Projekt 2
“Afladning af kondensator”
(s. 154-155 i “htx MAT B2”)
Matematik ABC, LINIE
v/ XXX Lærerens navn XXX
XXX Skolens navn XXX
HTX 2. år
99. fantasivember 2034
Projekt 2 – Matematik ABC HTX 99. fantasivember, 2034
2 | S i d e
Indholdsfortegnelse
Indledning ......................................................................................................................................... 4
Problemformulering ......................................................................................................................... 4
Opgavebesvarelser ........................................................................................................................... 4
Opgave 1 ....................................................................................................................................... 4
Teori .......................................................................................................................................... 4
Løsning ..................................................................................................................................... 5
Opgave 2 ....................................................................................................................................... 5
Teori .......................................................................................................................................... 6
Løsning ..................................................................................................................................... 6
Kontrol ...................................................................................................................................... 7
Opgave 3 ....................................................................................................................................... 7
Teori .......................................................................................................................................... 7
Løsning ..................................................................................................................................... 8
Kontrol ...................................................................................................................................... 9
Opgave 4 ..................................................................................................................................... 10
Teori ........................................................................................................................................ 10
Løsning ................................................................................................................................... 10
Kontrol .................................................................................................................................... 10
Opgave 5 ...................................................................................................................................... 11
Teori ......................................................................................................................................... 11
Løsning ................................................................................................................................... 12
Kontrol .................................................................................................................................... 12
Opgave 6...................................................................................................................................... 13
Teori ......................................................................................................................................... 13
Løsning .................................................................................................................................... 13
Kontrol ..................................................................................................................................... 13
Opgave 7 ..................................................................................................................................... 14
Projekt 2 – Matematik ABC HTX 99. fantasivember, 2034
3 | S i d e
Teori ........................................................................................................................................ 14
Løsning ................................................................................................................................... 14
Kontrol .....................................................................................................................................15
Opgave 8 ......................................................................................................................................15
Teori .........................................................................................................................................15
Løsning ................................................................................................................................... 16
Kontrol .................................................................................................................................... 16
Konklusion ....................................................................................................................................... 17
Bemærkninger ............................................................................. Fejl! Bogmærke er ikke defineret.
Programmer brugt ........................................................................................................................... 17
Opgavesæt .................................................................................. Fejl! Bogmærke er ikke defineret.
Projekt 2 – Matematik ABC HTX 99. fantasivember, 2034
4 | S i d e
Indledning
“I dette projekt skal der udføres beregninger på en kondensator i et elektrisk kredsløb.
En kondensator oplades med et batteri. (omskrifteren i stilling 1). Herved “fyldes”
kondensatoren med elektrisk energi. Med omskifteren i stilling 2 aflades kondensatoren (hurtigt)
over modstanden R. I stedet for en modstand kan det f.eks. være en blitz i et kamera.”
Som opgaveteksten beskriver, vil jeg i denne opgave, forsøge at sætte mig ind i, hvordan
elektronikken i en kondensator fungerer. Jeg vil begi mig ud i, at bestæmme hvordan
afladningsfasen ser ud, og hvordan spændingen og tiden hænger sammen.
Problemformulering
Baseret på opgaverne i projektet, vil mit hoved problem være:
Kan man, ved hjælp af nogle enkelte parametere, bestæmme afladningsfasens
graf/kurve, og opstille en funktionsforskrift for denne?
Videre vil jeg forsøge at finde ud af, om man grafisk kan aflæse de beregnede resultater, ved at
bruge et hjælpeprogram som Graph.
Opgavebesvarelser
Opgave 1
Afbild punkterne i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem hvor tiden afsættes på
den vandrette akse (x-aksen). Spændingen afsættes på den lodrette akse.
Teori
Projekt 2 – Matematik ABC HTX 99. fantasivember, 2034
5 | S i d e
I opgaven får vi oplyst, en række værdier, der svarer til spændingen ved en givet tid:
Tid (ms)
Spænding (V)
0
24
1,5
14,56
4
6,33
7
2,33
Løsning
Afsætter man disse otte
værdier i en
enkeltlogaritmisk
koordinatsystem i
Graph, får man fire
punkter
Opgave 2
Hvilken type funktion er der tale om?
a) Ret linie
b) Potens-funktion
c) Eksponentiel udvikling
Projekt 2 – Matematik ABC HTX 99. fantasivember, 2034
6 | S i d e
Teori
Formelen for en ret linie:
Formelen for en potens-funktion:
Formelen for en eksponentiel udvikling:
Løsning
Da værdien for spændingen
falde med ulige mængder, afhængig af hvor meget tiden
stiger, kan vi konkludere med, at der er en eksponentiel udvikling. Da den også er aftagende i
positiv -retning, kan vi konkludere med, at .
Projekt 2 – Matematik ABC HTX 99. fantasivember, 2034
7 | S i d e
Kontrol
For enklest at kunne kontrollere, om grafen er
eksponentiel, indsætter jeg punkterne i et ikke-
logaritmisk koordinatsystem, med to
tendenslinjer.
Én liniær linie og én eksponentiel linie.
(Den røde linien er lineær, og den blå er
eksponentiel.)
Da den eksponentielle, blå linie, skærer i
gennem alle fire punkter, kan man konkludere
med, at funktionen er eksponentiel.
Opgave 3
Opstil en funktionsforskrift for spændingen som funktion af tiden, t. Afbild
funktionen i samme koordinatsystem som punkterne.
Teori
For at kunne opstille en funktionsforskrift, må man have fat i en begyndelsesværdi og en
fremskrivningsfaktor . Vi ved et grafen går gennem punkterne
og
Projekt 2 – Matematik ABC HTX 99. fantasivember, 2034
8 | S i d e
, og kan dermed udlede begyndelsesværdien og fremskrivningsfaktoren,
og opstille en funktionsforskrift som følger:
Formelen for en funktionsforskrift:
Med enhederne givet i opgaven, lyder funktionsforskriften:
Jeg vil udlede , ved at bruge formelen:
Og udlede med formelen:
Løsning
Jeg begynder med, at udlede , ved at indsætte værdierne for og i funktionsforskrifterne:
Så isolerer jeg i bægge formler:
Og ved at bruge reglerne for brøkregning, kan man isolere fra potensen:
Projekt 2 – Matematik ABC HTX 99. fantasivember, 2034
9 | S i d e
Vi kan nu udregne , ved at sætte den ind i formelen:
Funktionsforskriften lyder så:
Sætter vi denne funktion in i Graph, får vi denne grafen:
Kontrol
Selv om vi kan udlede værdien af ved at aflæse tallene i tabellen fra opgaven, kan den
kontrolleres, ved at indsætte i den første formel:
Projekt 2 – Matematik ABC HTX 99. fantasivember, 2034
10 | S i d e
Dette er en bekræftigelse i, at værdien for , er korrekt.
Vi kan kontrollere funktionsformelen, ved at indsætte værdien for
og
:
og
Da dette giver os et resultat, der er meget tæt på facit for bægge -værdier, ser vi at funktionen er
tilnærmet korrekt.
Selve afbildningen af funktionen i Graph, er også en god kontrol i sig selv. Her kan man aflæse, at
funktionens graf går i gennem alle de fire punkter.
Opgave 4
Hvor stor er kondensatorspændingen efter 5 ms?
Teori
Funktionsforskriften vi udledede i opgave 3:
Løsning
For it finde kondensatorspændingen, indsætter vi tiden i funktionen vi udledede i opgave 3.
Kontrol
Den bedste måde, at kontrollere dette resultat på, er at aflæse det i grafen vi lavede i opgave 3:
Projekt 2 – Matematik ABC HTX 99. fantasivember, 2034
11 | S i d e
Her kan vi aflæse, at dersom -værdien, der repræsenterer tiden , er 5[ms], vil
, der
repræsenterer spændingen, være 4,5479[V].
Da vi ved, at denne værdi, efter udregningen skulle være 4,548[V], kan vi konkludere med, at
udregningen var korrekt.
Opgave 5
Hvor lang tid går der fra afladningen påbegyndes til spændingen er faldet til 9
volt?
Teori
Funktionsforskriften vi udledede i opgave 3:
Logaritmiske regneregler:
Projekt 2 – Matematik ABC HTX 99. fantasivember, 2034
12 | S i d e
Løsning
For at finde tiden, hvor kondensatorspændingen er faldet til 9V, indsætter vi spændingen i
funktionsforskriften vi udledede i opgave 3:
Kontrol
Den bedste måde, at kontrollere dette resultat på, er at aflæse det i grafen vi lavede i opgave 3:
Projekt 2 – Matematik ABC HTX 99. fantasivember, 2034
13 | S i d e
Her kan vi aflæse, at dersom -værdien, der repræsenterer spændingen , er 9, vil , der
repræsenterer tiden, være 2,95[ms]. Ud fra dette, kan vi konkludere, at udregningen er korrekt.
Opgave 6
Beregn funktionens halveringskonstant,
.
Teori
Halveringskonstanten:
Løsning
Kontrol
Projekt 2 – Matematik ABC HTX 99. fantasivember, 2034
14 | S i d e
Se løsning i opgave 7, da dette er den bedste måde, at kontrollere vores resultat på.
Opgave 7
Vis grafisk hvordan
findes.
Teori
Når man skal finde halveringskonstanten i et koordinatsystem, opsøger man en tilfældig værdi på
-aksen, og aflæser den tilhørende -værdi. Derefter opsøger man den halve af den tidligere
fundne -værdi, og aflæser igen dennes -værdi. Halveringskonstanten er da forskellen mellem
disse værdier.
Løsning
Her har jeg valgt at bruge -
værdierne:
og
Som man kan aflæse i
koordinatsystemerne, er de
tilhørende -værdier:
og
For at finde halveringskonstanten,
bruger jeg formelen:
Projekt 2 – Matematik ABC HTX 99. fantasivember, 2034
15 | S i d e
Kontrol
Se løsning i opgave 6, da dette er en den bedste måde at kontrollere vores resultat på.
Opgave 8
Afladningen af kondensatoren kan også beskrives ved funktionen:
. Her er spændingen, er spændingen til tiden .
(tau) er en såkaldt tidskonstant, der afhænger af modstanden og
kondensatoren .
Beregn værdien af tidskonstanten .
Teori
Funktionsformel #2:
Projekt 2 – Matematik ABC HTX 99. fantasivember, 2034
16 | S i d e
Isolering af (tau):
Den naturlige logaritme
:
Regneregler for den naturlige logaritme
:
Spændingen til tiden
:
Løsning
For at finde tidskonstanten , bruger indsætter vi vores tal i formelen over. Jeg har valgt at bruge
og
, men alle fire værdisæt kan bruges:
Kontrol
For at kontrollere denne udregning, sætter jeg værdien , ind i funktionsformel #2. Ud i fra
vores udregning, skal
.
Dette viser os, at vores udregning er korrekt.
Projekt 2 – Matematik ABC HTX 99. fantasivember, 2034
17 | S i d e
Konklusion
Ved at bruge regneregler for, og formler fra logaritmiske funktioner, enkeltlogaritmisk
koordinatsystem, eksponentiel udvikling og sammenhængen mellem titalslogaritmen og den
naturlige logaritme, har man mulighed for, at besvare samtlige af projektets opgaver.
Man kan blandt andet bestæmme hvilken funktion, der passer til kondensatorens afladningsfase,
samt bestæmme spændingen ved en givet tid, og vica versa. Endvidere kan man udlede en række
konstanter, som (tau), begyndelsesværdien og fremskrivningsfaktoren.
Tager man et program som Graph i brug, kan man danne sig et visuelt overblik over, hvordan
afladninsfasen fungerer, samt kontrollere vores beregninger, i de forskellige opgaver.
Programmer brugt
Graph v. 4.3.384
Brugt til at kontrollere mine udregninger, samt besvarelse i opgave 1 og 3.