RUTSJEBANE
HTX 2. år
november 2002
INDHOLDSFORTEGNELSE
Indlednig .......................................................................................................... 2
Bærebjælkernes længde .................................................................................. 3
Forstærkning af skinner ................................................................................. 4
HTX 2. år
Den rasterende del af rutsjebanen ............................................................... 6
Første cirkel ................................................................................................ 6
Liniestykke .................................................................................................. 7
Anden cirkel ................................................................................................ 7
De 3 funktioner: ......................................................................................... 9
Skitsering af den færdig bane ...................................................................... 10
Konklusion .................................................................................................... 11
J A N M Ø L G Å R D N I E L S E N
2 .F
Rutsjebane
JAN MØLGÅRD NIELSEN
IN D LE D NI G
I en forlystelses park skal der bygges en ny rutschebane. En del af denne rutschebane om-
handles i projektet. Denne del er toppen af en bue formet som en cirkel. Der skal endvidere kon-
strueres et fald samt en dal, som også er formet som en del af en cirkel efter eget valg.
I projektet oplyses det, at punkterne A og B på den nye rutsjebane skal være placeret 22,00
meter over jorden og, at rutsjebanens toppunkt skal være placeret 25,00 meter over jorden. Dertil
opgives, at den individuelle afstand mellem bærestolperne skal være 3,00 meter.
Inden projektets start, vil jeg overveje, hvilke metoder, der gør mit mål lettest at nå. På for-
hånd kan jeg danne mig en idé om, at trigonometri samt geometri vil spille en stor rolle under
forløbet. Trigonometri vil blive benyttet til vinkelberegning og længdeberegning, mens geometri
benyttes, da banen er udformet som en cirkel. Udover disse regnetyper skal nødvendigvis benyt-
tes et koordinatsystem, da banen ønskes fremvist i dette.
Med de givne parametre er opgaven nu følgende:
a) Bregne højderne af de øvrige lodrette stolper
30
s
.
b) Hvor skal skinnebelægningen forstærkes?
c) Beregn længden af det skinnestykke, hvor belægningen skal forstærkes.
d) Opstille en ligning for hver af de cirkler, som cirkelbuerne
1
C
og
2
C
er en del af,
samt en ligning for den rette linie, s er en del af.
e) Ved hjælp af regneprogrammet MathCAD 2002 tegnes en samlet graf, der indehol-
der begge cirkler samt linien s.
BÆ RE B JÆ L K ER NE S L Æ NG D E
Da bærebjælkernes individuelle længder ønskes beregnet, startes med at bestemme radien i
den cirkel, som indeholder buens top. Denne radius bestemmes lettest ved at placere rutsjebanen
i et koordinatsystem, hvor akserne repræsenterer afstandene i meter. Y-aksen repræsenterer høj-
den i meter, samt indeholder cirklen centrum, hvilket medfører, at x-koordinaten i centrum bliver
nul. X-aksen flugter her med jordskorpen.
Inddeles cirkelafsnittet i flere mindre trekanter kan radius r samt bjælkernes længder findes
ved hjælp af Pythagoras læresætning
(2.1.1)
222
cba
Afstanden mellem punktet B og cirklens cen-
trum C er lig cirklens radius r. Da det vides, at af-
standen mellem hver bjælke er 3,0 meter, må af-
standen fra y-aksen til punktet B være:
mmYB 933
Da afstanden fra cirklens centrum til højeste
punkt på buen er samme som cirklens radius må
højdeforskellen mellem cirklens centrum C og
punktet B betegnes:
meterr 3
Fig. 2,001
da B ligger 3 meter lavere end toppunktet. Af Pythagoras læresætning fås herved et udtryk for
radius r i cirklen, hvorpå banen er
(2.1.2)
2
2
39 rr
Reduceres udtrykket for radius r fås følgende værdi
mrrr 906
22
mr 15
Af overstående kan opstilles et funktionsudtryk for længderne af stolperne
(2.1.3)
rxrs
25
22
41
hvor x repræsenterer afstanden mellem Y-aksen og stolpens placering. Herved fås følgende
resultater:
ms 000,5
22
0
ms 697,5
22
1
ms 748,5
22
2
ms 000,5
22
3
Som det fremgår af figuren, er banen symmetrisk opbygget, hvilket giver stolperne på begge
sider af midten samme højde. Derfor er stolpen i midten betegnes
0
s
.
FO RS T Æ RK NI NG A F SK I N N ER
Skinnerne på banen er designet til at kunne klare en belastning på maksimalt 330,00 Newton.
Enheden newton er en kraft, og angiver den kraft, der skal til for at få et objekt på ét kilogram til
at accelerere med én meter pr. sekund i løbet af ét sekund. Udtrykt matematisk
(3.1.1)
2
s
m
kgNewton
Som det fremgår af overstående vil kraften på skinnen være tyngdekraftens træk i vognen, da
sidste faktor betegnes tyngdeaccelerationen. Da vognen bevæger sig henover en cirkelformet
bane, vil tyngdekraftens træk i vognen variere alt efter, hvor på banen vognen befinder sig. Man
siger, at kraftpåvirkningen er opløst i komposanter. De to komposanter kan betegnes
vFF
t
cos
vFF
t
sin
Den ene komposant vil danne en ret vinkel med baneoverfladen i selve punktet, mens den
anden vil være tangent til banen i selve punktet. Da førstnævnte betegner trykket på skinnen, vil
denne derfor være af størst betydning. Alt efter, hvilket materiale skinne samt hjul består, vil
kraftpåvirkningen mellem disse være forskellig. Denne kraft betegnes gnidningskraften og er
bestemt som den kraft, vognen påvirkes af, multipliceret med en materialekonstant, kaldet gnid-
ningskoefficienten, μ. Heraf
(3.1.2)
FF
G
Da gnidningskraften på skinnen maksimalt må være 330,00 Newton, kan vognens maksimale
kraftpåvirkning beregnes
(3.1.3)
G
F
F
max
N
N
F 100.1
3,0
330
max
Da vognens kraftpåvirkning fordeler sig ligeligt over alle fire hjul vil vognens maksimale
gnidningskraft være fire gange så stor
(3.1.4)
NewtonNewtonF 4
max
Om skinnerne på banen skal forstærke eller ej, vil kunne beregnes ved at sammenligne de to
kraftudtryk
vFF
t
cos
max
Da det vides, at vognen, af sikkerhedsmæssige grunde, har en maksimalvægt på 500,00 kg, er
kun vinklen i udtrykket ubekendt.
(3.1.5)
t
F
F
v
max
1
max
cos
346,26
82,9500
400.4
cos
2
1
max
s
m
kg
N
v
Som det ses skal vinklen mellem vognen og lodret være mere end 26,346 ° for, at belastnin-
gen af skinnen er under 330,00 Newton. Desværre bevæger vognen sig over hele skinnen, hvor-
for skinnen skal forstærkes i intervallet, hvor vinklen mellem skinnen og lodret er under 26,346 °.
Det bemærkes, at der i projektet ikke bliver taget hensyn til slitage i form af vognens ha-
stighed, hvilket ellers normalt ville have en del indflydelse på belastningen af skinnen.
Fig. 3,001
AF S TA N D EN SK I NN EN SK A L F O RS T ÆR K ES
Da det er bekræftet, at skinnen skal forstærkes indenfor et vist interval, ønskes denne afstand
beregnet. Dette gøres ved at bestemme afstanden, hvorover den fundne vinkel strækker sig. Af-
standen må da være:
Fig. 5,001
(4.1.1)
360
2 vr
AB
bue
meter
meter
AB
bue
,13
360
692,52152
DE N R A ST E RE NDE DEL AF R UT S JE BAN E N
Fra punktet A skal der gå en ret linie s nedefter, der så skal ende i en anden cirkel
2
C
, der
virker som dal. Alle overgange fra cirkel til linie og omvendt skal være helt jævne. Ydermere skal
der maksimalt være en højdeforskel på 12,00 meter fra top til dal.
FØRSTE CIRKEL
Funktionsudtrykket for den cirkel, hvori punkterne A, B samt toppunktet er beliggende, kan
bestemmes ved at lade de tre kendte punkter danne en trekant. Trekantens sider vil da alle have
endepunkt i cirkelperiferien, hvorved de indgå som korder til cirklen. Disse korders midtnormaler
vil altid indeholde en diameter, og ved kendskab til to af disse, kan cirklens centrum bestemmes
som skæringspunktet mellem disse. Dog kan kun korderne liggende op til toppunktet bruges da
korden fra A til B er vandret og en vinkelret linie på denne vil blive lodret.
Først findes midten M af de to
korder m og n.
(5.1.1)
2
,
2
2121
yyxx
M
2
47
,
2
9
2
2522
,
2
09
TopA
M
2
47
,
2
9
2
2225
,
2
90
BTop
M
De linier, der skærer henholdsvis punkterne
TopA
M
og
BTop
M
samt cirklens centrum, må nød-
vendigvis skære hinanden i cirklens centrum. Funktionsudtrykkene for linierne ses herunder.
Beregninger er skitseret på bilag 1.1.
103 xxm
103 xxn
For at finde placeringen af cirklens centrum isoleres værdien x
(5.1.2)
103103 xx
Som det fremgår af funktionen er centrums x-koordinat placeret på selve y-aksen. Da banen
er symmetrisk omkring
0
s
, burde x-koordinatet også være placeret på selve y-aksen, hvilket også
er tilfældet. Ønskes y-koordinaten beregnet indsættes x-koordinaten blot i en af funktionerne
100 m
Da koordinaterne for cirklens centrum samt radien nu er beregnet, kan cirklens ligning ud-
trykkes
(5.1.3)
2
22
rbyax
25510
2
2
1
yxCirlek
LINIESTYKKE
Da linien s tangerer radien i
1
C
og begynder i punktet A, kan liniens hældningskoefficient
beregnes ud fra de to endepunkter på radien samt kendskab til reglen for ortogonale linier
(5.2.1)
AC
AC
s
yy
xx
a
4
3
2210
90
s
a
Funktionsudtrykket for linien s kan beregnes ved at isolere værdien b
xayb
4
115
9
4
3
22 b
Funktionsudtrykket for linien s er da følgende:
(5.2.2)
bxaxs
4
115
4
3
xxs
ANDEN CIRKEL
Når linien s kendes kan den anden cirkel,
2
C
, placeres og beregnes. Normalt i en rutsjebane
tilstræbes en meget lille dal, hvilket giver mest mulig linie samt størst turbulens. Derfor defineres
den mindst mulige radius i denne cirkel. Hvis radius i anden cirkel er for lille, vil en vogn ikke
kunne køre gennem passet.
Da projektvejledningen ikke definerer en vognstørrelse, antager jeg, at vognenes indbyrdes
længde er 2,00 meter. Ydermere antager jeg, at leddene, som holder vognene sammen, kan æn-
dres 15,00 ° i alle retninger. Om vognen støder mod banen tages ikke hensyn til. Hele vogntoget
regnes blot for en række kasse, der kan bevæge sig 15,00 ° i forhold til hinanden, mens det bevæ-
ger sig gennem banen.
Samles vogntoget i den ene ende vil dannes en polygon. Da polygonen vil danne 24 ligebe-
nede trekanter, alle pegende mod centrum af ringen, kan de øvrige vinkler i trekanten beregnes
(5.3.1)
5,82
2
15180
32
v
Fig. 5.002
Da trekantens tre vinkler samt en side kendes, kan de øvrige sidelængder beregnes. Disse er
ens og lig radien i den omskrevne cirkel,
2
C
(5.3.2)
1
32
2
sin
sin
v
vl
r
C
m
m
r
C
661,7
15sin
5,82sin2
2
For at undgå komplikationer sættes radius i
2
C
til 8,00 meter. Nu kendes
2
C
´s radie, og
centrums placering kan derved beregnes.
Da det er et krav, at laveste punkt maksimalt må ligge 12,00 meter under højeste punkt, kan
y-koordinaten til centrum i den anden bestemmes ud fra
(5.3.3)
2maxmax2 CC
rdistyy
mmmmy
C
2181225
2
Centrum til cirkelstykket i dalen må nødvendigvis ligge i 21,00 meters højde for at overholde
kravene. Placeringen af centrums x-koordinat kan beregnes via distanceformlen da funktionsud-
trykket for s samt y-koordinaten kendes
(5.3.4)
1
,
2
22
2
a
ybxa
xsCdist
CC
C
Da det vides, at x-koordinaten kan antage to værdier, da afstanden til linien s i højden y kan
findes to steder, må stræbes efter en negativ x-værdi. Grunden findes i kvadratrodstegnet i næv-
neren. Derfor
4
31
4
3
10
2
C
x
3
71
3
2
C
x
Med kendskab til cirklens ligning kan funktionsforskriften for
2
C
udtrykkes:
(5.3.5)
2
22
rbyax
6421
3
71
2
2
2
yxCirkel
For at danne et overblik over resultaterne, vises de tre funktioner herunder:
DE 3 FUNKTIONER:
22510
2
2
1
yxCirkel
4
115
4
3
xxs
6421
3
71
2
2
2
yxCirkel
SK ITS ERI NG AF D EN F ÆR DIG B A NE
Til slut ønskes en grafisk fremstilling rutsjebanen ud fra de fundne funktioner. De tre funkti-
oner er:
22510
2
2
1
yxCirkel
4
115
4
3
xxs
6421
3
71
2
2
2
yxCirkel
Fig. 6,001
KO NK L US I ON
Konklusionen på dette projekt må være, at alle fem opgaver er blevet løst ved hjælp tilfreds-
stillende. Projektet har givet kendskab til, hvordan trigonometri, geometri samt almene regneme-
toder kan benyttes i praksis.
Det blev bekræftet, at skinnebelægningen var for svag i den øverste halvdel af cirkelbuen,
hvorfor forstærkning var nødvendig.
Den færdige skitse af rutsjebanen blev konstrueret i overensstemmelse med de påskrevne
krav. Resultatet blev som skitseret på side 11 en rutsjebane med størst muligt fald, da dette ofte
er ønsket. Rutsjebanen blev konstrueret med henblik på at støde op til en måske mindre ny bu-
etop.
De resterende opgaver blev også løst til fulde, hvilket må konkludere, at projektet er løst til-
fredsstillende og dokumenteret i et forstående perspektiv.
Dette projekt er udarbejdet af:
Jan Mølgård Nielsen, jmn, Matematik B
__________________________________________________________________
21. november 2002