Maarten Kjær den Haan
Matematik projekt
Vandtårnet
Maarten Kjær den Haan
15OEL0201EUX
Lærer: Bent Soelberg / Torben Duus
Maarten Kjær den Haan
Vandtårnet
Side 1 af 9
Indhold
Indledning .......................................................................................................................................................... 2
Opg. 1 ................................................................................................................................................................ 3
A ..................................................................................................................................................................... 3
B ..................................................................................................................................................................... 4
Opg. 2 ................................................................................................................................................................ 6
C ..................................................................................................................................................................... 6
Opg. 3 ................................................................................................................................................................ 7
D ..................................................................................................................................................................... 7
Maarten Kjær den Haan
Vandtårnet
Side 2 af 9
Indledning
I dette projekt skal vi kigge på nogle vandtårne, der er illustreret på figur 1:
Figur 1: Illustration af vandtårne - parabelformet og del af cirkel
Projektet består af følgende opgaver:
Et vandtårn er udformet som det til venstre på figur 1. Stykket AB er en ret linie, mens BC er
en del af en parabel. Denne har toppunkt i B:
o A: Find funktionsforskriften for parablen
o B: Beregn, hvor meget vand vandtårnet kan rumme (delen mellem B og C)
Et andet vandtårn er cylinder formet og har en diameter, der er 20% større end dets højde:
o C: Angiv dette tårns dimensioner, når det skal kunne indeholde samme mængde vand
som ovenstående tårn.
Et tredje vandtårn er udformet som det til højre på figur 1. Stykket AB er en del af en cirkelbue.
o D: Beregn cirkelbuens radius, når dette tårn skal have samme indre volumen som de
to ovenstående. Udover almindelig løsning af opgaven kan du som ekstra opgave
bruge Newtons metode til beregningen. (Hvis du bruger denne metode skal det
beskrives i metodeafsnittet)
Maarten Kjær den Haan
Vandtårnet
Side 3 af 9
Opg. 1
Vandtårnet er udformet som denne figur, som jeg har valgt at rotere 90 grader, for at vi kan bruge
symmetri.
A
Vi skal finde funktions forskriften for parablen
Vi kender toppunktet B. Det er:
Når vi kender toppunktet er forskriften denne:
Den går i gennem punkt C :
Vi kan nu løse dette:
Punktet A findes:
Hele forskriften er:
Maarten Kjær den Haan
Vandtårnet
Side 4 af 9
B
Beregn, hvor meget vand vandtårnet kan rumme (mellem B og C)
For at kunne beregne, hvor meget vand vandtårnet kan rumme, bruges formlen for volume bestemmelse
omkring x-aksen:
Intervallet er (-8 0)
Vi løser nu det endelige integrat
Maarten Kjær den Haan
Vandtårnet
Side 5 af 9
Dette kan vi nu udregne til ét tal
Dette svarer til 690.313 liter vand
Maarten Kjær den Haan
Vandtårnet
Side 6 af 9
Opg. 2
Vi har nu et andet vandtårn som har form for en cylinder. Den skal have en 20% større diameter end den er
høj.
C
Angiv dette tårns dimensioner, når det skal kunne indeholde samme mængde vand som overståene tårn
d = 1,2h
h = d / 1,2
V = 690,313m
3
Formlen for Volume i en cylinder er:
Vi har nu to ligninger med to ubekendte, vi indsætter det nye udtryk for højden i formlen for V og
diameteren findes.
Vi flytter nu rundt i formlen så vi finder d^3
Vi kan nu også finde højden på cylinderen
Maarten Kjær den Haan
Vandtårnet
Side 7 af 9
Opg. 3
Et tredje vandtårn er udformet som det til højre på figur 1. Stykket AB er en del af en cirkelbue.
D
Beregn cirkelbuens radius, når dette tårn skal have samme indre volumen som de to ovenstående. Udover
almindelig løsning af opgaven kan du som ekstra opgave bruge Newtons metode til beregningen.
Vi opstiller cirklens centrumligning med censtrum i A,B
Vores centrum A,B er 0,2
Vi prøver at isolere Y f(x)
Nu har vi en forskrift for vores cirkelbue, dette skal integrares
Maarten Kjær den Haan
Vandtårnet
Side 8 af 9
Vi vil nu regne udregne det inde i integralet
Jeg har valgt at dele integralet op da det var meget svært
Første del Vx1
Nu kan vi regne anden del
Og tredje del
Maarten Kjær den Haan
Vandtårnet
Side 9 af 9
Vi kan nu plusse de 3 opdelinger tilbage igen
Jeg løser nu denne i et CAS værktøj. I forhold til R