Fysikrapport
Relativitetsteori
HTX 3. år
HTX 3. år
Fysikrapport 6. oktober 2010
3.a Relativitetsteori Tradium
Side 2 af 19
Indholdsfortegnelse
Et medføringssystem ..................................................................................................................................... 3
Relativ bevægelse imellem inertialsystemer ................................................................................................. 4
Relativ bevægelse i et accelereret koordinatsystem ..................................................................................... 5
Galilei transformation ................................................................................................................................... 6
Den specielle relativitetsteori ............................................................................................................................ 7
Tidens relativitet ............................................................................................................................................ 7
Længdeforkortelse ........................................................................................................................................ 9
Tid og sted for hændelse ............................................................................................................................. 10
Lorentztransformationen for sted ............................................................................................................... 11
Lorentztransformation for tid ..................................................................................................................... 12
Hastighedstransformation ........................................................................................................................... 13
Relativistisk dynamik ....................................................................................................................................... 14
Impulsbevarelse........................................................................................................................................... 14
Einstens ækvivalens mellem masse og energi ............................................................................................. 16
Energi-impuls relationen ............................................................................................................................. 16
Impuls af lys ................................................................................................................................................. 16
Kinetisk energi ............................................................................................................................................. 17
Fysikrapport 6. oktober 2010
3.a Relativitetsteori Tradium
Side 3 af 19
Et medføringssystem
Relativitetsteorien blev formuleret af Albert Einstein. I 1905 fremsatte han den specielle relativitetsteori,
mens den generelle først kom 10 år senere. Han modificerer den klassiske fysik som blev formuleret af
Isaac Newton. Med Newtons love er vi tvunget til at beskrive bevægelse i et inertialsystem, da disse kun
gælder i sådan et. Det vil være muligt at kunne foretage en omregning til et koordinatsystem, som er et
inertialsystem, hvis man han et koordinatsystem der ikke er et inertialsystem. I denne rapport, vil der blive
arbejdet med den specielle relativitetsteori. Denne kaldes ’speciel’ fordi den kun gælder i ganske bestemte
situationer – nemlig hvor partikler enten er i hvile, eller bevæger sig med konstant hastighed i forhold til
hinanden.
På ovenstående figur, er der tegnet en bus, der bevæger sig med en hastighed. Dette sker i et
inertialsystem, der er fast i jorden. Dog er der også et medføringssystem, der er fast i bussen, som beskriver
bevægelser inden for bussen, set fra passagerernes synsvinkel. Det antages, at bussen kører på retlinet vej,
så der hele tiden vil være parallelle akser. Inde i bussen er en partikel. Fra origo af inertialsystemet til origo
af medføringssystemet lægges en stedvektor ud
, og partiklen tillægges stedvektor
. I forhold til
jorden er stedvektor da givet ved:
Ved at differentiere stedvektoren, fås hastighedsvektoren:
Ved at differentiere endnu engang findes accelerationsvektoren:
Fysikrapport 6. oktober 2010
3.a Relativitetsteori Tradium
Side 4 af 19
I det følgende vil der blive betragtet to specialtilfælde af relativ bevægelse; ’relativ bevægelse mellem
inertialsystemer’ og ’relativ bevægelse i et accelereret koordinatsystem’. Ovenstående ligninger vil hjælpe
os med at beskrive bevægelse i forhold til disse koordinatsystemer.
Relativ bevægelse imellem inertialsystemer
I dette tilfælde antages det, at medføringssystemet bevæger sig med konstant hastighed. Det vil sige:
er en konstant. Dette betyder, at accelerationen vil være lig nul. Derfor gælder Newtons 2. Lov naturligvis
også ensartet i begge koordinatsystemer.
Kaster partikel med konstant hastighed i x-retningen, så det bliver til et skrå kast. Dette skyldes, at hvis man
kigger på medføringssystemet, så falder loddet lodret nedad, da det bliver påvirket af tyngdekraften.
Set fra det faste koordinatsystem vil bussen bevæge sig fremad med en hastighed. Det vil sige, at
og
skal adderes, så vi får en hastighed .
Da
er lig med nul, vil den samlede acceleration være tyngdeaccelerationen.
Fysikrapport 6. oktober 2010
3.a Relativitetsteori Tradium
Side 5 af 19
Relativ bevægelse i et accelereret koordinatsystem
Nu kigges der på en situation, hvor medførinssystemet har en acceleration
i forhold til det faste
koordinatsystem. Dette betyder, at accelerationerne i de to koordinatsystemer ikke vil være identiske. Man
kan nemt undersøge om et medføringssystem er et inertialsystem eller ej. Dette gøres ved at lægge en
kugle på bussen gulv, imens bussen er i bevægelse. Hvis kuglen ikke bevæger sig, vil medføringssystemet
være et inertialsystem. Hvis kuglen bevæger sig, vil den ikke være i hvile, da der enten er acceleration eller
opbremsning. Ovenstående figur, er ikke et inertialsystem men et accelereret system. Ligesom i forrige
eksempel placeres en partikel inde i bussen.
Partiklen er påvirket nedad ad tyngdeaccelerationen. Da bussen accelerere vil partiklen bevæge sig mod
venstre. Dette gør at
opstår. Dog er dette en fiktiv kraft, som ikke eksisterer.
Massen af partiklen multipliceres på. Dette gør, at vi får nedenstående ligning.
indsættes i stedet for
massen og accelerationen jævnfør Newtons 2. Lov.
Fysikrapport 6. oktober 2010
3.a Relativitetsteori Tradium
Side 6 af 19
Galilei transformation
I det forrige har vi kigget på relativ bevægelse i to
koordinatsystemer. Det ene havde et medføringssystem der var
accelereret, imens det andet havde konstant hastighed. Dette vil vi
nu prøve at formalisere, ved at indføre begrebet hændelse:
En hændelse kan i et koordinatsystem, S karakteriseres ved et sted
med koordinatsættet (x;y;z) og det tilhørende tidspunkt, t.
En hændelse kan for eksempel være en lampe, der tænder. I et
koordinatsystem kan dette karaktiseres ved fire stedkoordinater for
lampen; x, y, z og t. Hvor t er tiden. Hvis man forestiller sig, at en bil
med konstant hastighed kører forbi lampen, hvor er medføringssystem S’ sidder på bilen, vil lampens
stedkoordinater i forhold til bilens koordinatsystem være x’, y’, z’ og t’.
Til
skal de to koordinatsystemer falde sammen. S og S’ skal begge være inertialsystemer, og
bevæge sig i forhold til hinanden med sammenfaldende x-akser. Dette gør at hastigheden af S’ i forhold til S
bliver konstant på grund af inertiens lov.
Y- og z-akserne vil være sammenfaldende i de to koordinatsystemer. Da bliver
. Da
, vil origo være sammenfaldende med , som gør at:
Fysikrapport 6. oktober 2010
3.a Relativitetsteori Tradium
Side 7 af 19
Dette kan indsættes i de tre ovenstående ligninger, hvor man så finder at:
Den specielle relativitetsteori
I det forrige om Galileitransformationen indgik tidsbegrebet som en naturlighed. Det forventedes at hvis vi
anbragte to forskellige ure, der var synkroniserede i hvert sit inertialsystem, ville de efter en hændelse vise
det samme. Dette har dog vist sig, at det ikke er tilfældet. Dette skyldes, at der er en forbindelse mellem
lysets natur og tid. Det var Albert Einstein, der så denne sammenhæng. Derfor vil vi i det følgende se
hvordan lysets natur påvirker vores opfattelse af tid.
Albert Einstein sluttede nogle konklusioner, der gjorde, at han kunne fremsætte den specielle
relativitetsteori:
- Der eksisterer ingen æter, og lysets hastighed i vakuum er den samme i hvilket som helst
inertialsystem.
Dette skal vi studere i følgende afsnit.
Tidens relativitet
Da lysets hastighed er konstant i alle inertialsystemer, viser det
sig at tiden ikke er så simpel og veldefineret, som den er i vores
hverdag. Dette kan vises ved en betragte en bil, der kører med
hastigheden v forbi et spejl, der er placeret afstanden L, væk fra
bilen. Spejlet er placeret parallelt med bilens kørselsretning. Idet
bilen passerer spejlet, udsender den et lysglimt. Dette lysglimt
vil ramme spejlet og komme tilbage til bilen. I forhold til bilen vil
der være en tilhørende tid t’, det tager lysglimtet om at
reflektere, tilsvarende vil der være en tid t set fra jorden.
Situationen set fra S
S er det koordinatsystem, der sidder fast i bilen. Det vil sige at spejlet bevæger sig med hastigheden i
forhold til bilen. Når lysglimtet udsendes, vil det tage et stykke tid for lyset at komme tilbage til bilen. Dette
er strækningen L 2 gange. Da , må strækningen være lig med lyshastigheden multipliceret med
tiden det tager.
Fysikrapport 6. oktober 2010
3.a Relativitetsteori Tradium
Side 8 af 19
Nu vil vi kigge på situationen set fra Jorden S’. Det vil sige, at det nu er bilen, der bevæger sig i forhold til
spejlet. Derfor er der et tidsrum, hvor lyset bruger på at
komme frem og tilbage. I dette tidsrum vil bilen have
flyttet sig stykket . Dette gør, at vi får en situation som
vist på figuren. Ved hjælp af geometri, kan vi se at:
Dette samt (1) indsættes
t isoleres.
Dette viser os at hvis
så vil
. Derfor er der ikke noget at sige til at tiden ses som en absolut
størrelse. Men hvis man kommer op på hastigheder der er meget høje, ændres forholdende markant. Ved
10 % af lysets hastighed, vil
, vil vi være oppe på disse høje hastigheder.
Fysikrapport 6. oktober 2010
3.a Relativitetsteori Tradium
Side 9 af 19
Længdeforkortelse
Forskellen i tidsopfattelse har en betydning for opfattelsen af længde. For at forstå dette vil vi betragte en
lineal med længden L i S. S’ bevæger sig med konstant retlinet hastighed v i forhold til S. Set fra S’ vil
længden af stokken derfor være L’.
Situationen set fra S
Vi forestiller os at S’ er et tidsrum om at bevæge sig fra den ene
ende af målestokken til den anden. Dette betyder at:
Situationen set fra S’
Nu tager det tiden t’ at bevæge sig fra den ene ende af linealen til
den anden. Det vil sige at:
I det forrige har vi bestemt at t og t’ er forskellige. Heraf kan vi drage den konklusion at L og L’ også er
forskellige. Sammenhængen er:
Nu indsættes udtrykket for tiden t’ i S’, og vi får:
Derfor må linealen længde set fra S’ være kortere end den længde, som linealen har set fra S. Det siges, at
linealen er Lorentzforkortet.
Ud fra ovenstående har vi fundet ud af at tid og længde er relative størrelser. Dette har en stor betydning
for tid og rum. Det vil vi prøve at kigge på i det følgende.
Fysikrapport 6. oktober 2010
3.a Relativitetsteori Tradium
Side 10 af 19
Tid og sted for hændelse
I koordinatsystemet S finder en hændelse sted i
punktet x til tiden t. Jævnt ud langs x-aksen har vi
placeret nogle observatører, der hver har sin lygte
med forskelligt lys, så man kan se, hvem der har tændt
sin lommelygte.
Bestmmelse af sted
Hvis vi forestiller os, der står en person med
en lygte i origo og lyser ud i et
koordinatsystem hen imod en anden person
med et spejl, der står stykket x væk, vil der gå
et stykke tid t, før lyset bliver reflekteret.
Dette kan beskrives således:
Strækningen er 2x, fordi lyset både skal frem
og tilbage. Hastigheden er det samme som
lysets hastighed.
Vi kan derved bestemme stedet personen står ved at isolere x.
Bestemmelse af tid:
Når en hændelse finder sted, tænder observatøren sin
lommelygte. Den tid det tager for lyset at
ankommer til origo, kan beskrives via strækningen x.
Lyset bevæger sig med lysets hastighed til tiden t.
Derfor:
I origo fandt hændelsen sted til tidspunktet:
Fysikrapport 6. oktober 2010
3.a Relativitetsteori Tradium
Side 11 af 19
Lommelygterne kan skelnes. Derfor har vi både bestemt tid for hændelse og stedet for den.
Lorentztransformationen for sted
I dette koordinatsystem finder en hændelse sted til
tidspunktet t. Hændelsen sker i punktet x i S
koordinatsystemet. I tidspunktet er de to y-akser i S og
S’ sammenfaldende. S’ bevæger sig med hastigheden v langs x-
aksen. I S’ synkroniseres tiden ved at sætte
når de to
origo passerer hinanden.
Situationen set fra S
I tidsrummet t vil S’ have bevæget sig i forhold til S.
hændelsen finder sted i x. Fra origo af S’ til x til tiden t vil der
være en længde L. Derfor må strækningen x være:
I kapitlet ’tidens relativitet’ fandt vi ud af at:
Tilsvarende fandt vi ud af i kapitlet ’længdeforkortelse’ at:
Denne formel udgør Lorentztransformationen for stedkoordinaten, og overgår Galileitransformationen når
.
Fysikrapport 6. oktober 2010
3.a Relativitetsteori Tradium
Side 12 af 19
Lorentztransformation for tid
Vi vil nu kigge på sammenhængen mellem tiderne. Dette
gøres ved at se Situationen fra S’, hvor S lægger fast.
Der placeres en målestok i S som har længden L’ i S’ mellem
origo for S og punktet x’ for hændelsen.
Origo for S bevæger sig med hastigheden v i negativ
retning set fra S’. Derfor:
Når
ser vi at t’ = t som giver Galileitransformationen
Fysikrapport 6. oktober 2010
3.a Relativitetsteori Tradium
Side 13 af 19
Hastighedstransformation
Dette løses ved hjælp af infinitesimal regning.
Ud fra det vi lige har fundet ud af med Lorentztransformationen, kan man slutte at hvis et objektbevæger
sig strækningen dx til tiden dt i koordinatsystemet S, så vil størrelserne i S’ koordinatsystemet der bevæger
sig med hastigheden v være givet ved:
Hastigheden af objektet i S er givet ved:
Derfor bliver hastigheden i S’:
Fysikrapport 6. oktober 2010
3.a Relativitetsteori Tradium
Side 14 af 19
Dette udtryk for hastighedstransformationen har særdeles stor betydning, og viser den meget store forskel
på Galileitransformationen, og kommer foreksempel til udtryk ved tvillingeparadokset.
Relativistisk dynamik
I det følgende vil vi se nærmere på, hvordan Newtons love skal håndteres i relativistisk fysik.
Impulsbevarelse
I dette eksempel betragtes et lige stød imellem ti
identiske partikler. Koordinatsystemet S ligger i
massemidtpunktet for de to partikler.
Koordinatsystemet S’ er i hvile i forhold til den ene
partikel.
Situation set fra S
Da de to partikler har ens, modsatrettede hastigheder,
må summen af dem være nul.
Situationen set fra S’
Vi kigger på impulsbevarelsen set fra S’:
Ved hastighedstransformationen har vi lige fundet ud af at:
Dette indsættes nu I (1)
Fysikrapport 6. oktober 2010
3.a Relativitetsteori Tradium
Side 15 af 19
Indsættes kvadratroden heraf, fås udtrykket for
betegnes som i hvile
. Og hastigheden af
ved
, så bliver impulsen af
bestemt ved:
Dette udtryk omtales den relativistiske impuls. Senere vil vi kigge på dennes betydning for den kinetiske
energi. Det kan dog i visse sammenhænge være tale om den relativistiske masse:
I S vil de to masser være ens på grund af symmetri. I S’ er dette ikke tilfældet.
Fysikrapport 6. oktober 2010
3.a Relativitetsteori Tradium
Side 16 af 19
Einstens ækvivalens mellem masse og energi
En partikel med massen
, har en hvileenergi givet ved
Total energi:
Lys er masseløs men har impuls.
Energi-impuls relationen
Ovenstående har stor betydning for impulsen. Vi kan kvadrerer udtrykket og derefter lægge det samme led
til og straks trække det fra i tælleren
. Så vil vi se at den første brøkstreg giver 1, imens den anden
er kvadreret på impulsen p.
Side 178 (5)
Impuls af lys
g
Lys består af fotoner, som har energi . Dette er Einsteins forklaring på den fotoelektriske effekt.
Fotonens hvilemasse vil være nul, men da vi skal finde et relativistisk udtryk for energien får lyset en
impuls.
Fysikrapport 6. oktober 2010
3.a Relativitetsteori Tradium
Side 17 af 19
Ud fra dette kan vi se at jo større bølgelængden er des større vil fotonens impuls være. Dette har en stor
betydning for eksempelvis en stjernes stabilitet.
Kinetisk energi
Vi har tidligere fundet ud af at kraften kan defineres som:
I urelativistisk mekanik defineres den kinetiske energi for en partikel ved:
er det arbejde det tager den resulterende kraft at bringe partiklen fra hastighed v=0 til hastigheden v.
Vi kan indsætte udtrykket for den relativistiske impuls, og vi får:
Der foretages partiel integration
Fysikrapport 6. oktober 2010
3.a Relativitetsteori Tradium
Side 18 af 19
De to første led sættes på fælles brøkstreg.
Umiddelbart ligner dette ikke det udtryk, vi kender fra den klassiske mekanik. Den klassiske mekanik
arbejdes der med små hastigheder. Derfor kan vi sætte
. Der ses bort fra
, da denne er
næsten forsvindende og der kvadreres på begge sider.
____________
Fysikrapport 6. oktober 2010
3.a Relativitetsteori Tradium
Side 19 af 19
Da
vil nævneren tilnærmelsesvis være lig med en. Derfor:
Vi ser at dette passer meget godt overens med den klassiske mekanik.