Det skrå kast
HTX 3. år
HTX Viby, 10xvx
Matematik A og Fysik A
Studieretningsprojektet – 2012
Opgaveformulering
2012
Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012
Side 2 af 35
Cpr. Nr.:
Klasse: 10xvx
Opgaveformulering udleveres
fredag d. 14. december kl. 10.30
Afleveringsfrist projekt senest
Fredag d. 21. december kl. 10.30
Fag: Fysik A
Fag: Matematik A
Vejleder:
Vejlederne vil have træffetid til at besvare mail eller vil kunne kontaktes på studietorvet på følgende
tidspunkter:
Uge 50 - 51
lærer
Fredag
Mandag
Tirsdag
Onsdag
Torsdag
Mail
Mail
10.30-
11.30
Mail
(på studietorv eller kontor SH202)
Mail
Mail
Mail
Jeg bekræfter herved med min underskrift, at opgavebesvarelsen er udarbejdet af mig.
Jeg har ikke anvendt tidligere bedømt arbejde uden henvisning hertil, og opgavebesvarelsen
er udfærdiget uden anvendelse af uretmæssig hjælp og uden brug af hjælpemidler, der ikke har
været tilladt under prøven.
_____________________________
Område/tema: Det skrå kast
Opgaveformulering:
Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012
Side 3 af 35
Bilag:
Redegør for de grundlæggende fysiske betingelser ved det skrå kast. Undersøg i den forbindelse
hvilken kastevinkel, der giver et længst muligt kast.
Redegør for hvad en vektorfunktion er og opstil en vektorfunktion for et skråt kast af et objekt
under passende startbetingelser.
Gør rede for objektets accelerations- og hastighedsvektore, og vis i et eksempel hvorledes
størrelsen af disse findes.
I praksis kan ikke se bort fra luftmodstanden. Forklar hvad dette begreb dækker over, og vis i et
eksempel, hvorledes luftmodstanden påvirker et skråt kast, under passende startbetingelse. Du
kan evt. inddrage grafer.
Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012
Side 4 af 35
Abstract
This project investigates vector functions and their purpose. The science subjects mathematics and
physics are combined to illustrate the motion of a projectile with and without air resistance
since there are a different amount of forces to take in consideration.
An example with a golf ball is conducted to show the different forces that affect the golf ball’s
vector function. The program MathCAD is used to create graphs in a coordinate. In addition,
Microsoft Excel is used to solve a numerical method problem and make a graph of the example
with and without air resistance since it gives a nice overview and comparison between the two
projectile motions.
The study of the golf ball example without air resistance resulted in a quadratic equation which
corresponded to my theory that the parabola would be symmetrical. It was only affected by
the gravity in the y-axis. However the second example had air resistance to slow down the
projectile and reduce the firing range by a lot which could be noticed in the created coordinate
with graphs for both studies. The results of this subject indicate how important Newton’s laws
are. Based on this it can be confirmed that a projectile in motion without air resistance is
affected negatively vertical by the gravity. The other example proved Newton’s third law
correct about “action equals reaction” since the air resistance pointed the opposite direction of
the projectile.
Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012
Side 5 af 35
Indholdsfortegnelse
Abstract ............................................................................................................................................................. 4
Indholdsfortegnelse ........................................................................................................................................... 5
Indledning .......................................................................................................................................................... 6
Vektorfunktioner ............................................................................................................................................... 7
Tretrinsreglen ................................................................................................................................................ 8
Det skrå kast .................................................................................................................................................... 10
Vandret bevægelse ...................................................................................................................................... 11
Lodret bevægelse ........................................................................................................................................ 12
Maksimalhøjde ........................................................................................................................................ 14
Eksempel på en vektorfunktion for et skrå kast .......................................................................................... 16
Accelerations og hastighedsvektor ................................................................................................................. 17
Luftmodstand .................................................................................................................................................. 18
Bernoullis princip ......................................................................................................................................... 19
Magnus effekten.......................................................................................................................................... 20
v
2
-loven og Reynoldstallet ........................................................................................................................... 21
Beregning af gnidningsmodstanden ............................................................................................................ 22
Numerisk metode ........................................................................................................................................ 27
Konstruerede kurver .................................................................................................................................... 29
Konklusion ....................................................................................................................................................... 31
Litteraturliste ................................................................................................................................................... 32
Bøger ........................................................................................................................................................... 32
Hjemmesider ............................................................................................................................................... 32
Video ............................................................................................................................................................ 33
Bilag ................................................................................................................................................................. 33
Bilag 1 .......................................................................................................................................................... 33
Bilag 2 .......................................................................................................................................................... 34
Bilag 3 .......................................................................................................................................................... 35
Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012
Side 6 af 35
Indledning
Bevægelse indenfor mekanik er et stort emne, som omfatter mange betingelser. En partikel er et legeme,
som kan have en bevægelse. Disse bevægelser kan beskrives med vektorfunktioner, hvor man tager hensyn
til kræfter, der påvirker legemet. Mekanikken kan forklare årsagen til næsten alt, hvad der foregår omkring
os. En af de største fysikere, som har indflydelse på de teorier omkring bevægelse i dag, hedder Isaac
Newton, som fremstillede tre ekstremt vigtige love, der er grundlaget for dynamikken. Newtons 2. lov
forklarer bl.a. hvorfor æbler falder ned fra træer og ikke op. Det er derfor spændene at undersøge, hvordan
et skrå kast udvikler sig i et to dimensionalt koordinatsystem.
I følgende opgave vil der redegøres for vektorfunktioner og deres udnyttelse i virkeligheden. Derefter vil
der beskrives de matematiske og fysiske teorier som gælder angående det skrå kast uden luftmodstand.
Der vil blive vist et eksempel og en graf af det skrå kast, hvor vigtige formler og computer programmer som
MathCAD bruges til at illustrere. Derudover vil der også komme en redegørelse for det skrå kasts
accelerations- og hastighedsvektorer. Der vil også inkluderes et passende eksempel med anvendelse af
infinitesimalregning. Til slut kommer en forklaring på luftmodstandens påvirkning af det skrå kast. Her vil et
konkret eksempel blive analyseret og tegnet i et koordinatsystem.
Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012
Side 7 af 35
Vektorfunktioner
I fysikken anvendes både funktioner og vektorer til at beskrive det skrå kasts forløb i et koordinatsystem.
Der anvendes relevante matematiske formler til at beskrive objekters bevægelse. Disse formler for det skrå
kast er udledt i plan, hvor der er to koordinatakser, som hedder x og y. X-aksen er den vandrette akse,
mens y-aksen er den lodrette akse.
1
Vektorer kendetegnes ved at have en størrelse og retning. Dens koordinater kan beskrives som statiske, da
de er uforanderlige og ikke ændrer sig med tiden.
og er konstante
a
v
b
ab
Til gengæld kan en vektor også være i bevægelse, hvor den er dynamisk og forandrer sig med parameteren
tid(t). En retningsvektor ser således ud:
()
()
()
xt
rt
yt
x(t) og y(x) er koordinatfunktioner. t er som tidligere nævnt parameteren, som også kaldes en variabel, da
den ændrer sig. Dette betyder, at retningsvektoren placerer punkter i koordinatsystem, der tilsammen
danner en banekurve eller graf for bevægelsen mht. parameteren t.
Et eksempel på en vektorfunktion kan være:
Definitionsmængden for t er alle reele tal. Altså
tR
Eksempel på vektorfunktion. x og y komposanterne er følgende:
2
8
5
xt
yt
1
S. 80-83 ”Mat A” af Allan Bohnstedt, Bernt Hansen, Michael Jensen og Klaus Marthinus
S. 107-112 ”Matematik for 1-årigt A-niveau” af Thomas Hebsgaard og Hans Sloth
2
8
()
5
t
rt
t
Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012
Side 8 af 35
Med disse værdier kan være interesseret i at finde en ligning for kurven, der kendes som f(x) eller y(x). Dvs.
en ligning, hvor funktionsværdien afhænger af x-variablen. Dette kan opnås ved at isolere ”t” i x
komposanten og indsætte udtrykket for ”t” i y-komposanten:
88x t t x
t indsættes i y koordinatfunktionen:
22
2
( ) ( 8) 5 64 8 5
( ) 8 59
y x x x x
y x x x
Det kan ses, at funktionen y(x) er et andengradspolynomium.
Tretrinsreglen
Differentialregning eller infinitesimalregning er en gren inden for matematikken, der kan beskrive hvordan
en vektorfunktion udvikler sig.
Når der arbejdes med differentialregning, kan man udnytte tangenter til at forklare en grafs egenskaber.
Hvis en funktion ”f” er differentiabel i definitionsmængden dvs. alle x-værdier, så er funktionen
differentiabel. Det skulle derfor være muligt at beregne differentialkvotienten f´(x) til hvilket som helst x.
Dette kaldes også for den afledte funktion, når differentialkvotienten til en kontinuert funktion beregnes.
2
Hvis man kender en funktions forskrift kan man benytte en metode ved navn ”Tretrinsreglen” til at finde
0
´( )fx
, som er differentialkvotienten for et bestemt punkt på en graf. Et bestemt punkt kaldet
0
P
har
koordinaterne
00
, ( )x f x
og er lokalt lineær.
3
Dette vil sige, at den går en ret linje gennem
0
P
med en
hældning på
0
´( )fx
. Tretrinsreglens formål er at beregne hældningskoefficienten, når vi kun kender til
tangentens røringspunkt med grafen. Differentialkvotienten beregnes ved at tage grænseværdien, hvor x
går mod
0
x
:
0
0
0
( ) ( )
´( ) når
f x f x
f
f x x x
x x x
2
Hvad er matematik? B af Bjørn Grøn, Bjørn Felsager, Bodil Bruun og Olav Lyndrup(2012), Lindhardt og Ringhof A/S, 1.udgave 1.
oplag s.162-165
3
Figur 3: Hvad er matematik? B af Bjørn Grøn, Bjørn Felsager, Bodil Bruun og Olav Lyndrup(2012), Lindhardt og Ringhof A/S,
1.udgave 1. oplag s. 169
Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012
Side 9 af 35
Metoden går ud på, at man beregner hældningskoefficienter for rette linjer, der går gennem punktet
0
P
og
tilfældige punkter på grafen. På Figur 3 er der indtegnet et eksempel på et polynomium med to tilfældige
rette linjer, som også kaldes sekanter. Ideen med sekanten er, at man beregner hældningen for den, som
svarer til gennemsnitshældningen af det stykke af grafen ”f”. Sekanthældningen er matematisk set
differentialkvotienten, men den kan være upræcis i forhold til den korrekte hældning af punkt
0
P
.
Sekanthældningen beregnes således:
4
10
1
10
( ) ( )f x f x
a
xx
Derefter vælger man en ny x-værdi, som ligger tættere på
0
x
. Metoden er, at man nærmer sig en x-værdi,
der ligger ekstremt tæt på det ønskede punkts x. Hermed kan man komme uendeligt tæt på det rigtige svar.
Sekanthældning kan også kaldes for tangenthældningen, da det er en ret linje, der tangerer grafen i
punktet, hvor begge linjer har ensbetydende hældninger.
Med vektorfunktioner kan det forstås, at en retningsvektors koordinatfunktioner begge er differentiable,
hvis de er kontinuerte. Retningsvektorens differentialkvotient skrives:
5
´( )
´( )
´( )
xt
rt
yt
Fysikken bruger vektorer til at beskrive mekaniske bevægelser. Differentiale kvotienten til
()rt
kan også
kaldes for hastighedsvektoren
()vt
, hvis retningsvektoren er lig:
( ) ( )r t s t
. Hældningen for den linje, som
tangerer grafen i et bestemt punkt er lig med hastigheden for et legeme. Denne hastighedsvektor kan på
samme måde differentieres, hvor man får accelerationsvektoren
()at
. Accelerationsvektoren giver dermed
indsigt i, hvordan hastighedsvektoren ændrer sig, mens hastighedsvektoren angiver hvorledes
()st
ændrer
sig mht. tid.
´´( ) ´( ) ( )s t v t a t
4
Hvad er matematik? B af Bjørn Grøn, Bjørn Felsager, Bodil Bruun og Olav Lyndrup(2012), Lindhardt og Ringhof A/S, 1.udgave 1.
oplag s. 168-173
Mat B2 htx af Klaus Marthinus og Michael Jensen(2009), Systime, 1. e-bogsudgave 2. oplag s. 184-186
5
Kernestoffet på højt niveau af Jens Ingwersen, Hans Birger Jensen og Knud Erik Sørensen(1990), forlaget systime a/s s. 41-44
Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012
Side 10 af 35
Den italienske fysiker, filosof og astronom Galileo Galilei() arbejdede med, hvordan legemer
bevæger sig mht. x og y-retningen. Han eksperimenterede med uafhængighedsprincippet, som forklarer, at
den vandrette og lodrette bevægelse sker uafhængigt af hinanden. Dette kan forklares, da legemet
påvirkes af en jævn bevægelse/hastighed i x-retningen, mens y-retningen påvirkes lodret af tyngdekraften.
6
De to koordinatfunktioner hedder:
( ) og ( )x t y t
Når de differentieres fås deres hastighedsfunktioner i x og y-retningen:
´( ) ( )
´( ) ( )
x
y
dx
x t v t
dt
dy
y t v t
dt
Ifølge tidligere forklaring kan man differentiere det beregnede udtryk for at få accelerationfunktionerne:
´( ) ´´( )
´( ) ´´( )
x
xx
y
yy
dv
v t x t a
dt
dv
v t y t a
dt
Hvis man vil finde retningen for hastigheden
v
skal man anvende Pythagoræs læresætning og isolere
hypotenusen:
7
22
xy
v v v
Det skrå kast
Det skrå kast er en parabel, der bevæger sig i et homogent tyngdefelt. I kastet tages der ikke i hensyn til
luftmodstanden, og der arbejdes kun med påvirkelse fra tyngdekraften. Homogent tyndefelt betyder, at
tyngdekraftens påvirkning er ensartet alle steder i koordinatsystemet.
6
Orbit 3 af Morten Brydensholt, Tommy Gjøe, Lis Jespersen, Ole Keller, Jan Møller og Jens Vaaben (2000), Systime, 1. udgave 1.
oplag s. 75-81
7
Orbit BA af Brydensholt, Tommy Gjøe, Claus Jessen, Ole Keller, Jan Møller og Jens Vaaben (2011), 2. udgave 1. oplag s. 79
Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012
Side 11 af 35
I det skrå kast har kastet til at begynde med en startvinkel kaldet
, der også hedder skuddets elevation,
som minimum er over
0
og under
90
. Dette kan skrives som:
0 90
.
Vandret bevægelse
Ifølge Isaac Newtons 1. lov også kaldt Inertiens lov vil en genstand, som ikke er påvirket af en resulterende
kraft enten ligge stille eller fortsætte med at bevæge sig med den samme hastighed. Med dette kan vi
konstatere, at legemet i et skrå kast vil have en retlinjet bevægelse med en uforandret hastighed, altså en
konstant fart.
8
Ud fra disse antagelser kan teorien fra mekanisk anvendes til at beskrive den vandrette bevægelse.
Indenfor er mekanikken strækningen:
9
s v t
s strækning
v hastighed
t tid
Hvis dette udtryk omformuleres til bevægelse i x-retningen ser den således ud:
0
()
x
x t v t
I dette udtryk for strækning afhængig af tid, er den eneste umiddelbare parameter ”t”, men hastigheden i
x-retningen
0x
v
afhænger af legemets starthastighed
0
v
og affyringsvinklen
. Ud fra simpel trigonometri
for en retvinklet trekant kan vi ud fra Figur 1 observere, at
0x
v
er den hosliggende katete til
starthastigheden. Ved brug af formlen for cosinus:
cos( )
hosliggende
hypotenusen
, som kan omskrives til:
10
0
0
cos( )
x
v
v
. Vi isolerer nu
0x
v
og indsætter den i vores udtryk for x(t):
0
00
0
cos( ) cos( )
x
x
v
vv
v
8
Orbit B af Per Holck Jens Kraaer og Birgitte Merci Lund (2006), Systime 1. udgave 2. oplag s. 285
9
Orbit 3 af Morten Brydensholt, Tommy Gjøe, Lis Jespersen, Ole Keller, Jan Møller og Jens Vaaben (2000), Systime, 1. udgave 1.
oplag s. 76-81
Figur 1:
Illustrationen kan også
ses på side 268 i Orbit B
bogen.
Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012
Side 12 af 35
00
( ) cos( )
x
x t v t v t
Lodret bevægelse
I den lodrette retning sker der en påvirkning fra tyngdeaccelerationen. Den generelle formel for hastighed
med konstant acceleration er:
11
0
v a t v
. Omskrevet til det skrå kast hedder den:
0y
v a t v
Når vi igen anvender trigonometri kan man se, at
0 y
v
kan udtrykkes ved:
00
sin( )
y
vv
. Accelerationen a
er tyngdeaccelerationen, der modvirker legemets retning:
12
0
2
sin( )
:9,82
y
v g t v
m
g tyngdeacceleration
s
Ved frit fald for et legeme med konstant acceleration i lodret retning gælder der følgende:
13
22
0 0 0 0
11
( ) sin( )
22
y
y t g t v t y g t v t y
Dette udtryk for y anvender stadigvæk t som afhængig variabel. Det kan laves om ved at isolere t i
udtrykket for x(t) og indsætte det i den opstillede ligning for y:
0
0
cos( )
cos( )
x
x t v t
v
Ved at indsætte denne formel for tiden t, får vi et andengradspolynomium, der kan beregne legemets
position mht. til x-variablen:
11
Orbit 3 af Morten Brydensholt, Tommy Gjøe, Lis Jespersen, Ole Keller, Jan Møller og Jens Vaaben (2000), Systime, 1. udgave 1.
oplag s. 76-81
Orbit BA af Brydensholt, Tommy Gjøe, Claus Jessen, Ole Keller, Jan Møller og Jens Vaaben (2011), 2. udgave 1. oplag s. 93-94 og
276-280
Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012
Side 13 af 35
2
0
00
0
2
2
00
1
( ) sin( )
2 cos( ) cos( )
()
2
y
xx
xx
y x g v
vv
v
g
y x x x
vv
Det kan ses, at den ene x-værdi har en potens på 2, der forklarer, at funktionsforskriften er et
andengradspolynium. Den beskriver også parablen som en kurve med grenene nedad, da
tyngdeaccelerationen virker i modsat retning i forhold til legemet. Den starter og slutter i samme højde, da
der anvendes en start højde på
0
0y
.
Hvis man er interesseret i at finde den optimale affyringsvinklen for at opnå det længste kast, skal man
kende til legemets affyringshøjde og landingshøjde. Vi tager udgangspunkt i at legemet starter og slutter i
0y
. Dermed kan vi anvende nulreglen, hvor den ene af de to faktorer er lig 0, hvis de to faktorer ganget
sammen giver 0.
14
2
0
1
( ) sin( ) 0
2
y t g t v t
Der er to svar for at produktet bliver
( ) 0yt
, da der er to faktorer. De hedder således:
t = 0 eller
2
0
1
sin( )
2
t g t v
Dog er t = 0 startpositionen, og vi vil undersøge slutpunktet
slut
x
:
Ved at isolere t og indsætte det i formlen for y(t), får vi et udtryk for kastevidden også kaldt
slut
x
.
2
0
0
2 sin( )
1
( ) sin( ) 0
2
v
y t g t v t t
g
t indsættes i
()
slut
x t x
:
0
00
2 sin( )
cos( ) cos( )
slut
v
x v t v
g
14
Orbit B af Per Holck Jens Kraaer og Birgitte Merci Lund (2006), Systime 1. udgave 2. oplag s. 268-270
Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012
Side 14 af 35
Da
2cos( ) sin( ) sin(2 )
kan udtrykket omskrives til:
2
0
sin(2 )
slut
v
x
g
I udtrykket er starthastigheden
0
v
og tyngdeacceleration
g
konstant, når vi leder efter den bedste
affyringsvinkel. Der er altså kun
sin(2 )
tilbage som variabel, der ændrer sig mht. vinkelen.
Hvis man ser på enhedscirklen(Figur 2) kan man se, at den største sinusværdi maksimalt kan blive 1, som er
ved
90
. Altså kan vi opstille en ligning, hvor affyringsvinklen isoleres:
90
Optimal affyringsvinkel: 2 90 45
2
Den bedste vinkel at affyre objektet uden luftmodstand er
45
.
15
Maksimalhøjde
Tidligere fandt vi frem til, hvordan hastigheden på den lodrette akse
beregnes afhængig af tiden:
0
2
sin( )
:9,82
y
v g t v
m
g tyngdeacceleration
s
Når den maksimale højde, også kaldet stighøjden, skal beregnes, ved vi at den lodrette hastighed er 0 i
toppunktet af parablen. Dvs. at man kan opstille følgende ligning:
0
0 sin( )
y top
v v g t
Tiden ”t” kan skrives som
top
t
, da det er tiden for vores nulpunkt i ligningen.
top
t
kan isoleres, så vi kender
formlen for, hvornår objektet tidsmæssigt når sin stighøjde.
16
15
Orbit B af Per Holck Jens Kraaer og Birgitte Merci Lund (2006), Systime 1. udgave 2. oplag
Mat B1 htx af Klaus Marthinus og Michael Jensen(2009), Systime, 1. e-bogsudgave 2. oplag s. 99
16
Orbit BA af Brydensholt, Tommy Gjøe, Claus Jessen, Ole Keller, Jan Møller og Jens Vaaben (2011), 2. udgave 1. oplag s. 279-280
Figur 2 viser en enhedscirkel, hvor
cosinus og sinus til vinklen A er
vist.(Mat B bog s. 96)
Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012
Side 15 af 35
0
0
sin( )
0 sin( )
top top
v
v g t t
g
Nu kender vi til den ubekendte variabel ”t” i vores formel med y afhængig af t:
2
max 0
2
00
max 0
1
( ) sin( )
2
sin( ) sin( )
1
( sin( ))
2
y t y g t v t
vv
y g v
gg
Dette udtryk reduceres:
Potens parentesen opløses, og produktet
0
( sin( )v
ganges ind i brøkens tæller:
2 2 2 2
00
max
sin( ) sin( )
1
2
vv
y
gg
De to brøker lægges sammen og giver den maksimale højde:
2 2 2 2
00
max
sin( ) sin( )
1
22
vv
y
gg
Tiden for toppunktet, som vi fandt, kan også anvendes til at finde tiden for hele objektets
bevægelseslængde på x-aksen. Da der ingen luftmodstand er, må vi antage, at objektets bevægelse er
symmetrisk efter toppunktet.
2
kast top
tt
Kastetiden
kast
t
indsættes i udtrykket for x(t) og reduceres:
0
0
00
2
0
( ) cos( )
sin( )
cos( ) cos( ) 2
sin(2 )
slut
slut kast
slut
x t x v t
v
x v t v
g
v
x
g
Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012
Side 16 af 35
Eksempel på en vektorfunktion for et skrå kast
I dette eksempel kigges der på en golfkugles slag forløb med den udledte teori for det skrå kast. Den sendes
af sted med en hastighed på 50m/s og en affyringsvinkel på
60,0
. Kuglen starter i punktet (0;0) i et
koordinatsystem.
En vektorfunktion med en bestemt retning skrives:
0
2
00
cos( )
()
()
1
()
sin( )
2
vt
xt
rt
yt
g t v t y
Når man indsætter værdierne for golfkuglens startbetingelser i vektorfunktionen
()rt
får vi x- og y-
komposanterne til at være:
2
2
50 cos(60)
()
()
1
()
9,82 50 sin(60) 0
2
m
t
xt
s
rt
mm
yt
tt
ss
Ved at eksperimentere med dette kan vi finde golfkuglens stighøjde og kastelængde. Der startes med
kastelængden, som vi tidligere udledte en formel for:
2
0
sin(2 )
slut
v
x
g
Værdierne indsættes og
slut
x
udregnes:
2
2
50 sin(2 60 )
220,474
9,82
slut
m
s
xm
m
s
Toppunktet for golfslaget beregnes:
2
2
22
0
max
2
50 sin(60 )
sin( )
95,468
2
9,82 2
m
v
s
ym
m
g
s
Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012
Side 17 af 35
Grafen for golfslaget kan konstrueres i software programmet Mathcad:
Eksempel på brug af
infinitesimalregning:
Dette eksempel vil tage udgangspunkt i
det skrå kasts retningsvektor og vise,
hvordan man finde hastigheds og
accelerationsvektoren for kastet.
Accelerations og hastighedsvektor
Før at vi kan finde differentialkvotienten skal man kende til de nødvendige regneregler indenfor
differentialregning. Her er et skema for de afledte funktioner af f(t), som er nødvendige at vide anvende.
17
f(t)
f´(t)
f(t)=k
f´(t)=0
f(t)=a
t
f´(t)=a
f(t)=
n
t
f´(t)=
1n
nt
17
Mat B2 htx af Klaus Marthinus og Michael Jensen(2009), Systime, 1. e-bogsudgave 2. oplag s. 186-187
Det kan ses på det skrå kast, at
max
y
ligger omkring 95-100 meter, mens
den maksimale skudlængde er over
de 200m. Det passer fint med
værdierne, som blev udregnet.
0
2
00
cos( )
()
()
1
()
sin( )
2
vt
xt
rt
yt
g t v t y
Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012
Side 18 af 35
Først findes hastighedsvektoren
()vt
ved at differentiere retningsvektoren
()rt
:
0
2
00
cos( ) ´
´( )
´( ) ( )
1
´( )
sin( ) ´
2
vt
xt
r t v t
yt
g t v t y
X-komposanten indeholder en afhængig variabel ”t”, der er ganget sammen med to konstanter
cos( ) t
.
Når x(t) differentieres fjernes t-værdien.
18
y-komposanten y(t) er anderledes, da den indeholder:
0
0
()
cos( )
()
()
sin( )
x
y
vt
v
vt
vt
v g t
Man kan bemærke, at x-retningens hastighed har en jævn bevægelse, mens y-retningen hastighed påvirkes
af en negativ kraft i form af tyngdeaccelerationen. Ved at differentiere hastighedsvektoren fås:
()
0
( ) ´( )
()
x
y
at
a t v t
at
g
Det kan ses, at der ingen acceleration i x-retningen er, som stemmer overens med Newtons 1. lov at et
legeme på bevæge sig med konstant hastighed, hvis den ikke påvirkes af nogen kraft. Legemet får en
stigende negativ hastighed fra tyngdeacceleration, som modvirker affyringsretningen og danner en
parabel.
19
Luftmodstand
I vores tidligere udregninger antog vi, at luftmodstand ingen effekt havde på vores golfkugle i bevægelse. I
virkeligheden har luftens modstand eller trækkraften en betydelig indflydelse på det skrå kast af objekter.
Dette inkluderer især golfkugler. Det er nødvendigt at tilføje nogle bevægelsesligninger, hvis vi skal
medregne luftmodstandsfaktoren, som afhænger af gnidningsloven v
2
.
20
18
Kernestoffet på højt niveau af Jens Ingwersen, Hans Birger Jensen og Knud Erik Sørensen(1990), forlaget systime a/s s. 41-44
19
S. 80-81 Orbit 3 af Morten Brydensholt, Tommy Gjøe, Lis Jespersen, Ole Keller, Jan Møller og Jens Vaaben (2000), Systime, 1.
udgave 1. oplag
20
Orbit 3 af Morten Brydensholt, Tommy Gjøe, Lis Jespersen, Ole Keller, Jan Møller og Jens Vaaben (2000), Systime, 1. udgave 1.
oplag s. 99-100
Figur 7 viser, hvordan turbulent og
laminar strømning ser ud.
http://blog.nialbarker.com/252/slow_is_faster
Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012
Side 19 af 35
2
v loven
fortæller om gnidningskraften af et objekt, som bevæger sig igennem gas eller væske.
Gnidningskraften er en faktor, som der ikke kan gøres fuldstændig teoretisk rede for. Man har derfor
benyttet eksperimenter i vindtunneler og vandbassiner til at undersøge, hvordan strømlinjer omkring
legemet bevæger sig. I de empiriske eksperimenter har man fyldt vindtunneler med røg og tilføjet farvestof
i vandbassiner, som har bevist at objekter, der bevæger sig med en lav hastighed får en laminar strømning,
mens store legemer med høj hastighed får en turbulent strømning.
21
Bernoullis princip
Bernoullis effekten blev opkaldt efter den schweiziske matematiker og fysiker Daniel Bernoulli. Han er
bekendt indenfor videnskaben, fordi han bl.a. forklarede sammenhængen mellem hastighed og
luftstrømning omkring et legeme i bevægelse. Hvis vi tager udgangspunkt i det skrå kast med en golfkugle,
så er det kuglen, som bevæger sig, mens luften er stillestående.
22
Bernoullis princip kan forstås i en omvendt sammenhæng, hvor kuglen står
stille uden rotation eller bevægelse, hvor luften bevæger sig forbi kuglen.
Figur 6 viser et eksempel på dette, hvor luften accelereres op til en højere
hastighed, når den bevæger sig forbi bolden. Den stigende hastighed
betyder, at der opstår en trykforskel. Foran kuglen vil der opstå et højere
tryk end rundt om kuglen, som øger luftens hastighed. Det betyder også, at det lave tryk rundt om kuglen
vil decelerer luften.
Denne sammenhæng
mellem tryk og hastighed
kan forstås lettere med en
simpel figur som Figur 8,
hvor et sammensat tykt
og tyndt rør indeholder en
vilkårlig væske, der
bevæger sig mod højre. Her er væskens hastighed lavere i det høje tryk og højere i det lave tryk.
21
http://nautilus.fis.uc.pt/personal/pvalberto/aulas/cef_mestrado/Air.Resistance.pdf s. 1-3
22
Orbit 3 af Morten Brydensholt, Tommy Gjøe, Lis Jespersen, Ole Keller, Jan Møller og Jens Vaaben (2000), Systime, 1. udgave 1.
oplag s. 83-84
http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli's_principle
Figur 6 viser en golfkugle uden
bevægelse, hvor luft passerer den. De
røde vektorer illustrerer det lavere tryk,
mens de blå vektorer forestiller det
højere tryk.
http://www.srh.noaa.gov/jetstream/tstorms/ll_updrafts.htm
Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012
Side 20 af 35
Magnus effekten
Bernoullis princip redegører altså for, hvorfor luftstrømningen accelerer og deaccelerer rundt om en
golfkugle. Der kan til gengæld opstå flere betydningsfulde faktorer, hvis golfkuglen roterer. Hvis kuglen er i
bevægelse i f.eks. luft, så vil der opstå en trykforskel under og over kuglen, som medfører ”opdrift”.
23
En golfkugle, som roterer om en akse gennem kuglens centrum kaldes en skruet kugle. Hvis vi antager, at
en kugle roterer rundt om en vandret akse, så vil luftstrømningen oven på kuglen få en forøget hastighed i
forhold til at luftstrømningen under kuglen(se figur 9). Dette sker på grund af gnidningskraften mellem
golfkuglens overflade og luften. Luften, som rammer kuglens overflade vil hermed føres rundt i en
cirkelbevægelse. Hvis en luftstrøm har en vandret hastighed, så vil luftstrømningen over kuglen få en øget
hastighed og ifølge Bernoullis princip et lavere tryk. Kuglens underside vil samtidig få et overtryk, som
skaber en opdrifts kraft.
Figur 9 viser, hvordan luftstrømningerne adskilles fra hinanden. Nogle af dem passere under kuglen, og
andre over kuglen. Farten stiger på oversiden i forhold til undersiden, som betyder, at trykket også bliver
større under kuglen og skaber en opdrift. Man kan derfor få mere opdrift på sit legeme i luften ved at tilføje
baglæns rotations, også kaldet ”backspin”.
Kraften som giver kuglen rotation står vinkelret på dens bevægelsesretning. Denne kraft kan findes ved at
opløse de vandrette og lodrette komposanter. Den lodrette komposant er vores opdrift for kuglen
opdrift
F
,
mens den vandrette er en bagudrettet kraft
v
F
, som vender modsat bevægelsesretningen, indtil kuglen
opnår sit toppunkt, hvor den vender den anden retning. Dette kan illustreres med figur 10:
23
Orbit 3 af Morten Brydensholt, Tommy Gjøe, Lis Jespersen, Ole Keller, Jan Møller og Jens Vaaben (2000), Systime, 1. udgave 1.
oplag s. 84-85
http://library.thinkquest.org/11902/physics/curve2.html
Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012
Side 21 af 35
v
2
-loven og Reynoldstallet
Ud fra de mange forsøg har man konstateret, at luftmodstanden i laminar strøm
luft
F
er proportional med
hastigheden v. Hvis det derimod er et stort legeme med stor hastighed, så er luftmodstanden proportional
med kvadratet på hastigheden, også kaldet arealet, hvor hastighedens længde og bredde ganges sammen
og giver:
2
luft
F v k
. Bogstavet ”k” er et matematisk udtryk, som ganges på og afhænger af legemets
formfaktor, densitet af gas eller væske og arealet af legemet.
24
Det viser sig, at forskellen på turbulent og laminar strømning har stor indflydelse for gnidskraften. Man kan
heldigvis bruge teoretiske udregninger til at undersøge, hvordan ens legeme bevæger sig. Dette kan
bestemmes med Reynoldstallet:
legemets hastighed
legemets diameter
af det stof, som legemet bevæger sig i
e
vd
R
densitet
v
d
viskositeten
24
Orbit 3 af Morten Brydensholt, Tommy Gjøe, Lis Jespersen, Ole Keller, Jan Møller og Jens Vaaben (2000), Systime, 1. udgave 1.
oplag s. 99-102
Figur 10 viser en skruet bolds bevægelse, hvor der er en lodret opdrift, en
bagudrettet kraft og den resulterende kraft, som står vinkelret på
bevægelsesretningen.(selvtegnet figur)
Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012
Side 22 af 35
Hvis man kommer frem til et Reynoldstal, som er mindre end 1, dvs.
1
e
R
, så er strømningen laminar.
Den er derfor turbulent, hvis tallet er
1
e
R
.
Som beregningseksempel brugte vi en golfkugle i luft med en affyringshastighed på v=50
m
s
. Diameteren på
en golfkugle er på 4cm=0,04m. Luftens densitet ligger på
3
1,204
luft
kg
m
.
25
Viskosisten er en konstant, der fortæller om et objekts træghed eller indre friktion. For luft er den:
5
2
1,81 10
luft
Ns
m
.
Reynoldstallet kan nu beregnes:
3
5
5
2
1,204 50 0,04
1,436 10
1,81 10
luft
e
kg m
m
vd
ms
R
Ns
m
Tallet er tydeligvis højere end 1, og kastet har turbulente strømninger. Hvis kuglen var meget lille med en
lav hastighed, så skulle man anvende Stokes lov i stedet for, som hedder:
26
6
gnid
F r v
r radius
viskositeten
v hastighed
Beregning af gnidningsmodstanden
Når der regnes med turbulente strømlinjer er luftmodstanden
2
v
-afhængig.
Denne formel for luftmodstand anvendes:
25
http://en.wikipedia.org/wiki/Golf_ball
26
Orbit BA af Brydensholt, Tommy Gjøe, Claus Jessen, Ole Keller, Jan Møller og Jens Vaaben (2011), 2. udgave 1. oplag s. 283-284
Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012
Side 23 af 35
2
2
1
2
luft
luft w
F k v
F c A v
Denne formel er udledt af følgende antagelser:
Legemet bevæger sig med en hastighed på
v
og vil efter et tidsinterval have bevæget sig:
s v t
Legemet vil påvirke luftmængden med en kraft F, mens arbejdet A, som kuglen udfører, er lig
luftmængdens kinesiske tilvækst i energi efter et bestemt tidsinterval
t
:
27
2
1
2
kin
E m v
2
1
2
masse af mængden af luft, som bevæger sig
F s m v
m
Massen kan da findes ud fra luftens densitet, den bevægede strækning og areal. Ligningen kan udvides til:
2
1
2
F s A s v
Ud fra denne ligning kan man se, at den bevægede strækning,
s
, ingen indflydelse har for
gnidningskraften.
22
11
22
F s A s v F A v
F er den kraft, som vores legeme påvirker luftmængden med, mens luftmodstanden er den kraft, som
luften påvirker legemet med. De er altså modsatrettet og har forskellige fortegn. Dette stemmer overens
med Newtons 3.lov, som siger at ”Hvis en genstand påvirker en anden med en kraft, så vil den anden
genstand påvirke den første med en ligeså stor, men modsatrettet kraft”
28
27
Orbit BA af Brydensholt, Tommy Gjøe, Claus Jessen, Ole Keller, Jan Møller og Jens Vaaben (2011), 2. udgave 1. oplag s. 285-286
28
Orbit B af Per Holck Jens Kraaer og Birgitte Merci Lund (2006), Systime 1. udgave 2. oplag s. 285
Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012
Side 24 af 35
Der antages i vores formel, at luftens der rammer tværsnittet af vores legeme har farten
v
, men der tages
ikke hensyn til, hvordan luften bevæger sig efter det. Noget af luften vil strømme ud til siderne. Dette
afhænger af legemets form eller formfaktor, som kaldes, som hovedsageligt bestemmes ud fra om legemet
er strømlinieformet, som øger mængden af luft, der strømmer ud til siderne.
Når formfaktoren
w
c
er bestemt, er det en konstant, som ganges på formlen for gnidningskraft:
2
1
2
w
F s c A s v
Dog har formfaktoren
w
c
ikke kun indflydelse fra
formfaktoren. Reynoldstallet, som vi tidligere
udregnede afgør også konstanten. For et
kugleformet legeme som golfkuglen, så anvendes
Figur 4, der er et logaritmisk koordinatsystem med
e
R
ud fra x-aksen og
w
c
ud af y-aksen. Vi kom til
et Reynoldstal på:
5
1,436 10
e
R
. Her kan
formfaktoren aflæses til at være cirka
0,4
w
c
.
29
Når der sammenlignes med et skrå kast med luftmodstand ved man, at luftmodstanden er modsatrettet
legemets bevægelses retning ifølge Newtons 3. lov. Samtidig skal begge krafter være lige store. Dette kan
illustreres med Figur 5.
Man kan se, at luftmodstanden er
modsatrettet med en lige så stor kraft som
legemets hastighed påfører. Det viser også,
at forholdet mellem hastigheden og den
modsatrettede kraft er lige stor mellem x
og y-aksen.
29
Orbit 3 af Morten Brydensholt, Tommy Gjøe, Lis Jespersen, Ole Keller, Jan Møller og Jens Vaaben (2000), Systime, 1. udgave 1.
oplag s. 101
Figur 4 viser et logaritmisk
koordinatsystem med R
e
på x-aksen og
c
w
på y-aksen.
Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012
Side 25 af 35
Man kan derfor antage, at størrelsesforholdene
eller målestoksforholdene mellem siderne i x-
aksen, y-aksen og hypotenuserne i de to trekanter
er lige store:
30
,,
y
x
luft luft y luft x
v
v
v
F F F
Det kan ses på figur 5, at begge trekanter er retvinklede. Hypotenusenerne er lige store begge, da de to
kræfter
v
og
luft
F
er modsatrettet lige stærke. De lodrette kræfter
,luft y
F
og
y
v
er parallelle i forhold til
hinanden, og
,luft x
F
og
x
v
er parallelle med hinanden. Man kan derfor konstatere, at trekanterne er
ensvinklede.
Ved at isolere luftens modstandskraft i y-retningen
,luft y
F
fås:
31
,
,
y luft
luft y y
luft luft y
vF
v
Fv
F F v
luft
F
kan erstattes med
2
kv
, da det er
2
v loven
, som bruges. Udtrykket reduceres til:
2
,luft y y y
kv
F v v k v
v
Samme princip kan gøres for luftmodstanden i x-aksen, som resulterer i:
,luft x x
F v k v
Ved brug af Newtons 2.lov
luft
F m a
kan vi omskrive den venstre side af lighedstegnet for
luftmodstanden i x- og y-retningen:
30
http://fc.vucaarhus.dk/flexmatematikb/materialer/Ensvinklede_trekanter.pdf
31
Orbit 3 af Morten Brydensholt, Tommy Gjøe, Lis Jespersen, Ole Keller, Jan Møller og Jens Vaaben (2000), Systime, 1. udgave 1.
oplag s. 99-101
Figur 5 viser hastighedens retning, hvor
luftmodstanden har modsat retning og opfylder
Newtons 3.lov.(selvlavet tegning)
Figur 5 viser to modsatrettede kræfter med
forskelligt fortegn. (selvtegnet)
Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012
Side 26 af 35
,
,
x x luft x
y y luft y
m a k v v F
m a k v v F
Ved at isolere acceleration i begge ligninger får vi et udtryk for accelerationen i x- og y-retningen. Der tages
hensyn til at y-retningen også påvirkes af tyngdeaccelerationen g=9,82m/s
2
. Den lægges til som en konstant:
x x x x
y y y y
k
m a k v v a v v
m
k
m a k v v a v v g
m
Der er tilføjet et negativt fortegn til begge accelerationer, da de påvirker legemet med negativt fortegn.
Hastigheden v kan da omskrives til
22
xy
v v v
, da vi kender formlen for hastigheden v ud fra
trigonometri.
32
Tallet k kan også omskrives til
1
2
w
k C A
.
22
2
w
x x y x
CA
a v v v
m
22
2
w
y x y y
CA
a v v v g
m
Dette er hermed accelerations komposanterne for x og y retningen. De har begge negativt fortegn, som
betyder, at vores golfkugles hastighed vil falde med tiden og mindske strækningen, som golfkuglen
tilbagelægger pr. tid. Hvis man skal konstruere en graf for det skrå kast med luftmodstand, skal man derfor
opstille et udtryk for hastighedens ændring pr. tid. Dette er muligt at gøre ved at bruge en numerisk
metode og differentialregning. Tidligere fandt vi ud af, at differentialkvotienten for hastighed i det skrå kast
var:
33
()
0
´( ) ( )
()
x
y
at
dv
v t a t
at
g
dt
32
Orbit 3 af Morten Brydensholt, Tommy Gjøe, Lis Jespersen, Ole Keller, Jan Møller og Jens Vaaben (2000), Systime, 1. udgave 1.
oplag s. 80-81
Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012
Side 27 af 35
Hastigheden blev differentieret med hensyn til tiden(t). Udtrykket fortæller om, hvor meget hastigheden
v
ændrer sig på et tidsinterval
t
. Derfor kan udtrykket for acceleration i x og y omskrives til:
34
22
22
2
2
xw
x x y x
y
w
y x y y
v C A
a v v v
tm
v
CA
a v v v g
tm
Numerisk metode
For at kunne forstå fremgangsmåden til den numeriske metode, skal man kende til den schweiziske
matematiker Leonhard Eulers metode, som senere blev videreudviklet af de tyske matematikere Runge og
Kutta. En af deres mest brugte numeriske metoder hedder Runge-Kutta-metoden,
hvor differentialligninger som disse løses:
35
( , )
dy
f x y
dx
Det kendetegnes ved ligningen, at vi har de to ubekendte variabler x og y.
Metoden kan være en lang proces at fuldføre, da der er mange trin, som skal udføres. Formlen som bruges
hedder:
10
1 0 1 2 3 4
1
( 2 2 )
6
n
n
y y y
y y a a x
36
y
er ændringen i funktionsværdien, også kaldt
funktionstilvæksten.
0
y
Er funktionsværdien i
startpunktet. Dvs.(0;0) i vores eksempel med det skrå
kast af golfkuglen.
1n
y
er funktionsværdien efter, at
34
Orbit BA af Brydensholt, Tommy Gjøe, Claus Jessen, Ole Keller, Jan Møller og Jens Vaaben (2011), 2. udgave 1. oplag s. 112-113
35
Hvad er matematik? B af Bjørn Grøn, Bjørn Felsager, Bodil Bruun og Olav Lyndrup(2012), Lindhardt og Ringhof A/S, 1.udgave 1.
oplag s. 294-295
Mat A htx af Allan Bohnstedt, Bernt Hansen, Michael Jensen og Klaus Marthinus(2008), Systime, 1. udgave 1 oplag s. 336-339
36
Mat A htx af Allan Bohnstedt, Bernt Hansen, Michael Jensen og Klaus Marthinus(2008), Systime, 1. udgave 1 oplag s. 336
Figur 11 viser et typisk eksempel på Eulers
metode. Den blå linie er den korrekte graf for
en funktion, mens den røde linie er
konstrueret med Eulers metode, som beviser
at det er en smart ide at anvende korte
intervaller mellem punkterne.
http://www.codecogs.com/code/maths/calculus/ode/euler.php
Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012
Side 28 af 35
legemet har bevæget sig et interval. Den afhænger også af antallet af ordner. Eulers metode anvender da 1.
orden, og Runge-Kutta formlen kan reduceres til:
37
1
( , )
n n n n
y y f x y x
Princippet går ud på, at vi kender golfkuglens startposition i x- og y-aksen
n
y
. Vi er interesserede i, at finde
tilvæksten af hastighederne af de to komposanter efter et bestemt tidsinterval. Det er derfor en god ide at
bruge minimale tidsintervaller for at udregne en mere specifik hastighed, da vi antager det er en konstant
hastighed mellem de to tidspunkter. Intervallerne kan resultere i upræcise beregninger, medmindre man
anvender ekstremt korte tidsintervaller.
Der anvendes Microsoft Excel til udregninger og konstruering af graferne for golfkuglens bevægelse.
Formlen for bevægelse med konstant hastighed bruges til beregning af golfkuglens position, da det er den
tilnærmede konstante hastighed mellem tidsintervallerne, som bruges:
0
0
s s v t
s startposition
v hastighed
t tid
Formlen for ændringen i hastighed
v
i henholdsvis x og y-aksen isoleres i formlerne, da acceleration som
tidsligere nævnt er differentialkvotienten til hastigheden v:
22
22
22
22
2
2
2
2
xw
x x y x
w
x x y x
y
w
y x y y
w
y x y y
v C A
a v v v
tm
CA
v v v v t
m
v
CA
a v v v g
tm
CA
v v v v g t
m
37
http://www.computerfysik.dk/integration-af-normale-differentialligninger/
Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012
Side 29 af 35
De to variabler
x
v
og
y
v
ændrer sig mht. til
t
og er ubekendte i vores ligning.
Ændringen i hastighed
v
(som er afhængig af tiden) skal trækkes fra begyndelseshastigheden, sådan at
man får hastigheden efter en bestemt tid:
hastighed i x efter ændring 0
hastighed i y efter ændring 0
xx
yy
v v v
v v v
Grafen, der laves for skrå kast med luftmodstand, bruger de samme startbetingelser som eksemplet vi
lavede med det skrå kast uden luftmodstand. Her er alle betingelserne for det skrå kast med luftmodstand:
3
2 2 2
50
60
0,4
(20 ) 1,204
0,02134 0,001428
0,0459
w
luft
golfkugle
golfkugle
m
v
s
c
kg
C
m
A r m m
m kg
Begyndelseshastigheden i x og y-aksen:
00
00
cos( ) 50 cos(60) 25
sin( ) 50 sin(60) 43,301
x
y
mm
vv
ss
mm
vv
ss
For at gøre udregningerne meget præcise anvendes et tidsinterval på
0,01ts
.
Konstruerede kurver
Her er et udsnit fra regnearket til det skrå kast i Microsoft Excel, hvor man kan se startbetingelserne og
brugte formler.
Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012
Side 30 af 35
Se Bilag 1 og Bilag 2 for beregningsskemaerne af golfkuglens bevægelse uden luftmodstand og med
luftmodstand i tidsperioden
0ts
til
8,82ts
. De konstante hastigheder indsættes i formlen med
bevægelse med konstant hastighed og golfkuglens position beregnes. Excel har konstrueret kurverne ud fra
dataene:
Den blå graf er golfkastet med luftmodstand, og den røde graf er golfkastet uden luftmodstand. Ved at
sammenligne de to kurver, kan man se, at forskellen mellem de to kast er væsentlige.
Dette skyldes sandsynligvis formfaktoren og tværsnitsarealet, som bruges i formlen for luftmodstandens
modsatrettede kraft:
22
22
2
2
w
x x y x
w
y x y y
CA
v v v v t
m
CA
v v v v g t
m
De to faktorer er med til at reducere kuglens hastighed og give et lavere toppunkt og skudvidde.
Golfkuglen opnår sin maksimale højde ca.
max
54,493ym
og skudlængde
93,379
slut
xm
. Se bilag 2 og
3 for skema.
Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012
Side 31 af 35
Konklusion
I denne opgave har jeg redegjort for, at en retningsvektor i plan er opløst i to retninger henholdsvis x- og y-
komposanter. For det skrå kast uden luftmodstand beviste jeg med hjælp fra MathCAD, at banekurven er
en parabel, også kaldt andengradspolynomium. Det viste sig også, at hvis man differentierede en
strækningvektor
()st
mht. tid, så fik man hastighedvektoren
()vt
. Hvis man da differentierede den afledte
funktion
´( )st
fik man accelerationsvektoren
()at
.
Det viste sig, at det skrå kast med luftmodstand havde mange betydningsfulde faktorer at tage hensyn til.
Vi kom frem til et Reynoldstal på
5
1,436 10
e
R
, der betød, at luftmodstandsformlen
2
v loven
skulle
anvendes til det skrå kast med golfkuglen. Formlen for denne lov blev omskrevet til to differentialligninger i
x og y-aksen, der kunne bruges til at finde den konstante hastighed i et tidsinterval på
0,01ts
mellem
to punkter for golfkuglen. Da konstrueringen af grafen for det skrå kast med luftmodstand var
pladskrævende, brugte jeg Eulers metode(numerisk metode) til at udregne koordinaterne. Der blev gjort
brug af Microsoft Excel, som fremstillede en banekurve for golfkurven uden og med luftmodstand. Her var
det tydeligt at opdage den væsentlige forskel af maksimal højde og skudvidde af de to grafer. Årsagen til
denne forskel kommer af størrelsen for luftmodstandens modsatrettede kræft, der reducerer golf kuglens
fart.
Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012
Side 32 af 35
Litteraturliste
Bøger
Fysik 112 af Lars Pedersen (2010), Nyt Teknisk Forlag, 3. udgave 2. oplag
Hvad er matematik? B af Bjørn Grøn, Bjørn Felsager, Bodil Bruun og Olav Lyndrup(2012), Lindhardt og
Ringhof A/S, 1.udgave 1. oplag
Kernestoffet på højt niveau af Jens Ingwersen, Hans Birger Jensen og Knud Erik Sørensen(1990), forlaget
systime a/s
Mat A htx af Allan Bohnstedt, Bernt Hansen, Michael Jensen og Klaus Marthinus(2008), Systime, 1. udgave
1 oplag
Mat B1 htx af Klaus Marthinus og Michael Jensen(2009), Systime, 1. e-bogsudgave 2. oplag
Mat B2 htx af Klaus Marthinus og Michael Jensen(2009), Systime, 1. e-bogsudgave 2. oplag
Matematik 112 af Lars Pedersen(2010), Nyt Teknisk Forlag, 3. udgave 2. oplag
Orbit B af Per Holck Jens Kraaer og Birgitte Merci Lund (2006), Systime 1. udgave 2. oplag
Orbit BA af Brydensholt, Tommy Gjøe, Claus Jessen, Ole Keller, Jan Møller og Jens Vaaben (2011), 2. udgave
1. oplag
Orbit 3 af Morten Brydensholt, Tommy Gjøe, Lis Jespersen, Ole Keller, Jan Møller og Jens Vaaben (2000),
Systime, 1. udgave 1. oplag
Hjemmesider
A Case Study in Computer Analysis:
http://wps.aw.com/wps/media/objects/877/898586/topics/topic01.pdf
Air Resistance: Distinguishing Between Laminar and Turbulent Flow:
http://nautilus.fis.uc.pt/personal/pvalberto/aulas/cef_mestrado/Air.Resistance.pdf
Mekanik:
http://www.matematikfysik.dk/fys/noter_tillaeg/note_mekanik.pdf
Projectile Motion with Air Resistance:
http://farside.ph.utexas.edu/teaching/336k/Newton/node29.html
Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012
Side 34 af 35
Bilag 2
Skud med luftmodstand:
Excel dokumentet indeholder beregning fra tiden t=0s til t=8,82s. Med et tidsinterval på
0,01ts
mellem hvert punkt er der samlet set:
8,82
882
0,01
, dvs. 882 rækker med beregninger, som fylder ekstremt
mange sider. Derfor er en del af Excel dokumentet inkluderet.
Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012
Side 35 af 35
Bilag 3