Abstract
This paper examines the theorem of rocket propulsion on the basis of Newtonian mechanics. By
examining various factors such as Newton’s laws, momentum and the conservation of momen-
tum, the Tsiolkovsky rocket equation is deduced. During the analysis of rocket propulsion, the
method for solving differential equations - called separation of variables - is accounted for, and
the mathematical proof behind it is reviewed.
This research is concerned with rocket propulsion and primarily focusing on the launching of a
water rocket. Through physical assumptions it is possible to mathematically integrate and de-
scribe the equation of motion for water propelled rockets. This applies to both a rocket in free
space and when an external force of magnitude acts upon the system. The basic theorem creates
the foundation for the physical experiments executed in this paper. The experiments study the
connection between the velocity of the rocket and the following motion. The connection between
the velocity of the rocket and the pressure inside it, and the connection between the velocity of
the rocket and the mass of water used in it when a certain pressure is kept constant. The research
points toward the theory, and concludes that there is in fact a connection between the two. The
empiric data confirms the theory, and shows that there is a significant relationship linking the
two.
Side 1 af 35
Indholdsfortegnelse
Abstract ........................................................................................................................................... 0
Indledning ....................................................................................................................................... 3
Newtons 2. lov ................................................................................................................................ 3
Sætning ....................................................................................................................................... 4
Impuls ............................................................................................................................................. 4
Impulsbevarelse .............................................................................................................................. 5
Separation af de variable ................................................................................................................. 6
Sætning ....................................................................................................................................... 6
Metoden ...................................................................................................................................... 6
Eksempel ................................................................................................................................. 7
Bevis ........................................................................................................................................... 8
Raketligningen ................................................................................................................................ 9
Raket i frit rum ............................................................................................................................ 9
Raket påvirket af tyngdekraften ................................................................................................ 12
Det skrå kast .................................................................................................................................. 13
Vandraketter - forsøg .................................................................................................................... 15
Idealiseringer............................................................................................................................. 15
Formål ....................................................................................................................................... 16
Materialeliste............................................................................................................................. 16
Opstilling og fremgangsmåde ................................................................................................... 16
Databehandling ............................................................................................................................. 17
Det skrå kast .............................................................................................................................. 17
Forsøg 1: ............................................................................................................................... 17
Forsøg 2 ................................................................................................................................ 19
Det lodrette kast ............................................................................................................................ 21
Forsøg 3 ................................................................................................................................ 21
Konklusion .................................................................................................................................... 22
Litteraturliste ................................................................................................................................. 23
Bøger ......................................................................................................................................... 23
Bilag .............................................................................................................................................. 24
Bilag 1 ....................................................................................................................................... 24
Bilag 2 ....................................................................................................................................... 24
Side 2 af 35
Bilag 3 ....................................................................................................................................... 25
Bilag 4 ....................................................................................................................................... 25
Bilag 5 ....................................................................................................................................... 26
Bilag 6 ....................................................................................................................................... 26
Bilag 7 ....................................................................................................................................... 27
Bilag 8 ....................................................................................................................................... 27
Bilag 9 ....................................................................................................................................... 28
Bilag 10 ..................................................................................................................................... 28
Bilag 11 ..................................................................................................................................... 29
Bilag 12 ..................................................................................................................................... 29
Bilag 13 ..................................................................................................................................... 30
Bilag 14 ..................................................................................................................................... 30
Bilag 15 ..................................................................................................................................... 31
Bilag 16 ..................................................................................................................................... 32
Bilag 17 ..................................................................................................................................... 32
Bilag 18 ..................................................................................................................................... 33
Bilag 19 ..................................................................................................................................... 33
Bilag 20 ..................................................................................................................................... 34
Bilag 21 ..................................................................................................................................... 34
Side 3 af 35
Indledning
Raketten er et teknisk vidunder. Den har haft stor betydning for historiske begivenheder som den
kolde krig og især Cuba-krisen. Raketten er en teknologisk landvinding, som har haft, og stadig
har, indflydelse på det billede, vi har af universet og planeterne omkring os, og den spiller en stor
rolle i krigsførelse. Derfor kunne det være interessant, at gå i dybden med opsendelsen af en
raket og se på hvilken matematik, der ligger bag, for at beskrive dette fænomen.
Men hvordan kan et så kompliceret system som det, der ligger bag dette, beskrives? For at
simplificere noget ellers så komplekst som raketaffyringer, vil Newtons love, og især 2. lov,
danne basis for udledningen af den såkaldte raketligning. Sammenfattet med en redegørelse for
metoden til løsning af differentialligninger, kaldet separation af de variable, og de fysiske
antagelser der er nødvendige, vil der redegøres for en vandrakets virkemåde. Ved hjælp af
fysiske idealiseringer og antagelser kan man ud fra en teori udlede sammenhængen mellem
rakettens startparametre og de fysisk målelige størrelser. Dette gør, man ved hjælp af fysisk teori
kan opstille eksperimenter med en vandraket. Eksperimenterne udfolder sig altså i en empiri, der
kan sammenlignes med den udledte teori omkring opsendelsen af en vandraket. Derfra kan der
gøres rede for sammenhængen mellem teori og eksperiment.
Beskrivelsen af opsendelsen af en vandraket, som er opgavens mål, angribes derfor fra to
vinkler; en teoretisk og en empirisk. Den teoretiske vinkel skal danne basis for, hvad der kan
forventes af de eksperimenter, der udføres, mens den empiriske vinkel skal benyttes til at be-
eller afkræfte den bagvedliggende teori.
Newtons 2. lov
Newtons 2. lov, også kaldet kraftloven (omhandler kraft og impuls), er udtrykt meget forskelligt
i de mange fysiklærebøger, og er formuleret således i Fysik for 3.g af Esper Fogh og Knud Erik
Nielsen:
Side 4 af 35
Sætning
”En partikel med massen m, der påvirkes af kræfter med resultanten
, får en
acceleration a, som er proportional med
.”
1
Afkodes sætningen, kan man finde frem til, at vi har at gøre med en resulterende kraft
, der er
proportional med en acceleration . Denne kraft omhandler et legeme/partikel med en masse .
Man kan ud fra denne information opstille udtrykket:
Loven er, rent matematisk, en 2. ordens differentialligning, da accelerationen er den dobbelt
afledede funktion af stedfunktionen , altså:
og
. Man kan altså ud
fra accelerationen, finde både stedfunktionen og hastighedsfunktionen for legemet. Inertiens lov
(Newtons 1. lov), er sådan set et særtilfælde af anden lov. Hvis den resulterende kraft er lig 0:
, der betyder, at
. Dette kan så integreres til hastighedsfunktionen
, og bevægelsen er derved jævn, som første lov siger.
Impuls
I mekanikken er det ofte praktisk at anvende begrebet impuls, der også betegnes
bevægelsesmængde
2
. Senere vil redegørelsen for impuls og impulsbevarelse danne grundlag for
udledningen af Tsiolkovsky’s raketligning, som vi blot vil betegne raketligningen. Følgende
afsnit er skrevet ud fra Fysik for 3.g af Esper Fogh og Knud Erik Nielsen og Kernestoffet: Højt
niveau af Jens Ingwersen m.fl., samt egne notater fra undervisning.
Betragter vi en partikel med en masse , og en hastighed , defineres partiklens impuls som:
Hvor er partiklens impuls. Man kan altså tale om, at impuls har enheden
, men denne
enhed har ikke noget specielt navn, som f.eks. kraft har. Impuls er en vektor, da den har en
retning. Dog kan teorien holdes simpel, uden at inddrage vektorbegrebet i opgaven, da der ofte
omtales bevægelser i en dimension.
Newtons 2. lov kan man udtrykke således:
1
Fysik for 3.g: Afsnit 1.2: Dynamik, s. 35
2
Kernestoffet: Højt Niveau – s. 30ff.
Side 5 af 35
Her benyttede vi, at accelerationens differentialkvotient er hastighedsfunktionen , og at er
lig partiklens impuls. Dette var Newtons oprindelige formulering i Principia
3
(1687). Denne
formulering giver mulighed for, at beskrive kraftpåvirkninger af legemer, hvis masser ændrer
sig
4
, som f.eks. raketter. Denne opgave omhandler netop om dette.
Impulsbevarelse
Impulsbevarelse omhandler, som navnet antyder, at størrelsen impuls er bevaret.
Impulsbevarelse er en bevaret størrelse og kan skrives således:
Hvis så er lig 0, er der tale om impulsbevarelse, da der ikke har været tab af impuls. Nu ses et
eksempel på, hvordan impulsbevarelsen kan beskrives i et isoleret system uden ydre kræfter, der
påvirker systemet.
Betragter vi et endimensionelt system af to partikler, der støder mod hinanden, som ikke er
påvirket af andre kræfter end deres indbyrdes kernekræfter (vekselvirkning). De bevæger sig
begge mod hinanden langs samme orienterede akse (se illustration i bilag 1), og vi kan skrive de
to partiklers resulterende kraft som:
5
Da vi antog, at systemet ikke er påvirket af andre kræfter end den indbyrdes vekselvirkning, kan
vi ifølge Newtons 3. lov om aktion og reaktion opskrive udtrykket således:
Da vi regner i en dimension, kan vi blot nøjes med at regne med fortegn, og dette kan omskrives
til:
3
Kernestoffet: Højt Niveau – s. 31 l. 2
4
Kernestoffet: Højt Niveau – s. 31
5
Kernestoffet: Højt niveau – s. 32
Side 6 af 35
Hvor der undervejs sættes på fælles brøksteg, og sættes uden for parentes. Hvis
differentialkvotienten for de to partiklers funktion er lig 0, må partiklernes funktion være en
konstant . Ud fra denne sætning kan vi så udlede, at hvis et system af to partikler ikke er
påvirket af nogle resulterende ydre kræfter, er summen af partiklernes impuls konstant
6
.
Separation af de variable
I det følgende afsnit redegøres der for metoden og efterfølgende beviset, man benytter til at løse
differentialligningen af formen:
hvor og er kendte funktioner, mens er funktionen vi er interesserede i at finde.
Afsnittet tager udgangspunkt i, og bygger på oplysninger fra MAT 3A af Jens Carstensen og
Jesper Frandsen, hhv. side 14ff. og bogen Integralregning og sandsynlighedsregning af Claus
Jessen m.fl..
Sætning
Lad være en kontinuert funktion defineret i intervallet I, og lad
være en kontinuert
funktion, forskellig fra 0, defineret i intervallet J. Det gælder så, at:
er løsning til
er løsning til
Metoden
Metoden, separation af de variable, kaldes dette, da man samler de faktorer, der indeholder x på
den ene side af lighedstegnet og de faktorer, der indeholder y på den anden side. Dette kan i
praksis ske ved omskrivningerne
7
:
6
Kernestoffet: Højt niveau – s. 32
7
MAT 3A af Jens Carstensen og Jesper Frandsen s. 16
Side 7 af 35
Ved tredje biimplikationspil betragtes
som en brøk, selv om det ikke er det, og man kan sige,
at
er en anden skrivemåde for
Dog gør man dette, da man nemt kommer til sætningens
ligning med integraltegnene
8
. For at kunne benytte metoden skal sætningens betingelser være
opfyldt, som vi så i sætningen, at er kontinuert i I, og er kontinuert i J og forskellig fra 0.
Eksempel
For at uddybe metoden, kan vi redegøre for metoden ved hjælp af et eksempel, der selv opstilles.
Vi har en differentialligning, der f.eks. kunne være:
Vi vælger at bestemme den partikulære løsning til differentialligningen, der går gennem punktet
. I dette tilfælde, kan vi aflæse, at
, så vi kan vælge, at intervallet . For
, kan vi se, at . Funktionen skal være kontinuert i et interval , så vi må
dele op i to tilfælde. Netop hvor , hvor alle værdierne er positive, eller , hvor alle
værdierne i intervallet er negative. Da vi har betingelsen, at punktet går gennem til x-
værdien , må vi sætte , da den antager en negativ -værdi. For og ,
kan vi nu bruge separation af de variable, som set i metodeafsnittet (1):
hvor k er en konstant. Ovenfor benyttede jeg blot metoden, som set i (1), og kan ved hjælp af
punktet bestemme den partikulære løsning til differentialligningen. Vi indsætter i
(2), og vi finder k:
Dette indsættes så i (2) og vi finder :
Der er altså to løsninger, men vi vælger den negative løsning, da , og den partikulære
løsning til differentialligningen er derfor:
8
MAT 3A af Jens Carstensen og Jesper Frandsen s. 16
Side 8 af 35
Som man kan se på bilag 4, er
, og grafen går gennem . Man kan altså se,
hvordan løsningskurven for den partikulære løsning stemmer overens med startbetingelserne.
Bevis
Vi antager, at betingelserne er opfyldt, dvs. at er kontinuert i intervallet I, og er
kontinuert og forskellig fra 0 i intervallet J, dvs.:
eller
Da g er kontinuert og forskellig fra 0, må
også være kontinuert i J. Denne er derfor en
stamfunktion til :
Differentieres ovenstående, så er
og antages der, at er løsning, så:
På bilag 2 ses intervallerne I og J, mens bilag 3 viser det tilsvarende område i planen. For
og , se bilag 2 og 3, kan der nu foretages en række omskrivninger, der i sidste ende vil
bevise sætningen. Differentialligningen skrives, hvor :
hvor der divideres med
på begge sider af lighedstegnet. Antager vi, at
er løsning,
og
, kan dette skrives som:
Hvor vi benytter definitionen af og (tidligere defineret), samt differentiation af en
sammensat funktion som løses:
. Trækker vi
fra på begge
sider af lighedstegnet får vi:
Side 9 af 35
Hvor vi benytter regneregel for differentiation af en differens til at sammenfatte udtrykket. Fra
dette kan man konkludere, at da den afledede funktion er lig 0, må der gælde, ud fra læren om
differentialregning, at funktionen er konstant. Der må derfor gælde, at:
Hvor . Lægger vi nu til på begge sider, får vi:
Hvor vi benytter definitionen af og . Vi har nu vist, at hvis opfylder den ene af de
to ligninger fra sætningen, må den også opfylde den anden. Ud fra dette kan man konkludere, at
de to ligninger har samme løsningsmængde. Sætningen er dermed bevist.
Raketligningen
Raket i frit rum
Læresætningen om impulsbevarelse kan, som vi vil se i dette tilfælde, være nøglen til at integrere
bevægelsesligningen.
9
I dette afsnit vil raketligningen, ud fra teorien om Newtons 2. lov og
impulsbevarelse, udledes. Der tages udgangspunkt i de to bøger, Elements of Newtonian
Mechanics af J.M. Knudsen og P.G. Hjorth samt An Introduction to Mechanics af Daniel
Kleppner og Robert J. Kolenkow.
Vi antager, at en raket bevæger sig i et frit rum, hvor ingen ydre kræfter påvirker systemet, med
respekt til et inertialsystem, altså et system, hvor Newtons første lov er opfyldt. Raketten smider
brændstof af under affyringen, og dette er tilfældet i vandraketten, hvor vand pga. overtryk
trykkes ud af raketten. Vi har en raket, der har massen , som angiver massen af den tomme
raket plus massen af brændstof til tiden t. Til tiden , har raketten hastigheden .
Derudover antager vi, at raketten smider en konstant mængde af brændstof ud
10
µ, (dette er en
lidt grov antagelse, da både massen af brændstof og trykket i raketten falder, men er nødvendig
9
Elements of Newtonian Mechanics – s. 57
10
Elements of Newtonian Mechanics – s. 57
Side 10 af 35
for at holde teorien simpel) og når brændstoffet udstødes med farten , øger raketten sin fart i
den modsatte retning på grund af impulsbevarelse.
Man bør notere, at ; fordi massen af raketten falder med tiden. Vi antager, at massen af
brændstoffet udstødes i den modsatte retning af rakettens bevægelse, med den konstante
hastighed
relativ til raketten. Hvis man så betegner hastigheden af raketten med
, vil
massen der udstødes fra raketten til tiden , have hastigheden
11
:
Da vi regner med, at bevægelsen er endimensionel, kan vi nøjes med at regne med fortegn. Vi
har at gøre med den tomme raket plus massen af brændstof tilstede til tiden t. Da systemet ikke
er påvirket af nogle ydre kræfter, kan vi benytte læren om impulsbevarelse. Til tiden , er
impulsen for dette system
12
:
På et uendeligt kort tidsrum udsender raketten en uendelig lille mængde brændstof med
hastigheden , hvilket giver raketten en uendelig lille forøgelse i hastighed , og den totale
impuls til denne tid er:
13
da mængden af brændstof der udstødes er
14
. Læren om impulsbevarelse, fortæller os, at når
ingen ydre kræfter spiller ind, må impulsen være bevaret, og (6) kan formuleres således:
Ganger vi parenteserne ud, får vi:
Ved at trække fra på begge sider, og ved at benytte (3), kan dette reduceres til:
Når vi kigger på uendeligt små ændringer, er både , og ekstremt små tal, så
11
Elements of Newtonian Mechanics – s. 57
12
Elements of Newtonian Mechanics – s. 57
13
Elements of Newtonian Mechanics – s. 57
14
Elements of Newtonian Mechanics – s. 58
Side 11 af 35
og . (7) kan så omskrives:
Bruger vi nu (4) i (8), kan dette omskrives yderligere:
Dette forkortes, og der divideres med på begge sider af lighedstegnet:
Ved hjælp af integration og separation af de variable kan man opstille og løse en
differentialligning for hastigheden af raketten. isoleres i (9):
Denne differentialligning løses ved brug af metoden separation af de variable:
Indsætter vi ovenstående i løsningen for separation af de variable, får man følgende udtryk:
Da ligningen gælder i intervallet fra massen af den tomme raket plus brændstof
til massen
af den tomme raket
, og hastighedsintervallet for til
hastigheden når al brændstof er opbrugt
,
, kan det bestemte integral udtrykkes:
Dette løses og følgende fås:
Ved brug af logaritmeregneregler kan (10.2) omskrives til:
isoleres ved at gange med
og på begge sider af lighedstegnet, og ved
logaritmeregneregel, kan vi omskrive ovenstående til, da bevægelsen er positiv og opadrettet:
Side 12 af 35
Ligning (11) kaldes raketligningen og angiver således rakettens hastighed, efter at alt brændstof
er udstødt fra raketten. Man kan aflæse ud fra ligningen, at denne fart er afhængig af
brændstoffets fart relativt til raketten og rakettens masse med og uden brændstof (vand).
Brændstoffet bruges så hurtigt, under 1 sekund, at vi som tidligere antaget, må sige, at
er
konstant under hele raketaffyringen i intervallet.
Raket påvirket af tyngdekraften
Når der arbejdes med vandraketten, der bevæger sig i Jordens tyngdefelt, er det nødvendigt at få
tyngdekraften i spil, da tyngdekraften vil være modsatrettet vandrakettens hastighed. Hvis vi
kigger på ligning (8), er den resulterende kraft på systemet lig 0. Når vi arbejder med Jordens
tyngdefelt, og vi ser bort fra luftmodstanden, må den resulterende kraft på systemet, idet alt
brændstof er udstødt, være lig tyngdekraften
. Indsætter vi dette i (8), fås:
Hvor
og er nedadrettet i forhold til rakettens bevægelse, og der antages at disse er
konstante under bevægelsen. Først divideres der med på begge sider af lighedstegnet,
hvorefter (4) indsættes på u’s plads:
Dette udtryk reduceres:
Integreres dette i henhold til tiden og intervallerne
15
(som der gjordes i (9)ff.), bliver udtrykket:
16
hvor
er den endelige tid af rakettens bevægelse, ligesom
er den endelige hastighed efter alt
brændstof er udstødt fra raketten. Ligning (13) er således raketligningen, hvor tyngdekraften er
en ydre kraft der spiller ind.
15
An Introduction to Mechanics – s. 139
16
An Introduction to Mechanics – s. 139
Side 13 af 35
Det skrå kast
Det følgende afsnit beskriver rakettens bane efter at alt brændstoffet er udstødt fra raketten. Her
er den resulterende kraft på systemet lig tyngdekraften
, hvis vi ser bort fra
luftmodstanden. Vi tager udgangspunkt i en kanon der skyder en kugle med en
mundingshastighed
17
. Kanonens vinkel med vandret (elevation) kaldes for . Ud fra
mundingshastigheden må man kunne forklare, at der er en hastighed i x-aksens og y-aksens
retning, som vi kan bestemme ved at analysere trekanten der forekommer (se bilag 5):
Vi kan nu undersøge bevægelsen som sammensat af en lodret og en vandret del. Dette
undersøges under den antagelse, at der ikke er nogen luftmodstand. Den vandrette
begyndelseshastighed
er som skrevet ovenfor:
, er en stamfunktion til
,
og integreres
mht. tiden, må x kunne udtrykkes
18
:
I y-aksens retning er den eneste lodrette kraft på kuglen tyngdekraften, som skrevet tidligere:
Udtrykt ved Newtons anden lov:
er en stamfunktion til
, hvilket integreret med hensyn til tid giver:
Hvor er en konstant. Den lodrette begyndelseshastighed er
. Dette giver:
er en stamfunktion til
, og integreres dette med hensyn til tiden :
Hvor
er skæring med y-aksen, men da kuglen starter i origo, eller til tiden , må
:
17
Fysik for 3.g – s. 46
18
Fysik for 3.g – s. 47
Side 14 af 35
Hermed er det skrå kasts bevægelsesproblem løst. Vi kan opstille ligningen for banekurven (se
bilag 5), ved at indsætte (14) i (15). Isolerer man i (14), får man:
Indsættes dette i (15), får man:
Dette kan reduceres til følgende, ved at benytte regneregler for trigonometriske funktioner:
Som man kan se, står det klart, at dette er ligningen for en parabel med grenene pegende nedad,
da konstanten foran
er negativ. Ud fra den udledte formel kan vi således bestemme den
maksimale højde for kastet,
, og den maksimale længde
, ved at undersøge dens
monotoniforhold; og mere præcist, dens toppunkt og hvor den rammer jorden. Ligning (16)
differentieres og man får udtrykket:
Hvis man analyserer en parabel, må dens toppunkt forekomme, når den afledte funktion er lig 0,
eller:
, hvor k er en konstant. Det er den netop lige i det punkt, hvor den har
toppunkt:
Ser vi bort fra luftmodstanden, må vi antage, at parablen er symmetrisk omkring sit toppunkt, og
da vi har fundet x-værdien til toppunktet, må
være
. Sammenfatter vi dette
med den trigonometriske identitet, at
, får man:
Ud fra dette vil man altså kunne beregne skudvidden afhængig af , og man vil således opnå den
største skudvidde med , da sinusfaktoren bliver lig 1 (
) ( svinger mellem -
1 og 1), og altså opnår den maksimale længde for kastet. Ved kendskab til x-koordinatet til
Side 15 af 35
toppunktet, kan vi ligeledes udlede
, ved at indsætte
i (16):
Dette reduceres:
Kastets maksimale højde kan findes ved hjælp af (17), når man kender elevationen og
starthastigheden
.
Vandraketter - forsøg
Dette afsnit omhandler forsøg med vandraketter. Forsøgene omhandler det lodrette og det skrå
kast, hvor der er benyttet video-film til analyse af vandrakettens bevægelse. Forsøget er således
en bevægelsesanalyse af vandrakettens acceleration, når den udstøder brændstof (vand), og
hvilken endelig hastighed
, der opnås for raketten. Denne bevægelse opfanges af et høj-fps
(frames per second) kamera, da bevægelsen varer under et sekund. Et andet kamera opfanger
således hele bevægelsen, altså det efterfølgende skrå eller lodrette kast, efter alt brændstoffet er
udstødt med begyndelseshastigheden
.
Idealiseringer
Dette afsnit vil kort gøre rede for de idealiseringer, der er nødvendige for, matematisk, at udlede
fysisk målelige størrelser ud fra løsning af ligningerne. Der antages at være impulsbevarelse
under forsøget, og under accelerationen udstøder raketten brændstof (vand) med en hastighed
relativ til raketten
. Den er modsatrettet og pga. impulsbevarelse vil raketten få en hastighed i
positiv retning. De ydre kræfter der påvirker systemet er tyngdekraften, idet vi antager at der
ikke er nogen luftmodstand. Når accelerationen er færdig og begyndelseshastigheden
, for hhv.
det skrå eller lodrette kast, er fundet, antages det, at den resulterende kraft på raketten er
tyngdekraften. Dvs. der er en deceleration i y-aksens retning, mens der stort set ingen er i x-
aksen retning (forudsat vi antager, at der ingen luftmodstand er).
Side 16 af 35
Formål
Formålet med øvelsen er, at lave en bevægelsesanalyse af det skrå og det lodrette kast i Logger
Pro. For det skrå kast bestemmes
, og derefter opstilles en matematisk model for det følgende
skrå kast. Desuden bestemmes vandets hastighed relativt til raketten
ved et bestemt tryk.
Den matematiske model for det skrå kast sammenlignes med praksis ved bl.a. at kigge på
,
og banekurven - resultaterne kommenteres. For det lodrette kast ønskes det, at bestemme
den endelige hastighed for accelerationen af raketten
, og opstille en sammenhæng mellem
hastigheden og massen ved et givent tryk. Den matematiske model sammenlignes efterfølgende
med praksis og kommenteres.
Materialeliste
- Vandraketter med dertilhørende affyringsrampe og cykelpumpe.
- Vægt
- 2 stk. videokamera, hvoraf 1 filmer med høj-fps.
- Bord og skruetvinger til at fastholde affyringsrampen.
- Diverse måleinstrumenter, bægerglas osv.
Opstilling og fremgangsmåde
Som det kan ses på bilag 5 forestiller dette det skrå kast, der forekommer efter den endelige
hastighed
er opnået. Det lodrette kast, der forekommer, hvis affyringen sker med en elevation
på , kan ses på bilag 6. På bilag 7 kan man se et billede af raketterne, der accelererer, når de
udstøder brændstof (vand), både for det skrå og det lodrette kast.
Inden forsøget måles de fysisk relevante størrelser for raketten. Disse er som følgende:
- Massen for raketten uden brændstof
- Massen for raketten med brændstof
- Affyringsrampens elevation i forhold til vandret.
Efterfølgende pumpes der luft i vandraketten, så der dannes et overtryk. Dette aflæses direkte på
cykelpumpen, og raketten affyres ved at aflåse en mekanisk stopper for raketten. Raketten letter
og accelerationen måles med et høj-fps kamera, der filmer med 240 billeder i sekundet, så det
kan opfange den præcise acceleration. Et andet kamera filmer med en almindelig framerate (30
Side 17 af 35
billeder i sekunder), og opfanger således det efterfølgende kast, raketten udfører med
begyndelseshastigheden
. Der bliver efterfølgende lavet videoanalyse på de samhørende
videoer i Logger Pro.
Databehandling
Det skrå kast
I databehandlingen for det skrå kast vil der gøres brug af teoriafsnittet. Der er i alt lavet 3 forsøg,
og der opstilles tabeller, grafer og hvordan størrelserne er udregnet for alle.
Forsøg 1:
Dette forsøg består af tre affyringer, hvor de samme startparametre er søgt opfyldt. Det vil sige,
at den samme mængde vand er brugt under alle tre affyringer samt det samme overtryk i
raketten. Dette forsøg har til formål at bestemme den gennemsnitlige værdi af
og
, samt at
opstille en matematisk model for banekurven.
Startparametre og hastigheder (tabel 1)
Raket
(nummer)
Elevation
1
2
3
Gennemsnit
16.57 m/s
Der er lavet videoanalyse af de tre raketters bevægelser i Logger Pro. Først gennemgås de tre
raketters acceleration inden det skrå kast, så
kan bestemmes. Desuden kan vi bestemme
elevationen vha. formlen:
, hvor
er hastigheden i x-aksens retning.
Acceleration og endelig hastighed
Ved hjælp af Logger Pro har videoanalysen givet følgende grafer (se bilag 7-9) ud fra en
videoanalyse (se bilag 10). Ved hjælp af naturlig logaritmeregression kan grafen for hastigheden
tegnes. Ved at aflæse på grafen kan man finde den endelige hastighed i y-aksen og x-aksens
Side 18 af 35
retning. Ved hjælp af Pythagoras’ sætning kan man bestemme den endelige hastighed
. De
udregnede hastigheder kan ses i tabel 1. Som man kan se, er hastighederne ikke ens for
raketterne, hvilket må skyldes, at overtrykket i raketterne ikke har været helt ens. Ud fra
tabellens parametre kan
bestemmes ud fra raketligningen med tyndekraften. Dette gøres:
hvor
findes ved at undersøge tidsrummet af det interval, hvor der udstødes brændstof fra
raketten. Som man kan se i tabel 1, er vandets hastighed relativt til raketten
nogenlunde ens
for hvert forsøg.
Det efterfølgende skrå kast
Da den endelige hastighed
for raketten er fundet, må dette være begyndelseshastigheden i det
skrå kast. Vi kender altså alle startparametre, for at kunne opstille en matematisk model for
banekurven for det skrå kast:
Indsætter vi de forskellige begyndelseshastigheder får vi følgende modeller (se bilag 11), ved at
tegne graferne i CAS-værktøjet TI Interactive. Da elevationen tidligere er blevet beregnet, kan vi
blot indsætte denne værdi. Denne er mere korrekt, end blot at indsætte affyringsrampens
elevation på , da dette kan give nogle store afvigelser når der sammenlignes med praksis.
Med denne banekurve kan vi således forudsige kastets forløb, og bestemme
og
, ved at
benytte den tidligere udledte teori. Efterfølgende benytter vi videoanalyse på de skrå kast og
kvadratisk regression på disse punkter, og får følgende grafer (se bilag 12-14). Som man kan se,
stemmer regressionen meget godt overens med datapunkterne. Teoretiske værdier vil så
sammenlignes i følgende tabel med praksis, og efterfølgende kommenteres.
Matematisk model sammenlignet med videoanalyse (tabel 2)
Raket (nummer)
1
2
Side 19 af 35
3
Afvigelse i % ift.
Praksis: Raket 1
-
-
Afvigelse i % ift.
Praksis: Raket 2
-
-
Afvigelse i % ift.
Praksis: Raket 2
-
-
Kommentar
Det kan ses i tabel 2, at afvigelserne må være nogenlunde som forventet, da vi har at gøre med en
videoanalyse. Hele bevægelsen foregår på blot et par sekunder, hvilket giver nogle
komplikationer ift. databehandling, da raketten bl.a. sløres på billedet. Dog er afvigelserne
acceptable, og man kan se hvor forskellige resultaterne bliver, selvom vandets hastighed relativt
til raketten
er nogenlunde ens for alle tre forsøg. Den beregnede elevation efter rakettens
acceleration er således nødvendig. Havde man regnet med en elevation på 45 grader, ville man
have regnet med et helt optimalt skråt kast, hvor
ville blive længst. Dette er dog ikke
tilfældet, og derfor er det nødvendigt at udregne elevationen. Hvorfor elevationen har været
forskellig for forsøgene, kan have været grundet den mekaniske lås der holder raketten på plads.
Den kan have haft en indflydelse under affyringen af raketten. Desuden kan trykket ikke have
været helt ens i alle tre raketter, hvilket også kan have influeret på dataene. Ser vi på
banekurverne (bilag 11 + 12-14), stemmer de meget godt overens med hinanden, og da
afvigelserne ligger mellem 1 og 11 % må afvigelserne skyldes små måleusikkerheder
(videoanalyse) og fejlkilder i den mekaniske lås.
Forsøg 2
I dette forsøg vil det forsøges at vise en sammenhæng mellem trykket og den endelige hastighed
for raketten
. Denne hastighed opnås efter alt brændstof er udstødt fra raketten. Til at gøre
dette, er der blevet affyret tre raketter, hvor den eneste størrelse, der er ændret på, er trykket i
raketten. For at vise sammenhængen bestemmes
,
og der opstilles en sammenhæng.
Startparametre ses i følgende tabel:
Startparametre og hastigheder (tabel 3)
Side 20 af 35
Raket
(nummer)
1
2
3
Ser vi på grafen over hastigheden for de forskellige raketter (bilag 15-17), kan vi bestemme den
endelige hastighed
. Dette gøres ved at finde den maksimale hastighed i x- og y-aksens retning
i det interval, hvor raketten accelererer. Efterfølgende benyttes Pythagoras’ sætning til at
bestemme den endelige hastighed
. Gøres dette, fås følgende hastigheder (se tabel 3).
bestemmes på samme måde som i Forsøg 1.
Kommentar
Det ses, at
stiger, jo større trykket bliver, og at der tilnærmelsesvis kan være tale om en
proportional eller en potenssammenhæng, hvor eksponenten er større end 1. Desuden ved vi, at
raketten ingen hastighed får, hvis der ikke er overtryk i raketten. Ved at tegne en graf, hvor
hastigheden vises op af andenaksen og trykket hen af førsteaksen i Logger Pro, kan det vurderes,
hvilken sammenhæng der er passende. Alle oplysningerne til at tegne grafen findes i tabel 3, og
følgende graf forekommer, når der laves proportional- og potensregression (se bilag 18). Som
man kan se, stemmer potensregressionen væsentligt bedre overens med punkterne på grafen. Den
proportionale regression afviger med ca. 3 m/s ved første punkt på grafen, mens
potensregressionens graf stemmer godt overens med punkterne. Det er altså mere sandsynligt, at
hastigheden stiger som en potensfunktion, end at hastigheden stiger proportionalt, jo større
trykket bliver. Ved at kigge på forskriften for potensfunktionen kan man, rent matematisk,
vurdere hvordan grafen for hastigheden vil udvikle sig (taget fra Logger Pro):
hvor er udtryk for trykket i raketten målt i bar. Funktionen er altid voksende overalt i dens
definitionsmængde. Denne funktion beskriver kun de målinger, der er blevet foretaget, og det
kan ikke siges, om den kan beskrive sammenhængen ved højere tryk. Men ved lavere tryk kan en
potensfunktion altså beskrive hastigheden som funktion af trykket. Hvis trykket stiger meget vil
raketten på et tidspunkt briste, da der er så meget overtryk. Dette advares der også om på
affyringsrampen.
Side 21 af 35
Kigger man på
, ligner det umiddelbart, at denne vokser på samme måde som
, og dette er
jo essentielt grunden til, at hastigheden vokser som den gør. Det er jo
der bestemmer farten
af raketten pga. impulsbevarelse. Derved må der være en klar sammenhæng mellem disse
størrelser.
Det lodrette kast
Forsøg 3
Det lodrette kast er et kast der kun bevæger sig op ad en y-akse. Efter raketten har udstødt alt
brændstof, er den resulterende kraft på raketten lig tyngdekraften. Der er en konstant acceleration
på . Derudover er der opnået en begyndelseshastighed
, som i grunden er
. I dette forsøg
vil der ses på sammenhængen mellem hastigheden og massen af den fulde raket. Der er
foretaget 3 affyringer af raketter, hvor der er ændret på mængden af vand i raketten, mens trykket
er forsøgt at være ens under alle 3 affyringer. Først findes
ud fra en video-analyse som det
gjordes i Forsøg 1 og Forsøg 2. Følgende startparametre er givet, og
bestemmes ud fra
analyse af graferne (se bilag 19-21).
Raket (nummer)
1
2
3
Som man kan se er der en sammenhæng mellem hastigheden og massen af raketten. I den første
raket er der en vandmængde på 46g, hvilket har resulteret i en hastighed på 17.9 m/s. Denne
hastighed er dog lavere end raket 2’s hastighed, der har haft en vandmængde på 73g. Af alle tre
affyringer har raket 2 opnået den højeste hastighed, og der må altså være en bestemt mængde
vand der er ideel, hvis man vil opnå størst mulig hastighed. Hvis man ser på raket 3, har den kun
opnået en hastighed på 13.9 m/s. Der har altså været en for stor mængde vand i raketten i forhold
til overtryk. Trykket har ikke været stort nok til at presse vandet ud med en høj nok hastighed
, og derved må hastigheden naturligt blive lavere. Der må altså være en bestemt mængde
vand, i forhold til rakettens kapacitet, der resulterer i den højest opnåelige hastighed. Man kunne
evt. undersøge yderlige ved at lave mange gentagne forsøg, hvor der ændres på vandmængden
Side 22 af 35
med et interval på f.eks. 5 g, og så bestemme den ideelle masse af vand i raketten for at opnå
maksimal hastighed.
For at opnå en maksimal hastighed må vandmængden ligge mellem 46 g og 94 g.
Konklusion
Opsendelsen af en raket, og i denne opgave en vandraket, blev undersøgt både teoretisk og
empirisk. Ved at danne basis med Newtons love og teorien bag impuls og impulsbevarelse kunne
raketligningen udledes. For at gøre dette, blev der redegjort og bevist metoden til løsning af
differentialligninger, kaldet separation af de variable. Undervejs blev der redegjort for de
idealiseringer, der er nødvendige, for matematisk at udlede fysisk målelige størrelser ud fra
løsningen af ligningerne. Udgangspunktet for raketligningen lå f.eks. i, at raketten befandt sig i
frit rum.
Med denne baggrund blev sammenhængen mellem rakettens startparametre og de fysisk
målelige størrelser udledt. Sagt på en anden måde: Vi kunne ud fra fysisk målelige størrelser
forudsige, hvordan raketten ville opføre sig. Dette gælder både, når raketten accelererer, og når
den har opnået en endelig hastighed, som efterfølgende resulterer i et skråt eller lodret kast.
Ved at benytte den udledte teori blev der opstillet eksperimenter, som igennem en række forsøg
viste flere sammenhænge. Det første forsøg viste således, hvordan man kan forudsige en rakets
banekurve, efter at en hastighed er opnået. Desuden viste den også, hvorfor det er vigtigt at
kende alle startparametre præcist, for teoretisk at kunne forudsige praksis.
Det andet forsøg viste sammenhængen mellem hastigheden som funktion af trykket, og det viste,
hvordan der ved lavere tryk ser ud til at være en potenssammenhæng.
Det tredje forsøg så på sammenhængen mellem hastigheden og mængden af vand i raketten ved
samme tryk. Herved kan man konkludere, at der i praksis er en ideel vandmængde, når den
højest mulige hastighed skal opnås ved et bestemt tryk.
Opgaven blev grebet an på en teoretisk og empirisk måde, hvor teorien blev bekræftet af
eksperimenter med vandraketter. Der blev redegjort for sammenhængen mellem teori og
eksperimenter.
Side 23 af 35
Litteraturliste
Bøger
Carstensen, Jens, og Jesper Frandsen. MAT 3A. 1. udgave, 2. oplag. Viborg: Systime A/S, 2002.
Fogh, Esper, og Knud Erik Nielsen. Fysik for 3.g. Silkeborg: HAX-DATA, 1996.
Ingwersen, Jens, Hans Birger Jensen, og Knud Erik Sørensen. Kernestoffet: Højt Niveau. Herning: Systime
A/S, 1990.
Jessen, Claus, Peter Møller, og Flemming Mørk. Integralregning og sandsynlighedsregning:
Gymnasiematematik 3A. København: Gyldendalske Boghandel, Nordisk forlag, 1999.
Kleppner, Daniel, og Robert Kolenkow. An Introduction to Mechanics. 1. udgave. Massachusetts:
McGraw Hill, 1973.
Knudsen, Jens M., og Poul G. Hjorth. Elements of Newtonian Mechanics: Second Revised and Enlarged
Edition. Berlin: Springer, 1996.
Side 24 af 35
Bilag
Bilag 1
Illustration 1:
Bilag 2
- Illustration over intervallerne J og I
Side 25 af 35
Bilag 3
- Indskærpet illustration der viser intervallerne J og I.
Bilag 4
Side 26 af 35
Bilag 5
Bilag 6
- Affyringsvinklen er , dvs. der teoretisk set, ingen x-akse er.
Side 27 af 35
Bilag 7
- Graf af videoanalyse; viser x- og y-aksens hastigheder for hhv. rød og blå kurver. (For følgende
grafer gælder det samme). (Raket 1)
Bilag 8
- Raket 2.
Side 28 af 35
Bilag 9
- Raket 3.
Bilag 10
- Videoanalyse af en rakets acceleration når der udstødes brændstof.
Side 29 af 35
Bilag 11
Bilag 12
- Banekurve for raket 1, hvor y er udtrykt som funktion af x (samme gælder for næste 2).
Side 30 af 35
Bilag 13
Bilag 14
Side 31 af 35
Bilag 15
- Acceleration for raket 1 i forsøg 2. Hastigheden
bestemmes vha. pythagoras’ sætning.
Side 32 af 35
Bilag 16
- Graf over rakettens hastighed for raket 2 i forsøg 2.
Bilag 17
- Graf over rakettens hastighed for raket 3 i forsøg 2.
Side 33 af 35
Bilag 18
- Graf over sammenhængen mellem hastighed og tryk, hvor hastigheden er op af y-aksen
og tryk hen af x-aksen.
Bilag 19
Side 34 af 35
Bilag 20
Bilag 21