Per Nørgård – ”Voyage into the golden screen”
STX 2.g
Studieretningsopgave 12. dec. 2008
[navn fjernet]
2.k, Aurehøj Gymnasium
2/11
Indholdsfortegnelse:
Indledning: .................................................................................................... 3
Per Nørgård: ............................................................................................. 3
Matematik: .................................................................................................... 4
Uendelighedsrækken: ................................................................................ 5
Det binære talsystem: ................................................................................ 6
Musik: ........................................................................................................... 7
Intervaller: ................................................................................................. 9
Konklusion: ................................................................................................ 10
Litteraturliste: ............................................................................................. 11
Studieretningsopgave 12. dec. 2008
[navn fjernet]
2.k, Aurehøj Gymnasium
3/11
Indledning:
Per Nørgård udgav ”Voyage into the golden screen” i 1969. Dette var resultatet af lang tids hårdt
arbejde, der endelig var sat sammen til en helhed i et musikstykke. Dette var det første musikstykke,
hvor Per Nørgård brugte sin uendeligheds række fuldt ud. Modsat senere stykker fik denne lov til at
leve i sig selv uden noget omsvøb. Per Nørgård havde udtænkt denne uendelighedsrække som en
rekursion, såvel som Fibonaccitallene. Række skulle kunne forny sig selv og vokse i det uendelige.
Det var baggrunden for idéen. Her vælger komponisten at slutte sit stykke. Han vælger at stoppe
uendelighedsrækken, men den kunne i princippet have fortsat i det uendelige.
Som sagt hedder det musikstykke jeg skal vende og dreje, det stykke jeg skal basere mine
observationer på ”Voyage into the golden screen”, der betyder rejsen ind i den gyldne skærm. Han
har lånt titlen fra en sang af Donovan. Jeg vil også begynde min opgave med en lille rejse ind i Per
Nørgårds liv.
Per Nørgård:
Per Nørgård er født d. 13/7 1932 i Gentofte. Han er vokset op i et musiks hjem, uden at hans
forældre selv var musikere, men han har fået klaverundervisning fra en tidlig alder. Dog var han
mere interesseret i at sidde og ”leje” ved klaveret med improvisation og udforske tonernes klange
og systemer end egentlig øvning. Tegning var også en af Nørgårds talenter, og han har også i ung
alder kombineret disse to genre ved at lave musik til tegningerne. Hans bror skrev tekster til, og
sammen kunne de danne små tegneserier, som de meget gerne viste frem.
Som 16-årig komponerede han sin første klaversonate og vidste derfra, at han ville være komponist.
Han fik også, beslutsom som han var, Holmboe som privatlærer, da han blot var 17 år, og efter sin
studentereksamen blev han optaget på Københavns Musikkonservatorium. Her fortsatte han med at
have Holmboe som lærer i komposition, der også var hans hovedfag.
Per Nørgård begyndte i sin studietid at blive meget interesseret i den udenlandske nye musik,
modernismen, som ikke var anerkendt på konservatoriet og som der på ingen måde blev undervist i.
Især den russiske modernist Sibelius blev en af Nørgårds store forbilleder. Nørgård var altså meget
interesseret i disse nye kunstnere rundt omkring i Europa, især serialisterne.
Serialisterne idé var at skabe musik, som man aldrig havde hørt før. Man ville væk fra den
traditionelle dur/mol-tonalitet og væk fra kunstnerens intuitioner. Man ville skabe musik, der var
baseret på tal, skemaer osv. I den tidlige serialisme blev tolvtonemusikken opfundet, men under
Studieretningsopgave 12. dec. 2008
[navn fjernet]
2.k, Aurehøj Gymnasium
4/11
Nørgårds tid ville man videre. Elementer som dynamik, varighed og klangfarve skulle også præges
af disse tanker. Man kan sige, at musikken blev skabt på papir og ikke på instrumentet.
Komponisten skulle nemlig ikke kunne forudsige, hvordan hans musik skulle lyde. Det skulle være
noget helt nyt, som aldrig var blevet hørt før. Alle følelser skulle altså gemmes bort bag
matematiske geniale systemer.
Per Nørgård syntes, hele idéen om en matematisk tankegang bag tonematerialet var meget
fascinerende. Dog kunne han ikke se, hvorfor man skulle lægge alle sine følelser og alle sine
livserfaringer bag sig. Per Nørgård begyndte at have et ønske om at skabe et system, som havde
basis i matematikken og i naturen, men som samtidig skulle kunne høres. Han ville skabe et system,
der ikke vendte ryggen til alle hans nordiske traditioner, som han mente, han ikke måtte forglemme
i musikken. Et system, der kunne fortsætte i det uendelige.
Matematik:
Rekursion bygger på, at man beskriver noget med sig selv. Altså en proces hvor teknikken eller
regnemåde fortsættes, bygget videre på noget der allerede er blevet præsenteret. Det mest kendte
eksempel på rekursion må være Fibonaccitallene. Her starter vi med to tal, F
1
= 1 og F
2
=1. Tallene
gøres til en rekursion, når de bliver sat ind i et system, der kan fortsætte i det uendelige. De to tal
sættes op på en række. Det næste tal i rækken er da summen af de to foregående. Altså bliver det
næste til tal F
3
= 2, F
4
= 3, F
5
= 5 osv. For Fibonaccital gælder det altså, at F
n+1
=F
n-1
+F
n
. Dette gælder
selvfølgelig kun for n >2.
En rekursion består altid af en basisdel og af en rekursionsdel. Basisdelen hos Fibonaccitallene er 1
og 1, mens rekursionsdelen er de tal og den måde de/den udvikler sig på.
Det specielle ved Fibonaccitallene er, at forholdet mellem alle tal, der står ved siden af hinanden på
rækken er tallet Φ eller Φ’ (Φ = 1.618… og Φ’=0,618…). Helt korrekt er
→→=
−
nforAn
F
F
n
n
1
, eller
→→=
+
nforAn
F
F
n
n
'
1
. Forholdet mellem tallene vil
altså nærme sig Φ mere og mere, når n går mod det uendelige. Tallet Φ går også igen i f.eks. det
gamle begreb ”det gyldne snit”. Dette er et begreb, der under renæssancen blev brugt meget i
Studieretningsopgave 12. dec. 2008
[navn fjernet]
2.k, Aurehøj Gymnasium
5/11
billedkunsten og det bruges stadig den dag i dag. Idéen er, at man deler et linjestykke op i to
stykker, så forholdet mellem dem er
a
ba
b
a +
=
. Dette forhold er også det samme som Φ!
Uendelighedsrækken:
For at forklare uendelighedsrækkens opbygning vil jeg kigge på 8. takt hos fløjten i ”Voyage into
the golden screen”. Selvom vi får præsenteret uendelighedsrækken i de foregående takter, ser vi den
først her i fuld udstrækning.
Uendelighedsrækken starter ligesom Fibonaccitallene med en basisdel. Per Nørgård har valgt, at
basisdelen skal være g og as med en halv tones interval. Når vi kigger videre i systemet kigger vi på
en overdel og en underdel. G er starttonen for overdelen og as er starttonen for underdelen. Da
intervallet mellem dem er en halv tone, er det udgangspunktet. Næste tone efter as skal være en
overtone, derfor skal tonen ligge en halvtone under g, altså på fis. Altså hvor man i sidste interval
gik en halv tone op, går man her en halv tone ned. Undertonen gør det samme, den går bare ikke en
halv tone ned, men en halv tone op, så den går fra as til a. For at finde de næste to toner kigger man
på interval nr. 2, der er intervallet mellem as og fis, en hel tone (det gør ingen forskel, at den skrives
som en formindsket terts i partituret). Nu går overdelen en hel tone op fra fis til as. Tilsvarende går
underdelen en hel tone ned fra a til g. Sådan fortsætter rækken i det uendelige. Intervallerne vil hele
tiden vokse og trække sig sammen igen i en uendelighed.
Uendelighedsrækken kan vises ved rekursion. Her forstår man rekursion ved at man ”folder igen”
eller ”opdeler igen”. Det kan vises med udvidelsen fra 8 til 16 toner. Det sker ved, at vi deler alle
tonerne op i par og starter med det andet par, tone 3 og 4. Disse toner bliver gentaget som 9. og 10.
tone. Herefter kommer 1. og 2. tone, der bliver til 11. og 12 tone idet de gentages.
Tone 13 og 14 finder man ved at dele mellem 3 og 4 og sætte dem i omvendt rækkefølge. E og h er
to nye enkelttoner, der tilføjes til rækken. Først den nederste, så den øverste. Sådan fortsættes
systemet nu fra 16 til 32 toner.
Studieretningsopgave 12. dec. 2008
[navn fjernet]
2.k, Aurehøj Gymnasium
6/11
Det, der sker, er, at man først deler et helt afsnit på midten, deler det igen og lader det bytte plads.
Så tages et halvt så stort afsnit, der deles over på midten, og deles igen og bringer dem også her i
omvendt rækkefølge. Dette gentages indtil man er helt nede i enkelttoner. Da tilføjer man de to nye
enkelttoner, sådan så man først tilføjer den nederste og da den øverste. De nye enkelttoner, der
bliver tilføjet, bevæger sig hele tiden længere væk end de sidste to enkelttoner, der blev tilføjet.
Dette betyder også, at toner efterhånden vil blive gentaget senere i rækken.
Det binære talsystem:
Det binære talsystem er faktisk mere brugt end man lige går og tror. Mange af os har med det at
gøre hver dag. Computere regner nemlig efter dette system. Og hvad er det så for et system? Jo,
man skal forestille sig en verden, hvor der ikke findes andre tal end 0 og 1. Derfor er et tal som 12 i
det binære talsystem 1100. Man kan sige, at hvor potenser af tallet 10 er vigtigt i vores normalt
anvendte system, er potenser af tallet 2 vigtigt i det binære talsystem. Tallet 10 er i vores talsystem
omdrejningspunktet, hvor 2 er omdrejningspunktet i det binære talsystem.
For at kunne regne med det binære talsystem plejer man at sætte et skema op med alle potenser af 2:
2
0
2
1
2
2
2
3
2
4
2
5
2
6
2
7
2
8
2
9
2
10
1
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1024
Hvis vi nu bliver givet et tal med 10-talssystemet, f.eks. 342, kan vi nu udregne tallet skrevet efter
det binære talsystem. Det gør vi ved at sige:
342 = 2
8
+ 86
86 = 2
6
+ 22
22 = 2
4
+ 6
6 = 2
2
+ 2
2 = 2
1
Alle de potenser, der er blevet brugt i udregningen, er det sted, hvor der skal placeres et ét-tal.
Resten af stederne placeres et nul:
02*02*12*12*02*12*02*12*02*1342
8
=++++++++=
Altså kan vi på denne måde let regne tal om fra 10-talssystemet til det binære talsystem og
omvendt.
Studieretningsopgave 12. dec. 2008
[navn fjernet]
2.k, Aurehøj Gymnasium
7/11
Det binære talsystem kan bruges til at finde bestemte toner i uendelighedsrækken. Man kan altså,
uden at vide noget om tonerne omkring, finde en bestemt tone i uendelighedsrækken. Systemet er
utrolig enkelt og viser også, hvor stor en indflydelse det binære talsystem har haft på Per Nørgårds
arbejde.
Lad os sige, at vi gerne vil vide, hvor stort et interval regnet i halve toner, der er fra starttonen g, til
tone nr. 3 (g er tone nr. 0). 3 skrives 11 som binært tal. Reglen for at finde intervallet er enkel. Man
læser det binære tal fra venstre til højre og adderer dem. Dette giver her 2, altså må tredje tone ligge
på et a. Vi kan kigge på uendelighedsrækken og se, at dette passer.
Hvis vi tager en anden tone og kigger på, f.eks. nr. 6, der binært skrives 110. Her gøres det samme
som ovenfor, men hver gang, man kommer til et nul, skifter man fortegn på intervallet. Her kommer
intervallet til at være -2, altså er 6. tone et f.
Man kan regne ud, at intervallerne må blive større og større jo længere man kommer ind i rækken,
da de binære tal bliver større og større. Man kan dog her også tydeligt se, hvordan og hvorfor
tallene vender tilbage til de små intervaller, hvorefter de breder sig ud i det store. Nullerne er altså
alt afgørende i dette system.
Jeg synes, det er langt lettere at fremstille uendelighedsrækken med det binære talsystem frem for
med rekursion. Regnemåden er mere enkel, og det er lettere at undgå store fejl, fordi hver tone
fremstilles fra begyndelsen. Med dette system kan man også starte midt inde i uendelighedsrækken
uden først at skulle have lavet alt det foregående materiale. Længere henne kommer vi også til at se,
hvor vigtig en rolle det binære system spiller frem for rekursion.
Musik:
Jeg ser på 2. sats i ”Voyage into the golden screen”. Den starter med et forspil anderledes fra resten
af satsen. Dette forspil er en bro mellem 1. og 2. sats. En form for rolighed inden alt tumulten starter
ved A og til slut. Vi får også her præsenteret uendelighedsrækken for første gang. Dog er den her
pakket lidt ind.
Som sagt er alt det melodiske efter A bygget på denne uendelighedsrække. Hvis vi kigger specifikt
på de første fire takter efter A, kan vi se, at den ”første” uendelighedsrække har sin start tone i
Studieretningsopgave 12. dec. 2008
[navn fjernet]
2.k, Aurehøj Gymnasium
8/11
fløjten på et g’. Fløjterne har også rytmisk den hurtigste rytme af alle instrumenterne. Den bliver
spillet med en periode på 8 slag hele partituret igennem (bortset lige fra 3. sidste takt). Det er en 1.
fløjte og en 2. fløjte, der skiftes til at spille uendelighedsrækken på den måde, at de skiftes til at
spille to takter. Udover det spiller de det første slag i hver fløjtes 3. takt, altså spiller 1. fløjten f.eks.
sine to egne takter og første slag i 2. fløjtens takt. Disse dobbeltbemandede slag danner en ny
uendelighedsrække med samme start tone som fløjtens hurtige række, altså g. Den nye
uendelighedsrække fløjterne laver er altså 16 gange langsommere.
Hornene starter ligesom fløjterne på 1. slaget og kører også uendeligheds rækken med samme
starttone som fløjterne, altså er hornene og fløjterne melodisk identiske, men rytmisk er de
forskellige. Hornene kører uendelighedsrækken 4 gange langsommere end fløjten. Ligesom
fløjterne er der to horn, og disse skiftes på samme måde som fløjterne med at tage 2 takter hver og
1. slag i næste takt. Det interessante her er, at hornenes dobbeltbemandende toner er de samme som
fløjternes og kommer på nøjagtigt samme tidspunkt. Hornene kører altså også to
uendelighedsrækker i deres melodi.
Klarinetten sættes ind efter en 8. dels pause på fløjtens as. Den sættes altså ind på fløjtens 2. tone.
Altså bliver hele uendelighedsrækken transponeret en halv tone op. Herefter kører hver takt i tre ¼-
noder og til sidst en 1/8-node, der ligger på taktens sidste slag. Da jeg hørte stykket igennem, havde
jeg lettest ved at følge klarinetten. Den skinnede i mit øre mest igennem.
Oboen starter efter en punkteret ¼-node pause på fløjtens 4. tone, et a. Her er uendelighedsrækken
blevet transponeret en hel tone op. Dens rytme kører i først en punkteret ¼-node, da en pause på
1/8-node og så en synkopering, der fortsætter ind i næste takt. Oboens uendelighedsrække bliver
suppleret af klarinetten og fløjterne, således at hver 4. tone i fløjterne og hver 2. tone i klarinetten er
den samme som oboens række.
Harpen starter sin række på sidste slag i første takt efter A. Her starter den også på fløjtens tone på
daværende tidspunkt, et b, som betyder at rækken er moduleret en lille terts op. Tonen bliver holdt 5
1/8-noder og holder så en pause på 3 1/8-noder, altså skifter den tone efter 8 1/8-noder. Dette er
også fibonaccitallene, som jeg vil vende tilbage til.
Trompeten kommer først ind i 9. takt efter A, men kommer så ind og forstærker en enklang på 7.
slag, der ligger på et cis. Trompeten er altså transponeret en kvart op. Dette sted kan tydelig høres i
stykket, da trompeten spiller kraftigt. Den spiller tonen i 3 takter og holder så pause i 5. Her bruges
fibonaccitallene også.
Studieretningsopgave 12. dec. 2008
[navn fjernet]
2.k, Aurehøj Gymnasium
9/11
Fagotten starter på 7. slag på fløjtens f. Altså er fagotten her transponeret en hel tone ned. Den
holder tonen i en længde af fem ¼-noder, og holder da pause på 3 ¼-noder. Fløjten spiller også
fagottens uendelighedsrække i hver anden takt på 7. slag.
De sidste instrumenter er strygerne, det er dem, der holder tonerne længst. De starter på fløjtens 3.
slag, et fis og holder tonen 3 takter frem. Strygerne holder kun en pause på en ¼-node. Fløjtens 3.
slag i hver 4. takt er den samme som strygernes.
Intervaller:
Fløjten er det instrument, der når længst igennem uendelighedsrækken. Hvis vi skal undersøge,
hvordan intervallerne vokser, kan vi starte med den første kvart på fløjtens 8. tone. Det næste kvint-
interval ligger på fløjtens 16. tone. Sekst-intervallet ligger på den 32. tone og septim-intervallet
ligger på 64. tone. Det første septim interval forstærkes også i og med, at trompeten for første gang
kommer med her. 8, 16, 32, 64, jamen de tal har vi da set før. Her kommer det binære systems
vigtige rolle igen til syne. Det er nemlig tallene fra potenserne af 2 i det binære system. Hvis man
ser frem i partituret, kan man også se, at næste nye interval dukker op ved fløjtens 128. tone osv.
Rækken bliver altså efterhånden langsommere til at forny sig selv. Det er også meget interessant, at
Per Nørgård vælger at afslutte satsen på fløjtens 1024. tone. Det bliver automatisk også et meget
naturligt og harmonisk sted at afslutte satsen. Hvis han fortsatte var han blevet nød til at fortsætte
lang tid endnu.
I fløjtens 128. tone (s. 42, 7/8) kommer et nye interval, et decim-interval. Herefter trækker
intervallerne sig længere og længere sammen, hvorefter de langsomt begynder at sprede sig igen,
indtil de når helt hen til fløjtens 256. tone, hvor et nyt interval opstår. Man kan sige, at intervallerne
og melodien kører i bølger, der nogle nogle gange bliver afbrudt af f.eks. kraftige enklange.
Satsen bliver 4 gange delt af nogle kraftige enklange. Jeg har kun to af dem nedskrevet i det
udleverede partitur. Det er den første på s. 44, 7/8, og den fjerde (sluttonen), der er på s. 56, 7/8. De
to andre kommer henholdsvis 3.02 og 4.10 min inde i stykket. Enklangene er ekstra kraftfulde, da
tre nye instrumenter spiller med, klokken, trombonen og klaveret. Disse tre instrumenter spiller kun
med på enklangene. På enklangen på side 44 spiller alle instrumenter (bortset fra fagotten, hornet og
strygerne) et es. Jeg har aflyttet den anden enklang og hørt, at alle instrumenter spiller et e. Højst
Studieretningsopgave 12. dec. 2008
[navn fjernet]
2.k, Aurehøj Gymnasium
10/11
sandsynligt er det det samme antal instrumenter, der spiller med som ved første enklang. Der spilles
et d på tredje enklang og på fjerde enklang (sluttonen) spiller alle instrumenter et f (bortset fra
strygerne, der slet ikke spiller med).
Rækken es-e-d-f er de første fire toner i uendelighedsrækken transponeret en stor terts ned eller en
lille sekst op. Der bliver altså spillet en helt ny uendelighedsrække ved alle enklangene.
Disse enklange sker ved hver 256. tone i fløjten. Disse enklange er altså den langsomste
uendelighedsrække vi finder i værket. Per Nørgård kaldte tempoer af rækkerne for bølgelængder.
Fløjten har altså den hurtigste bølgelængde, med en bølgelængde på 1. Hornet har f.eks. en
bølgelængde på 4, og så har disse enklange en bølgelængde på 256.
Som jeg tidligere sagde, indgår fibonaccitallene i harpen, fagotten og trompetens rytmiske mønster.
Fibonaccirækken hedder 21 osv., og vi kan finde Fibonaccitallene ud fra, hvor
længe de holder tonen og hvor længe de holder pause. Trompeten spiller f.eks. i 3 takter og holder
pause i 5. Alt i alt 8 takter før noget nyt sker. Det gyldne snit og Fibonaccirækken hænger som sagt
tæt sammen, forbundet med tallet Φ. Forholdet mellem pause og rytme hos alle disse instrumenter
er også lig Φ. Man kan derfor sige, at det gyldne snit og Fibonaccitallene bliver brugt i hver eneste
ny periode for disse instrumenter. Det gyldne snit ligger altså præcist der, hvor tonen slutter og
pausen begynder.
Konklusion:
I ”Voyage into the golden screen” kan vi altså konkludere, at alle stemmer er melodisk identiske, i
og med at alle intervallerne mellem tonerne er de samme. Rytmisk er de forskellige, men er
alligevel forbundet med hinanden. At hele satsen er bygget op om matematikken, er der ingen tvivl
om. Grunden til, at tonerne kan bliver ved med at spille i en sammenhængende fornyende rytme, er
matematikken og det binære talsystem, som jeg mener, er det, der har allerstørst indflydelse på
uendelighedsrækken. Han lader tonerne vokse efter dette, og instrumenternes indtræden i stykket er
også overens med systemet. Alt det melodiske i uendelighedsrækken er bygget op om det binære
talsystem.
Sammenspillet mellem de forskellige rytmer har både ståsted i det binære talsystem og i
Fibonaccirækken. Det, at Per Nørgård kan forbinde disse elementer og få det til at gå op i en højere
enhed, er intet mindre end genialt. Han formår også ved hjælp af matematikken, at skabe et helt nyt
Studieretningsopgave 12. dec. 2008
[navn fjernet]
2.k, Aurehøj Gymnasium
11/11
musiks univers, som jo var det serialisterne stræbte sådan imod, og få dette univers til at fremstå
harmonisk og med en forudsigelse af stoffet. Alt i alt et imponerende stykke musik, som kan virke
forvirrende i starten, men som i en større helhed falder helt på plads.
Litteraturliste:
Bog:
1. Åbne ører, åbne døre. Andkjær Olsen, Palle og Ursula Andkjær Olsen: I: Ny musik efter
1945. 1. udg. systime, 2001. side 223-254. (Afsnit i bog)
2. Udleverede kopiark om Fibonaccital, det gyldne snit og binære tal.
Internet:
1. Per Nørgård. Udgivet af Jørgen Mortensen. Internetadresse: www.pernoergaard.dk - Besøgt
d. 08 (Internet)