinklede trekant dannet punktet P(x,y)
Dermed får vektorfunktionen parameterfremstillingen
A
B
t
Side 102 af 132
Har ellipsen centrum i (x
0
,y
0
)
Andre kurver
Archimedes spiral
Ved at se på kurven
vil kurven dannes ved en drejning om (0,0), og
bestemmer nogle støttepunkter, fås følgende værdier
t
0
½Π
Π
2Π
x
0
0
-Π
0
2Π
y
0
½Π
0
0
Yderligere støttepunkter vil danne en spiral ud fra (0,0) med en lige afstand overalt.
Cykloiden
En cirkel med radius r ruller over en vandret flade. Et fast punkt i cirkelperiferien danner
cykleoiden, når den cirklen ruller.
Cykleoiden ruller med startpunkt A, efter tiden t er punktet B nu der hvor cirklen rammer fladen.
Der hvor det fastlagte punkt nu er i bevægelseskurven kaldes punkt P(x,y). Dette giver:
Ud fra dette kan koordinaterne udtrykkes
Vektorfunktionen beskrives
Side 103 af 132
Differentiation af vektorfunktionen
Funktionen givet.
Koordinatfunktionerne er differentiable
Denne kaldes vektorfunktionens tangentvektor. Denne metode kan fortsættes.
Skitsering af kurver
Funktion givet:
Skæringspunkt med akser
Når skæringen med y-aksen skal findes sættes x(t)=0, og t værdien findes og indsættes i y(t)
Når skæringen med x-aksen skal findes sættes y(t)=0, og t værdien findes og indsættes i x(t)
Vandret tangent
Funktionen differentieres
I de punkter hvor der er vandret tangent kan funktionen skrives som:
En t værdi findes ved y’(t)=0 og indsættes i begge koordinatfunktioner for at finde det gældende
punkt.
Lodret tangent
I de punkter hvor der er lodret tangent vil x’(t)=0, og t værdien findes og indsættes i begge
koordinatfunktioner for at finde punktet.
Side 104 af 132
Banekurven, hastighedsvektor og accelerationsvektor
Hastigheden
Størrelsen af hastigheden
Accelerationen
Størrelsen af accelerationen
Opstilling af vektorfunktionen som sammensat bevægelse
En sammensat bevægelse består f.eks. af en kran, der både løfter og kører hen af skinnerne.
Et mere praktisk eksempel:
O
a
A
Ot
At
At
Ot
O
Side 105 af 132
Armens længde er a, og slæden bevæger sig med en konstant hastighed V
x
på skinnens x-akse.
Armens drejepunkt er O, og armen bevæger sig med en positiv vinkelhastighed
Punkt A’s bevægelse:
Side 106 af 132
Funktioner af 3. Grad og funktionsundersøgelse
Indledning
Man kan denne gennemgang læse om polynomisk division, bisektionsmetoden, newton-
raphsonmetoden og hvordan man undersøger for asymptoter (lodrette, vandrette og skrå).
At finde nulpunktet af 3. Grads polynomier (side. 77-80 i den hvide bog)
Det er ikke så lige til at finde nulpunktet af 3. Grads polynomier. Der findes dog forskellige
metoder som kan anvendes for at finde disse. Der er 3 metoder:
Polynomisk division
Polynomisk division kaldes også ”gæt en rod-metoden”. Polynomisk division er KUN velegnet når
rødderne er hele tal.
En 3. Grads polynomium er givet ved:
Man ønsker at finde polynomiets grafs skæringspunkter med x-aksen:
Vi gætter på en rod og kan dermed finde løse ligningen:
Gæt: x=1 er rod, denne indsættes:
X=1 er dermed en rod, man opskriver polynomiet til produktform:
For at finde hvad der skal stå i anden parentes, skal man nu udføre divisionen:
x
3
– x
2
- +
-x
2
– 5x
-x
2
+ x
+ -
-6x + 6
-6x + 6
+ -
0
Side 107 af 132
Beskrivelse:
Når man laver polynomisk division er det vigtigt at man tager et led af gangen.
1. Led:
Først finder man den største kvotient til x
3
. Det er x
2
. (for x
2
* x = x
3
).
Derefter multipliceres x
2
med den vi dividere med som er x-1 og det giver
.
Man fjerner x
3
ved at ændre fortegn (dette gøres for hele stykket) og det giver dermed
2. Led
Samme princip.
3. Led
Vi får en rest lig nul, når divisionen er udført og gået op. Men dette sker ikke altid, man kan
risikerer at få en rest og det vil jeg beskæftige mig med under ”asymtoter”.
Vi har nu fundet frem til via divisionen, hvad der skal stå i den anden parentes:
Dette gør det en del lettere idet vi kan løse ligningen:
Vi har dermed alle rødderne i 3. Grads polynomiet:
Man kan konkludere at polynomiets graf skærer x-aksen i (-2,0) eller (1,0) eller (3,0).
Lig mærke til rækkefølgen og fortegnene i forhold til løsningerne !
se eksempel 21 på side 79 i hvide bog.
Bisektionsmetoden (se side 81 -82 i hvide bog)
Når man ikke kan løse polynomiet med polynomisk division som kun skal anvendes ved lige tal,
kan man i stedet anvende numeriske metoder. Denne slags metode kaldes også en iteration.
Processen indeholder en beregningsprocedure, som tilnærmet bestemmer en funktions nulpunkter
og som gentages , indtil en ønsket nøjagtighed af nulpunktsbestemmelsen er opnået.
Bisektionsmetoden kan eksempelvis anvendes:
En funktion f, som er kontinuerlig i det betragtede område [a;b] (ingen retningsskift!)
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 8 9 10
10
8
6
4
2
2
4
6
8
10
f x( )
x
Side 108 af 132
Metoden bygger på gentagne intervalhalveringer. Intervallet fortæller hvor nulpunktet må befinde
sig i. man halvere dette interval indtil intervallet er så lille at det er meget tæt på at give nul og
dermed en bestemmelse af nulpunktets ønsket nøjagtighed.
Eks:
f x( ) x
3
x
2
x 2
f 1( ) 1
f 2( ) 8
f 1.5( ) 2.125
f 1.25( ) 0.266
f 1.125( ) 0.436
1.25 1.125
2
1.188
f 1.188( ) 0.1
f 1.219( ) 0.078
f 1.2035( ) 0.012
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 8 9 10
10
8
6
4
2
2
4
6
8
10
f x( )
x
Side 109 af 132
Newton-Raphson-metoden
Når man ikke kan løse polynomiet med polynomisk division som kun skal anvendes ved lige tal,
kan man i stedet anvende numeriske metoder. Denne slags metode kaldes også en iteration.
Processen indeholder en beregningsprocedure, som tilnærmet bestemmer en funktions nulpunkter
og som gentages , indtil en ønsket nøjagtighed af nulpunktsbestemmelsen er opnået.
(x
4
;f(x
4
)
)
.
(x
3
;f(x
3
)
)
.
Tangent
er
(x
2
;f(x
2
)
)
x
4
x
3
.
(x
1
;f(x
1
)
)
x
2
x
1
f(x)
Side 110 af 132
osv.
Eksempel:
Vi gætter på at x er lig -3
Sådan kan der fortsættes, indtil en ønsket nøjagtighed er nået.
Asymptoter
Jeg vil nu skrive om hvordan man undersøger for vandret, lodret og skrå asymptote.
En asymptote er en linje, hvor afstanden mellem grafen og linjen går mod 0, når:
- f(x) går mod plus eller minus uendelig (giver det enten en lodret eller vandret asymptote)
lodret asymptote
Det er i princippet lodret asymptote, vi bestemmer ved denne grænseværdiberegning og med denne
baggrund kan vi formulere følgende:
Har man en funktion udformet som en brøk, kan en lodret asymptote bestemmes således:
1. bestem de x-værdier, der gør brøkens nævner lig 0
Eksempel:
2. bestem grænseværdien for brøken, når x a
+
og xa
-
3. hvis grænseværdien bliver plus uendelig eller minus uendelig er linjen x = a og dermed lodret
asymptote.
Side 111 af 132
Vandret asymptote
Grænseværdien er jo i realiteten en y-værdi, så ligningen y = 0 er vandret asymptote. Med denne
baggrund kan man formulere følgende:
Har vi en funktion udformet som en brøk, kan en vandret asymptote bestemmes således:
1. bestem grænseværdien for brøken, når x går mod plus og minus uendelig.
2. Hvis grænseværdien bliver en konstant, f.eks. b, er linjen y = b. Dermed en vandret asymptote.
Se eksempel 22 ! på side 88-89 i den hvide bog, for at se eksempel på vandret- og
lodretasymptote.
Skrå asymptote
Det som adskiller skrå asymptote fra vandret asymptote er:
Når man undersøger for en vandret asymptote, lader vi også x gå mod plus eller minus uendelig, så
med baggrund i eksemplerne kan vi fastslå, at en skrå asymptote kan forekomme for en brøk, når
tællerens polynomium er en grad højere end nævnerens, medens den vandrette asymptote kan
forekomme, når tælleren er en konstant, eller når tællerens polynomium har samme grad som
nævnerens eller mindre.
Man kan fastslå:
Har man en funktion udformet som en brøk, hvor tællerens polynomium er en grad højere end
nævnerens, kan en skrå asymptote bestemmes på følgende måde:
1. Nævneren divideres op i tælleren. (se polynomisk division for en forklaring)
2. I resultatet ad denne division lader man x gå mod plus eller minus uendelig. Den skrå asymptote vil
da fremkomme som en ligning af formen y = a * x + q.
Se eksempel 25 ! for at se undersøgelse af skrå asymptote i den vide bog på side 95 – 96.
Side 112 af 132
Differentialregning 2 (s. 101 – 118)
Differentialkvotient af brøk
Reglen siger:
Differentialkvotienten af en brøk
er lig med differensen u’v – u v’ divideret med v
2
. Har vi en
funktion givet ved:
Er differentialkvotienten:
Reglen kan eftervises ved at se på s. 102 i teknisk matematik 3.
Eksempel 26
Bestemmelse af funktions differentialkvotient og bestem de punkter (x,y) hvor der er vandret
tangent
Vi anvender brøkreglen og får:
Vi reducerer:
Der er vandret tangent for f’(x) = 0 det giver:
Forudsætningen for at brøken er lig med 0 er at tælleren er lig 0. Dermed får vi:
Ligningen løses og vi får x = -0,419 eller x = -3,581. For x = -0,419 og vi får så:
Tilsvarende gøres for x = -3,581 hvilket medfører: -13,32
Vi har nu 2 punkter: (-0,4109; -0,675) og (-3,581; -13,32)
Differentialkvotient af e
x
Funktionen f(x) = e
x
har differentialkvotienten f’(x) = e
x
Det er helt specielt at en funktion og den differentialkvotient er samme størrelse. Vi kan synliggøre
reglen på følgende måder da vi benytter definitionen på differentialkvotient:
Se s. 105 i teknisk matematik 3
Differentialkvotient af ln(x)
Vi har før defineret
Da definition og integration er modsatte regningsarter får vi direkte af integrationsprøven at:
Funktionen f(x) = lnx har differentialkvotienten
Side 113 af 132
Differentialkvotient af log x
Funktionen f(x) = log x har differentialkvotienten
Differentialkvotienten fremkommer på følgende måde idet vi starter med at se på:
x = 10
log x
Vi tager den naturlige logaritme på begge sider:
Vi løser ligningen mht. til log x:
Vi differentierer:
Differentialkvotient af a
x
Funktionen f(x) = a
x
har differentialkvotienten
Differentialkvotienten fremkommer på følgende måde i det vi starter med at med at omskrive:
Vi differentierer som en sammensat funktion:
Hermed er reglen eftervist.
Se eksempel 27 s. 107 teknisk matematik3
Implicit differentiation
De funktionsudtryk vi har differentieret har alle været af formen f(x) = y. Denne skrivemåde kaldes
eksplicit form, modsat implicit form, hvor skrivemåden er f(x,y) = 0
Eks.
Udtrykket skrevet på denne form kan differentieres ledvis:
Ligningen løses:
Denne måde kaldes implicit. Det skal lige siges at vi ville få samme resultat, hvis vi differentierede
funktionen når den var skrevet i eksplicit form. Det er heller ikke metoden der har sine fordele.
Udtrykket
vil det koordinatsystem fremstille en cirkel med radius 1. Det er ikke en
funktion, da vi for en hver x-værdi vil få to y-værdier men vi kan få to funktioner ud af det ved
følgende definitioner:
Side 114 af 132
Det vil i koordinatsystemet kunne afbildes som to halvcirkler hvor den øverste vil ligge over x-
aksen og den nederste under x-aksen. Løser vi den ligning mht. y får vi:
Dette udtryk kan vi differentiere og bestemme differentialkvotienten udtrykket ved x. Vi kan også
differentiere implicit og anvender vi reglen for sammensat differentiation for y-leddet får vi:
Løser vi ligningen får vi:
Differentialkvotienten udtrykkes her ved både x og y og hver det tidligere var tilstrækkeligt at
kende x-værdien når stigningstallet for en tangent skulle bestemmes er det her nødvendigt at kende
både x og y-værdien. Det skal også bemærkes at vi ville få samme resultat hvis vi differentierede
udtrykket for halvcirkelen der lå under x-aksen.
Se eksempel 28 s. 111 tekniks matematik3
Skrå vendetangenter
Forestiller vi os at vi bevæger os på kurven begyndende i venstre side vil tangenten nærme sig
vandret og vil i punktet x =a være vandret for derefter at vokse igen. Vi sagde at vi havde en
vandret vendetangent i x = a.
Se s. 113 teknisk matematik 3.
Side 115 af 132
Differantialligninger (K 8 side 161 bog 2)
Er en ligning der indeholder en indeholder en eller flere differentialkvotienter.
Vi ved at integralregning og differentialregning er to modsatrettet matematiske metoder. Denne
viden skal vi bruge i følgende. Vi ser på følgende funktion:
Vi integrerer nu dette for at komme tilbage til stamfunktion.
K er en vilkårlig konstant som kommer, når man integrere.
Løsningen til en differentialligning er at bestemme samtlige funktioner, der tilfredsstiller
differentialligninger
Hvilke af disse løsninger vi vælger at arbejde med i en relevant opgaveløsning afhænger af de
oplysninger vi har til rådighed.
Grundbegreber
I det følgende afsnit skal vi se på forskellige typer af differentialligninger og de metoder der
anvendes. Vi vil i følgende beskæftige os med 1. og 2. Ordens differentialligninger.
Vi ser på funktionen
Vi løser den ved at integrere
Grafen for løsningen kaldes integralkurve eller en løsningskurve. Ved at sætte k=0 finder man
følgende løsning.
Dette kaldes et partikulært integral, hvis man har alle
løsningerne kaldes det det fuldstændigt integral.
Hvis vi bestemmer differentialkvotienten i et punkt på
grafen, eksempelvis (1;1).
Vi ved at y´ er tangentens stigningstal i et givent
punkt. kombinationen mellem et talpar og
stigningstallet kaldes et linjeelement og beskrives
symbolsk (x,y,α). Hvor (x,y) er punktet og α er
tangentens stigningstal. Hvis vi har koordinatet (1,1)
som i overstående får vi et linjeelement med (1,1,3).
Differentialligninger af typen y´= g(x)
Vi har allerede arbejdet med denne form. Derfor bliver der bare opsummeret
Hvor g er kontinuert i et definitionsinterval I, har den fuldstændigt løsning:
Hvor G(x) er stamfunktionen til g(x) og k er en vilkårlig konstant.
Vi har tidligere arbejdet med funktionerne og definationsmængden, men definationsintervallet er
noget nyt. Deffinationsinervallet defineres med I og det vælges så stort som muligt. Man skal dog
tænke på der kan være flere intervaller.
Her er der ingen problem og I: x R.
Men vi ser på følgende funktioner
Side 116 af 132
Da man ikke kan dividere med 0, bliver x nød til at være forskellig fra 0. Derfor skal intervallet
være
Differentialligninger af typen y´´=g(x)
Løses ved at integrere 2 gange. Ved at integrere en gang får man:
Vi har altså samme type som foregående derfor bruges samme metode også bare igen.
Differentialligninger af typen y´= h(x)*g(y) – seperationsmetoden.
Den fuldstændige løsning til en differentialligning af formen
Kan bestemmes ved at løse følgende ligning:
Ud fra oversående må vi kræve at g(y) skal være forskelligt fra 0. Derfor har vi også to intervaller.
Vi ser på differentialligninger og benytter følgende symbol: dy/dx.
Vi omskriver og får
Vi substituerer
med
da
Derfor kan vi skrive
Regler for differentiation af en sammensat funktion tillader, at differentialligningen kan skrives.
vi ved:
Derfor kan ligningen omskrives
Denne metode kaldes seperationsmetoden da variablerne x og y samles på hver sin side at
lighedstegnet.
Differentialligninger af typen y´= k * y.
Den fuldstændige løsning til en differentialligning af formen
Er
Baggrunden for denne løsning får vi ved at betragte differentialligningen y´=k*y som en art af
differentialligningen y´=h(x)*g(y) – da h(x)=k og g(y)= y.
Side 117 af 132
Vi kan derfor bruge seperationsmetoden og har derfor to intervaller at arbejde i.
Vi indsætter nu vores g(y) og h(x).
Vi ved fra integrationsreglerne at 1/y = ln y. vi får da følgende
Vi ser nu på de to intervaller
vi siger at
vi omskriver nu overstående udtryk
Se side 179 for at få et eksempel på hvordan integralkurven ser ud.
Differentialligningen af typen y´=g(y)
Den fuldstændige løsning til en differentialligning af formen
Hvor g(y) er kontinuert med konstant fortegn i et interval J, kan findes ved løsningen af ligningen.
Igen arbejder vi med en differentialligningen af typen y´=h(x)*g(y) . idet vi sætter h(x)=1.
Derfor kan vi bruge seperationsmetoden og har to intervaller.
Og får
Hvilket hermed giver
Differentialligninger af typen y´=y(b-ay)
Vi har tidligere kigget på differentialligningerne af typen
Hvor den fuldstændige løsning er
Dette giver en eksponentiel vækstfunktion. Dog hvis man arbejder med vækstproblemer vil den
ikke stige i det uendelige, den vil flade ud og følgende type differentialligning er et udtryk for dette.
Hvis vi ser på igen og løser medhensyn til k får vi.
Side 118 af 132
Vis vi så erstatter k med et udtryk for en lineær funktion b-ay. Da det viser sig at være særdeles
egnet til at beskrive en vækstprocesse. Vi får følgende udtryk
Den fuldstændige løsning til differentialligningen af formen
Er
Baggrunden for denne løsning er ikke taget med dog bygger den på seperationsmetoden.
Vi starter med at se på differentialligningen og løsningsformlen under forudsætning af, at
Vi undersøger først for vandrette asymptoter
At
Kan ses på følgende
Det vil altså sige at vi har:
Der ser nu på udtrykket når
Idet
Hermed kan vi konkludere at vi har vandret asymptote når
Se integralkurven på side 184 bog 2
Side 119 af 132
Taylorpolynomier
Approksimationer af funktioner af forskellige grader også kaldet Taylorpolynomier eller
Taylorapproksimationer.
Nulte- og førstegradspolynomier
Forestil dig at du har en funktion som er differentiabel og at
er et tal i denne funktions
definitionsmængde. En meget simpel og ikke særlig god approksimation af denne funktion kan
skrives således:
Det her er altså blot en funktion med en konstant funktionsværdi nemlig
.
kaldes det
approksimerende nultegradspolynomium for og
kaldes udviklingspunktet.
Det næste skridt er det approksmierende førstegradspolynomium. Hvor vi også kendes tangenten til
i
som er defineret som:
Som du kan se har
også samme funktionsværdi i som i punktet
ligesom
har. Men
udover det har
også samme hældningstal som i punktet
. Førstegradspolynomiet kan ses
her:
Se eksempel 1 for brugen af førstegradspolynomium.
Approksimerende polynomier af højere grad
Ideén er at lave et polynomium af grad , hvor ikke kun funktionsværdien og hældningstallet for
approksimationen er lig med de samme værdier for i punktet
men også at de højere afledede
stemmer overens mellem approksimationen og .
Det vil sige at f.eks. et andengradspolynomium ville have en lighed mellem funktionsværdien,
hældningstal og anden afledte mellem taylorpolynomiet og . Hvilket kan skrives således:
Bestemmelse af
Vi ved at følgende gælder:
Hvilket må betyde at
Hvilket igen fører til
Bestemmelse af de andre
følger et system som er ganske simpelt.
Systemet er umiddelbart ikke gennemskueligt hvis man ser på den første afledte men bliver mere
tydeligt hvis man ser på f.eks. den anden afledte. Udtrykket for andengradspolynomiet er allerede
blevet differentieret én gang når der skal findes den første afledte. Dvs. at vi skal differentiere
udtrykket igen for at finde den anden afledte.
Da vi ønsker at
så må
også skulle gælde, det løses med hensyn
til
og vi får:
Gør det vi samme for at finde den tredje afledte for et tredjegradspolynomium må vi få:
Side 120 af 132
6-tallet kan forvirre i første omgang. Men det kommer fordi at vi husker at ganger ned foran for
hver gang vi differentiere. Dvs. i stedet for et 6-tal så kunne der også blot så og det er
herfor at vi kan bruge fakulteten i det generelle udtryk for et n-gradspolynomium (her er
værdierne indsat):
Hvis du ser på det sidste led
så har vi
hvor vi har funktionen
differentieret -gange, divideret med
.
Fejl-funktioner
Når vi snakker om approksimationer så er vi også nød til at snakke om fejl-størrelse mellem
approksimationen og den originale funktion .
Fejlfunktionen mellem og den approksimerende funktion kaldes
, defineret som den
numeriske værdi mellem de 2 funktioner.
Bemærk at
altid er lig 0.
Side 121 af 132
Komplekse tal supplerende stof
For at forstå et kompleks tal skal vi første have styr på et imaginært tal. Vi kender det allerede fra
det 3 år hvor vi har stødt på det gang på gang og har bortkastet. Men et imaginært tal er ligeså realt
som et realt tal. For eksempel støder vi på det ved roduddragning.
imaginært.
Hvis vi ser på
kan de også skrives på følgende måde
og skal forstås som to imaginære
enheder. Dette kan de fordi en imaginær enhed er defineret som
som også betegnes ”j”.
Vi kender allerede den normale tallinje – en linje med en positiv og negativ side og med 0 som
centrum. De imaginære tal indeholdes ikke i denne tallinje og har sin helt egen, dette er altså en
udvidelse af vores regneområde!
Den vandrette linje er den kendte talakse med reelle tal, hvor den lodrette er talakse der indeholder
de imaginære tal. Disse to talakser giver tilsammen det man kender som Gauss talplan.
Sammen danner de reelle og de imaginære tal det vi kalder komplekse tal.
Komplekse tal bliver især brugt inden for elektronikken når det skal beregnes på
vekselstrømskredsløb.
Når man sætter j foran et tal, skal det opfattes som en multiplikation vi tager et eksempel.
Las os lige se på mellem regningen
Et komplekst tal kan angives på følgende måde – denne form kaldes sumform eller rektangulær
form.
I dette tilfælde er a den reelle del af z og b for den imaginære del af z
Vi ser på et par eksempler
1
1
Re
Im
Side 122 af 132
Som når man plotter koordinater ind i et koordinatsystem, kan man også plotte disse værdier ind i
gauss talplan. Når man har punktet tegner man en pil(som ved vektorer) fra origo til punktet. Denne
pil er et billede på det komplekse tal.
Hvis vi betragter det komplekse tal som en vektorer og siger at Z er længden og at dens
retningsvinkel er . Hermed kan vi konkludere at et komplekst tal også kan skrives som
Denne form kaldes følgende: vinkelform, produktform eller polærform. I overstående forskrift
kaldes
for det komplekse tals modulus eller den numeriske værdi af z. kaldes tallet argument
– forkortes arg (z).
Hvis vi har
Et komplekst tal kan ganes med J hvorefter det vil dreje . Det vil sige at det kompletal vil flytte
sig fra 1 kvadrant til 2. Kvadrant. Dette kan man gøre til man har drejet den herefter vil man
bare gøre det rundt igen med samme resultat. For illustration se fig. 6 side 6.5 kompendium.
Omskrivning fra sumform til produkt form
Er et komplekst tal opgivet som z=a+jb kan vi beregne tallets numeriske værdi z og dens vinkel .
Se figur 2 for illustration.
Z kan også bestemmes med Pythagoras.
Vi tager et eksempel
Og sætter vores værdier ind i udtrykket for produktformen
Z
a
b
Figur 2
Side 123 af 132
Omskrivning fra produktform til sumform
Vi kan også regne tilbage med følgende formel.
Trigonometrisk form
Med formlerne fra overstående kan vi skrive et nyt udtryk for et kompleks.
Vi sætter dette lig sumformen
Dette omskrives til noget mere overskueligt
Dette kaldes den trigonometriskeform.
Eulers Form
Først skal vi se på eulers tal
!=fakultet = 3! = 3*2*1.
Hvis vi indsætter x=j får vi
Ved at udregne parenteserne vil nogen af de imaginære tal forsvinde da
2
er lig -1. Herved
får vi også nogle reelle og imaginære led.
Vi samler de reelle og imaginære led hver for sig.
Idet det kan vises, at:
Kan vi skrive følgende
Vi multiplicere nu dette med den numeriske værdi af z.
Det vil sige at et kompleks tal kan skrives
Regneregler for komplekser
Komplekser følger samme regneregler som regnereglerne fra reelle tal.
Side 124 af 132
Addition og subtraktion
Summen af to komplekse tal gives ved følgende metode
Ved subtraktion udbyttes + med – på følgende måde.
Kan gøres grafisk – se side 6.10 kompendium
Multiplikation af komplekse tal
Ved multiplikation kan både sumform og produktform bruges.
Produktet mellem disse to komplekser er givet ved:
Vi får følgende
Man multiplicerer komplekse tal ved at multiplicere de numeriske værdier, og addere
vinklerne.
er de to tal, der skal multipliceres, opgivet på sumform, kan vi foretage multiplikationen på samme
måde, som vi multiplicerer to toleddede størrelser.
Kompleks konjugerede tal
To komplekse tal med ens reelle dele og modsatte imaginære dele siges at være konjugerede.
Sådanne tal har vinkler med modsatte fortegn og afbildes symmetrisk om de reelle tals akse.
Se side 6.12 for illustration kompendium
Produktet af to konjugerede tal er reelt og lig med (Re(z)
2
) og (Im(z))
2
.
Som det kan ses angives den konjugerede tal med en streg over z.
Division af komplekse tal
Ved division af komplekse tal kan vi bruge produktform og sumform.
Man dividerer komplekse tal ved at dividere de numeriske værdier, og subtrahere vinklerne.
Er e to tal, der skal divideres, opgivet på sumform, kan divisionen foretages på følgende måde
Multiplicer i tæller og nævner med
Side 125 af 132
Vi ved at multiplikation med j svare til drejning på i den positive retning. Division med j svare
til en i negativ retning.
Potensopløftning af komplekse tal
Potensopløftning af komplekse tal kan foretages både på produktform og sumform.
Er tallet opgivet på produktform, får vi
Det vil sige, vi opløfter den numeriske værdi til potensen, og multiplicere vinkelen med
potenseksponenten.
Er tallet opgivet på sumform, kan potensopløftning foretages ved gentagen multiplikation.
Roduddragning af komplekse tal
Roduddragning af komplekse tal kan kun foretages på produktform
Men her er det nødvendigt at skrive tallet som
. P er et heltal. Dette giver
ikke nogen ny vektor i gauss talplan
Det vil sige vi uddrager den n´te rod af et komplekst tal ved at uddrage roden af den
numeriske værdi, og dividere vinklen med rodeeksponenten. Se eksempel side 6.16 og 6.17
kompendium.
Side 126 af 132
Lineær programmering
Lineær programmering beskæftiger sig med optimering af funktion, der er lineære i to variable,
f(x,y) = ax + by + v.
Eksempel:
Et firma har to slags studenterhuer (x og y). På x tjener de 35kr og på y tjener de 14 kr. Fortjenesten
kan nu opskrives som en funktion af 2 variable:
Eksempelvis vil fortjenesten, hvis firmaet sælger 3200 x og 500 y, være:
Indtegnes funktionen f, fås en flade i rummet.
Niveaukurver er ved lineær programmering rette linjer, niveaulinjer. Niveaulinjen N(119000)
mængden af alle de kombinationer af x og y, der giver en samlet fortjeneste på 119000kr.
Alle niveaulinjerne er parallelle da de følger den samme normalvektor:
Bevis:
f
Side 127 af 132
Forholdet mellem a og b er altid det samme.
Udtrykket for en linje kan beskrives på følgende måde ud fra to punkter.
Skalarproduktet sættes lig 0, da normalvektoren står vinkelret på linjen.
Udtrykket -ax0-by0 sættes lig c
Man er her tilbage ved det oprindelige udtryk for linjen. Da forholdet mellem a og b som tidligere
nævnt altid er det samme, vil niveaulinjerne altid være parallelle, da deres hældningstal er det
samme. Er de parallelle må de også dele den samme normalvektor som tidligere er beskrevet
som
Som det fremgår af eksemplet, er hældningstallet det samme, uanset hvad funktionsværdien z er
defineret til.
P0P
x x0
y y0
x
n
a
b
a
n
n P0P 0
a x x0( ) b y y0( ) 0
ax ax0 by by0 0
ax by ax0 by0 0
ax by c 0
n
a
b
a
Eksempel
a 5
b 7
N 10000( )
5 x 7 y 10000solve y
5
7
x
10000
7
N 15000( )
5 x 7 y 15000solve y
5
7
x
15000
7
Side 128 af 132
Uligheder
Vi kigger på følgende ulighed:
(Praktisk afbilledes ax+by=c , ved at løse den med hensyn til y først)
Linjen deler to halvplaner. Det positive halvplan er det plan normalvektoren peger ind i. Dette
betyder samtidigt at vinkel mellem vektor N og PQ må ligge i intervallet
. Dette betyder at
punkterne Q i den positive halvplan lige præcis er de punkter, der opfylder uligheden .
Da
kan vi regne prikproduktet på venstre side af uligheden ud, så vi får:
Lægges ax0 + by0 til på begge sider fås følgende:
ax0 + by0 kalder vi c
Sætning:
Punkterne (x,y), som opfylder uligheden ax + by c, udgør den positive halvplan for linjen ax
+ by = c. Denne linje kaldes begrænsningslinjen for halvplanen.
Havde uligheden heddet ville halvplanen have gået i modsat retning end
normalvektoren n
Eksempel:
En fastfoodkæde vil sammensætte en salat af gulerødder og hvidkål, der skal leve op til
Fødevarestyrelsens anbefalinger:
Gulerødder (x)
Hvidkål (y)
Anbefalet
mindsteindhold pr.
portion
Fiberindhold (g/kg)
30
20
4 g
Vitamin A (mg/kg)
35
0,5
0,5 mg
Vitamin C (mg/kg)
60
300
15 mg
Pris (kr/kg)
4
3,5
P(x0,y0)
Q(x,y)
ax + by = c
Side 129 af 132
Starter med uligheden for fiberindhold (blå):
Dernæst for Vitamin A (rød):
Vitamin C (grøn):
Linjerne afgrænses naturligvis af x- og y-aksen, da man ikke kan have negativt antal gulerødder
eller hvidkål.
Det er kun indenfor det felt, hvor alle ulighederne er opfyldt, at der kan forefindes en løsning.
Der skal nu opstilles en kriteriefunktion. Det er denne funktion hvor udtrykket for prisen indgår:
Da der er tale om en omkostning, er vi naturligvis interesserede i at minimere.
Vi indtegner derfor et par niveaulinjer N(z), hvor vi gætter på et par værdier for z. Selve værdien er
ikke så relevant. Formålet er at kunne se hvilken hældning linjen har, og hvor den bevæger sig hen,
således at det kan bedømmes, hvor den går ind i feltet først. Først sættes z lig 0,5:
Dernæst sættes z lig 0,75:
Side 130 af 132
Det kan ud fra kurverne ses, at kriteriefunktionen kommer ind i feltet i punktet P, der ligger i
skæringen mellem og .
De to linjer løses med hensyn til y, og sættes lig hinanden. Punkt P bliver bestemt til
Med andre ord skal der altså anvendes 0,115 kg gulerod og 0,027 kg hvidkål for at få den billigste
sammensætning, der lever op til minimumskravene.
Udgiften kan også beregnes ud fra kriteriefunktionen.
P
Side 131 af 132
Bevis for krydsproduktet i rummet
Teoretisk bevisførelse
Givet er to vektorer, og .
Deres krydsprodukt kan opfattes på denne måde. Denne notation er ikke 100% korrekt i og med at
, og er vektorer og at vektor og ’s komponenter er skalarer. Men den notation giver alligevel
det bedste billede af det der sker. Her betegner ’et mellem vektorer deres krydsprodukt, sagt
.
, og er som sagt vektorer, nærmere betegnet enhedsvektorer som derfor kan beskrives således.
Vi ved at følgende gælder. bruges som gange tegn.
Når vi ved at overstående gælder så kan vi skrive følgende udtryk for krydsproduktet.
Enhedsvektorerne er noteret med deres navn over sig.
Overstående vil betyde at du vil gange enhedsvektorerne , og med skalarer. Derefter vil der stå
3 vektorer tilbage som ligges sammen til det samlede krydsprodukt for u og v. Derfor kan det
overstående også skrives som.
Praktisk eksempel
Givet er to vektorer,
og
.
Deres krydsprodukt kan opfattes på denne måde. Denne notation er ikke 100% korrekt i og med at
, og er vektorer og at vektor og ’s komponenter er skalarer. Men den notation giver alligevel
det bedste billede af det der sker. Her betegner ’et mellem vektorer deres krydsprodukt, sagt
.
Side 132 af 132
Enhedsvektorerne er noteret med deres navn over sig.